基本不等式均值不等式實(shí)用教案

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1、 預(yù)習(xí)：（1）弄清概念：算術(shù)平均數(shù)，幾何(j h)平均數(shù) （2）兩個(gè)非負(fù)數(shù)a、b的算術(shù)平均數(shù)與幾何(j h)平均數(shù)之間具有怎樣的大小關(guān)系呢？ （3）如何證明基本不等式 教學(xué)目標(biāo)： 推導(dǎo)并掌握兩個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何(j h)平均數(shù)這個(gè)重要定理；了解均值不等式在證明不等式中的簡(jiǎn)單應(yīng)用。 教學(xué)重點(diǎn)： 推導(dǎo)并掌握兩個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何(j h)平均數(shù)這個(gè)重要定理；了解均值不等式在證明不等式中的簡(jiǎn)單應(yīng)用。第1頁(yè)/共19頁(yè)第一頁(yè)，共20頁(yè)。ICM2002會(huì)標(biāo)(hu bio)趙爽：弦圖第2頁(yè)/共19頁(yè)第二頁(yè)，共20頁(yè)。ADBCEFGHab22ab猜想出不等式： 一般地，對(duì)于任

2、意實(shí)數(shù)a、b，有當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。222abab新授：ABCDE(FGH)ab第3頁(yè)/共19頁(yè)第三頁(yè)，共20頁(yè)。 如果如果a，bR， 那么那么a2+b22ab（當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立）時(shí)，等號(hào)成立）證明：證明：(不等式證明的基本不等式證明的基本(jbn)方法方法 比較法（作差、作商比較法（作差、作商法）法）)1指出指出(zh ch)定理適用范圍：定理適用范圍： Rba,2強(qiáng)調(diào)強(qiáng)調(diào)(qing dio)取取“=”的條件：的條件： ba 定理定理1（重要不等式）：（重要不等式）：第4頁(yè)/共19頁(yè)第四頁(yè)，共20頁(yè)。2適用的范圍適用的范圍(fnwi)：a, b 為非負(fù)數(shù)為非負(fù)數(shù).

3、 注意：注意：1語(yǔ)言語(yǔ)言(yyn)表述：兩個(gè)表述：兩個(gè)非負(fù)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的非負(fù)數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。幾何平均數(shù)。稱稱2ab為為a，b的算術(shù)平均數(shù)，的算術(shù)平均數(shù)，稱稱ab的幾何平均數(shù)。的幾何平均數(shù)。為為a，b（當(dāng)且僅當(dāng)（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等式成立）時(shí)，等式成立） 如果如果a, b都是非負(fù)數(shù)都是非負(fù)數(shù)，那么，那么abba2定理(dngl)2（基本不等式）：3.取“=”的條件：ba 第5頁(yè)/共19頁(yè)第五頁(yè)，共20頁(yè)。2ab把把看做兩個(gè)看做兩個(gè)正數(shù)正數(shù)a，b的等差中項(xiàng)，的等差中項(xiàng)，ab看做看做正數(shù)正數(shù)a，b的等比中項(xiàng)，的等比中項(xiàng)，那么那么(n me)上面不等式可以敘上面不等式

4、可以敘述為：述為： 兩個(gè)兩個(gè)(lin )正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它正數(shù)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)。們的等比中項(xiàng)。 還有沒(méi)有其它的證明方法證明上面還有沒(méi)有其它的證明方法證明上面(shng min)的基本不等式呢的基本不等式呢?第6頁(yè)/共19頁(yè)第六頁(yè)，共20頁(yè)。abba22)()(2122baba0)(212ba時(shí)，取等號(hào)即當(dāng)且僅當(dāng)baba,證法(zhn f)1：比較法（作差、作商法(shn f)）第7頁(yè)/共19頁(yè)第七頁(yè)，共20頁(yè)。證法證法(zhn f)2：幾何直觀解：幾何直觀解釋釋令正數(shù)令正數(shù)a，b為兩條線段的長(zhǎng)，用幾何作圖的方為兩條線段的長(zhǎng)，用幾何作圖的方法，作出長(zhǎng)度為法，作出長(zhǎng)度為 和和 的

5、兩條線段，然的兩條線段，然后后(rnhu)比較這兩條線段的長(zhǎng)。比較這兩條線段的長(zhǎng)。2abab具體具體(jt)作圖如作圖如下：下：（1）作線段）作線段AB=a+b，使，使AD=a，DB=b,（2）以）以AB為直徑作半圓為直徑作半圓O；（3）過(guò)）過(guò)D點(diǎn)作點(diǎn)作CDAB于于D，交半圓于點(diǎn)，交半圓于點(diǎn)C第8頁(yè)/共19頁(yè)第八頁(yè)，共20頁(yè)。（4）連接）連接(linji)AC，BC，CA，則，則2abOCCDab當(dāng)當(dāng)ab時(shí)，時(shí)，OCCD，即，即2abab當(dāng)當(dāng)a=b時(shí)，時(shí)，OC=CD，即，即2abab第9頁(yè)/共19頁(yè)第九頁(yè)，共20頁(yè)。例1、已知x,y都是正數(shù)(zhngsh)，求證：（1） （2）2yxxy證明(

6、zhngmng)（2）22yxyxxyxy當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí)，等號(hào)成立(chngl)。因?yàn)閤,y都是正數(shù)21xx第10頁(yè)/共19頁(yè)第十頁(yè)，共20頁(yè)。注意(zh y)運(yùn)用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的大小關(guān)系證明不等式，關(guān)鍵是揭示已知條件與目標(biāo)不等式的運(yùn)算結(jié)構(gòu)(jigu)特征，找出差異，并將其與基本不等式的運(yùn)算結(jié)構(gòu)(jigu)進(jìn)行類比，選擇相應(yīng)的基本不等式化異為同轉(zhuǎn)化證明 .第11頁(yè)/共19頁(yè)第十一頁(yè)，共20頁(yè)。證明(zhngmng):例2 a,b都是正數(shù)，abbaab2求證：時(shí)，等號(hào)成立）當(dāng)且僅當(dāng)式知均為正數(shù)，由基本不等baabababbaabba(222,第12頁(yè)/共19頁(yè)第十二頁(yè)，共20頁(yè)。練習(xí)(

7、linx)1的大小均為非負(fù)數(shù)數(shù)，試比較設(shè)2,)2(,222bababa時(shí)，等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)為正數(shù)，推廣：babababa22,22第13頁(yè)/共19頁(yè)第十三頁(yè)，共20頁(yè)。第14頁(yè)/共19頁(yè)第十四頁(yè)，共20頁(yè)。NoImage( ,)2a baba b R222 ( ,)ababab R一、知識(shí)點(diǎn)：重要不等式:基本不等式:二、思想(sxing)方法與技巧：數(shù)形結(jié)合思想(sxing)，化歸思想(sxing)等第15頁(yè)/共19頁(yè)第十五頁(yè)，共20頁(yè)。閱讀(yud)周報(bào)第7期第一版預(yù)習(xí)3.2節(jié)基本(jbn)不等式的應(yīng)用作業(yè)本上1.已知, ,a b cR 求證： 222abcabbcca2.abcaccbba

8、cba8)()(,都是正數(shù)，求證：已知第16頁(yè)/共19頁(yè)第十六頁(yè)，共20頁(yè)。1.已知, ,a b cR 求證： 222abcabbcca證： 以上(yshng)三式相加： 222abcabbcca 當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立(chngl)第17頁(yè)/共19頁(yè)第十七頁(yè)，共20頁(yè)。證明(zhngmng):當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時(shí)等號(hào)成立(chngl)2abcaccbbacba8)()(,都是正數(shù)，求證：已知第18頁(yè)/共19頁(yè)第十八頁(yè)，共20頁(yè)。謝謝您的觀看(gunkn)！第19頁(yè)/共19頁(yè)第十九頁(yè)，共20頁(yè)。NoImage內(nèi)容(nirng)總結(jié)預(yù)習(xí)：（1）弄清概念：算術(shù)平均數(shù)，幾何平均數(shù)。了解均值不等式在證明不等式中的簡(jiǎn)單應(yīng)用。猜想出不等式： 一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a、b，有。如果a，bR，。2適用的范圍：a, b 為非負(fù)數(shù).?？醋稣龜?shù)(zhngsh)a，b的等比中項(xiàng)，。兩個(gè)正數(shù)(zhngsh)的等差中項(xiàng)不小于它們的等比中項(xiàng)。（3）過(guò)D點(diǎn)作CDAB于D，交半圓于點(diǎn)C。（4）連接AC，BC，CA，則。當(dāng)ab時(shí)，OCCD，即。運(yùn)用算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的大。例2 a,b都是正數(shù)(zhngsh)，第二十頁(yè)，共20頁(yè)。