《高考數(shù)學大二輪專題復習沖刺方案理數(shù)經(jīng)典版文檔:中難提分突破特訓六 Word版含解析》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《高考數(shù)學大二輪專題復習沖刺方案理數(shù)經(jīng)典版文檔:中難提分突破特訓六 Word版含解析(5頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、
中難提分突破特訓(六)
1.已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,其面積為S,且(b2+c2-a2)=4S.
(1)求角A的大??;
(2)若a=,當b+2c取得最大值時,求cosB.
解 (1)由已知(b2+c2-a2)=4S=2bcsinA,
由余弦定理得2bccosA=2bcsinA,所以tanA=,
因為A∈(0,π),故A=.
(2)由正弦定理得==,
即b=2sinB,c=2sinC,
因此b+2c=2sinB+4sinC=2=4sinB+2cosB=2sin(B+φ),
其中φ∈,tanφ=,則sinφ==,
故b+2c≤2,當且僅當B+
2、φ=,即B=-φ時取等號,
故此時cosB=sinφ=.
2.如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC,AA1=AB,D為BB1的中點.
(1)若E為AB1上的一點,且DE與直線CD垂直,求的值;
(2)在(1)的條件下,設(shè)異面直線AB1與CD所成的角為45°,求直線DE與平面AB1C1所成角的正弦值.
解 (1)如圖,取AB的中點M,連接CM,MD,有MD∥AB1,
因為AC=BC,所以CM⊥AB,
又因為三棱柱ABC-A1B1C1為直三棱柱,
所以平面ABC⊥平面ABB1A1,
又因為平面ABC∩平面ABB1A1=AB,
所以CM⊥平面ABB1A1,
3、又因為DE?平面ABB1A1,
所以CM⊥DE,
又因為DE⊥CD,CD∩CM=C,CD?平面CMD,CM?平面CMD,
所以DE⊥平面CMD,又因為MD?平面CMD,
所以DE⊥MD,
因為MD∥AB1,所以DE⊥AB1,
連接A1B,設(shè)A1B∩AB1=O,因為ABB1A1為正方形,
所以A1B⊥AB1,
又因為DE?平面AA1B1B,A1B?平面AA1B1B,
所以DE∥A1B,
又因為D為BB1的中點,所以E為OB1的中點,
所以=.
(2)如圖,以M為坐標原點,分別以MA,MO,MC所在直線為x軸、y軸、z軸,建立空間直角坐標系,
設(shè)AB=2a,由題意可知
4、∠CDM=45°,
所以AB1=2a,
所以DM=CM=a,
所以A(a,0,0),B1(-a,2a,0),C1(0,2a,a),D(-a,a,0),E,
所以=(-2a,2a,0),=(a,0,a),
=,
設(shè)平面AB1C1的一個法向量為n=(x,y,z),
則即
得平面AB1C1的一個法向量為n=(,,-1).
所以cos〈,n〉===.
所以直線DE與平面AB1C1所成角的正弦值為.
3.在平面直角坐標系xOy中,橢圓E:+=1(a>0,b>0)經(jīng)過點A,且點F(0,-1)為其一個焦點.
(1)求橢圓E的方程;
(2)設(shè)橢圓E與y軸的兩個交點為A1,A2,不在y
5、軸上的動點P在直線y=b2上運動,直線PA1,PA2與橢圓E的另外兩個交點分別為M,N,證明:直線MN通過一個定點,且△FMN的周長為定值.
解 (1)根據(jù)題意可得解得
∴橢圓E的方程為+=1.
(2)證明:不妨設(shè)A1(0,2),A2(0,-2).
P(x0,4)為直線y=4上一點(x0≠0),M(x1,y1),N(x2,y2).
直線PA1的方程為y=x+2,直線PA2的方程為y=x-2.
點M(x1,y1),A1(0,2)的坐標滿足方程組
可得
點N(x2,y2),A2(0,-2)的坐標滿足方程組可得
即M,N.
直線MN的方程為y-=-,
即y=-x+1.
故直線
6、MN恒過定點B(0,1).
又∵F(0,-1),B(0,1)是橢圓E的焦點,
∴△FMN的周長=|FM|+|MB|+|BN|+|NF|=4b=8.
4.在直角坐標系xOy中,以O(shè)為極點,x軸的非負半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線C:ρsin2θ=2acosθ(a>0),直線l:(t為參數(shù)).
(1)求曲線C的直角坐標方程,直線l的普通方程;
(2)設(shè)直線l與曲線C交于M,N兩點,點P(-2,0),若|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,求實數(shù)a的值.
解 (1)由ρsin2θ=2acosθ(a>0)兩邊同乘以ρ得,
曲線C:y2=2ax,由直線l:(t為參數(shù)),消去t,得直線l
7、:x-y+2=0.
(2)將代入y2=2ax得,t2-2at+8a=0,
由Δ>0得a>4,
設(shè)M,N,
則t1+t2=2a,t1t2=8a,
∵|PM|,|MN|,|PN|成等比數(shù)列,
∴|t1-t2|2=|t1t2|,
∴(2a)2-4×8a=8a,∴a=5.
5.已知函數(shù)f(x)=2|x+a|+|3x-b|.
(1)當a=1,b=0時,求不等式f(x)≥3|x|+1的解集;
(2)若a>0,b>0,且函數(shù)f(x)的最小值為2,求3a+b的值.
解 (1)當a=1,b=0時,由f(x)≥3|x|+1,得2|x+1|≥1,
所以|x+1|≥,解得x≤-或x≥-,
所以所求不等式的解集為∪.
(2)解法一:因為f(x)=2|x+a|+|3x-b|
=
所以函數(shù)f(x)在上為減函數(shù),在上為增函數(shù),所以當x=時,函數(shù)f(x)取得最小值,為f=2=2.
因為a>0,b>0,所以3a+b=3.
解法二:f(x)=2+≥2+,等號在-a≤x≤時成立,
因為當x=時,的最小值為0,
所以f(x)=2+≥2,等號在x=時成立,
所以f(x)的最小值為2,從而2=2.
因為a>0,b>0,所以3a+b=3.