高考人教版數(shù)學(xué)文總復(fù)習(xí)練習(xí)：第八章 解析幾何 課時(shí)作業(yè)51 Word版含解析

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1、 課時(shí)作業(yè)51　直線與圓錐曲線　 　　　　　　　　　　　　　 1．直線y＝x＋3與雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是(　A　) A．1 B．2 C．1或2 D．0 解析：由直線y＝x＋3與雙曲線－＝1的漸近線y＝x平行，故直線與雙曲線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)是1. 2．(2019·山東聊城一模)已知直線l與拋物線C：y2＝4x相交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為(2,1)，則直線l的方程為(　D　) A．y＝x－1 B．y＝－2x＋5 C．y＝－x＋3 D．y＝2x－3 解析：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有①－②得y－y＝4(x1－x2)，由題可

2、知x1≠x2.∴＝＝＝2，即kAB＝2，∴直線l的方程為y－1＝2(x－2)，即2x－y－3＝0.故選D. 3．(2019·湖北武漢調(diào)研)已知直線y＝kx－1與雙曲線x2－y2＝4的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，則k的取值范圍為(　D　) A. B. C. D. 解析：由題意知k＞0，聯(lián)立整理得(1－k2)x2＋2kx－5＝0，因?yàn)橹本€y＝kx－1與雙曲線x2－y2＝4的右支有兩個(gè)交點(diǎn)，則聯(lián)立所得方程有兩個(gè)不同的正實(shí)數(shù)根x1，x2，所以 解得1＜k＜，即k∈，故選D. 4．已知點(diǎn)A(－2,3)在拋物線C：y2＝2px的準(zhǔn)線上，過點(diǎn)A的直線與C在第一象限相切于點(diǎn)B，記C的焦點(diǎn)為F，則直線B

3、F的斜率為(　D　) A. B. C. D. 解析：易知p＝4，直線AB的斜率存在，拋物線方程為y2＝8x，與直線AB的方程y－3＝k(x＋2)聯(lián)立，消去x整理得ky2－8y＋16k＋24＝0，由題意知Δ＝64－4k(16k＋24)＝0，解得k＝－2或k＝.因?yàn)橹本€與拋物線相切于第一象限，故舍去k＝－2，故k＝，可得B(8,8)，又F(2,0)，故kBF＝＝，故選D. 5．(2019·湖北武漢調(diào)研)已知不過原點(diǎn)O的直線交拋物線y2＝2px于A，B兩點(diǎn)，若OA，AB的斜率分別為kOA＝2，kAB＝6，則OB的斜率為(　D　) A．3 B．2 C．－2 D．－3 解析

4、：由題意可知，直線OA的方程為y＝2x，與拋物線方程y2＝2px聯(lián)立得得即A， 則直線AB的方程為y－p＝6， 即y＝6x－2p，與拋物線方程y2＝2px聯(lián)立得得或 所以B， 所以直線OB的斜率為kOB＝＝－3.故選D. 6．已知雙曲線－y2＝1的右焦點(diǎn)是拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)，直線y＝kx＋m與拋物線相交于A，B兩個(gè)不同的點(diǎn)，點(diǎn)M(2,2)是線段AB的中點(diǎn)，則△AOB(O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積是(　D　) A．4 B．3 C. D．2 解析：由已知可得雙曲線的右焦點(diǎn)為(2,0)，因?yàn)樵擖c(diǎn)也為拋物線的焦點(diǎn)，所以p＝4，所以拋物線方程為y2＝8x，又因?yàn)橹本€y＝k

5、x＋m與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，所以將直線方程代入拋物線方程可得(kx＋m)2＝8x?k2x2＋(2km－8)x＋m2＝0， ∴x1＋x2＝，x1x2＝. 又因?yàn)镸(2,2)是線段AB的中點(diǎn)， 所以x1＋x2＝＝4，且2＝2k＋m， 聯(lián)立解得k＝2，m＝－2.|AB|＝|x1－x2|＝ ·＝2.O到AB的距離d＝. ∴S△AOB＝×2×＝2. 7．(2019·泉州質(zhì)檢)已知雙曲線C：－＝1(a＞0，b＞0)，F(xiàn)是雙曲線C的右焦點(diǎn)，過F作雙曲線C在第一、三象限的漸近線的垂線l，若l與雙曲線C的左、右兩支分別交于點(diǎn)D，E，則雙曲線C的離心率e的取值范圍為(　B　) A．(，)

6、B．(，＋∞) C．(，2) D．(1，) 解析：法一：由題意知，直線l：y＝－(x－c)，由 得x2＋x－＝0，由x1x2＝＜0，得b4＞a4，所以b2＝c2－a2＞a2，所以e2＞2，得e＞. 法二：由題意，知直線l的斜率為－，若l與雙曲線左、右兩支分別交于D，E兩點(diǎn)，則－＞－，即a2＜b2，所以a2＜c2－a2，e2＞2，得e＞. 8．(2019·洛陽統(tǒng)考)已知雙曲線E：－＝1，直線l交雙曲線于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則直線l的方程為(　C　) A．4x＋y－1＝0 B．2x＋y＝0 C．2x＋8y＋7＝0 D．x＋4y＋3＝0 解析：依題意，設(shè)點(diǎn)

7、A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則有兩式相減得＝， 即＝×. 又線段AB的中點(diǎn)坐標(biāo)是， 因此x1＋x2＝2×＝1，y1＋y2＝(－1)×2＝－2， ＝－，＝－， 即直線AB的斜率為－， 直線l的方程為y＋1＝－， 即2x＋8y＋7＝0. 9．(2019·河南洛陽一模)已知直線y＝2x＋2與拋物線y＝ax2(a＞0)交于P，Q兩點(diǎn)，過線段PQ的中點(diǎn)作x軸的垂線，交拋物線于點(diǎn)A，若| ＋|＝|－|，則a＝2. 解析：由得ax2－2x－2＝0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 則x1＋x2＝，x1x2＝－， 設(shè)PQ的中點(diǎn)為M， 則xM＝xA＝，yA＝ax＝，

8、由|＋|＝|－|可得A·A＝0， 即AP⊥AQ， 又M是線段PQ的中點(diǎn)，∴2|AM|＝|PQ|，由于MA⊥x軸， ∴|MA|＝＝＋2， 又|PQ|＝|x1－x2|＝·＝·， ∴42＝5，解得a＝2，此時(shí)滿足Δ＞0成立．故a＝2. 10．(2019·鷹潭模擬)設(shè)P為雙曲線－＝1右支上的任意一點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過點(diǎn)P作雙曲線兩漸近線的平行線，分別與兩漸近線交于A，B兩點(diǎn)，則平行四邊形PAOB的面積為15. 解析：設(shè)P(x0，y0)(不妨設(shè)P在第一象限)，A在第一象限，直線PA的方程為y－y0＝－(x－x0)，直線OA方程為y＝x，聯(lián)立解得xA＝，又P到漸近線OA的距離為d＝， 又t

9、an∠xOA＝，所以cos∠xOA＝.所以平行四邊形PAOB的面積為S＝2S△OPA＝|OA|·d＝＝×|6y0＋5x0|×＝15. 11．(2019·云南11?？鐓^(qū)聯(lián)考)已知橢圓E：＋＝1(a＞b＞0)的離心率為，點(diǎn)A，B分別為橢圓E的左、右頂點(diǎn)，點(diǎn)C在E上，且△ABC面積的最大值為2. (1)求橢圓E的方程； (2)設(shè)F為E的左焦點(diǎn)，點(diǎn)D在直線x＝－4上，過F作DF的垂線交橢圓E于M，N兩點(diǎn)．證明：直線OD平分線段MN. 解：(1)由題意得 解得 故橢圓E的方程為＋＝1. (2)證明：設(shè)M(x1，y1)，N(x2，y2)，D(－4，n)， 線段MN的中點(diǎn)P(x0，y0)，

10、 則2x0＝x1＋x2,2y0＝y(tǒng)1＋y2， 由(1)可得F(－1,0)， 則直線DF的斜率為 kDF＝＝－， 當(dāng)n＝0時(shí)，直線MN的斜率不存在， 根據(jù)橢圓的對稱性可知OD平分線段MN. 當(dāng)n≠0時(shí)，直線MN的斜率kMN＝＝. ∵點(diǎn)M，N在橢圓上，∴ 整理得： ＋＝0， 又2x0＝x1＋x2,2y0＝y(tǒng)1＋y2， ∴＝－，直線OP的斜率為kOP＝－， ∵直線OD的斜率為kOD＝－， ∴直線OD平分線段MN. 12．(2017·天津卷)設(shè)橢圓＋＝1(a＞b＞0)的左焦點(diǎn)為F，右頂點(diǎn)為A，離心率為.已知A是拋物線y2＝2px(p＞0)的焦點(diǎn)，F(xiàn)到拋物線的準(zhǔn)線l的距離為.

11、 (1)求橢圓的方程和拋物線的方程； (2)設(shè)l上兩點(diǎn)P，Q關(guān)于x軸對稱，直線AP與橢圓相交于點(diǎn)B(B異于點(diǎn)A)，直線BQ與x軸相交于點(diǎn)D.若△APD的面積為，求直線AP的方程． 解：(1)設(shè)F的坐標(biāo)為(－c,0)．依題意，＝，＝a，a－c＝，解得a＝1，c＝，p＝2，于是b2＝a2－c2＝. 所以，橢圓的方程為x2＋＝1，拋物線的方程為y2＝4x. (2)設(shè)直線AP的方程為x＝my＋1(m≠0)，與直線l的方程x＝－1聯(lián)立，可得點(diǎn)P，故Q. 將x＝my＋1與x2＋＝1聯(lián)立，消去x，整理得(3m2＋4)y2＋6my＝0，解得y＝0或y＝.由點(diǎn)B異于點(diǎn)A，可得點(diǎn)B.由Q，可得直線BQ

12、的方程為(x＋1)－＝0，令y＝0，解得x＝，故D.所以|AD|＝1－＝.又因?yàn)椤鰽PD的面積為，故××＝，整理得3m2－2|m|＋2＝0，解得|m|＝，所以m＝±. 所以，直線AP的方程為3x＋y－3＝0或3x－y－3＝0. 13．(2019·河南鄭州一模)設(shè)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)M(，0)的直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，與拋物線的準(zhǔn)線相交于C點(diǎn)，|BF|＝3，則△BCF與△ACF的面積之比＝(　D　) A. B. C. D. 解析：不妨設(shè)點(diǎn)A在第一象限，B在第四象限，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線AB的方程為x＝my＋. 由y2＝4x得p＝2，

13、 因?yàn)閨BF|＝3＝x2＋＝x2＋1， 所以x2＝2，則y＝4x2＝4×2＝8， 所以y2＝－2， 由得y2－4my－4＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系，得y1y2＝－4，所以y1＝，由y＝4x1，得x1＝. 過點(diǎn)A作AA′垂直于準(zhǔn)線x＝－1，垂足為A′，過點(diǎn)B作BB′垂直于準(zhǔn)線x＝－1，垂足為B′，易知△CBB′∽△CAA′， 所以＝＝. 又|BB′|＝|BF|＝3，|AA′|＝x1＋＝＋1＝，所以＝＝.故選D. 14．已知雙曲線－＝1(a＞0，b＞0)上的一點(diǎn)到雙曲線的左、右焦點(diǎn)的距離之差為4，若拋物線y＝ax2上的兩點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)關(guān)于直線y＝x＋m對稱，且x1

14、x2＝－，則m的值為(　A　) A. B. C．2 D．3 解析：由雙曲線的定義知2a＝4， 得a＝2， 所以拋物線的方程為y＝2x2. 因?yàn)辄c(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)在拋物線y＝2x2上， 所以y1＝2x，y2＝2x， 兩式相減得y1－y2＝2(x1－x2)(x1＋x2)， 不妨設(shè)x1＜x2， 又A，B關(guān)于直線y＝x＋m對稱， 所以＝－1， 故x1＋x2＝－， 而 x1x2＝－， 解得x1＝－1，x2＝， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)的中點(diǎn)為M(x0，y0)， 則x0＝＝－，y0＝＝＝， 因?yàn)橹悬c(diǎn)M在直線y＝x＋m上， 所以＝－＋

15、m，解得m＝. 15．設(shè)拋物線C：y2＝2px(p＞0)，A為拋物線上一點(diǎn)(A不同于原點(diǎn)O)，過焦點(diǎn)F作直線平行于OA，交拋物線于P，Q兩點(diǎn)．若過焦點(diǎn)F且垂直于x軸的直線交直線OA于B，則|FP|·|FQ|－|OA|·|OB|＝0. 解析：設(shè)OA所在的直線的斜率為k，則由得到A， 易知B， P，Q的坐標(biāo)由方程組得到，消去x，得－y－＝0，設(shè)P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由根與系數(shù)的關(guān)系得，y1y2＝－p2，根據(jù)弦長公式， |FP|·|FQ|＝·|y1|··|y2|＝|y1y2|＝p2，而|OA|·|OB|＝·＝p2， 所以|FP|·|FQ|－|OA|·|OB|＝0. 16．

16、(2019·湖北調(diào)研)已知橢圓Γ：＋＝1，過點(diǎn)P(1,1)作傾斜角互補(bǔ)的兩條不同直線l1，l2，設(shè)l1與橢圓Γ交于A、B兩點(diǎn)，l2與橢圓Γ交于C，D兩點(diǎn)． (1)若P(1,1)為線段AB的中點(diǎn)，求直線AB的方程； (2)若直線l1與l2的斜率都存在，記λ＝，求λ的取值范圍． 解：(1)解法一(點(diǎn)差法)： 由題意可知直線AB的斜率存在． 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則 兩式作差得＝－·＝－·＝－， ∴直線AB的方程為y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0. 解法二：由題意可知直線AB的斜率存在． 設(shè)直線AB的斜率為k， 則其方程為y－1＝k(x－1)，代入x2＋2

17、y2＝4中，得x2＋2[kx－(k－1)]2－4＝0. ∴(1＋2k2)x2－4k(k－1)x＋2(k－1)2－4＝0. Δ＝[－4(k－1)k]2－4(2k2＋1)[2(k－1)2－4] ＝8(3k2＋2k＋1)＞0. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則 ∵AB中點(diǎn)為(1,1)， ∴(x1＋x2)＝＝1， 則k＝－. ∴直線AB的方程為y－1＝－(x－1)，即x＋2y－3＝0. (2)由(1)可知|AB|＝ |x1－x2|＝· ＝. 設(shè)直線CD的方程為y－1＝－k(x－1)(k≠0)． 同理可得|CD|＝ . ∴λ＝＝ (k≠0)，λ＞0. ∴λ2＝1＋＝1＋. 令t＝3k＋， 則t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)， 令g(t)＝1＋，t∈(－∞，－2]∪[2，＋∞)， ∵g(t)在(－∞，－2]，[2，＋∞)上單調(diào)遞減， ∴2－≤g(t)＜1或1＜g(t)≤2＋. 故2－≤λ2＜1或1＜λ2≤2＋. ∴λ∈∪.