《高考人教版數(shù)學(xué)理總復(fù)習(xí)練習(xí):第六章 不等式、推理與證明 課時(shí)作業(yè)37 Word版含解析》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考人教版數(shù)學(xué)理總復(fù)習(xí)練習(xí):第六章 不等式、推理與證明 課時(shí)作業(yè)37 Word版含解析(10頁珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、
課時(shí)作業(yè)37 基本不等式
1.“a>b>0”是“ab<”的( A )
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
解析:由a>b>0得,a2+b2>2ab;但由a2+b2>2ab不能得到a>b>0,故“a>b>0”是“ab<”的充分不必要條件,故選A.
2.若a>0,b>0,且a+b=4,則下列不等式恒成立的是( D )
A.≤ B.+≤1
C.≥2 D.a(chǎn)2+b2≥8
解析:4=a+b≥2(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí),等號(hào)成立),即≤2,ab≤4,≥,選項(xiàng)A,C不成立;+==≥1,選項(xiàng)B不成立;a2+b2=(a+b)2-2ab=1
2、6-2ab≥8,選項(xiàng)D成立.
3.(2019·安慶一模)已知a>0,b>0,a+b=+,則+的最小值為( B )
A.4 B.2
C.8 D.16
解析:由a>0,b>0,a+b=+=,得ab=1,則+≥2 =2.當(dāng)且僅當(dāng)=,即a=,b=時(shí)等號(hào)成立,故選B.
4.若正數(shù)x,y滿足4x2+9y2+3xy=30,則xy的最大值是( C )
A. B.
C.2 D.
解析:由x>0,y>0,得4x2+9y2+3xy≥2·(2x)·(3y)+3xy(當(dāng)且僅當(dāng)2x=3y時(shí)等號(hào)成立),∴12xy+3xy≤30,即xy≤2,∴xy的最大值為2.
5.設(shè)x>0,y>0,且x+4y
3、=40,則lgx+lgy的最大值是( D )
A.40 B.10
C.4 D.2
解析:因?yàn)閤+4y=40,且x>0,y>0,
所以x+4y≥2=4.(當(dāng)且僅當(dāng)x=4y時(shí)取“=”)
所以4≤40,所以xy≤100.
所以lgx+lgy=lgxy≤lg100=2.
所以lgx+lgy的最大值為2.
6.(2019·海淀模擬)當(dāng)0<m<時(shí),若+≥k2-2k恒成立,則實(shí)數(shù)k的取值范圍為( D )
A.[-2,0)∪(0,4] B.[-4,0)∪(0,2]
C.[-4,2] D.[-2,4]
解析:因?yàn)?<m<,所以×2m×(1-2m)≤×2=,當(dāng)且僅當(dāng)2m=1-
4、2m,即m=時(shí)取等號(hào),所以+=≥8,又+≥k2-2k恒成立,所以k2-2k-8≤0,所以-2≤k≤4.所以實(shí)數(shù)k的取值范圍是[-2,4],故選D.
7.已知a>b>0,那么a2+的最小值為 4 .
解析:∵a>b>0,∴a-b>0,
∴b(a-b)≤2=,
∴a2+≥a2+≥2=4,
當(dāng)且僅當(dāng)b=a-b且a2=,
即a=且b=時(shí)取等號(hào),
∴a2+的最小值為4.
8.(2019·河南中原名校聯(lián)考)已知直線ax-2by=2(a>0,b>0)過圓x2+y2-4x+2y+1=0的圓心,則+的最小值為 .
解析:圓x2+y2-4x+2y+1=0的圓心坐標(biāo)為(2,-1).
由于直線a
5、x-2by=2(a>0,b>0)過圓x2+y2-4x+2y+1=0的圓心,故有a+b=1.
∴+=(a+2+b+1)
=
≥+×2 =,
當(dāng)且僅當(dāng)a=2b=時(shí),取等號(hào),
故+的最小值為.
9.某游泳館擬建一座平面圖形為矩形且面積為200平方米的泳池,池的深度為1米,池的四周墻壁建造單價(jià)為每米400元,中間一條隔壁建造單價(jià)為每米100元,池底建造單價(jià)每平方米60元(池壁厚忽略不計(jì)).則泳池的長(zhǎng)設(shè)計(jì)為 15 米時(shí),可使總造價(jià)最低.
解析:設(shè)泳池的長(zhǎng)為x米,則寬為米,總造價(jià)f(x)=400×+100×+60×200=800×+12 000≥1 600+12 000=36 000(元),
6、當(dāng)且僅當(dāng)x=(x>0),即x=15時(shí)等號(hào)成立,即泳池的長(zhǎng)設(shè)計(jì)為15米時(shí),可使總造價(jià)最低.
10.(2019·湖南長(zhǎng)郡中學(xué)月考)設(shè)正項(xiàng)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,若S2 017=4 034,則+的最小值為 4 .
解析:由等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式,
得S2 017==4 034,
則a1+a2 017=4.
由等差數(shù)列的性質(zhì)得a9+a2 009=4,
所以+=
=
=
≥=4,
當(dāng)且僅當(dāng)a2 009=3a9時(shí)等號(hào)成立,故所求最小值為4.
11.若正數(shù)x,y滿足x+3y=5xy,則3x+4y的最小值為 5 .
解析:法一 由x+3y=5xy可得+=1,
∴3x+4y=
7、(3x+4y)
=+++
≥+=5(當(dāng)且僅當(dāng)=,即x=1,y=時(shí),等號(hào)成立),
∴3x+4y的最小值是5.
法二 由x+3y=5xy,得x=,
∵x>0,y>0,∴y>,
∴3x+4y=+4y=+4y
=+·+4
≥+2=5,
當(dāng)且僅當(dāng)y=時(shí)等號(hào)成立,
∴(3x+4y)min=5.
12.經(jīng)調(diào)查測(cè)算,某產(chǎn)品的年銷售量(即該廠的年產(chǎn)量)x萬件與年促銷費(fèi)用m萬元(m≥0)滿足x=3-(k為常數(shù)),如果不搞促銷活動(dòng),則該產(chǎn)品的年銷售量只能是1萬件.已知2017年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬元,每生產(chǎn)1萬件該產(chǎn)品需要再投入16萬元,廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品平均成本的1.
8、5倍(產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金).
(1)將2017年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬元表示為年促銷費(fèi)用m萬元的函數(shù);
(2)該廠家2017年的促銷費(fèi)用投入多少萬元時(shí),廠家的利潤(rùn)最大?
解:(1)由題意可知,當(dāng)m=0時(shí),x=1,
∴1=3-k,解得k=2,即x=3-,
每1萬件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為1.5×(萬元),
∴2017年的利潤(rùn)y=x-(8+16x+m)=4+8x-m
=4+8-m
=28--m(m≥0).
∴利潤(rùn)y表示為年促銷費(fèi)用的函數(shù)關(guān)系式是y=28--m(m≥0).
(2)由(1)知y=-+29(m≥0).
∵m≥0時(shí),+(m+1)≥2 =8,
當(dāng)且僅當(dāng)=m+1,
9、即m=3時(shí)取等號(hào).
∴y≤-8+29=21,
即當(dāng)m=3時(shí),y取得最大值21.
∴當(dāng)該廠家2017年的促銷費(fèi)用投入3萬元時(shí),廠家獲得的利潤(rùn)最大,為21萬元.
13.設(shè)正實(shí)數(shù)x,y,z滿足x2-3xy+4y2-z=0,則當(dāng)取得最大值時(shí),+-的最大值是( B )
A.0 B.1
C. D.3
解析:==≤=1,
當(dāng)且僅當(dāng)x=2y時(shí)等號(hào)成立,此時(shí)z=2y2,+-=-+=-2+1≤1,當(dāng)且僅當(dāng)y=1時(shí)等號(hào)成立,故所求的最大值為1.
14.(2019·合肥模擬)已知函數(shù)f(x)=ax3-2x2+cx在R上單調(diào)遞增,且ac≤4,則+的最小值為( B )
A.0 B.
10、C. D.1
解析:因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=ax3-2x2+cx在R上單調(diào)遞增,所以f′(x)=ax2-4x+c≥0在R上恒成立.
所以
所以ac≥4,又ac≤4,所以ac=4,
又a>0,所以c>0,則+=+=+=-+-=+-≥2 -=1-=,當(dāng)且僅當(dāng)a=c=2時(shí)等號(hào)成立,故選B.
15.(2019·洛陽模擬)設(shè)函數(shù)f(x)=-sin2x的最小值為m,且與m對(duì)應(yīng)的x的最小正值為n,則m+n= .
解析:f(x)=+=+-,因?yàn)閏os2x+2>0,所以f(x)≥2×-=0,當(dāng)且僅當(dāng)=,即cos2x=-時(shí)等號(hào)成立,所以x的最小正值為n=,所以m+n=.
16.已知兩條直線l1:y=m(m>0)和l2:y=,l1與函數(shù)y=|log2x|的圖象從左到右相交于點(diǎn)A,B,l2與函數(shù)y=|log2x|的圖象從左到右相交于點(diǎn)C,D,記線段AC和BD在x軸上的投影長(zhǎng)度分別為a,b,當(dāng)m變化時(shí),的最小值為 8 .
解析:根據(jù)題意得xA=2-m,xB=2m,xC=2,xD=2,
所以a=|xA-xC|=|2-m-2|,
b=|xB-xD|=|2m-2|,
即==2·2m=2+m.
因?yàn)閙>0,所以+m=(2m+1)+-≥2 -=,當(dāng)且僅當(dāng)(2m+1)=,即m=時(shí)取等號(hào),所以的最小值為2=8.