高考數(shù)學(xué)大二輪刷題首選卷理數(shù)文檔：第三部分 高考仿真模擬卷一 Word版含解析

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1、 第三部分·刷模擬 2020高考仿真模擬卷(一) 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．集合A＝{3,2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝{2}，則A∪B＝(　　) A．{1,2,3} B．{0,1,3} C．{0,1,2,3} D．{1,2,3,4} 答案　A 解析　因?yàn)锳∩B＝{2}，所以2∈A，所以2a＝2，解得a＝1，所以A＝{3,2}，B＝{1,2}, 所以A∪B＝{1,2,3}． 2．(2019·湖北八校聯(lián)考)已知復(fù)數(shù)z＝2－3i，若是復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)，則z·(＋1)＝(　　) A．15

2、－3i B．15＋3i C．－15＋3i D．－15－3i 答案　A 解析　依題意，z·(＋1)＝(2－3i)(3＋3i)＝6＋6i－9i＋9＝15－3i. 3．(2019·河南鄭州三模)下列命題中，正確的是(　　) A．?x0∈R，sinx0＋cosx0＝ B．復(fù)數(shù)z1，z2，z3∈C，若(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝0，則z1＝z3 C．“a>0，b>0”是“＋≥2”的充要條件 D．命題“?x∈R，x2－x－2≥0”的否定是“?x∈R，x2－x－2<0” 答案　D 解析　對于A，由于sinx0＋cosx0＝sin≤，故sinx0＋cosx0的最大值為，故A不正確．

3、 對于B，當(dāng)z1＝1，z2＝1－i，z3＝－i時，(z1－z2)2＋(z2－z3)2＝[1－(1－i)]2＋[1－i－(－i)]2＝i2＋1＝0，而z1≠z3，故B不正確． 對于C，當(dāng)a>0，b>0時，＋≥2＝2成立； 反之，當(dāng)＋≥2時，可得a>0，b>0或a<0，b<0， 所以“a>0，b>0”是“＋≥2”的充分不必要條件，故C不正確． 對于D，由題意得，命題“?x∈R，x2－x－2≥0”的否定是“?x∈R，x2－x－2<0”，故D正確． 4．(2019·江西南昌師大附中三模)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，2＋a5＝a6＋a3，則S7＝(　　) A．2 B.7

4、 C.14 D．28 答案　C 解析　∵2＋a5＝a6＋a3，∴2＋a4＋d＝a4＋2d＋a4－d，解得a4＝2，∴S7＝＝7a4＝14，故選C. 5．(2019·河北衡水十三中質(zhì)檢四)平面內(nèi)的一條直線將平面分成2部分，兩條相交直線將平面分成4部分，三條兩兩相交且不共點(diǎn)的直線將平面分成7部分，…，則平面內(nèi)六條兩兩相交且任意三條不共點(diǎn)的直線將平面分成的部分?jǐn)?shù)為(　　) A．16 B．20 C．21 D．22 答案　D 解析　由題意得由k條直線增加到k＋1條直線時增加k＋1個平面，所以平面內(nèi)六條兩兩相交且任意三條不共點(diǎn)的直線將平面分成的部分?jǐn)?shù)為6＋5＋4＋3＋2＋2＝22，故選D.

5、 6．(2019·太原摸底考試)為考察某種藥物預(yù)防疾病的效果，進(jìn)行動物試驗(yàn)，得到如下列聯(lián)表： 患病 未患病 總計(jì) 服用藥 10 45 55 沒服用藥 20 30 50 總計(jì) 30 75 105 由上述數(shù)據(jù)給出下列結(jié)論，其中正確結(jié)論的個數(shù)是(　　) 附：K2＝； P(K2≥k0) 0.05 0.025 0.010 0.005 k0 3.841 5.024 6.635 7.879 ①能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為藥物有效；②不能在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為藥物有效；③能在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下認(rèn)為藥

6、物有效；④不能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為藥物有效． A．1 B．2 C．3 D．4 答案　B 解析　由表格數(shù)據(jù)可得K2＝≈6.1.又6.1>3.841，所以由參考數(shù)據(jù)知能在犯錯誤的概率不超過0.05的前提下認(rèn)為藥物有效，故①正確；又6.1>5.024，所以由參考數(shù)據(jù)知能在犯錯誤的概率不超過0.025的前提下認(rèn)為藥物有效，故②錯誤；又6.1<6.635，所以由參考數(shù)據(jù)知不能在犯錯誤的概率不超過0.010的前提下認(rèn)為藥物有效，故③錯誤；又6.1<7.879，所以由參考數(shù)據(jù)知不能在犯錯誤的概率不超過0.005的前提下認(rèn)為藥物有效，故④正確．綜上所述，正確結(jié)論的個數(shù)為2，故選B

7、. 7．(2019·海南?？谡{(diào)研測試卷)5的展開式中系數(shù)為有理數(shù)的各項(xiàng)系數(shù)之和為(　　) A．1 B．20 C．21 D．31 答案　C 解析　因?yàn)?展開式的通項(xiàng)為 Tk＋1＝C5－kxk＝C2xk，所以要使系數(shù)為有理數(shù)，只需為整數(shù)，又因?yàn)?≤k≤5且k∈Z，所以k＝2,5，所以系數(shù)為有理數(shù)的項(xiàng)為C3x2，x5，故所求系數(shù)之和為20＋1＝21，故選C. 8．已知雙曲線C1：－＝1的一條漸近線與雙曲線C2的一條漸近線垂直，則雙曲線C2的離心率為(　　) A． B． C．或 D．或 答案　C 解析　雙曲線C1的漸近線方程為y＝±x，當(dāng)雙曲線C2的焦點(diǎn)在x軸上時，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為

8、－＝1，由題意得＝，離心率e＝＝ ＝，當(dāng)雙曲線C2的焦點(diǎn)在y軸上時，設(shè)其標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1，由題意得＝，離心率e＝ ＝ ＝.所以雙曲線C2的離心率為或. 9．運(yùn)行如圖所示的程序框圖，若輸出的S值為－10，則判斷框內(nèi)的條件應(yīng)該是(　　) A．k<3? B．k<4? C．k<5? D．k<6? 答案　C 解析　按照程序框圖依次執(zhí)行為k＝1，S＝1，條件是； S＝2×1－1＝1，k＝2，條件是； S＝2×1－2＝0，k＝3，條件是； S＝2×0－3＝－3，k＝4，條件是； S＝2×(－3)－4＝－10，k＝5，條件否，退出循環(huán)，輸出S＝－10. 所以判斷框內(nèi)的條件應(yīng)該是k<5？

9、. 10．(2019·福建三明質(zhì)檢)斐波那契螺旋線，也稱“黃金螺旋線”，是根據(jù)斐波那契數(shù)列1,1,2,3,5，…畫出來的螺旋曲線．如圖，白色小圓內(nèi)切于邊長為1的正方形，黑色曲線就是斐波那契螺旋線，它是依次在以1,2,3,5為邊長的正方形中畫一個圓心角為90°的扇形，將其圓弧連接起來得到的，若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是(　　) A． B． C． D． 答案　D 解析　由圖可知，陰影部分的面積為 S＝＋×π×12＋×π×22＋×π×32＋×π×52＝＋＋π＋＋＝1＋，矩形ABCD的面積為S1＝5×8＝40，故此點(diǎn)取自陰影部分的概率為＝，故選D. 11．

10、如圖，半徑為1的半圓O與等邊三角形ABC夾在兩平行線l1，l2之間，l∥l1，l與半圓相交于F，G兩點(diǎn)，與三角形ABC兩邊相交于E，D兩點(diǎn)，設(shè)的長為x(0

11、－2×1＝2－2，如圖． 又當(dāng)x＝時，圖中y0＝＋×＝>2－2. 故當(dāng)x＝時，對應(yīng)的點(diǎn)(x，y)在圖中線段PQ的下方，故D正確． 12．(2019·天津塘沽一中、育華中學(xué)三模)已知函數(shù)f(x)＝若不等式f(x)≥|2x－a|對任意x∈(0，＋∞)恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為(　　) A． B．[3,3＋ln 5] C．[3,4＋ln 2] D． 答案　C 解析　由題意得，設(shè)g(x)＝|2x－a|， 可得g(x)＝ (1)當(dāng)x≥，由不等式f(x)≥|2x－a|對任意x∈(0，＋∞)恒成立，計(jì)算臨界值，由f(x)與g(x)相切． ①當(dāng)f(x)＝x2－4x＋6，x>1，g(x)＝

12、2x－a，x≥時，可得f′(x)＝2x－4，此時切線斜率為2，即2x－4＝2，解得x＝3，即切點(diǎn)坐標(biāo)為(3,3)，切線方程為y＝2x－3，即a＝3，綜合函數(shù)圖象可得a≥3. ②當(dāng)f(x)＝3－ln x，x≤1，g(x)＝2x－a，x≥，可得f′(x)＝－，此時切線斜率為2，即－＝2，即x＝－，又因?yàn)椋?0，所以不符合題意，舍去． (2)同理，當(dāng)x<，由f(x)與g(x)相切，①當(dāng)f(x)＝x2－4x＋6，x>1，g(x)＝－2x＋a，x<時，可得f′(x)＝2x－4，此時切線斜率為－2，則2x－4＝－2，所以x＝1，與x>1不符，故無臨界值． ②當(dāng)f(x)＝3－ln x，x≤1，g(x)

13、＝－2x＋a，x<，由f(x)與g(x)相切，得f′(x)＝－，此時切線斜率為－2，即－＝－2，則x＝，切點(diǎn)坐標(biāo)為，切線方程為y－(3＋ln 2)＝－2，即y＝－2x＋4＋ln 2，即a＝4＋ln 2，綜合函數(shù)圖象得a≤4＋ln 2.綜上所述可得3≤a≤4＋ln 2，故選C. 二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分． 13．(2018·全國卷Ⅱ)若x，y滿足約束條件則z＝x＋y的最大值為________． 答案　9 解析　不等式組表示的可行域是以A(5,4)，B(1,2)，C(5，0)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域，如圖所示，由圖可知目標(biāo)函數(shù)z＝x＋y的最大值在頂點(diǎn)A處取得，即當(dāng)x＝5，y

14、＝4時，zmax＝9. 14．黎曼函數(shù)是一個特殊的函數(shù)，由德國數(shù)學(xué)家黎曼發(fā)現(xiàn)提出，在高等數(shù)學(xué)中有著廣泛的應(yīng)用，其定義為：R(x)＝若f(x)是定義在R上且最小正周期為1的函數(shù)，當(dāng)x∈[0,1]時，f(x)＝R(x)，則f＋f(lg 20)＝________. 答案　 解析　由函數(shù)的最小正周期為1可得， f＋f(lg 20)＝f＋f(lg 2＋1)＝f＋f(lg 2)＝＋0＝. 15．拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，直線y＝2與y軸的交點(diǎn)為M，與拋物線的交點(diǎn)為N，且4|NF|＝5|MN|，則p的值為________． 答案　1 解析　將y＝2代入拋物線方程，可以求得

15、x＝， 利用題中條件，結(jié)合拋物線定義， 可以求得4＝5×，解得p＝1. 16．如圖，正方形ABCD的邊長為2，頂點(diǎn)A，B分別在y軸的非負(fù)半軸、x軸的非負(fù)半軸上移動，E為CD的中點(diǎn)，則·的最大值是________． 答案　5＋ 解析　根據(jù)題意，設(shè)∠OBA＝α，則A(0,2sinα)，B(2cosα，0)，根據(jù)正方形的特點(diǎn)，可以確定出C(2cosα＋2sinα，2cosα)，D(2sinα，2sinα＋2cosα)，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式，可以求得E(cosα＋2sinα，sinα＋2cosα)， 所以有·＝2sinα(cosα＋2sinα)＋(2sinα＋2cosα)·(sinα＋2c

16、osα) ＝4＋8sinαcosα＋2sin2α＝5＋4sin2α－cos2α ＝5＋sin(2α－φ)， 其中sinφ＝，cosφ＝，當(dāng)2α－φ＝時，存在符合題意的角α，使sin(2α－φ)取得最大值1. 所以其最大值為5＋. 三、解答題：共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17～21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答． (一)必考題：共60分． 17．(本小題滿分12分)已知三角形ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若是和的等差中項(xiàng)． (1)求角B的大??； (2)若a＝2，b＝，求BC邊上高的值． 解

17、　(1)∵是和的等差中項(xiàng)， ∴2＝＋， ∴2bcosB＝acosC＋ccosA，4分 由正弦定理得2sinBcosB＝sinAcosC＋sinCcosA， ∴2sinBcosB＝sin(A＋C)＝sinB.∵sinB≠0， ∴cosB＝，∴角B為.8分 (2)由余弦定理，b2＝c2＋a2－2accosB，解得c＝3. 設(shè)BC邊上的高為h，則h＝csinB＝3×＝.12分 18. (2019·四川攀枝花第二次統(tǒng)考)(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐P－ABCD中，PA⊥底面ABCD，∠BAD為直角，AB∥CD，AD＝CD＝2AB，E，F(xiàn)分別為PC，CD的中點(diǎn)． (1)證明：

18、平面APD∥平面BEF； (2)設(shè)PA＝kAB(k>0)，且二面角E－BD－C的平面角大于60°，求k的取值范圍． 解　(1)證明：∵AB∥CD，且∠BAD為直角，CD＝2AB，F(xiàn)為CD的中點(diǎn)，∴FD＝AB，故四邊形ABFD是矩形，∴AD∥BF，∴BF∥平面APD， 又∵E，F(xiàn)分別為PC，CD的中點(diǎn)． ∴EF∥PD，∴EF∥平面APD，3分 又∵ ∴平面APD∥平面BEF.5分 (2)以A為原點(diǎn)，以AB，AD，AP所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系， 設(shè)AB＝1，則B(1,0,0)，D(0,2,0)，P(0,0，k)，C(2,2,0)，故E，從而＝(－1,2,0)，＝

19、，設(shè)平面BCD的法向量為m1＝(0,0,1)，平面BDE的法向量為m2＝(x，y，z)， 則 ∴取y＝1，可得m2＝，8分 設(shè)二面角E－BD－C的大小為θ，因?yàn)閗>0，則cosθ＝|cos〈m1，m2〉|＝<，化簡得k2>，則k>.12分 19．(2019·貴州貴陽5月適應(yīng)性考試二)(本小題滿分12分)過點(diǎn)M(2,0)的直線l與拋物線C：y2＝2px(p>0)交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，OA⊥OB. (1)求p的值； (2)若l與坐標(biāo)軸不平行，且A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為D，求證：直線BD恒過定點(diǎn)． 解　(1)當(dāng)直線l⊥x軸時，可得A(2,2)，B(2，－2)， 由OA⊥OB得4

20、－4p＝0，∴p＝1， 當(dāng)直線l與x軸不垂直時，設(shè)l的方程為y＝k(x－2)代入y2＝2px得ky2－2py－4pk＝0(k≠0)， 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則y1y2＝－4p，x1x2＝＝4，由OA⊥OB得x1x2＋y1y2＝0，即4－4p＝0，所以p＝1，綜上所述p＝1.5分 (2)證明：由(1)知，拋物線方程為y2＝2x，由于A，D關(guān)于x軸對稱，故D的坐標(biāo)為(x1，－y1)，所以直線BD的方程為y＋y1＝(x－x1)＝，即2x＋(y1－y2)y－y1y2＝0，又y1y2＝－4p＝－4，所以2x＋(y1－y2)y＋4＝0，所以直線BD恒過點(diǎn)(－2,0).12分 20．

21、(2019·山西呂梁一模)(本小題滿分12分)已知函數(shù)f(x)＝eax－bln x＋b(a>0)，若曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為(2e2－1)x－y＋2－e2＝0. (1)求實(shí)數(shù)a，b的值； (2)證明：f(x)>3＋ln 2. 解　(1)因?yàn)閒(x)＝eax－bln x＋b(x>0)， 所以f′(x)＝aeax－， 又f(1)＝e2＋1，f′(1)＝2e2－1， 所以 ①＋②可得(a＋1)ea＝3e2，2分 構(gòu)造函數(shù)g(x)＝(x＋1)ex－3e2(x>0)，則g′(x)＝(x＋2)ex在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)恒大于0，所以g(x)在區(qū)間(0，＋∞)內(nèi)單調(diào)遞

22、增，又g(2)＝0，所以關(guān)于a的方程(a＋1)ea＝3e2的根為a＝2，把a(bǔ)＝2代入ea＋b＝e2＋1，解得b＝1，所以a＝2，b＝1. 5分 (2)證明：由(1)知f(x)＝e2x－ln x＋1， 則f′(x)＝2e2x－， 因?yàn)閒′(x)＝2e2x－在區(qū)間(0，＋∞)上單調(diào)遞增，f′<0，f′>0，所以f′(x)＝0有唯一實(shí)根，記為x0，即e＝>1，且x0∈，由e＝得ln e＝ln， 整理得－ln x0＝2x0＋ln 2，8分 因?yàn)閤∈(0，x0)時，f′(x)<0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減，x∈(x0，＋∞)時，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，所以f(x)min＝f(x0)

23、＝e－ln x0＋1＝＋2x0＋ln 2＋1≥3＋ln 2，當(dāng)且僅當(dāng)＝2x0，即x0＝時取等號，因?yàn)閤0∈，所以f(x)min>3＋ln 2，即f(x)>3＋ln 2. 12分 21．(2019·福建3月質(zhì)量檢測)(本小題滿分12分)“工資條里顯紅利，個稅新政人民心”．隨著2019年新年鐘聲的敲響，我國自1980年以來，力度最大的一次個人所得稅(簡稱個稅)改革迎來了全面實(shí)施的階段.2019年1月1日實(shí)施的個稅新政主要內(nèi)容包括：(1)個稅起征點(diǎn)為5000元；(2)每月應(yīng)納稅所得額(含稅)＝收入－個稅起征點(diǎn)－專項(xiàng)附加扣除；(3)專項(xiàng)附加扣除包括住房、子女教育和贍養(yǎng)老人等． 新舊個稅政策下每月

24、應(yīng)納稅所得額(含稅)計(jì)算方法及其對應(yīng)的稅率表如下： 舊個稅稅率表 (個稅起征點(diǎn)3500元) 新個稅稅率表 (個稅起征點(diǎn)5000元) 繳稅級數(shù) 每月應(yīng)納稅所得額(含稅)＝收入－個稅起征點(diǎn) 稅率(%) 每月應(yīng)納稅所得額(含稅)＝收入－個稅起征點(diǎn)－專項(xiàng)附加扣除 稅率(%) 1 不超過1500元部分 3 不超過3000元部分 3 2 超過1500元至4500元部分 10 超過3000元至12000元部分 10 3 超過4500元至9000元部分 20 超過12000元至25000元部分 20 4 超過9000元至35000元部分 25 超過2

25、5000元至35000元部分 25 5 超過35000元至55000元部分 30 超過35000元至55000元部分 30 … … … … 隨機(jī)抽取某市1000名同一收入層級的IT從業(yè)者的相關(guān)資料，經(jīng)統(tǒng)計(jì)分析，預(yù)估他們2019年的人均月收入24000元．統(tǒng)計(jì)資料還表明，他們均符合住房專項(xiàng)扣除；同時，他們每人至多只有一個符合子女教育扣除的孩子，并且他們之中既不符合子女教育扣除又不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合子女教育扣除但不符合贍養(yǎng)老人扣除、只符合贍養(yǎng)老人扣除但不符合子女教育扣除、即符合子女教育扣除又符合贍養(yǎng)老人扣除的人數(shù)之比是2∶1∶1∶1；此外，他們均不符合其他專項(xiàng)附加扣

26、除．新個稅政策下該市的專項(xiàng)附加扣除標(biāo)準(zhǔn)為：住房1000元/月，子女教育每孩1000元/月，贍養(yǎng)老人2000元/月等． 假設(shè)該市該收入層級的IT從業(yè)者都獨(dú)自享受專項(xiàng)附加扣除，將預(yù)估的該市該收入層級的IT從業(yè)者的人均月收入視為其個人月收入．根據(jù)樣本估計(jì)總體的思想，解決如下問題： (1)設(shè)該市該收入層級的IT從業(yè)者2019年月繳個稅為X元，求X的分布列和期望； (2)根據(jù)新舊個稅方案，估計(jì)從2019年1月開始，經(jīng)過多少個月，該市該收入層級的IT從業(yè)者各月少繳的個稅之和就超過2019年的月收入？ 解　(1)既不符合子女教育扣除也不符合贍養(yǎng)老人扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額為24000－5000－1

27、000＝18000，月繳個稅X＝3000×0.03＋9000×0.1＋6000×0.2＝2190； 只符合子女教育扣除但不符合贍養(yǎng)老人扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額為24000－5000－1000－1000＝17000，月繳個稅X＝3000×0.03＋9000×0.1＋5000×0.2＝1990； 只符合贍養(yǎng)老人扣除但不符合子女教育扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額為24000－5000－1000－2000＝16000，月繳個稅X＝3000×0.03＋9000×0.1＋4000×0.2＝1790； 既符合子女教育扣除又符合贍養(yǎng)老人扣除的人群每月應(yīng)納稅所得額為 24000－5000－1000－100

28、0－2000＝15000，月繳個稅X＝3000×0.03＋9000×0.1＋3000×0.2＝1590, 4分 所以X的可能值為2190,1990,1790,1590. 依題意，上述四類人群的人數(shù)之比是2∶1∶1∶1， 所以P(X＝2190)＝，P(X＝1990)＝，P(X＝1790)＝，P(X＝1590)＝， 所以X的分布列為 X 2190 1990 1790 1590 P 所以E(X)＝2190×＋1990×＋1790×＋1590×＝1950. 7分 (2)因?yàn)樵谂f政策下該收入層級的IT從業(yè)者2019年每月應(yīng)納稅所得額為24000－3500＝205

29、00，其月繳個稅為1500×0.03＋3000×0.1＋4500×0.2＋11500×0.25＝4120，因?yàn)樵谛抡呦略撌杖雽蛹壍腎T從業(yè)者2019年月繳個稅為1950，所以該收入層級的IT從業(yè)者每月少繳的個稅為4120－1950＝2170, 10分 設(shè)經(jīng)過x個月，該收入層級的IT從業(yè)者少繳的個稅的總和就超過24000，則2170x≥24000，因?yàn)閤∈N，所以x≥12，所以經(jīng)過12個月，該收入層級的IT從業(yè)者少繳的個稅的總和就超過2019年的月收入. 12分 (二)選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計(jì)分． 22．(本小題滿分10分

30、)選修4－4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程 在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C的參數(shù)方程為(α為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，直線l的極坐標(biāo)方程為ρcos＝2. (1)求曲線C的普通方程和直線l的直角坐標(biāo)方程； (2)直線l與y軸的交點(diǎn)為P，經(jīng)過點(diǎn)P的直線與曲線C交于A，B兩點(diǎn)，證明：|PA|·|PB|為定值． 解　(1)由題意，得x2＋y2＝(cosα＋sinα)2＋(sinα－cosα)2＝4, 化簡得曲線C的普通方程為x2＋y2＝4.3分 由ρcos＝2得ρcosθ－ρsinθ＝2，故l的直角坐標(biāo)方程為x－y－4＝0.5分 (2)證明：顯然P的坐標(biāo)為(0，－

31、4)，不妨設(shè)過點(diǎn)P的直線方程為(t為參數(shù))，7分 代入x2＋y2＝4得t2－8tsinβ＋12＝0，所以|PA|·|PB|＝|t1t2|＝12為定值. 10分 23．(本小題滿分10分)選修4－5：不等式選講 已知a>0，b>0，＋＝2. 求證：(1)a＋b≤2； (2)2≤a2＋b2<16. 證明　(1)因?yàn)椋?，且a>0，b>0，所以2≥2>0，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b＝1時，取“＝”，所以0<≤1，3分 所以a＋b＝(＋)＝2≤2. 5分 (2)由a2＋b2＝(a＋b)2－2ab，得a＋b＝(＋)2－2＝4－2， 所以a2＋b2＝16－16＋4ab－2ab＝2ab－16＋16＝2(ab－8＋16)－16＝2(－4)2－16＝2(4－)2－16，8分 因?yàn)?<≤1，所以3≤4－<4，所以9≤(4－)2<16，所以18≤2(4－)2<32，所以2≤a2＋b2<16. 10分