2018年高考數(shù)學(xué) 專題8.1 空間幾何體試題 文.doc

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1、 專題8.1 空間幾何體 【三年高考】 1. 【2017課標(biāo)II，文6】如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，該幾何體由一平面將一圓柱截去一部分后所得，則該幾何體的體積為 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由題意，該幾何體是由高為6的圓柱截取一半后的圖形加上高為4的圓柱，故其體積為，故選B. 2. 【2017課標(biāo)3，文9】已知圓柱的高為1，它的兩個(gè)底面的圓周在直徑為2的同一個(gè)球的球面上，則該圓柱的體積為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】如果，畫(huà)出圓柱的軸截面，

2、，所以，那么圓柱的體積是，故選B. 3. 【2017天津，文11】已知一個(gè)正方形的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上，若這個(gè)正方體的表面積為18，則這個(gè)球的體積為 . 【答案】 【解析】設(shè)正方體邊長(zhǎng)為 ，則 ，外接球直徑為. 4. 【2017課標(biāo)1，文16】已知三棱錐S-ABC的所有頂點(diǎn)都在球O的球面上，SC是球O的直徑．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱錐S-ABC的體積為9，則球O的表面積為_(kāi)_______． 【答案】 5. 【2017江蘇，6】 如圖,在圓柱內(nèi)有一個(gè)球,該球與圓柱的上、下面及母線均相切.記圓柱的體積為,球的體積為,則的值是 ▲ . O

3、 O1 O2 (第6題) 【答案】 【解析】設(shè)球半徑為，則．故答案為． 6．【2016高考新課標(biāo)1卷】如圖,某幾何體的三視圖是三個(gè)半徑相等的圓及每個(gè)圓中兩條相互垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是（ ） （A） （B） （C） （D） 【答案】A 【解析】該幾何體直觀圖如圖所示：是一個(gè)球被切掉左上角的,設(shè)球的半徑為,則,解得,所以它的表面積是的球面面積和三個(gè)扇形面積之和故選A． 7. [2016高考新課標(biāo)Ⅲ文數(shù)]在封閉的直三棱柱內(nèi)有一個(gè)體積為的球，若，，，，則的最大值是（ ） （A）4π （B）

4、 （C）6π （D） 【答案】B 【解析】要使球的體積最大，必須球的半徑最大．由題意知球的與直三棱柱的上下底面都相切時(shí)，球的半徑取得最大值，此時(shí)球的體積為，故選B． 8．[2016高考新課標(biāo)Ⅲ文數(shù)]如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1，粗實(shí)現(xiàn)畫(huà)出的是某多面體的三視圖，則該多面體的表面積為（ ） （A） （B） （C）90 （D）81 【答案】B 【解析】由三視圖該幾何體是以側(cè)視圖為底面的斜四棱柱，所以該幾何體的表面積，故選B． 9．【2016高考山東文數(shù)】一個(gè)由半球和四棱錐組成的幾何體，其三視圖

5、如圖所示.則該幾何體的體積為（ ） （A）（B） （C）（D） 【答案】C 【解析】由已知，半球的直徑為，正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為1，高為1，所以其體積為，選C. 10. 【2015高考新課標(biāo)1，文6】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有委米依垣內(nèi)角，下周八尺，高五尺，問(wèn)：積及為米幾何？”其意思為：“在屋內(nèi)墻角處堆放米（如圖，米堆為一個(gè)圓錐的四分之一），米堆底部的弧長(zhǎng)為8尺，米堆的高為5尺，米堆的體積和堆放的米各為多少？”已知1斛米的體積約為1.62立方尺，圓周率約為3，估算出堆放的米有（ ） （A）斛 （B）斛 （C）斛 （D

6、）斛 【答案】B 【解析】設(shè)圓錐底面半徑為r，則，所以，所以米堆的體積為=，故堆放的米約為÷1.62≈22，故選B. 11. 【2015高考四川，文14】在三棱住ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，其正視圖和側(cè)視圖都是邊長(zhǎng)為1的正方形，俯視圖是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形，設(shè)點(diǎn)M，N，P分別是AB，BC，B1C1的中點(diǎn)，則三棱錐P－A1MN的體積是______. 【答案】 【解析】由題意，三棱柱是底面為直角邊長(zhǎng)為1的 等腰直角三角形，高為1的直三棱柱，底面積為 如圖，因?yàn)锳A1∥PN，故AA1∥面PMN， 故三棱錐P－A1MN與三棱錐P－AMN體積相等，三棱錐P－

7、AMN的底面積是三棱錐底面積的，高為1 故三棱錐P－A1MN的體積為 12.【2015高考湖南，文18】如圖4，直三棱柱的底面是邊長(zhǎng)為2的正三角形，分別是的中點(diǎn)。 （I）證明：平面平面； （II）若直線與平面所成的角為，求三棱錐的體積。 【解析】（I）如圖，因?yàn)槿庵侵比庵?，所以，又是正三角?的邊的中點(diǎn)，所以，因此平面，而平面，所以平面平面. （II）設(shè)的中點(diǎn)為，連接，因?yàn)槭钦切?，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，因此平面，于是直線與平面所成的角，由題設(shè)知，所以，在中，，所以，故三棱錐的體積。 【2017考試大綱】 空間幾何體 (1)認(rèn)識(shí)柱、錐、臺(tái)、球及其簡(jiǎn)單

8、組合體的結(jié)構(gòu)特征,并能運(yùn)用這些特征描述現(xiàn)實(shí)生活中簡(jiǎn)單物體的結(jié)構(gòu). (2)能畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形(長(zhǎng)方體、球、圓柱、圓錐、棱柱等的簡(jiǎn)易組合)的三視圖,能識(shí)別上述三視圖所表示的立體模型,會(huì)用斜二側(cè)法畫(huà)出它們的直觀圖. (3)會(huì)用平行投影與中心投影兩種方法畫(huà)出簡(jiǎn)單空間圖形的三視圖與直觀圖,了解空間圖形的不同表示形式. (4)會(huì)畫(huà)某些建筑物的視圖與直觀圖(在不影響圖形特征的基礎(chǔ)上,尺寸、線條等不作嚴(yán)格要求). 【三年高考命題回顧】 縱觀前三年各地高考試題, 幾何體的三視圖是高考的熱點(diǎn)，題型多為選擇題、填空題，難度中、低檔．主要考查幾何體的三視圖，以及由三視圖構(gòu)成的幾何體，在考查三視圖的同時(shí)，又考

9、查了學(xué)生的空間想象能力及運(yùn)算與推理能力．對(duì)簡(jiǎn)單幾何體的考查，主要考查簡(jiǎn)單幾何體的概念、求多面體、旋轉(zhuǎn)體的面積和體積問(wèn)題，也有已知面積或體積求某些元素的量或元素間的位置關(guān)系問(wèn)題.即使考查空間線面的位置關(guān)系問(wèn)題，也常以幾何體為依托. 【2018年高考復(fù)習(xí)建議與高考命題預(yù)測(cè)】 由前三年的高考命題形式可以看出 ,要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)以及它們的求積公式.同時(shí)也要學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，會(huì)把組合體求積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本幾何體的求積問(wèn)題，會(huì)等體積轉(zhuǎn)化求解問(wèn)題，會(huì)把立體問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題求解，會(huì)運(yùn)用“割補(bǔ)法”等求解.球的組合體問(wèn)題是高考必考內(nèi)容之一，每年都涉及，試題難度在中等，有時(shí)在壓軸題的位置

10、，從整體上來(lái)看，試題難度理科比文科要大，主要考查學(xué)生的畫(huà)圖能力，空間想象能力，運(yùn)算能力及邏輯推理能力，空間幾何體的表面積、體積等問(wèn)題是高考的熱點(diǎn)，題型既有選擇題、填空題，又有解答題，難度為中、低檔．客觀題主要考查由三視圖得出幾何體的直觀圖，求其表面積、體積或由幾何體的表面積、體積得出某些量；主觀題考查較全面，考查線、面位置關(guān)系，及表面積、體積公式，無(wú)論是何種題型都考查學(xué)生的空間想象能力．預(yù)測(cè)2018年高考題中，對(duì)組合體的考查，以球的組合體為主，考查組合體的體積與表面積有關(guān)的問(wèn)題．對(duì)三視圖的考查，以空間幾何體的三視圖為主要考查點(diǎn)，重點(diǎn)考查學(xué)生讀圖、識(shí)圖能力以及空間想象能力．對(duì)空間幾何體的面積與體

11、積的考查，以空間幾何體的面積、體積為主要考查點(diǎn)，重點(diǎn)考查學(xué)生的空間想象能力、運(yùn)算能力及邏輯推理能力．復(fù)習(xí)建議：三視圖在近幾年的高考題都有體現(xiàn)，多面體畫(huà)圖、分析圖，用自己的語(yǔ)言描述圖，提高借助圖形分析問(wèn)題的能力，培養(yǎng)空間觀念，注重三視圖與直觀圖的相互轉(zhuǎn)化及等積轉(zhuǎn)化的思想.因此，三視圖的內(nèi)容應(yīng)重點(diǎn)訓(xùn)練.與幾何體的側(cè)面積和體積有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題，根據(jù)基本概念和公式來(lái)計(jì)算，要重視方程的思想和割補(bǔ)法、等積轉(zhuǎn)換法的運(yùn)用 【2018年高考考點(diǎn)定位】 高考對(duì)空間幾何體的考查，主要考查簡(jiǎn)單幾何體的概念、求多面體、旋轉(zhuǎn)體的面積和體積問(wèn)題，也有已知面積或體積求某些元素的量或元素間的位置關(guān)系問(wèn)題.即使考查空間線面的

12、位置關(guān)系問(wèn)題，也常以幾何體為依托.因而要熟練掌握多面體與旋轉(zhuǎn)體的概念、性質(zhì)以及它們的求積公式.同時(shí)也要學(xué)會(huì)運(yùn)用等價(jià)轉(zhuǎn)化思想，會(huì)把組合體求積問(wèn)題轉(zhuǎn)化為基本幾何體的求積問(wèn)題，以選擇、填空題的形式考查，有時(shí)也會(huì)在解答題中出現(xiàn). 【考點(diǎn)1】空間幾何體 【備考知識(shí)梳理】 1．柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征 （1）柱：棱柱：一般的，有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，并且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相平行，由這些面所圍成的幾何體叫做棱柱；棱柱中兩個(gè)互相平行的面叫做棱柱的底面，簡(jiǎn)稱為底；其余各面叫做棱柱的側(cè)面；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱柱的側(cè)棱；側(cè)面與底面的公共頂點(diǎn)叫做棱柱的頂點(diǎn). 底面是三角形、四邊形、

13、五邊形……的棱柱分別叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱…… 圓柱：以矩形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓柱；旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無(wú)論旋轉(zhuǎn)到什么位置，不垂直于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線. 棱柱與圓柱統(tǒng)稱為柱體； （2）錐：棱錐：一般的有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體叫做棱錐；這個(gè)多邊形面叫做棱錐的底面或底；有公共頂點(diǎn)的各個(gè)三角形面叫做棱錐的側(cè)面；各側(cè)面的公共頂點(diǎn)叫做棱錐的頂點(diǎn)；相鄰側(cè)面的公共邊叫做棱錐的側(cè)棱. 底面是三角錐、四邊錐、五邊錐……的棱柱分別叫做三棱錐、四棱錐、五棱

14、錐…… 圓錐：以直角三角形的一條直角邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面所圍成的幾何體叫做圓錐；旋轉(zhuǎn)軸為圓錐的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)形成的面叫做圓錐的底面；斜邊旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做圓錐的側(cè)面. 棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體 （3）臺(tái)：棱臺(tái)：用一個(gè)平行于底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分叫做棱臺(tái)；原棱錐的底面和截面分別叫做棱臺(tái)的下底面和上底面；棱臺(tái)也有側(cè)面、側(cè)棱、頂點(diǎn). 圓臺(tái)：用一個(gè)平行于底面的平面去截圓錐，底面和截面之間的部分叫做圓臺(tái)；原圓錐的底面和截面分別叫做圓臺(tái)的下底面和上底面；圓臺(tái)也有側(cè)面、母線、軸 圓臺(tái)和棱臺(tái)統(tǒng)稱為臺(tái)體. （4）球：以半圓的直徑所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋

15、轉(zhuǎn)一周形成的幾何體叫做球體，簡(jiǎn)稱為球；半圓的圓心叫做球的球心，半圓的半徑叫做球的半徑，半圓的直徑叫做球的直徑. (5)正棱柱：側(cè)棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多邊形的直棱柱叫做正棱柱．反之，正棱柱的底面是正多邊形，側(cè)棱垂直于底面，側(cè)面是矩形． (6)正棱錐：底面是正多邊形，頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心的棱錐叫做正棱錐．特別地，各棱均相等的正三棱錐叫正四面體．反過(guò)來(lái)，正棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面正多邊形的中心． 2．空間幾何體的直觀圖 （1）斜二測(cè)畫(huà)法 ①建立直角坐標(biāo)系，在已知水平放置的平面圖形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐標(biāo)系； ②畫(huà)出斜

16、坐標(biāo)系，在畫(huà)直觀圖的紙上（平面上）畫(huà)出對(duì)應(yīng)的O’X’,O’Y’,使=450（或1350），它們確定的平面表示水平平面； ③畫(huà)對(duì)應(yīng)圖形，在已知圖形平行于X軸的線段，在直觀圖中畫(huà)成平行于X‘軸，且長(zhǎng)度保持不變；在已知圖形平行于Y軸的線段，在直觀圖中畫(huà)成平行于Y‘軸，且長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半； ④擦去輔助線，圖畫(huà)好后，要擦去X軸、Y軸及為畫(huà)圖添加的輔助線（虛線）. 畫(huà)水平放置的多邊形的直觀圖的關(guān)鍵是確定多邊形頂點(diǎn)的位置，因?yàn)槎噙呅雾旤c(diǎn)的位置一旦確定，依次連結(jié)這些頂點(diǎn)就可畫(huà)出多邊形來(lái)，因此平面多邊形水平放置時(shí)，直觀圖的畫(huà)法可以歸結(jié)為確定點(diǎn)的位置的畫(huà)法. （2）平行投影與中心投影：平行投影的投影線

17、是互相平行的，中心投影的投影線相交于一點(diǎn). 3.幾種常凸多面體間的關(guān)系 2.一些特殊棱柱、棱錐、棱臺(tái)的概念和主要性質(zhì) 名稱 棱柱 直棱柱 正棱柱 圖形 定 義 有兩個(gè)面互相平行，而其余每相鄰兩個(gè)面的交線都互相平行的多面體 側(cè)棱垂直于底面的棱柱 底面是正多邊形的直棱柱 側(cè)棱 平行且相等 平行且相等 平行且相等 側(cè)面的形狀 平行四邊形 矩形 全等的矩形 對(duì)角面的形狀 平行四邊形 矩形 矩形 平行于底面的截面的形狀 與底面全等的多邊形 與底面全等的多邊形 與底面全等的正多邊形 名稱 棱錐 正棱錐 棱臺(tái)

18、正棱臺(tái) 圖形 定義 有一個(gè)面是多邊形，其余各面是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形的多面體 底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的射影是底面和截面之間的部分 用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，底面和截面之間的部分 由正棱錐截得的棱臺(tái) 側(cè)棱 相交于一點(diǎn)但不一定相等 相交于一點(diǎn)且相等 延長(zhǎng)線交于一點(diǎn) 相等且延長(zhǎng)線交于一點(diǎn) 側(cè)面的形狀 三角形 全等的等腰三角形 梯形 全等的等腰梯形 對(duì)角面的形狀 三角形 等腰三角形 梯形 等腰梯形 平行于底的截面形狀 與底面相似的多邊形 與底面相似的正多邊形 與底面相似的多邊形 與底面相似的正

19、多邊形 其他性質(zhì) 高過(guò)底面中心；側(cè)棱與底面、側(cè)面與底面、相鄰兩側(cè)面所成角都相等 兩底中心連線即高；側(cè)棱與底面、側(cè)面與底面、相鄰兩側(cè)面所成角都相等 幾種特殊四棱柱的特殊性質(zhì) 名稱 特殊性質(zhì) 平行六面體 底面和側(cè)面都是平行四邊行；四條對(duì)角線交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分 直平行六面體 側(cè)棱垂直于底面，各側(cè)面都是矩形；四條對(duì)角線交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分 長(zhǎng)方體 底面和側(cè)面都是矩形；四條對(duì)角線相等，交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分 正方體 棱長(zhǎng)都相等，各面都是正方形四條對(duì)角線相等，交于一點(diǎn)，且被該點(diǎn)平分 【規(guī)律方法技巧】 1. 注意特殊的四棱柱的區(qū)別：直四棱柱、正四棱柱、長(zhǎng)方體、正

20、方體、平行六面體、直平行六面體． 2. 棱臺(tái)的各側(cè)棱延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)是判斷棱臺(tái)的主要依據(jù)，兩底面平行且是相似多邊形． 3．注意還臺(tái)為錐的解題方法的運(yùn)用，將臺(tái)體還原為錐體可利用錐體的性質(zhì)．注意正棱錐中的四個(gè)直角三角形為：高、斜高及底面邊心距組成一個(gè)直角三角形；高、側(cè)棱與底面外接圓半徑組成一個(gè)直角三角形；底面的邊心距、外接圓半徑及半邊長(zhǎng)組成一個(gè)直角三角形；側(cè)棱、斜高及底邊一半組成一個(gè)直角三角形． 4.將幾何體展開(kāi)為平面圖形時(shí)，要注意在何處剪開(kāi)，多面體要選擇一條棱剪開(kāi)，旋轉(zhuǎn)體要沿一條母線剪開(kāi). 5.常見(jiàn)的特殊幾何體的性質(zhì) （1）平行六面體： ①底面是平行四邊形的四棱柱. ②{平行六面體}

21、{直平行六面體}{長(zhǎng)方體}{正四棱柱}{正方體}； ③平行六面體的任何一個(gè)面都可以作為底面； ④平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分； ⑤平行六面體的四條對(duì)角線的平方和等于各棱的平方和. （2）長(zhǎng)方體： ①長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)的平方和； ②若長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為，則cos2+ cos2+cos2=1； ③若長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為則cos2+cos2+cos2=2. （3）正棱錐：如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，且頂點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐. ①正棱錐的各側(cè)棱

22、相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高（叫側(cè)高）也相等； ②正棱錐的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的內(nèi)切圓的半徑）、側(cè)棱、側(cè)棱在底面的射影（底面的外接圓的半徑）、底面的半邊長(zhǎng)可組成四個(gè)直角三角形； ③若正棱錐的側(cè)面與底面所成的角為，則. （4）正四面體：側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等的正三棱錐叫做正四面體. ①設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，則高為，斜高為，對(duì)棱間的距離為，體積為. ②正四面體與其截面:如圖所示點(diǎn)E為PA的中點(diǎn)，連接EB和EC.點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，連接EF.則截面EBC⊥PA, EBC⊥面PAB, EBC⊥面PAC. EF為相對(duì)棱的公垂線，其長(zhǎng)度為相對(duì)棱的距離； ③正四

23、面體可補(bǔ)形為正方體，如圖所示，四面體B-ACD即為正四面體.各個(gè)棱為正方體的面對(duì)角線.正方體的棱長(zhǎng)是正四面體棱長(zhǎng)的.利用這個(gè)補(bǔ)形為解題帶來(lái)很大的方便. 6. 幾何體中計(jì)算問(wèn)題的方法與技巧：①在正棱錐中，正棱錐的高、側(cè)面等腰三角形的斜高與側(cè)棱構(gòu)成兩個(gè)直角三角形，有關(guān)計(jì)算往往與兩者相關(guān)；②正四棱臺(tái)中要掌握對(duì)角面與側(cè)面兩個(gè)等腰梯形中關(guān)于上底、下底及梯形高的計(jì)算，另外，要能將正三棱臺(tái)、正四棱臺(tái)的高與其斜高，側(cè)棱在合適的平面圖形中聯(lián)系起來(lái)；③研究圓柱、圓錐、圓臺(tái)等問(wèn)題，主要方法是研究其軸截面，各元素之間的關(guān)系，數(shù)量都可以在軸截面中得到；④多面體及旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面展開(kāi)圖是將立體幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面幾何問(wèn)題

24、處理的重要手段． 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【江蘇省南京市南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2017屆高三考前模擬】已知正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為，高為，則該四棱錐的側(cè)面積是______________ 【答案】 【解析】四棱錐的側(cè)面積是 2．【福建省泉州市2017屆高三高考考前適應(yīng)性模擬】如圖所示,圖中陰影部分繞旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的體積為_(kāi)_______． 【答案】 【解析】由題知旋轉(zhuǎn)一周后形成的幾何體是一圓臺(tái)去掉一個(gè)半球，其中圓臺(tái)的體積為，半球的體積，則所求體積為．故本題答案為． 【考點(diǎn)2】空間幾何體的三視圖 【備考知識(shí)梳理】 空間幾何體的三視圖 三視圖是觀測(cè)者從不同位置觀察同

25、一個(gè)幾何體，畫(huà)出的空間幾何體的圖形. 他具體包括： （1）正視圖：物體前后方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和長(zhǎng)度； （2）側(cè)視圖：物體左右方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的高度和寬度； （3）俯視圖：物體上下方向投影所得到的投影圖；它能反映物體的長(zhǎng)度和寬度. 2.三視圖畫(huà)法規(guī)則 高平齊：主視圖與左視圖的高要保持平齊 長(zhǎng)對(duì)正：主視圖與俯視圖的長(zhǎng)應(yīng)對(duì)正 寬相等：俯視圖與左視圖的寬度應(yīng)相等 【規(guī)律方法技巧】 1.解決三視圖問(wèn)題的技巧：空間幾何體的數(shù)量關(guān)系也體現(xiàn)在三視圖中，正視圖和側(cè)視圖的“高平齊”，正視圖和俯視圖的“長(zhǎng)對(duì)正”，側(cè)視圖和俯視圖的“寬相等”．也就是說(shuō)

26、正視圖、側(cè)視圖的高就是空間幾何體的高，正視圖、俯視圖中的長(zhǎng)就是空間幾何體的最大長(zhǎng)度，側(cè)視圖、俯視圖中的寬就是空間幾何體的最大寬度．在繪制三視圖時(shí)，分界線和可見(jiàn)輪廓線都用實(shí)線畫(huà)出，被遮擋的部分的輪廓線用虛線表示出來(lái)，即“眼見(jiàn)為實(shí)、不見(jiàn)為虛”．在三視圖的判斷與識(shí)別中要特別注意其中的“虛線”． 2.要切實(shí)弄清常見(jiàn)幾何體(圓柱、圓錐、圓臺(tái)、棱柱、棱錐、棱臺(tái)、球)的三視圖的特征，熟練掌握三視圖的投影方向及正視圖原理，才能迅速破解三視圖問(wèn)題，由三視圖畫(huà)出其直觀圖． 3.解答三視圖題目時(shí)： (1)可以從熟知的某一視圖出發(fā)，想象出直觀圖，再驗(yàn)證其他視圖是否正確； (2)視圖中標(biāo)注的長(zhǎng)度在直觀圖中代表什

27、么，要分辨清楚； (3)視圖之間的數(shù)量關(guān)系：正俯長(zhǎng)對(duì)正，正側(cè)高平齊，側(cè)俯寬相等． 4．從能力上來(lái)看，三視圖著重考查空間想象能力，即空間形體的觀察分析和抽象的能力，要求是“四會(huì)”：①會(huì)畫(huà)圖——根據(jù)題設(shè)條件畫(huà)出適合題意的圖形或畫(huà)出自己想作的輔助線(面)，作出的圖形要直觀、虛實(shí)分明；②會(huì)識(shí)圖——根據(jù)題目給出的圖形，想象出立體的形狀和有關(guān)線面的位置關(guān)系；③會(huì)析圖——對(duì)圖形進(jìn)行必要的分解、組合；④會(huì)用圖——對(duì)圖形或其某部分進(jìn)行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、展開(kāi)或?qū)嵭懈钛a(bǔ)術(shù)；考查邏輯思維能力、運(yùn)算能力和探索能力. 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【2017屆廣西南寧市高三一?！恳阎硯缀误w的三視圖如圖，則該幾何體的體

28、積是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由三視圖可知，該幾何體是一個(gè)三棱柱，其底面是底邊長(zhǎng)為，腰長(zhǎng)為的等腰三角形，三棱柱的高為，故該幾何體的體積是 ，故選C. 2. 【寧夏石嘴山市2017屆高三三模】如圖1所示，是一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體被削去一個(gè)角后所得到的幾何體的直觀圖，其中， ，若此幾何體的俯視圖如圖2所示，則可以作為其正視圖的是（ ） 【答案】A 【解析】由題意，根據(jù)該幾何體的直觀圖和俯視圖知，其正視圖的長(zhǎng)應(yīng)為底面正方形的對(duì)角線長(zhǎng)，寬應(yīng)為正方體的棱長(zhǎng)，故排除B，D，而在三視圖中看不見(jiàn)的棱用虛線表示，故排除A，所以

29、正確答案為C. 【考點(diǎn)3】空間幾何體的表面積與體積 【備考知識(shí)梳理】 1．多面體的面積和體積公式 名稱 側(cè)面積() 全面積() 體 積 () 棱 柱 棱柱 直截面周長(zhǎng)× +2 ·=· 直棱柱 · 棱 錐 棱錐 各側(cè)面積之和 + · 正棱錐 棱 臺(tái) 棱臺(tái) 各側(cè)面面積之和 ++ (++) 正棱臺(tái) 表中表示面積，分別表示上、下底面周長(zhǎng)，h表斜高，h′表示斜高，l表示側(cè)棱長(zhǎng). 2．旋轉(zhuǎn)體的面積和體積公式 名稱 圓柱 圓錐 圓臺(tái) 球 側(cè) 全 (即) 表中、分別表

30、示母線、高，表示圓柱、圓錐與球冠的底半徑，分別表示圓臺(tái) 上、下底面半徑，表示半徑. 【規(guī)律方法技巧】 1. 求體積常見(jiàn)方法 ①直接法（公式法）直接根據(jù)相關(guān)的體積公式計(jì)算；②轉(zhuǎn)移法：利用祖暅原理或等積變化，把所求的幾何體轉(zhuǎn)化為與它等底、等高的幾何體的體積；③分割法求和法：把所求幾何體分割成基本幾何體的體積；④補(bǔ)形法：通過(guò)補(bǔ)形化歸為基本幾何體的體積；⑤四面體體積變換法；⑥利用四面體的體積性質(zhì)：（ⅰ）底面積相同的兩個(gè)三棱錐體積之比等于其底面積的比；（ⅱ）高相同的兩個(gè)三棱錐體積之比等于其底面積的比；（ⅲ）用平行于底面的平面去截三棱錐，截得的小三棱錐與原三棱錐的體積之比等于相似比的立方. 求多面

31、體體積的常用技巧是割補(bǔ)法（割補(bǔ)成易求體積的多面體.補(bǔ)形：三棱錐三棱柱平行六面體；分割：三棱柱中三棱錐、四棱錐、三棱柱的體積關(guān)系是1：2：3和等積變換法(平行換點(diǎn)、換面)和比例(性質(zhì)轉(zhuǎn)換)法等. 2. 求體積常見(jiàn)技巧 當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜，有關(guān)的計(jì)算公式無(wú)法運(yùn)用，或者雖然幾何體并不復(fù)雜，但條件中的已知元素彼此離散時(shí)，我們可采用“割”、“補(bǔ)”的技巧，化復(fù)雜幾何體為簡(jiǎn)單幾何體(柱、錐、臺(tái))，或化離散為集中，給解題提供便利． (1)幾何體的“分割”：幾何體的分割即將已知的幾何體按照結(jié)論的要求，分割成若干個(gè)易求體積的幾何體，進(jìn)而求之． (2)幾何體的“補(bǔ)形”：與分割一樣，有時(shí)為了計(jì)算方便，可將

32、幾何體補(bǔ)成易求體積的幾何體，如長(zhǎng)方體、正方體等．另外補(bǔ)臺(tái)成錐是常見(jiàn)的解決臺(tái)體側(cè)面積與體積的方法，由臺(tái)體的定義，我們?cè)谟行┣闆r下，可以將臺(tái)體補(bǔ)成錐體研究體積． (3)有關(guān)柱、錐、臺(tái)、球的面積和體積的計(jì)算，應(yīng)以公式為基礎(chǔ)，充分利用幾何體中的直角三角形、直角梯形求有關(guān)的幾何元素． 3.組合體的表面積和體積的計(jì)算方法 實(shí)際問(wèn)題中的幾何體往往不是單純的柱、錐、臺(tái)、球，而是由柱、錐、臺(tái)、球或其一部分組成的組合體，解決這類組合體的表面積或體積的基本方法就是“分解”，將組合體分解成若干部分，每部分是柱、錐、臺(tái)、球或其一個(gè)部分，分別計(jì)算其體積，然后根據(jù)組合體的結(jié)構(gòu)，將整個(gè)組合體的表面積或體積轉(zhuǎn)化為這些“部

33、分的表面積或體積”的和或差． [易錯(cuò)提示]　空間幾何體的面積有側(cè)面積和表面積之分，表面積就是全面積，是一個(gè)空間幾何體中“暴露”在外的所有面的面積，在計(jì)算時(shí)要注意區(qū)分是“側(cè)面積還是表面積”．多面體的表面積就是其所有面的面積之和，旋轉(zhuǎn)體的表面積除了球之外，都是其側(cè)面積和底面面積之和．對(duì)于簡(jiǎn)單的組合體的表面積，一定要注意其表面積是如何構(gòu)成的，在計(jì)算時(shí)不要多算也不要少算，組合體的表面積要根據(jù)情況決定其表面積是哪些面積之和． 4.求解幾何體體積的策略及注意問(wèn)題 (1)與三視圖有關(guān)的體積問(wèn)題關(guān)鍵是準(zhǔn)確還原幾何體及弄清幾何體中的數(shù)量關(guān)系． (2)計(jì)算柱、錐、臺(tái)的體積關(guān)鍵是根據(jù)條件找出相應(yīng)的底面積和高

34、． (3)注意求體積的一些特殊方法：分割法、補(bǔ)體法、轉(zhuǎn)化法等，它們是解決一些不規(guī)則幾何體體積計(jì)算常用的方法，應(yīng)熟練掌握． (4)注意組合體的組成形式及各部分幾何體的特征． 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【湖南省長(zhǎng)沙市2017屆高三臨考沖刺】如圖，在三棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為的等邊三角形，點(diǎn)在底面上的投影恰為的中點(diǎn)， 與平面所成的角為，則該三棱柱的體積為（ ） A. 1 B. C. 3 D. 【答案】C 【解析】由題意得 ,所以三棱柱的體積為 ,選C. 2. 【山西省太原市2017屆高三二?！眶敯噫i是中國(guó)傳統(tǒng)的智力玩具，起源于古代漢族建筑中首創(chuàng)的榫卯結(jié)構(gòu)，這

35、種三維的拼插器具內(nèi)部的凹凸部分（即榫卯結(jié)構(gòu)）嚙合，十分巧妙，外觀看是嚴(yán)絲合縫的十字立方體，其上下、左右、 前后完全對(duì)稱．從外表上看，六根等長(zhǎng)的正四棱柱體分成三組，經(jīng)榫卯起來(lái)，如圖3，若正四棱柱體的高為，底面正方形的邊長(zhǎng)為，現(xiàn)將該魯班鎖放進(jìn)一個(gè)球形容器內(nèi)，則該球形容器的表面積的最小值為_(kāi)_________．（容器壁的厚度忽略不計(jì)） 【答案】 【考點(diǎn)4】球與幾何體的組合體 【備考知識(shí)梳理】 1.組合體：由柱、錐、臺(tái)、球等幾何體組成的復(fù)雜的幾何體叫組合體. 【規(guī)律方法技巧】 1. 幾個(gè)與球有關(guān)的切、接常用結(jié)論 (1)正方體的棱長(zhǎng)為，球的半徑為， ①正方體的外接球，則； ②正方

36、體的內(nèi)切球，則； ③球與正方體的各棱相切，則. (2)長(zhǎng)方體的同一頂點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)分別為，外接球的半徑為，則. (3)正四面體的外接球與內(nèi)切球的半徑之比為3∶1. 2.與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑．球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面進(jìn)行解題，球與多面體的組合，通過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心，或“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖. 3.解決與球有關(guān)的切

37、、接問(wèn)題的方法： (1)一般要過(guò)球心及多面體中的特殊點(diǎn)或過(guò)線作截面將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，從而尋找?guī)缀误w各元素之間的關(guān)系． (2)若球面上四點(diǎn)中兩兩垂直或三棱錐的三條側(cè)棱兩兩垂直，可構(gòu)造長(zhǎng)方體或正方體確定直徑解決外接問(wèn)題． 4.求解球與多面體的組合問(wèn)題時(shí)，其關(guān)鍵是確定球心的位置，可以根據(jù)空間幾何體的對(duì)稱性判斷球心的位置，然后通過(guò)作出輔助線或輔助平面確定球的半徑和多面體中各個(gè)幾何元素的關(guān)系，達(dá)到求解解題需要的幾何量的目的． 【考點(diǎn)針對(duì)訓(xùn)練】 1. 【遼寧省錦州市2017屆高三質(zhì)量檢測(cè)（一）】三棱錐的所有頂點(diǎn)都在球的球面上， 是邊長(zhǎng)為3的正三角形， 是球的直徑，且，則此三棱錐的體積__

38、________． 【答案】 【解析】由題意得 ，其中 為中心,因?yàn)?,所以 2. 【遼寧省沈陽(yáng)市2017屆高三八?！恳阎拿骟w的頂點(diǎn)都在同一個(gè)球的球面上， ， ，且， ， . 若該三棱錐的體積為，則該球的表面積為_(kāi)________. 【答案】 【解析】將四面體補(bǔ)成長(zhǎng)方體，則三棱錐的體積為,球的直徑為 , 球的表面積為 【應(yīng)試技巧點(diǎn)撥】 1.解決三視圖問(wèn)題的技巧：空間幾何體的數(shù)量關(guān)系也體現(xiàn)在三視圖中，正視圖和側(cè)視圖的“高平齊”，正視圖和俯視圖的“長(zhǎng)對(duì)正”，側(cè)視圖和俯視圖的“寬相等”．也就是說(shuō)正視圖、側(cè)視圖的高就是空間幾何體的高，正視圖、俯視圖中的長(zhǎng)就是空間幾何體的最大長(zhǎng)度

39、，側(cè)視圖、俯視圖中的寬就是空間幾何體的最大寬度．在繪制三視圖時(shí)，分界線和可見(jiàn)輪廓線都用實(shí)線畫(huà)出，被遮擋的部分的輪廓線用虛線表示出來(lái)，即“眼見(jiàn)為實(shí)、不見(jiàn)為虛”．在三視圖的判斷與識(shí)別中要特別注意其中的“虛線”． 2.要切實(shí)弄清常見(jiàn)幾何體(圓柱、圓錐、圓臺(tái)、棱柱、棱錐、棱臺(tái)、球)的三視圖的特征，熟練掌握三視圖的投影方向及正視圖原理，才能迅速破解三視圖問(wèn)題，由三視圖畫(huà)出其直觀圖． 3.解答三視圖題目時(shí)： (1)可以從熟知的某一視圖出發(fā)，想象出直觀圖，再驗(yàn)證其他視圖是否正確； (2)視圖中標(biāo)注的長(zhǎng)度在直觀圖中代表什么，要分辨清楚； (3)視圖之間的數(shù)量關(guān)系：正俯長(zhǎng)對(duì)正，正側(cè)高平齊，側(cè)俯寬相等．

40、 4．從能力上來(lái)看，三視圖著重考查空間想象能力，即空間形體的觀察分析和抽象的能力，要求是“四會(huì)”：①會(huì)畫(huà)圖——根據(jù)題設(shè)條件畫(huà)出適合題意的圖形或畫(huà)出自己想作的輔助線(面)，作出的圖形要直觀、虛實(shí)分明；②會(huì)識(shí)圖——根據(jù)題目給出的圖形，想象出立體的形狀和有關(guān)線面的位置關(guān)系；③會(huì)析圖——對(duì)圖形進(jìn)行必要的分解、組合；④會(huì)用圖——對(duì)圖形或其某部分進(jìn)行平移、翻折、旋轉(zhuǎn)、展開(kāi)或?qū)嵭懈钛a(bǔ)術(shù)；考查邏輯思維能力、運(yùn)算能力和探索能力. 5. 求體積常見(jiàn)技巧 當(dāng)給出的幾何體比較復(fù)雜，有關(guān)的計(jì)算公式無(wú)法運(yùn)用，或者雖然幾何體并不復(fù)雜，但條件中的已知元素彼此離散時(shí)，我們可采用“割”、“補(bǔ)”的技巧，化復(fù)雜幾何體為簡(jiǎn)單幾何

41、體(柱、錐、臺(tái))，或化離散為集中，給解題提供便利． (1)幾何體的“分割”：幾何體的分割即將已知的幾何體按照結(jié)論的要求，分割成若干個(gè)易求體積的幾何體，進(jìn)而求之． (2)幾何體的“補(bǔ)形”：與分割一樣，有時(shí)為了計(jì)算方便，可將幾何體補(bǔ)成易求體積的幾何體，如長(zhǎng)方體、正方體等．另外補(bǔ)臺(tái)成錐是常見(jiàn)的解決臺(tái)體側(cè)面積與體積的方法，由臺(tái)體的定義，我們?cè)谟行┣闆r下，可以將臺(tái)體補(bǔ)成錐體研究體積． (3)有關(guān)柱、錐、臺(tái)、球的面積和體積的計(jì)算，應(yīng)以公式為基礎(chǔ)，充分利用幾何體中的直角三角形、直角梯形求有關(guān)的幾何元素． 6.求體積常見(jiàn)方法 ①直接法（公式法）；②轉(zhuǎn)移法：利用祖暅原理或等積變化，把所求的幾何體轉(zhuǎn)化

42、為與它等底、等高的幾何體的體積；③分割法求和法：把所求幾何體分割成基本幾何體的體積；④補(bǔ)形法：通過(guò)補(bǔ)形化歸為基本幾何體的體積；⑤四面體體積變換法；⑥利用四面體的體積性質(zhì)：（ⅰ）底面積相同的兩個(gè)三棱錐體積之比等于其底面積的比；（ⅱ）高相同的兩個(gè)三棱錐體積之比等于其底面積的比；（ⅲ）用平行于底面的平面去截三棱錐，截得的小三棱錐與原三棱錐的體積之比等于相似比的立方. 求多面體體積的常用技巧是割補(bǔ)法（割補(bǔ)成易求體積的多面體.補(bǔ)形：三棱錐三棱柱平行六面體；分割：三棱柱中三棱錐、四棱錐、三棱柱的體積關(guān)系是1：2：3和等積變換法(平行換點(diǎn)、換面)和比例(性質(zhì)轉(zhuǎn)換)法等. 7.常見(jiàn)的特殊幾何體的性質(zhì) （

43、1）平行六面體： ①底面是平行四邊形的四棱柱. ②{平行六面體}{直平行六面體}{長(zhǎng)方體}{正四棱柱}{正方體}； ③平行六面體的任何一個(gè)面都可以作為底面； ④平行六面體的對(duì)角線交于一點(diǎn)，并且在交點(diǎn)處互相平分； ⑤平行六面體的四條對(duì)角線的平方和等于各棱的平方和. （2）長(zhǎng)方體： ①長(zhǎng)方體的一條對(duì)角線的平方等于一個(gè)頂點(diǎn)上三條棱長(zhǎng)的平方和； ②若長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三條棱所成的角分別為，則cos2+ cos2+cos2=1； ③若長(zhǎng)方體的體對(duì)角線與過(guò)同一頂點(diǎn)的三側(cè)面所成的角分別為則cos2+cos2+cos2=2. （3）正棱錐：如果一個(gè)棱錐的底面是正多邊形，且頂

44、點(diǎn)在底面的射影是底面的中心，這樣的棱錐叫正棱錐. ①正棱錐的各側(cè)棱相等，各側(cè)面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底邊上的高（叫側(cè)高）也相等； ②正棱錐的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的內(nèi)切圓的半徑）、側(cè)棱、側(cè)棱在底面的射影（底面的外接圓的半徑）、底面的半邊長(zhǎng)可組成四個(gè)直角三角形； ③若正棱錐的側(cè)面與底面所成的角為，則. （4）正四面體：側(cè)棱與底面邊長(zhǎng)相等的正三棱錐叫做正四面體. ①設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，則高為，斜高為，對(duì)棱間的距離為，體積為. ②正四面體與其截面:如圖所示點(diǎn)E為PA的中點(diǎn)，連接EB和EC.點(diǎn)F為BC中點(diǎn)，連接EF.則截面EBC⊥PA, EBC⊥面PAB, EBC⊥

45、面PAC. EF為相對(duì)棱的公垂線，其長(zhǎng)度為相對(duì)棱的距離； ③正四面體可補(bǔ)形為正方體，如圖所示，四面體B-ACD即為正四面體.各個(gè)棱為正方體的面對(duì)角線.正方體的棱長(zhǎng)是正四面體棱長(zhǎng)的.利用這個(gè)補(bǔ)形為解題帶來(lái)很大的方便. 8．與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖，如球內(nèi)切于正方體，切點(diǎn)為正方體各個(gè)面的中心，正方體的棱長(zhǎng)等于球的直徑；球外接于正方體，正方體的頂點(diǎn)均在球面上，正方體的體對(duì)角線長(zhǎng)等于球的直徑．球與旋轉(zhuǎn)體的組合，通常作它們的軸截面進(jìn)行解題，球與多面體的組合，通過(guò)多面體的一條側(cè)棱和球心，或

46、“切點(diǎn)”、“接點(diǎn)”作出截面圖. 9.注意還臺(tái)為錐的解題方法的運(yùn)用，將臺(tái)體還原為錐體可利用錐體的性質(zhì)．注意正棱錐中的四個(gè)直角三角形為：高、斜高及底面邊心距組成一個(gè)直角三角形；高、側(cè)棱與底面外接圓半徑組成一個(gè)直角三角形；底面的邊心距、外接圓半徑及半邊長(zhǎng)組成一個(gè)直角三角形；側(cè)棱、斜高及底邊一半組成一個(gè)直角三角形． 1. 【福建省福州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校2017屆高三適應(yīng)性考試（三）】一個(gè)三棱錐的三視圖如圖所示，則該三棱錐的表面積為（ ） A． B． C． D． 【答案】D 2. 【廣西高級(jí)中學(xué)2017屆高三階段性檢測(cè)】三棱錐的每個(gè)頂點(diǎn)都在表面積為的球的球面上

47、，且平面，△為等邊三角形，，則三棱錐的體積為（ ） A．3 B． C． D． 【答案】C 【解析】因?yàn)榍虻谋砻娣e為，所以球半徑為，設(shè)△的邊長(zhǎng)為，則，由正三角形的性質(zhì)可知△外接圓直徑，根據(jù)球的性質(zhì)可得，解得，三棱錐的體積為：，故選C. 3. 【寧夏石嘴山市2017屆高三三?！孔鏁?zhǔn)悄媳背瘯r(shí)代的偉大科學(xué)家，5世紀(jì)末提出體積計(jì)算原理，即祖暅原理：“冪勢(shì)既同，則積不容異”．意思是：夾在兩個(gè)平行平面之間的兩個(gè)幾何體，被平行于這兩個(gè)平面的任何一個(gè)平面所截，如果截面面積都相等，那么這兩個(gè)幾何體的體積一定相等．現(xiàn)有以下四個(gè)幾何體：圖①是從圓柱中挖出一個(gè)圓錐所得的幾何體；圖②、圖③、圖④分別是

48、圓錐、圓臺(tái)和半球，則滿足祖暅原理的兩個(gè)幾何體為（　　） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ①④ 【答案】C 【解析】設(shè)截面與底面的距離為，則①中截面內(nèi)圓半徑為，則截面圓環(huán)的面積為；②中截面圓的半徑為，則截面圓的面積為；③中截面圓的半徑為，則截面圓的面積為；②中截面圓的半徑為，則截面圓的面積為，所以①④中截面的面積相等，故選D． 4. 【河南省新鄉(xiāng)市2017屆高三三模】《九章算術(shù)》是我國(guó)古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學(xué)名著，書(shū)中有如下問(wèn)題：“今有鄒亮，下廣三丈，茅四仗，無(wú)廣；高一丈，問(wèn)：積幾何？”其意思為：“今有底面為矩形的屋脊?fàn)畹腻涹w，下底面寬仗長(zhǎng)仗；上棱長(zhǎng)仗，高一

49、丈，問(wèn)它的體積是多少？”已知丈為尺，現(xiàn)將該鍥體的三視圖給出右圖所示，齊總網(wǎng)格紙小正方形的邊長(zhǎng)1丈，則該鍥體的體積為（ ） A. 立方尺 B. 立方尺 C. 立方尺 D. 立方尺 【答案】A 【解析】該契體的直觀圖如右圖中的幾何體，取的中點(diǎn)， 的中點(diǎn)為，連接，則該幾何體的體積為四棱錐與三棱柱的體積之和，而三棱柱可以通過(guò)割補(bǔ)法得到一個(gè)高為，底面積平方丈的一個(gè)直棱柱，故該契體的體積立方丈 立方尺.故選A. 5. 【2017重慶二診】已知棱長(zhǎng)為的正方體內(nèi)部有一圓柱，此圓柱恰好以直線為軸，則該圓柱側(cè)面積的最大值為（ ） A. B. C.

50、 D. 【答案】D 【解析】如圖由正方體的對(duì)稱性可知，圓柱的上底面必與過(guò)點(diǎn)的三個(gè)面相切，且切點(diǎn)分別在線段上，設(shè)線段上的切點(diǎn)為， 面，圓柱上底面的圓心為，半徑即為記為，則， ，由知，則圓柱的高為，.應(yīng)選答案D。 6. 【2017四川宜賓二診】三棱錐內(nèi)接于半徑為的球， 過(guò)球心，當(dāng)三棱錐體積取得最大值時(shí)，三棱錐的表面積為 A. B. C. D. 【答案】D 7. 【遼寧省錦州市2017屆高三質(zhì)檢（二）】已知三棱錐， ， ， 兩兩垂直且長(zhǎng)度均為6，長(zhǎng)為2的線段的一個(gè)端點(diǎn)在棱上運(yùn)動(dòng)，另一個(gè)端點(diǎn)在底面內(nèi)運(yùn)動(dòng)（含邊界），則的中點(diǎn)的軌跡與三棱錐的點(diǎn)所在的三

51、個(gè)面所圍成的幾何體的表面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因?yàn)殚L(zhǎng)為2的線段MN的一個(gè)端點(diǎn)M在棱OA上運(yùn)動(dòng),另一個(gè)端點(diǎn)N在△BCO內(nèi)運(yùn)動(dòng)(含邊界)，可知MN的中點(diǎn)P的軌跡為以O(shè)為球心，以1為半徑的球體，則MN的中點(diǎn)P的軌跡與三棱錐的面所圍成的幾何體可能為該球體的.表面積為個(gè)球面和3個(gè)圓面的和：，故選B. 8. 【安徽省巢湖市2017屆高三最后一次模擬】已知球是正三棱錐（底面為正三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）的外接球， ， ，點(diǎn)在線段上，且，過(guò)點(diǎn)作圓的截面，則所得截面圓面積的取值范圍是（ ） A. B.

52、C. D. 【答案】B 【解析】如圖，設(shè) 的中心為 ，球 的半徑為 ，連接，易求得 ，則 .在中，由勾股定理， ，解得 ，由 ，知 ，所以 ，當(dāng)過(guò)點(diǎn) 的截距與 垂直時(shí)，截面圓的面積最小，此時(shí)截面圓的半徑 ，此時(shí)截面圓的面積為 ；當(dāng)過(guò)點(diǎn) 的截面過(guò)球心時(shí)，截面圓的面積最大，此時(shí)截面圓的面積為 ，故選B. 9. 【河南省新鄉(xiāng)市2017屆高三第一次調(diào)研】已知一個(gè)圓錐內(nèi)接于球（圓錐的底面圓周及頂點(diǎn)均在球面上），若球的半徑，圓錐的高是底面半徑的2倍，則圓錐的體積為_(kāi)__________． 【答案】 【解析】設(shè)圓錐底面半徑為，高為.依題意有，解得，所以圓錐的體積為. 10. 【陜

53、西省西安市長(zhǎng)安區(qū)2017屆高三4月模擬】如圖，在四棱錐中，底面是平行四邊形,點(diǎn)為的中點(diǎn)，則面將四棱錐所分成的上下兩部分的體積的比值為 ． 【答案】 【解析】設(shè)棱錐的底面的面積為，高為， ，先求三棱錐的體積， ，同理，由于三棱錐和等高，而，則，所以下半部分的體積為，上半部分的體積為，所以上下兩部分體積之比為. 11. 【2016年安徽安慶高三一模】一個(gè)幾何體的三視圖如圖所示,其體積為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】該幾何體是一個(gè)直三棱柱截去一個(gè)小三棱錐,如圖 所示,則其體積為： .

54、故選A. 12. 【2016年安徽淮北一中高三檢測(cè)】《算數(shù)書(shū)》竹簡(jiǎn)于上世紀(jì)八十年代在湖北省江陵縣張家山出土，這是我國(guó)現(xiàn)存最早的有系統(tǒng)的數(shù)學(xué)典籍，其中記載有求“囷蓋”的術(shù)：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，該術(shù)相當(dāng)于給出了由圓錐的底面周長(zhǎng)與高，計(jì)算其體積的近似公式，它實(shí)際上是將圓錐體積公式中的圓周率近似取為3，那么近似公式，相當(dāng)于將圓錐體積公式中的近似取為（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】，若，則，．故選B． 13. 【2016屆陜西省安康市高三第三次聯(lián)考】若一個(gè)四棱錐底面為正方形, 頂點(diǎn)在底面的射影為正方形的中心, 且該四棱錐的體積

55、為,當(dāng)其外接球的體積最小時(shí), 它的高為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 14. 【2017屆湖南師大附中高三上入學(xué)摸底】若某圓柱體的上部挖掉一個(gè)半球，下部挖掉一個(gè)圓錐后所得的幾何體的三視圖中的正視圖和側(cè)視圖如圖所示，則此幾何體的表面積是 A．24π B．24π＋8π C．24π＋4π D．32π 【答案】C 【解析】幾何體的表面積是圓柱的側(cè)面積與半個(gè)球的表面積、圓錐的側(cè)面積的和．圓柱的側(cè)面積為S1＝2π×2×4＝16π，半球的表面積為

56、S2＝2π×22＝8π，圓錐的側(cè)面積為S3＝×2π×2×2＝4π，所以幾何體的表面積為S＝S1＋S2＋S3＝24π＋4π. 15. 【2016屆吉林省白城一中高三下4月】已知在直角梯形中，，將直角梯形沿折疊成三棱錐，當(dāng)三棱錐的體積取最大值時(shí)，其外接球的體積為_(kāi)_____. 【答案】 【解析】：當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，即點(diǎn)到底面的距離最大時(shí)，此時(shí)平面平面,取中點(diǎn),中點(diǎn),連接,,,所以,而,所以點(diǎn)是其外接球的球心，所以,故填：. 【一年原創(chuàng)真預(yù)測(cè)】 1. 如圖所示，小正方形的邊長(zhǎng)為，粗線畫(huà)出的是某幾何體的三視圖，則該幾何體的體積為( ) A． B．

57、 C． D． 【答案】C 【解析】由三視圖可知該幾何體是一個(gè)三棱錐，如圖，它可以看做由一個(gè)長(zhǎng)方體截得，且長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)為3的正方形，高為2，所以該幾何體的體積為，故選C． 【入選理由】本題考查空間幾何體的三視圖，幾何體的體積等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生的空間想象能力和基本運(yùn)算能力．本題通過(guò)識(shí)圖、想圖、畫(huà)圖的角度考查了空間想象能力.而對(duì)空間圖形的處理能力是空間想象力深化的標(biāo)志，是高考從深層上考查空間想象能力的主要方向，故選此題. 2．如圖，在三棱錐中，，，則三棱錐的外接球的表面積為（ ） A． B． C．

58、 D． 【答案】A 【解析】由余弦定理可得，如圖，取的中點(diǎn)，連結(jié)并延長(zhǎng)，交外接球于，連結(jié)，則，由勾股定理可得，，由勾股定理可得，由直角三角形射影定理可得，，可得，從而可得，故，由正弦定理得，所以外接球的表面積為，故選A． 【入選理由】本題主要考查球的表面積、組合體等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力，及數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想．這類題是高考考查球及其組合體的?？碱}型，有兩類重要組合模型，即球的內(nèi)切與球的外接．而此題是外接問(wèn)題,故選此題. 3. 如圖，在四邊形中，，，.現(xiàn)沿對(duì)角線折起，使得平面平面，且三棱錐的體積為，此時(shí)點(diǎn)，，，在

59、同一個(gè)球面上，則該球的體積是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，，∴的外接圓半徑為.由題意知，平面平面，如圖，取的中點(diǎn)，連結(jié)，則平面，球心在上.因?yàn)槿忮F的體積為，所以，解得，∴球心到平面的距離為（為外接球的半徑），由勾股定理可得，∴，故所求球的體積為．故選A. 【入選理由】本題主要考查棱錐的體積公式，球的體積公式，組合體等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查學(xué)生的空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力．組合體是高考考試的重點(diǎn)與難點(diǎn),也是平常練習(xí)的重點(diǎn)，故選此題. 4. 已知四棱錐的底面四邊形的外接圓半徑為，且此外接圓圓心到點(diǎn)距離為，則此四棱錐體積的最大值為_(kāi)___________． 【答案】 【解析】由題意得四棱錐的高, 底面四邊形面積最大值為，因此四棱錐體積最大值為 【入選理由】本題考查圓內(nèi)接四邊形面積的最值、棱錐體積等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查基本運(yùn)算能力.本題考查比較基礎(chǔ)，難度不大，故選此題. 5. 已知一個(gè)圓錐的底面半徑為，側(cè)面積是底面積的倍，則由它的兩條母線所確定的截面面積的最大值為_(kāi)____________． 【答案】 【入選理由】本題考查圓錐側(cè)面積、圓錐軸截面、圓錐截面面積的最大值的求法等基礎(chǔ)知識(shí)，意在考查基本運(yùn)算能力．本題考查比較基礎(chǔ)，難度不大，故選此題. - 39 -