2018中考數(shù)學(xué)試題分類匯編 考點(diǎn)36 相似三角形(含解析)

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1、 2018中考數(shù)學(xué)試題分類匯編:考點(diǎn)36 相似三角形 一.選擇題(共28小題) 1.(2018?重慶)制作一塊3m×2m長方形廣告牌的成本是120元,在每平方米制作成本相同的情況下,若將此廣告牌的四邊都擴(kuò)大為原來的3倍,那么擴(kuò)大后長方形廣告牌的成本是( ?。? A.360元 B.720元 C.1080元 D.2160元 【分析】根據(jù)題意求出長方形廣告牌每平方米的成本,根據(jù)相似多邊形的性質(zhì)求出擴(kuò)大后長方形廣告牌的面積,計算即可. 【解答】解:3m×2m=6m2, ∴長方形廣告牌的成本是120÷6=20元/m2, 將此廣告牌的四邊都擴(kuò)大為原來的3倍, 則面積擴(kuò)大為原來的9倍, ∴

2、擴(kuò)大后長方形廣告牌的面積=9×6=54m2, ∴擴(kuò)大后長方形廣告牌的成本是54×20=1080m2, 故選:C.   2.(2018?玉林)兩三角形的相似比是2:3,則其面積之比是( ?。? A.: B.2:3 C.4:9 D.8:27 【分析】根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方計算即可. 【解答】解:∵兩三角形的相似比是2:3, ∴其面積之比是4:9, 故選:C.   3.(2018?重慶)要制作兩個形狀相同的三角形框架,其中一個三角形的三邊長分別為5cm,6cm和9cm,另一個三角形的最短邊長為2.5cm,則它的最長邊為( ?。? A.3cm B.4cm C.4.5

3、cm D.5cm 【分析】根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例求解可得. 【解答】解:設(shè)另一個三角形的最長邊長為xcm, 根據(jù)題意,得: =, 解得:x=4.5, 即另一個三角形的最長邊長為4.5cm, 故選:C.   4.(2018?內(nèi)江)已知△ABC與△A1B1C1相似,且相似比為1:3,則△ABC與△A1B1C1的面積比為( ?。? A.1:1 B.1:3 C.1:6 D.1:9 【分析】利用相似三角形面積之比等于相似比的平方,求出即可. 【解答】解:已知△ABC與△A1B1C1相似,且相似比為1:3, 則△ABC與△A1B1C1的面積比為1:9, 故選:D.   5

4、.(2018?銅仁市)已知△ABC∽△DEF,相似比為2,且△ABC的面積為16,則△DEF的面積為( ?。? A.32 B.8 C.4 D.16 【分析】由△ABC∽△DEF,相似比為2,根據(jù)相似三角形的面積的比等于相似比的平方,即可得△ABC與△DEF的面積比為4,又由△ABC的面積為16,即可求得△DEF的面積. 【解答】解:∵△ABC∽△DEF,相似比為2, ∴△ABC與△DEF的面積比為4, ∵△ABC的面積為16, ∴△DEF的面積為:16×=4. 故選:C.   6.(2017?重慶)已知△ABC∽△DEF,且相似比為1:2,則△ABC與△DEF的面積比為( ?。?/p>

5、 A.1:4 B.4:1 C.1:2 D.2:1 【分析】利用相似三角形面積之比等于相似比的平方計算即可. 【解答】解:∵△ABC∽△DEF,且相似比為1:2, ∴△ABC與△DEF的面積比為1:4, 故選:A.   7.(2018?臨安區(qū))如圖,小正方形的邊長均為1,則下列圖中的三角形(陰影部分)與△ABC相似的是( ?。? A. B. C. D. 【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)求出∠ACB,根據(jù)相似三角形的判定定理判斷即可. 【解答】解:由正方形的性質(zhì)可知,∠ACB=180°﹣45°=135°, A、C、D圖形中的鈍角都不等于135°, 由勾股定理得,BC=,AC=2,

6、 對應(yīng)的圖形B中的邊長分別為1和, ∵=, ∴圖B中的三角形(陰影部分)與△ABC相似, 故選:B.   8.(2018?廣東)在△ABC中,點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn),則△ADE與△ABC的面積之比為(  ) A. B. C. D. 【分析】由點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn),可得出DE為△ABC的中位線,進(jìn)而可得出DE∥BC及△ADE∽△ABC,再利用相似三角形的性質(zhì)即可求出△ADE與△ABC的面積之比. 【解答】解:∵點(diǎn)D、E分別為邊AB、AC的中點(diǎn), ∴DE為△ABC的中位線, ∴DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴=()2=. 故選:C.

7、  9.(2018?自貢)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),若△ADE的面積為4,則△ABC的面積為( ?。? A.8 B.12 C.14 D.16 【分析】直接利用三角形中位線定理得出DE∥BC,DE=BC,再利用相似三角形的判定與性質(zhì)得出答案. 【解答】解:∵在△ABC中,點(diǎn)D、E分別是AB、AC的中點(diǎn), ∴DE∥BC,DE=BC, ∴△ADE∽△ABC, ∵=, ∴=, ∵△ADE的面積為4, ∴△ABC的面積為:16, 故選:D.   10.(2018?崇明縣一模)如圖,在平行四邊形ABCD中,點(diǎn)E在邊DC上,DE:EC=3:1,連接AE交

8、BD于點(diǎn)F,則△DEF的面積與△BAF的面積之比為( ?。? A.3:4 B.9:16 C.9:1 D.3:1 【分析】可證明△DFE∽△BFA,根據(jù)相似三角形的面積之比等于相似比的平方即可得出答案. 【解答】解:∵四邊形ABCD為平行四邊形, ∴DC∥AB, ∴△DFE∽△BFA, ∵DE:EC=3:1, ∴DE:DC=3:4, ∴DE:AB=3:4, ∴S△DFE:S△BFA=9:16. 故選:B.   11.(2018?隨州)如圖,平行于BC的直線DE把△ABC分成面積相等的兩部分,則的值為( ?。? A.1 B. C. 1 D. 【分析】由DE∥B

9、C可得出△ADE∽△ABC,利用相似三角形的性質(zhì)結(jié)合S△ADE=S四邊形BCED,可得出=,結(jié)合BD=AB﹣AD即可求出的值,此題得解. 【解答】解:∵DE∥BC, ∴∠ADE=∠B,∠AED=∠C, ∴△ADE∽△ABC, ∴()2=. ∵S△ADE=S四邊形BCED, ∴=, ∴===﹣1. 故選:C.   12.(2018?哈爾濱)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在BC邊上,連接AD,點(diǎn)G在線段AD上,GE∥BD,且交AB于點(diǎn)E,GF∥AC,且交CD于點(diǎn)F,則下列結(jié)論一定正確的是( ?。? A. = B. = C. = D. = 【分析】由GE∥BD、GF∥AC可得出△

10、AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可找出==,此題得解. 【解答】解:∵GE∥BD,GF∥AC, ∴△AEG∽△ABD,△DFG∽△DCA, ∴=, =, ∴==. 故選:D.   13.(2018?遵義)如圖,四邊形ABCD中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=5,BC=10,連接AC、BD,以BD為直徑的圓交AC于點(diǎn)E.若DE=3,則AD的長為( ?。? A.5 B.4 C.3 D.2 【分析】先求出AC,進(jìn)而判斷出△ADF∽△CAB,即可設(shè)DF=x,AD=x,利用勾股定理求出BD,再判斷出△DEF∽△DBA,得出比例式建立方程即可得出結(jié)論.

11、 【解答】解:如圖,在Rt△ABC中,AB=5,BC=10, ∴AC=5 過點(diǎn)D作DF⊥AC于F, ∴∠AFD=∠CBA, ∵AD∥BC, ∴∠DAF=∠ACB, ∴△ADF∽△CAB, ∴, ∴, 設(shè)DF=x,則AD=x, 在Rt△ABD中,BD==, ∵∠DEF=∠DBA,∠DFE=∠DAB=90°, ∴△DEF∽△DBA, ∴, ∴, ∴x=2, ∴AD=x=2, 故選:D.   14.(2018?揚(yáng)州)如圖,點(diǎn)A在線段BD上,在BD的同側(cè)作等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE,CD與BE、AE分別交于點(diǎn)P,M.對于下列結(jié)論: ①△BAE∽△C

12、AD;②MP?MD=MA?ME;③2CB2=CP?CM.其中正確的是( ?。? A.①②③ B.① C.①② D.②③ 【分析】(1)由等腰Rt△ABC和等腰Rt△ADE三邊份數(shù)關(guān)系可證; (2)通過等積式倒推可知,證明△PAM∽△EMD即可; (3)2CB2轉(zhuǎn)化為AC2,證明△ACP∽△MCA,問題可證. 【解答】解:由已知:AC=AB,AD=AE ∴ ∵∠BAC=∠EAD ∴∠BAE=∠CAD ∴△BAE∽△CAD 所以①正確 ∵△BAE∽△CAD ∴∠BEA=∠CDA ∵∠PME=∠AMD ∴△PME∽△AMD ∴ ∴MP?MD=MA?ME 所以②正確

13、 ∵∠BEA=∠CDA ∠PME=∠AMD ∴P、E、D、A四點(diǎn)共圓 ∴∠APD=∠EAD=90° ∵∠CAE=180°﹣∠BAC﹣∠EAD=90° ∴△CAP∽△CMA ∴AC2=CP?CM ∵AC=AB ∴2CB2=CP?CM 所以③正確 故選:A.   15.(2018?貴港)如圖,在△ABC中,EF∥BC,AB=3AE,若S四邊形BCFE=16,則S△ABC=( ?。? A.16 B.18 C.20 D.24 【分析】由EF∥BC,可證明△AEF∽△ABC,利用相似三角形的性質(zhì)即可求出則S△ABC的值. 【解答】解:∵EF∥BC, ∴△AEF∽△AB

14、C, ∵AB=3AE, ∴AE:AB=1:3, ∴S△AEF:S△ABC=1:9, 設(shè)S△AEF=x, ∵S四邊形BCFE=16, ∴=, 解得:x=2, ∴S△ABC=18, 故選:B.   16.(2018?孝感)如圖,△ABC是等邊三角形,△ABD是等腰直角三角形,∠BAD=90°,AE⊥BD于點(diǎn)E,連CD分別交AE,AB于點(diǎn)F,G,過點(diǎn)A作AH⊥CD交BD于點(diǎn)H.則下列結(jié)論:①∠ADC=15°;②AF=AG;③AH=DF;④△AFG∽△CBG;⑤AF=(﹣1)EF.其中正確結(jié)論的個數(shù)為(  ) A.5 B.4 C.3 D.2 【分析】①由等邊三角形與等腰直

15、角三角形知△CAD是等腰三角形且頂角∠CAD=150°,據(jù)此可判斷;②求出∠AFP和∠FAG度數(shù),從而得出∠AGF度數(shù),據(jù)此可判斷;③證△ADF≌△BAH即可判斷;④由∠AFG=∠CBG=60°、∠AGF=∠CGB即可得證;⑤設(shè)PF=x,則AF=2x、AP==x,設(shè)EF=a,由△ADF≌△BAH知BH=AF=2x,根據(jù)△ABE是等腰直角三角形之BE=AE=a+2x,據(jù)此得出EH=a,證△PAF∽△EAH得=,從而得出a與x的關(guān)系即可判斷. 【解答】解:∵△ABC為等邊三角形,△ABD為等腰直角三角形, ∴∠BAC=60°、∠BAD=90°、AC=AB=AD,∠ADB=∠ABD=45°,

16、∴△CAD是等腰三角形,且頂角∠CAD=150°, ∴∠ADC=15°,故①正確; ∵AE⊥BD,即∠AED=90°, ∴∠DAE=45°, ∴∠AFG=∠ADC+∠DAE=60°,∠FAG=45°, ∴∠AGF=75°, 由∠AFG≠∠AGF知AF≠AG,故②錯誤; 記AH與CD的交點(diǎn)為P, 由AH⊥CD且∠AFG=60°知∠FAP=30°, 則∠BAH=∠ADC=15°, 在△ADF和△BAH中, ∵, ∴△ADF≌△BAH(ASA), ∴DF=AH,故③正確; ∵∠AFG=∠CBG=60°,∠AGF=∠CGB, ∴△AFG∽△CBG,故④正確; 在Rt

17、△APF中,設(shè)PF=x,則AF=2x、AP==x, 設(shè)EF=a, ∵△ADF≌△BAH, ∴BH=AF=2x, △ABE中,∵∠AEB=90°、∠ABE=45°, ∴BE=AE=AF+EF=a+2x, ∴EH=BE﹣BH=a+2x﹣2x=a, ∵∠APF=∠AEH=90°,∠FAP=∠HAE, ∴△PAF∽△EAH, ∴=,即=, 整理,得:2x2=(﹣1)ax, 由x≠0得2x=(﹣1)a,即AF=(﹣1)EF,故⑤正確; 故選:B.   17.(2018?瀘州)如圖,正方形ABCD中,E,F(xiàn)分別在邊AD,CD上,AF,BE相交于點(diǎn)G,若AE=3ED,DF=CF,

18、則的值是( ?。? A. B. C. D. 【分析】如圖作,F(xiàn)N∥AD,交AB于N,交BE于M.設(shè)DE=a,則AE=3a,利用平行線分線段成比例定理解決問題即可; 【解答】解:如圖作,F(xiàn)N∥AD,交AB于N,交BE于M. ∵四邊形ABCD是正方形, ∴AB∥CD,∵FN∥AD, ∴四邊形ANFD是平行四邊形, ∵∠D=90°, ∴四邊形ANFD是解析式, ∵AE=3DE,設(shè)DE=a,則AE=3a,AD=AB=CD=FN=4a,AN=DF=2a, ∵AN=BN,MN∥AE, ∴BM=ME, ∴MN=a, ∴FM=a, ∵AE∥FM, ∴===, 故選:C.

19、   18.(2018?臨安區(qū))如圖,在△ABC中,DE∥BC,DE分別與AB,AC相交于點(diǎn)D,E,若AD=4,DB=2,則DE:BC的值為( ?。? A. B. C. D. 【分析】根據(jù)平行于三角形一邊的直線和其他兩邊相交,所截得的三角形與原三角形相似,再根據(jù)相似三角形的對應(yīng)邊成比例解則可. 【解答】解:∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴===. 故選:A.   19.(2018?恩施州)如圖所示,在正方形ABCD中,G為CD邊中點(diǎn),連接AG并延長交BC邊的延長線于E點(diǎn),對角線BD交AG于F點(diǎn).已知FG=2,則線段AE的長度為(  ) A.6 B.8 C.1

20、0 D.12 【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)可得出AB∥CD,進(jìn)而可得出△ABF∽△GDF,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出==2,結(jié)合FG=2可求出AF、AG的長度,由CG∥AB、AB=2CG可得出CG為△EAB的中位線,再利用三角形中位線的性質(zhì)可求出AE的長度,此題得解. 【解答】解:∵四邊形ABCD為正方形, ∴AB=CD,AB∥CD, ∴∠ABF=∠GDF,∠BAF=∠DGF, ∴△ABF∽△GDF, ∴==2, ∴AF=2GF=4, ∴AG=6. ∵CG∥AB,AB=2CG, ∴CG為△EAB的中位線, ∴AE=2AG=12. 故選:D.   20.(2018?杭

21、州)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D在AB邊上,DE∥BC,與邊AC交于點(diǎn)E,連結(jié)BE.記△ADE,△BCE的面積分別為S1,S2( ?。? A.若2AD>AB,則3S1>2S2 B.若2AD>AB,則3S1<2S2 C.若2AD<AB,則3S1>2S2 D.若2AD<AB,則3S1<2S2 【分析】根據(jù)題意判定△ADE∽△ABC,由相似三角形的面積之比等于相似比的平方解答. 【解答】解:∵如圖,在△ABC中,DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴=()2, ∴若2AD>AB,即>時,>, 此時3S1>S2+S△BDE,而S2+S△BDE<2S2.但是不能確定3S1與2S2的大小,

22、 故選項A不符合題意,選項B不符合題意. 若2AD<AB,即<時,<, 此時3S1<S2+S△BDE<2S2, 故選項C不符合題意,選項D符合題意. 故選:D.   21.(2018?永州)如圖,在△ABC中,點(diǎn)D是邊AB上的一點(diǎn),∠ADC=∠ACB,AD=2,BD=6,則邊AC的長為( ?。? A.2 B.4 C.6 D.8 【分析】只要證明△ADC∽△ACB,可得=,即AC2=AD?AB,由此即可解決問題; 【解答】解:∵∠A=∠A,∠ADC=∠ACB, ∴△ADC∽△ACB, ∴=, ∴AC2=AD?AB=2×8=16, ∵AC>0, ∴AC=4,

23、故選:B.   22.(2018?香坊區(qū))如圖,點(diǎn)D、E、F分別是△ABC的邊AB、AC、BC上的點(diǎn),若DE∥BC,EF∥AB,則下列比例式一定成立的是( ?。? A. = B. = C. = D. = 【分析】用平行線分線段成比例定理和相似三角形的判定即可得出結(jié)論. 【解答】解:∵DE∥BC, ∴, ∵DE∥BC, ∴△ADE∽△ABC, ∴, ∵EF∥AB, ∴, ∵EF∥AB, ∴△CEF∽△CAB, ∴, ∵DE∥BC,EF∥AB, ∴四邊形BDEF是平行四邊形, ∴DE=BF,EF=BD, ∴,,,, ∴正確, 故選:C.   23.(2

24、018?荊門)如圖,四邊形ABCD為平行四邊形,E、F為CD邊的兩個三等分點(diǎn),連接AF、BE交于點(diǎn)G,則S△EFG:S△ABG=( ?。? A.1:3 B.3:1 C.1:9 D.9:1 【分析】利用相似三角形的性質(zhì)面積比等于相似比的平方即可解決問題; 【解答】解:∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴CD=AB,CD∥AB, ∵DE=EF=FC, ∴EF:AB=1:3, ∴△EFG∽△BAG, ∴=()2=, 故選:C.   24.(2018?達(dá)州)如圖,E,F(xiàn)是平行四邊形ABCD對角線AC上兩點(diǎn),AE=CF=AC.連接DE,DF并延長,分別交AB,BC于點(diǎn)G,H,連接G

25、H,則的值為( ?。? A. B. C. D.1 【分析】首先證明AG:AB=CH:BC=1:3,推出GH∥AC,推出△BGH∽△BAC,可得==()2=()2=, =,由此即可解決問題. 【解答】解:∵四邊形ABCD是平行四邊形 ∴AD=BC,DC=AB, ∵AC=CA, ∴△ADC≌△CBA, ∴S△ADC=S△ABC, ∵AE=CF=AC,AG∥CD,CH∥AD, ∴AG:DC=AE:CE=1:3,CH:AD=CF:AF=1:3, ∴AG:AB=CH:BC=1:3, ∴GH∥AC, ∴△BGH∽△BAC, ∴==()2=()2=, ∵=, ∴=×=,

26、 故選:C.   25.(2018?南充)如圖,正方形ABCD的邊長為2,P為CD的中點(diǎn),連結(jié)AP,過點(diǎn)B作BE⊥AP于點(diǎn)E,延長CE交AD于點(diǎn)F,過點(diǎn)C作CH⊥BE于點(diǎn)G,交AB于點(diǎn)H,連接HF.下列結(jié)論正確的是( ?。? A.CE= B.EF= C.cos∠CEP= D.HF2=EF?CF 【分析】首先證明BH=AH,推出EG=BG,推出CE=CB,再證明△CEH≌△CBH,Rt△HFE≌Rt△HFA,利用全等三角形的性質(zhì)即可一一判斷. 【解答】解:連接EH. ∵四邊形ABCD是正方形, ∴CD=AB═BC=AD=2,CD∥AB, ∵BE⊥AP,CH⊥BE, ∴

27、CH∥PA, ∴四邊形CPAH是平行四邊形, ∴CP=AH, ∵CP=PD=1, ∴AH=PC=1, ∴AH=BH, 在Rt△ABE中,∵AH=HB, ∴EH=HB,∵HC⊥BE, ∴BG=EG, ∴CB=CE=2,故選項A錯誤, ∵CH=CH,CB=CE,HB=HE, ∴△ABC≌△CEH, ∴∠CBH=∠CEH=90°, ∵HF=HF,HE=HA, ∴Rt△HFE≌Rt△HFA, ∴AF=EF,設(shè)EF=AF=x, 在Rt△CDF中,有22+(2﹣x)2=(2+x)2, ∴x=, ∴EF=,故B錯誤, ∵PA∥CH, ∴∠CEP=∠ECH=∠BCH,

28、 ∴cos∠CEP=cos∠BCH==,故C錯誤. ∵HF=,EF=,F(xiàn)C= ∴HF2=EF?FC,故D正確, 故選:D.   26.(2018?臨沂)如圖.利用標(biāo)桿BE測量建筑物的高度.已知標(biāo)桿BE高1.2m,測得AB=1.6m.BC=12.4m.則建筑物CD的高是( ?。? A.9.3m B.10.5m C.12.4m D.14m 【分析】先證明∴△ABE∽△ACD,則利用相似三角形的性質(zhì)得=,然后利用比例性質(zhì)求出CD即可. 【解答】解:∵EB∥CD, ∴△ABE∽△ACD, ∴=,即=, ∴CD=10.5(米). 故選:B.   27.(2018?長春)《孫

29、子算經(jīng)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作,成書于約一千五百年前,其中有首歌謠:今有竿不知其長,量得影長一丈五尺,立一標(biāo)桿,長一尺五寸,影長五寸,問竿長幾何?意即:有一根竹竿不知道有多長,量出它在太陽下的影子長一丈五尺,同時立一根一尺五寸的小標(biāo)桿,它的影長五寸(提示:1丈=10尺,1尺=10寸),則竹竿的長為( ?。? A.五丈 B.四丈五尺 C.一丈 D.五尺 【分析】根據(jù)同一時刻物高與影長成正比可得出結(jié)論. 【解答】解:設(shè)竹竿的長度為x尺, ∵竹竿的影長=一丈五尺=15尺,標(biāo)桿長=一尺五寸=1.5尺,影長五寸=0.5尺, ∴,解得x=45(尺). 故選:B.   28.(2018?

30、紹興)學(xué)校門口的欄桿如圖所示,欄桿從水平位置BD繞O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到AC位置,已知AB⊥BD,CD⊥BD,垂足分別為B,D,AO=4m,AB=1.6m,CO=1m,則欄桿C端應(yīng)下降的垂直距離CD為(  ) A.0.2m B.0.3m C.0.4m D.0.5m 【分析】由∠ABO=∠CDO=90°、∠AOB=∠COD知△ABO∽△CDO,據(jù)此得=,將已知數(shù)據(jù)代入即可得. 【解答】解:∵AB⊥BD,CD⊥BD, ∴∠ABO=∠CDO=90°, 又∵∠AOB=∠COD, ∴△ABO∽△CDO, 則=, ∵AO=4m,AB=1.6m,CO=1m, ∴=, 解得:CD=0.4, 故選

31、:C.   二.填空題(共7小題) 29.(2018?邵陽)如圖所示,點(diǎn)E是平行四邊形ABCD的邊BC延長線上一點(diǎn),連接AE,交CD于點(diǎn)F,連接BF.寫出圖中任意一對相似三角形: △ADF∽△ECF?。? 【分析】利用平行四邊形的性質(zhì)得到AD∥CE,則根據(jù)相似三角形的判定方法可判斷△ADF∽△ECF. 【解答】解:∵四邊形ABCD為平行四邊形, ∴AD∥CE, ∴△ADF∽△ECF. 故答案為△ADF∽△ECF.   30.(2018?北京)如圖,在矩形ABCD中,E是邊AB的中點(diǎn),連接DE交對角線AC于點(diǎn)F,若AB=4,AD=3,則CF的長為 ?。? 【分析】根據(jù)矩

32、形的性質(zhì)可得出AB∥CD,進(jìn)而可得出∠FAE=∠FCD,結(jié)合∠AFE=∠CFD(對頂角相等)可得出△AFE∽△CFD,利用相似三角形的性質(zhì)可得出==2,利用勾股定理可求出AC的長度,再結(jié)合CF=?AC,即可求出CF的長. 【解答】解:∵四邊形ABCD為矩形, ∴AB=CD,AD=BC,AB∥CD, ∴∠FAE=∠FCD, 又∵∠AFE=∠CFD, ∴△AFE∽△CFD, ∴==2. ∵AC==5, ∴CF=?AC=×5=. 故答案為:.   31.(2018?包頭)如圖,在?ABCD中,AC是一條對角線,EF∥BC,且EF與AB相交于點(diǎn)E,與AC相交于點(diǎn)F,3AE=2

33、EB,連接DF.若S△AEF=1,則S△ADF的值為 ?。? 【分析】由3AE=2EB可設(shè)AE=2a、BE=3a,根據(jù)EF∥BC得=()2=,結(jié)合S△AEF=1知S△ADC=S△ABC=,再由==知=,繼而根據(jù)S△ADF=S△ADC可得答案. 【解答】解:∵3AE=2EB, ∴可設(shè)AE=2a、BE=3a, ∵EF∥BC, ∴△AEF∽△ABC, ∴=()2=()2=, ∵S△AEF=1, ∴S△ABC=, ∵四邊形ABCD是平行四邊形, ∴S△ADC=S△ABC=, ∵EF∥BC, ∴===, ∴==, ∴S△ADF=S△ADC=×=, 故答案為:.   3

34、2.(2018?資陽)已知:如圖,△ABC的面積為12,點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn),則四邊形BCED的面積為 9 . 【分析】設(shè)四邊形BCED的面積為x,則S△ADE=12﹣x,由題意知DE∥BC且DE=BC,從而得=()2,據(jù)此建立關(guān)于x的方程,解之可得. 【解答】解:設(shè)四邊形BCED的面積為x,則S△ADE=12﹣x, ∵點(diǎn)D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn), ∴DE是△ABC的中位線, ∴DE∥BC,且DE=BC, ∴△ADE∽△ABC, 則=()2,即=, 解得:x=9, 即四邊形BCED的面積為9, 故答案為:9.   33.(2018?泰安)《九章算術(shù)

35、》是中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)最重要的著作,在“勾股”章中有這樣一個問題:“今有邑方二百步,各中開門,出東門十五步有木,問:出南門幾步面見木?” 用今天的話說,大意是:如圖,DEFG是一座邊長為200步(“步”是古代的長度單位)的正方形小城,東門H位于GD的中點(diǎn),南門K位于ED的中點(diǎn),出東門15步的A處有一樹木,求出南門多少步恰好看到位于A處的樹木(即點(diǎn)D在直線AC上)?請你計算KC的長為  步. 【分析】證明△CDK∽△DAH,利用相似三角形的性質(zhì)得=,然后利用比例性質(zhì)可求出CK的長. 【解答】解:DH=100,DK=100,AH=15, ∵AH∥DK, ∴∠CDK=∠A, 而∠CKD=∠

36、AHD, ∴△CDK∽△DAH, ∴=,即=, ∴CK=. 答:KC的長為步. 故答案為.   34.(2018?岳陽)《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)名著,書中有下列問題:“今有勾五步,股十二步,問勾中容方幾何?”其意思為:“今有直角三角形,勾(短直角邊)長為5步,股(長直角邊)長為12步,問該直角三角形能容納的正方形邊長最大是多少步?”該問題的答案是  步. 【分析】如圖1,根據(jù)正方形的性質(zhì)得:DE∥BC,則△ADE∽△ACB,列比例式可得結(jié)論;如圖2,同理可得正方形的邊長,比較可得最大值. 【解答】解:如圖1,∵四邊形CDEF是正方形, ∴CD=ED,DE∥CF,

37、 設(shè)ED=x,則CD=x,AD=12﹣x, ∵DE∥CF, ∴∠ADE=∠C,∠AED=∠B, ∴△ADE∽△ACB, ∴, ∴, x=, 如圖2,四邊形DGFE是正方形, 過C作CP⊥AB于P,交DG于Q, 設(shè)ED=x, S△ABC=AC?BC=AB?CP, 12×5=13CP, CP=, 同理得:△CDG∽△CAB, ∴, ∴, x=, ∴該直角三角形能容納的正方形邊長最大是(步), 故答案為:.   35.(2018?吉林)如圖是測量河寬的示意圖,AE與BC相交于點(diǎn)D,∠B=∠C=90°,測得BD=120m,DC=60m,EC=50m,求得

38、河寬AB= 100 m. 【分析】由兩角對應(yīng)相等可得△BAD∽△CED,利用對應(yīng)邊成比例可得兩岸間的大致距離AB. 【解答】解:∵∠ADB=∠EDC,∠ABC=∠ECD=90°, ∴△ABD∽△ECD, ∴,, 解得:AB=(米). 故答案為:100.   三.解答題(共15小題) 36.(2018?張家界)如圖,點(diǎn)P是⊙O的直徑AB延長線上一點(diǎn),且AB=4,點(diǎn)M為上一個動點(diǎn)(不與A,B重合),射線PM與⊙O交于點(diǎn)N(不與M重合) (1)當(dāng)M在什么位置時,△MAB的面積最大,并求岀這個最大值; (2)求證:△PAN∽△PMB. 【分析】(1)當(dāng)M在弧AB中點(diǎn)時,

39、三角形MAB面積最大,此時OM與AB垂直,求出此時三角形面積最大值即可; (2)由同弧所對的圓周角相等及公共角,利用兩對角相等的三角形相似即可得證. 【解答】解:(1)當(dāng)點(diǎn)M在的中點(diǎn)處時,△MAB面積最大,此時OM⊥AB, ∵OM=AB=×4=2, ∴S△ABM=AB?OM=×4×2=4; (2)∵∠PMB=∠PAN,∠P=∠P, ∴△PAN∽△PMB.   37.(2018?株洲)如圖,在Rt△ABM和Rt△ADN的斜邊分別為正方形的邊AB和AD,其中AM=AN. (1)求證:Rt△ABM≌Rt△AND; (2)線段MN與線段AD相交于T,若AT=,求tan∠ABM的值.

40、 【分析】(1)利用HL證明即可; (2)想辦法證明△DNT∽△AMT,可得由AT=,推出,在Rt△ABM中,tan∠ABM=. 【解答】解:(1)∵AD=AB,AM=AN,∠AMB=∠AND=90° ∴Rt△ABM≌Rt△AND(HL). (2)由Rt△ABM≌Rt△AND易得:∠DAN=∠BAM,DN=BM ∵∠BAM+∠DAM=90°;∠DAN+∠ADN=90° ∴∠DAM=∠AND ∴ND∥AM ∴△DNT∽△AMT ∴ ∵AT=, ∴ ∵Rt△ABM ∴tan∠ABM=.   38.(2018?大慶)如圖,AB是⊙O的直徑,點(diǎn)E為線段OB上一點(diǎn)

41、(不與O,B重合),作EC⊥OB,交⊙O于點(diǎn)C,作直徑CD,過點(diǎn)C的切線交DB的延長線于點(diǎn)P,作AF⊥PC于點(diǎn)F,連接CB. (1)求證:AC平分∠FAB; (2)求證:BC2=CE?CP; (3)當(dāng)AB=4且=時,求劣弧的長度. 【分析】(1)根據(jù)等角的余角相等證明即可; (2)只要證明△CBE∽△CPB,可得=解決問題; (3)作BM⊥PF于M.則CE=CM=CF,設(shè)CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a,利用相似三角形的性質(zhì)求出BM,求出tan∠BCM的值即可解決問題; 【解答】(1)證明:∵AB是直徑, ∴∠ACB=90°, ∴∠BCP+∠ACF=90°,∠

42、ACE+∠BCE=90°, ∵∠BCP=∠BCE, ∴∠ACF=∠ACE,即AC平分∠FAB. (2)證明:∵OC=OB, ∴∠OCB=∠OBC, ∵PF是⊙O的切線,CE⊥AB, ∴∠OCP=∠CEB=90°, ∴∠PCB+∠OCB=90°,∠BCE+∠OBC=90°, ∴∠BCE=∠BCP, ∵CD是直徑, ∴∠CBD=∠CBP=90°, ∴△CBE∽△CPB, ∴=, ∴BC2=CE?CP; (3)解:作BM⊥PF于M.則CE=CM=CF,設(shè)CE=CM=CF=3a,PC=4a,PM=a, ∵∠MCB+∠P=90°,∠P+∠PBM=90°, ∴∠MC

43、B=∠PBM, ∵CD是直徑,BM⊥PC, ∴∠CMB=∠BMP=90°, ∴△BMC∽△PMB, ∴=, ∴BM2=CM?PM=3a2, ∴BM=a, ∴tan∠BCM==, ∴∠BCM=30°, ∴∠OCB=∠OBC=∠BOC=60°,∠BOD=120° ∴的長==π.   39.(2018?江西)如圖,在△ABC中,AB=8,BC=4,CA=6,CD∥AB,BD是∠ABC的平分線,BD交AC于點(diǎn)E,求AE的長. 【分析】根據(jù)角平分線定義和平行線的性質(zhì)求出∠D=∠CBD,求出BC=CD=4,證△AEB∽△CED,得出比例式,求出AE=2CE,即可得出答案.

44、 【解答】解:∵BD為∠ABC的平分線, ∴∠ABD=∠CBD, ∵AB∥CD, ∴∠D=∠ABD, ∴∠D=∠CBD, ∴BC=CD, ∵BC=4, ∴CD=4, ∵AB∥CD, ∴△ABE∽△CDE, ∴=, ∴=, ∴AE=2CE, ∵AC=6=AE+CE, ∴AE=4.   40.(2018?上海)已知:如圖,正方形ABCD中,P是邊BC上一點(diǎn),BE⊥AP,DF⊥AP,垂足分別是點(diǎn)E、F. (1)求證:EF=AE﹣BE; (2)聯(lián)結(jié)BF,如課=.求證:EF=EP. 【分析】(1)利用正方形的性質(zhì)得AB=AD,∠BAD=90°,根據(jù)等角的余角相

45、等得到∠1=∠3,則可判斷△ABE≌△DAF,則BE=AF,然后利用等線段代換可得到結(jié)論; (2)利用=和AF=BE得到=,則可判定Rt△BEF∽Rt△DFA,所以∠4=∠3,再證明∠4=∠5,然后根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可判斷EF=EP. 【解答】證明:(1)∵四邊形ABCD為正方形, ∴AB=AD,∠BAD=90°, ∵BE⊥AP,DF⊥AP, ∴∠BEA=∠AFD=90°, ∵∠1+∠2=90°,∠2+∠3=90°, ∴∠1=∠3, 在△ABE和△DAF中 , ∴△ABE≌△DAF, ∴BE=AF, ∴EF=AE﹣AF=AE﹣BE; (2)如圖,∵=, 而AF=B

46、E, ∴=, ∴=, ∴Rt△BEF∽Rt△DFA, ∴∠4=∠3, 而∠1=∠3, ∴∠4=∠1, ∵∠5=∠1, ∴∠4=∠5, 即BE平分∠FBP, 而BE⊥EP, ∴EF=EP.   41.(2018?東營)如圖,CD是⊙O的切線,點(diǎn)C在直徑AB的延長線上. (1)求證:∠CAD=∠BDC; (2)若BD=AD,AC=3,求CD的長. 【分析】(1)連接OD,由OB=OD可得出∠OBD=∠ODB,根據(jù)切線的性質(zhì)及直徑所對的圓周角等于180°,利用等角的余角相等,即可證出∠CAD=∠BDC; (2)由∠C=∠C、∠CAD=∠CDB可得出△CDB∽

47、△CAD,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)結(jié)合BD=AD、AC=3,即可求出CD的長. 【解答】(1)證明:連接OD,如圖所示. ∵OB=OD, ∴∠OBD=∠ODB. ∵CD是⊙O的切線,OD是⊙O的半徑, ∴∠ODB+∠BDC=90°. ∵AB是⊙O的直徑, ∴∠ADB=90°, ∴∠OBD+∠CAD=90°, ∴∠CAD=∠BDC. (2)解:∵∠C=∠C,∠CAD=∠CDB, ∴△CDB∽△CAD, ∴=. ∵BD=AD, ∴=, ∴=, 又∵AC=3, ∴CD=2.   42.(2018?南京)如圖,在正方形ABCD中,E是AB上一點(diǎn),連接DE.過點(diǎn)A作

48、AF⊥DE,垂足為F,⊙O經(jīng)過點(diǎn)C、D、F,與AD相交于點(diǎn)G. (1)求證:△AFG∽△DFC; (2)若正方形ABCD的邊長為4,AE=1,求⊙O的半徑. 【分析】(1)欲證明△AFG∽△DFC,只要證明∠FAG=∠FDC,∠AGF=∠FCD; (2)首先證明CG是直徑,求出CG即可解決問題; 【解答】(1)證明:在正方形ABCD中,∠ADC=90°, ∴∠CDF+∠ADF=90°, ∵AF⊥DE, ∴∠AFD=90°, ∴∠DAF+∠ADF=90°, ∴∠DAF=∠CDF, ∵四邊形GFCD是⊙O的內(nèi)接四邊形, ∴∠FCD+∠DGF=180°, ∵∠FGA+∠

49、DGF=180°, ∴∠FGA=∠FCD, ∴△AFG∽△DFC. (2)解:如圖,連接CG. ∵∠EAD=∠AFD=90°,∠EDA=∠ADF, ∴△EDA∽△ADF, ∴=,即=, ∵△AFG∽△DFC, ∴=, ∴=, 在正方形ABCD中,DA=DC, ∴AG=EA=1,DG=DA﹣AG=4﹣1=3, ∴CG==5, ∵∠CDG=90°, ∴CG是⊙O的直徑, ∴⊙O的半徑為.   43.(2018?濱州)如圖,AB為⊙O的直徑,點(diǎn)C在⊙O上,AD⊥CD于點(diǎn)D,且AC平分∠DAB,求證: (1)直線DC是⊙O的切線; (2)AC2=2AD?A

50、O. 【分析】(1)連接OC,由OA=OC、AC平分∠DAB知∠OAC=∠OCA=∠DAC,據(jù)此知OC∥AD,根據(jù)AD⊥DC即可得證; (2)連接BC,證△DAC∽△CAB即可得. 【解答】解:(1)如圖,連接OC, ∵OA=OC, ∴∠OAC=∠OCA, ∵AC平分∠DAB, ∴∠OAC=∠DAC, ∴∠DAC=∠OCA, ∴OC∥AD, 又∵AD⊥CD, ∴OC⊥DC, ∴DC是⊙O的切線; (2)連接BC, ∵AB為⊙O的直徑, ∴AB=2AO,∠ACB=90°, ∵AD⊥DC, ∴∠ADC=∠ACB=90°, 又∵∠DAC=∠CAB,

51、∴△DAC∽△CAB, ∴=,即AC2=AB?AD, ∵AB=2AO, ∴AC2=2AD?AO.   44.(2018?十堰)如圖,△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)D作FG⊥AC于點(diǎn)F,交AB的延長線于點(diǎn)G. (1)求證:FG是⊙O的切線; (2)若tanC=2,求的值. 【分析】(1)欲證明FG是⊙O的切線,只要證明OD⊥FG; (2)由△GDB∽△GAD,設(shè)BG=a.可得===,推出DG=2a,AG=4a,由此即可解決問題; 【解答】(1)證明:連接AD、OD. ∵AB是直徑, ∴∠ADB=90°,即AD⊥BC,

52、∵AC=AB, ∴CD=BD, ∵OA=OB, ∴OD∥AC, ∵DF⊥AC, ∴OD⊥DF, ∴FG是⊙O的切線. (2)解:∵tanC==2,BD=CD, ∴BD:AD=1:2, ∵∠GDB+∠ODB=90°,∠ADO+∠ODB=90°, ∵OA=OD, ∴∠OAD=∠ODA, ∴∠GDB=∠GAD, ∵∠G=∠G, ∴△GDB∽△GAD,設(shè)BG=a. ∴===, ∴DG=2a,AG=4a, ∴BG:GA=1:4.   45.(2018?杭州)如圖,在△ABC中,AB=AC,AD為BC邊上的中線,DE⊥AB于點(diǎn)E. (1)求證:△BDE∽△CAD

53、. (2)若AB=13,BC=10,求線段DE的長. 【分析】(1)想辦法證明∠B=∠C,∠DEB=∠ADC=90°即可解決問題; (2)利用面積法: ?AD?BD=?AB?DE求解即可; 【解答】解:(1)∵AB=AC,BD=CD, ∴AD⊥BC,∠B=∠C, ∵DE⊥AB, ∴∠DEB=∠ADC, ∴△BDE∽△CAD. (2)∵AB=AC,BD=CD, ∴AD⊥BC, 在Rt△ADB中,AD===12, ∵?AD?BD=?AB?DE, ∴DE=.   46.(2018?煙臺)如圖,已知D,E分別為△ABC的邊AB,BC上兩點(diǎn),點(diǎn)A,C,E在⊙D上

54、,點(diǎn)B,D在⊙E上.F為上一點(diǎn),連接FE并延長交AC的延長線于點(diǎn)N,交AB于點(diǎn)M. (1)若∠EBD為α,請將∠CAD用含α的代數(shù)式表示; (2)若EM=MB,請說明當(dāng)∠CAD為多少度時,直線EF為⊙D的切線; (3)在(2)的條件下,若AD=,求的值. 【分析】(1)根據(jù)同圓的半徑相等和等邊對等角得:∠EDB=∠EBD=α,∠CAD=∠ACD,∠DCE=∠DEC=2α,再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得結(jié)論; (2)設(shè)∠MBE=x,同理得:∠EMB=∠MBE=x,根據(jù)切線的性質(zhì)知:∠DEF=90°,所以∠CED+∠MEB=90°,同理根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠CAD=45°; (3)

55、由(2)得:∠CAD=45°;根據(jù)(1)的結(jié)論計算∠MBE=30°,證明△CDE是等邊三角形,得CD=CE=DE=EF=AD=,求EM=1,MF=EF﹣EM=﹣1,根據(jù)三角形內(nèi)角和及等腰三角形的判定得:EN=CE=,代入化簡可得結(jié)論. 【解答】解:(1)連接CD、DE,⊙E中,∵ED=EB, ∴∠EDB=∠EBD=α, ∴∠CED=∠EDB+∠EBD=2α, ⊙D中,∵DC=DE=AD, ∴∠CAD=∠ACD,∠DCE=∠DEC=2α, △ACB中,∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°, ∴∠CAD==; (2)設(shè)∠MBE=x, ∵EM=MB, ∴∠EMB=∠M

56、BE=x, 當(dāng)EF為⊙D的切線時,∠DEF=90°, ∴∠CED+∠MEB=90°, ∴∠CED=∠DCE=90°﹣x, △ACB中,同理得,∠CAD+∠ACD+∠DCE+∠EBD=180°, ∴2∠CAD=180°﹣90∴=90∴, ∴∠CAD=45°; (3)由(2)得:∠CAD=45°; 由(1)得:∠CAD=; ∴∠MBE=30°, ∴∠CED=2∠MBE=60°, ∵CD=DE, ∴△CDE是等邊三角形, ∴CD=CE=DE=EF=AD=, Rt△DEM中,∠EDM=30°,DE=, ∴EM=1,MF=EF﹣EM=﹣1, △ACB中,∠NCB=45°+

57、30°=75°, △CNE中,∠CEN=∠BEF=30°, ∴∠CNE=75°, ∴∠CNE=∠NCB=75°, ∴EN=CE=, ∴===2+.   47.(2018?陜西)周末,小華和小亮想用所學(xué)的數(shù)學(xué)知識測量家門前小河的寬.測量時,他們選擇了河對岸岸邊的一棵大樹,將其底部作為點(diǎn)A,在他們所在的岸邊選擇了點(diǎn)B,使得AB與河岸垂直,并在B點(diǎn)豎起標(biāo)桿BC,再在AB的延長線上選擇點(diǎn)D,豎起標(biāo)桿DE,使得點(diǎn)E與點(diǎn)C、A共線. 已知:CB⊥AD,ED⊥AD,測得BC=1m,DE=1.5m,BD=8.5m.測量示意圖如圖所示.請根據(jù)相關(guān)測量信息,求河寬AB. 【分析】由BC∥

58、DE,可得=,構(gòu)建方程即可解決問題. 【解答】解:∵BC∥DE, ∴△ABC∽△ADE, ∴=, ∴=, ∴AB=17(m), 經(jīng)檢驗(yàn):AB=17是分式方程的解, 答:河寬AB的長為17米.   48.(2018?濟(jì)寧)如圖,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F(xiàn)分別是邊AD,BC的中點(diǎn),連接DF,過點(diǎn)E作EH⊥DF,垂足為H,EH的延長線交DC于點(diǎn)G. (1)猜想DG與CF的數(shù)量關(guān)系,并證明你的結(jié)論; (2)過點(diǎn)H作MN∥CD,分別交AD,BC于點(diǎn)M,N,若正方形ABCD的邊長為10,點(diǎn)P是MN上一點(diǎn),求△PDC周長的最小值. 【分析】(1)結(jié)論:CF=2DG.只要證明△D

59、EG∽△CDF即可; (2)作點(diǎn)C關(guān)于NM的對稱點(diǎn)K,連接DK交MN于點(diǎn)P,連接PC,此時△PDC的周長最短.周長的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK; 【解答】解:(1)結(jié)論:CF=2DG. 理由:∵四邊形ABCD是正方形, ∴AD=BC=CD=AB,∠ADC=∠C=90°, ∵DE=AE, ∴AD=CD=2DE, ∵EG⊥DF, ∴∠DHG=90°, ∴∠CDF+∠DGE=90°,∠DGE+∠DEG=90°, ∴∠CDF=∠DEG, ∴△DEG∽△CDF, ∴==, ∴CF=2DG. (2)作點(diǎn)C關(guān)于NM的對稱點(diǎn)K,連接DK交MN于點(diǎn)P,

60、連接PC,此時△PDC的周長最短.周長的最小值=CD+PD+PC=CD+PD+PK=CD+DK. 由題意:CD=AD=10,ED=AE=5,DG=,EG=,DH==, ∴EH=2DH=2, ∴HM==2, ∴DM=CN=NK==1, 在Rt△DCK中,DK===2, ∴△PCD的周長的最小值為10+2.   49.(2018?聊城)如圖,正方形ABCD中,E是BC上的一點(diǎn),連接AE,過B點(diǎn)作BH⊥AE,垂足為點(diǎn)H,延長BH交CD于點(diǎn)F,連接AF. (1)求證:AE=BF. (2)若正方形邊長是5,BE=2,求AF的長. 【分析】(1)根據(jù)ASA證明△ABE≌△BC

61、F,可得結(jié)論; (2)根據(jù)(1)得:△ABE≌△BCF,則CF=BE=2,最后利用勾股定理可得AF的長. 【解答】(1)證明:∵四邊形ABCD是正方形, ∴AB=BC,∠ABE=∠BCF=90°, ∴∠BAE+∠AEB=90°, ∵BH⊥AE, ∴∠BHE=90°, ∴∠AEB+∠EBH=90°, ∴∠BAE=∠EBH, 在△ABE和△BCF中, , ∴△ABE≌△BCF(ASA), ∴AE=BF; (2)解:∵AB=BC=5, 由(1)得:△ABE≌△BCF, ∴CF=BE=2, ∴DF=5﹣2=3, ∵四邊形ABCD是正方形, ∴AB=AD=5,∠ADF

62、=90°, 由勾股定理得:AF====.   50.(2018?烏魯木齊)如圖,AG是∠HAF的平分線,點(diǎn)E在AF上,以AE為直徑的⊙O交AG于點(diǎn)D,過點(diǎn)D作AH的垂線,垂足為點(diǎn)C,交AF于點(diǎn)B. (1)求證:直線BC是⊙O的切線; (2)若AC=2CD,設(shè)⊙O的半徑為r,求BD的長度. 【分析】(1)根據(jù)角平分線的定義和同圓的半徑相等可得OD∥AC,證明OD⊥CB,可得結(jié)論; (2)在Rt△ACD中,設(shè)CD=a,則AC=2a,AD=a,證明△ACD∽△ADE,表示a=,由平行線分線段成比例定理得:,代入可得結(jié)論. 【解答】(1)證明:連接OD, ∵AG是∠HAF的平分線, ∴∠CAD=∠BAD, ∵OA=OD, ∴∠OAD=∠ODA, ∴∠CAD=∠ODA, ∴OD∥AC, ∵∠ACD=90°, ∴∠ODB=∠ACD=90°,即OD⊥CB, ∵D在⊙O上, ∴直線BC是⊙O的切線;(4分) (2)解:在Rt△ACD中,設(shè)CD=a,則AC=2a,AD=a, 連接DE, ∵AE是⊙O的直徑, ∴∠ADE=90°, 由∠CAD=∠BAD,∠ACD=∠ADE=90°, ∴△ACD∽△ADE, ∴, 即, ∴a=, 由(1)知:OD∥AC, ∴,即, ∵a=,解得BD=r.(10分)   46

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