高考人教版數(shù)學(xué)文總復(fù)習(xí)練習(xí)：第五章 數(shù)列 課時(shí)作業(yè)31 Word版含解析

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1、 課時(shí)作業(yè)31　等比數(shù)列及其前n項(xiàng)和 1．已知正項(xiàng)等比數(shù)列{an}滿足a3＝1，a5與a4的等差中項(xiàng)為，則a1的值為(　A　) A．4 B．2 C. D. 解析：由題意知2×＝a5＋a4， 即3a4＋2a5＝2. 設(shè){an}的公比為q(q＞0)，則由a3＝1， 得3q＋2q2＝2，解得q＝或q＝－2(舍去)， 所以a1＝＝4. 2．(2019·益陽調(diào)研)已知等比數(shù)列{an}中，a5＝3，a4a7＝45，則的值為(　D　) A．3 B．5 C．9 D．25 解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q，則a4a7＝·a5q2＝9q＝45，所以q＝5，＝＝q2＝25

2、.故選D. 3．(2019·武昌調(diào)研)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若對(duì)任意的正整數(shù)n，Sn＋2＝4Sn＋3恒成立，則a1的值為(　C　) A．－3 B．1 C．－3或1 D．1或3 解析：設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， 當(dāng)q＝1時(shí)，Sn＋2＝(n＋2)a1，Sn＝na1， 由Sn＋2＝4Sn＋3得，(n＋2)a1＝4na1＋3， 即3a1n＝2a1－3，若對(duì)任意的正整數(shù)n,3a1n＝2a1－3恒成立， 則a1＝0且2a1－3＝0，矛盾，所以q≠1， 所以Sn＝，Sn＋2＝， 代入Sn＋2＝4Sn＋3并化簡得a1(4－q2)qn＝3＋3a1－3q，若對(duì)任意的正整

3、數(shù)n該等式恒成立， 則有 解得或 故a1＝1或－3，故選C. 4．(2019·西安八校聯(lián)考)已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列，數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，若a1·a6·a11＝－3，b1＋b6＋b11＝7π，則tan的值是(　A　) A．－ B．－1 C．－ D. 解析：依題意得，a＝(－)3，a6＝－，3b6＝7π，b6＝，＝＝－， 故tan＝tan＝－tan＝－. 5．(2018·北京卷)“十二平均律”是通用的音律體系，明代朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比例，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要貢獻(xiàn)．十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次得到十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音

4、的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于.若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為(　D　) A.f B.f C.f D.f 解析：由題意知，十三個(gè)單音的頻率構(gòu)成首項(xiàng)為f，公比為的等比數(shù)列，設(shè)該等比數(shù)列為{an}，則a8＝a1q7，即a8＝f，故選D. 6．在正項(xiàng)數(shù)列{an}中，a1＝2，點(diǎn)(，)(n≥2)在直線x－y＝0上，則數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn等于(　A　) A．2n＋1－2 B．2n＋1 C．2－ D．2－ 解析：因?yàn)辄c(diǎn)(，)(n≥2)在直線x－y＝0上， 所以－·＝0. 又因?yàn)閍n＞0，所以＝2(n≥2)． 又a1＝2，所以數(shù)列{an}是首

5、項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列． 所以所求的Sn＝＝2n＋1－2. 7．(2019·天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)月考)設(shè){an}是由正數(shù)組成的等比數(shù)列，公比q＝2，且a1·a2·a3·…·a30＝230，則a3·a6·a9·…·a30＝(　B　) A．210 B．220 C．216 D．215 解析：因?yàn)閍1a2a3＝a，a4a5a6＝a，a7a8a9＝a，…，a28a29a30＝a，所以a1a2a3a4a5a6a7a8a9…a28a29a30＝(a2a5a8…a29)3＝230.所以a2a5a8…a29＝210.則a3a6a9…a30＝(a2q)(a5q)(a8q)…(a29q)＝(a2a5a8…

6、a29)q10＝210×210＝220，故選B. 8．(2019·山西太原模擬)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，點(diǎn)(n，Sn＋3)(n∈N*)在函數(shù)y＝3×2x的圖象上，等比數(shù)列{bn}滿足bn＋bn＋1＝an(n∈N*)，其前n項(xiàng)和為Tn，則下列結(jié)論正確的是(　D　) A．Sn＝2Tn B．Tn＝2bn＋1 C．Tn＞an D．Tn＜bn＋1 解析：由題意可得Sn＋3＝3×2n，Sn＝3×2n－3， 由等比數(shù)列前n項(xiàng)和的特點(diǎn)可得數(shù)列{an}是首項(xiàng)為3，公比為2的等比數(shù)列，數(shù)列的通項(xiàng)公式an＝3×2n－1， 設(shè)bn＝b1qn－1，則b1qn－1＋b1qn＝3×2n－1，

7、 當(dāng)n＝1時(shí)，b1＋b1q＝3， 當(dāng)n＝2時(shí)，b1q＋b1q2＝6， 解得b1＝1，q＝2， 數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式bn＝2n－1， 由等比數(shù)列求和公式有：Tn＝2n－1，觀察所給的選項(xiàng)： Sn＝3Tn，Tn＝2bn－1，Tn＜an，Tn＜bn＋1. 9．在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中，若a2 018＝，則＋的最小值為4. 解析：設(shè)公比為q(q＞0)，因?yàn)閍2 018＝， 所以a2 017＝＝，a2 019＝a2 018q＝q， 則有＋＝q＋＝q＋≥2 ＝4，當(dāng)且僅當(dāng)q2＝2， 即q＝時(shí)取等號(hào)，故所求最小值為4. 10．(2019·湖北荊州一模)已知等比數(shù)列{an}的

8、公比不為－1，設(shè)Sn為等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，S12＝7S4，則＝3. 解析：由題意可知S4，S8－S4，S12－S8成等比數(shù)列， 則(S8－S4)2＝S4·(S12－S8)， 又S12＝7S4， ∴(S8－S4)2＝S4·(7S4－S8)， 可得S－6S－S8S4＝0，兩邊都除以S， 得2－－6＝0， 解得＝3或－2， 又＝1＋q4(q為{an}的公比)， ∴＞1，∴＝3. 11．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，n∈N*.已知a1＝1，a2＝，a3＝，且當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1. (1)求a4的值； (2)證明：為等比數(shù)列． 解：(1

9、)當(dāng)n＝2時(shí)，4S4＋5S2＝8S3＋S1， 即4×＋5×＝8×＋1， 解得a4＝. (2)證明：因?yàn)?Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)， 所以4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)， 即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)． 又因?yàn)?a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2， 所以4an＋2＋an＝4an＋1， 所以＝＝＝＝， 所以數(shù)列是以a2－a1＝1為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列． 12．(2016·四川卷)已知數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q＞0，n∈N*. (1)若2a2，a

10、3，a2＋2成等差數(shù)列，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)雙曲線x2－＝1的離心率為en，且e2＝，證明：e1＋e2＋…＋en＞. 解：(1)由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1， 兩式相減得到an＋2＝qan＋1，n≥1. 又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1， 故an＋1＝qan對(duì)所有n≥1都成立． 所以，數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為q的等比數(shù)列． 從而an＝qn－1. 由2a2，a3，a2＋2成等差數(shù)列， 可得2a3＝3a2＋2， 即2q2＝3q＋2，則(2q＋1)(q－2)＝0， 由已知，q＞0，故q＝2. 所以an＝2n－1(n∈N*)．

11、 (2)證明：由(1)可知，an＝qn－1. 所以雙曲線x2－＝1的離心率en＝＝. 由e2＝＝，解得q＝. 因?yàn)?＋q2(k－1)＞q2(k－1)， 所以＞qk－1(k∈N*)． 于是e1＋e2＋…＋en＞1＋q＋…＋qn－1＝， 故e1＋e2＋…＋en＞. 13．(2019·山東實(shí)驗(yàn)中學(xué)診斷測試)中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有這樣一個(gè)問題：今有牛、馬、羊食人苗，苗主責(zé)之粟五斗，羊主曰：“我羊食半馬．”馬主曰：“我馬食半牛．”今欲衰償之，問各出幾何？此問題的譯文是：今有牛、馬、羊吃了別人的禾苗，禾苗主人要求賠償5斗粟．羊主人說：“我的羊所吃的禾苗只有馬的一半．”馬主人說

12、：“我的馬所吃的禾苗只有牛的一半．”打算按此比例償還，他們各應(yīng)償還多少？已知牛、馬、羊的主人應(yīng)償還a升，b升，c升，1斗為10升，則下列判斷正確的是(　D　) A．a(chǎn)，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列，且a＝ B．a(chǎn)，b，c依次成公比為2的等比數(shù)列，且c＝ C．a(chǎn)，b，c依次成公比為的等比數(shù)列，且a＝ D．a(chǎn)，b，c依次成公比為的等比數(shù)列，且c＝ 解析：由題意可知b＝a，c＝b， ∴＝，＝. ∴a、b、c成等比數(shù)列且公比為. ∵1斗＝10升，∴5斗＝50升， ∴a＋b＋c＝50， 又易知a＝4c，b＝2c，∴4c＋2c＋c＝50， ∴7c＝50，∴c＝，故選D. 14．(

13、2019·鄭州第一次質(zhì)量預(yù)測)已知數(shù)列{an}滿足a1a2a3…an＝2n2(n∈N*)，且對(duì)任意n∈N*都有＋＋…＋＜t，則實(shí)數(shù)t的取值范圍為(　D　) A. B. C. D. 解析：依題意得，當(dāng)n≥2時(shí)， an＝＝＝2n2－(n－1)2＝22n－1， 又a1＝21＝22×1－1， 因此an＝22n－1，＝，數(shù)列是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列，等比數(shù)列的前n項(xiàng)和等于＝＜，因此實(shí)數(shù)t的取值范圍是. 15．(2019·東北三省三校聯(lián)考)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列{an}和{bn}滿足：an，bn，an＋1成等差數(shù)列，bn，an＋1，bn＋1成等比數(shù)列，且a1＝1，a2＝3，則數(shù)列{a

14、n}的通項(xiàng)公式為an＝. 解析：由題意知2bn＝an＋an＋1，a＝bn·bn＋1， ∴an＋1＝， 當(dāng)n≥2時(shí)，2bn＝＋， ∵bn＞0，∴2＝＋， ∴{}成等差數(shù)列， 由a1＝1，a2＝3，得b1＝2，b2＝， ∴＝，＝， ∴公差d＝， ∴＝，∴bn＝， ∴an＝＝. 16．已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，且－2S2，S3,4S4成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)證明：Sn＋≤(n∈N*)． 解：(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q， 因?yàn)椋?S2，S3,4S4成等差數(shù)列， 所以S3＋2S2＝4S4－S3， 即S4－S3＝S2－S4， 可得2a4＝－a3，于是q＝＝－. 又a1＝，所以等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝×n－1＝(－1)n－1·. (2)證明：由(1)知，Sn＝1－n， Sn＋＝1－n＋ ＝ 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＋隨n的增大而減小， 所以Sn＋≤S1＋＝. 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＋隨n的增大而減小， 所以Sn＋≤S2＋＝. 故對(duì)于n∈N*，有Sn＋≤.