2018年中考數(shù)學專題訓練 材料閱讀

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1、2018級中考數(shù)學專題訓練—材料閱讀 1．如果把一個自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個位依次排出的一串數(shù)字，與從個位到最高位依次排出的一串數(shù)字完全相同，那么我們把這樣的自然數(shù)稱為“和諧數(shù)”．例如自然數(shù)12321，從最高位到個位依次排出的一串數(shù)字是：1，2，3，2，1，從個位到最高位依次排出的一串數(shù)字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一個“和諧數(shù)”，再加22，545，3883，345543，…，都是“和諧數(shù)”． （1）請你直接寫出3個四位“和諧數(shù)”；請你猜想任意一個四位“和諧數(shù)”能否被11整除？并說明理由； （2）已知一個能被11整除的三位“和諧數(shù)”，設其個位上的數(shù)字x（1≤x≤4，

2、x為自然數(shù)），十位上的數(shù)字為y，求y與x的函數(shù)關系式． 2．“十字相乘法”能把二次三項式分解因式，對于形如ax2+bxy+cy2的關于x，y的二次三項式來說，方法的關鍵是把x2項系數(shù)a分解成兩個因數(shù)a1，a2的積，即a=a1?a2，把y2項系數(shù)c分解成兩個因數(shù)c1，c2的積，即c=c1?c2，并使a1?c2+a2?c1正好等于xy項的系數(shù)b，那么可以直接寫成結果：ax2+bxy+cy2=（a1x+c1y）（a2x+c2y）． 例：分解因式：x2﹣2xy﹣8y2． 解：如圖1，其中1=1×1，﹣8=（﹣4）×2，而﹣2=1×2+1×（﹣4）． ∴x2﹣2xy﹣8y2=（x﹣4y）（x+2

3、y） 而對于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法來分解，如圖2，將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）； 例：分解因式：x2+2xy﹣3y2+3x+y+2 解：如圖3，其中1=1×1，﹣3=（﹣1）×3，2=1×2； 而2=1×3+1×（﹣1），1=（﹣1）×2+3×1，3=1×2+1×1； ∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2=（x﹣y+1）（

4、x+3y+2） 請同學們通過閱讀上述材料，完成下列問題： （1）分解因式： ①6x2﹣17xy+12y2=（3x﹣4y）（2x﹣3y） ②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12=（x﹣2y+3）（2x+3y﹣4） ③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y=（x﹣3y）（x+2y+2） （2）若關于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成兩個一次因式的積，求m的值． 3．能被3整除的整數(shù)具有一些特殊的性質： （1）定義一種能夠被3整除的三位數(shù)的“F”運算：把的每一個數(shù)位上的數(shù)字都立方，再相加，得到一個新數(shù)．例如=213時，則：21336（23+13+33

5、=36）243（33+63=243）．數(shù)字111經(jīng)過三次“F”運算得　　，經(jīng)過四次“F”運算得　　，經(jīng)過五次“F”運算得　　，經(jīng)過2016次“F”運算得　?。? （2）對于一個整數(shù)，如果它的各個數(shù)位上的數(shù)字和可以被3整除，那么這個數(shù)就一定能夠被3整除，例如，一個四位數(shù)，千位上的數(shù)字是a，百位上的數(shù)字是b，十位上的數(shù)字為c，個為上的數(shù)字為d，如果a+b+c+d可以被3整除，那么這個四位數(shù)就可以被3整除．你會證明這個結論嗎？寫出你的論證過程（以這個四位數(shù)為例即可）． 4．定義：如果M個不同的正整數(shù)，對其中的任意兩個數(shù)，這兩個數(shù)的積能被這兩個數(shù)的和整除，則稱這組數(shù)為M個數(shù)的祖沖之數(shù)組．如（3，6）

6、為兩個數(shù)的祖沖之數(shù)組，因為3×6能被（3+6整除）；又如（15，30，60）為三個數(shù)的祖沖之數(shù)組，因為（15×30）能被（15+30）整除，（15×60）能被（15+60）整除，（30×60）能被（30+60）整除… （1）我們發(fā)現(xiàn)，3和6，4和12，5和20，6和30…，都是兩個數(shù)的祖沖之數(shù)組；由此猜測n和n（n﹣1）（n≥2，n為整數(shù)）組成的數(shù)組是兩個數(shù)的祖沖之數(shù)組，請證明這一猜想． （3）若（4a，5a，6a）是三個數(shù)的祖沖之數(shù)組，求滿足條件的所有三位正整數(shù)a． 5．如果一個多位自然數(shù)的任意兩個相鄰數(shù)位上，左邊數(shù)位上的數(shù)總比右邊數(shù)位上數(shù)大1，那么我們把這樣的自然數(shù)叫做“妙數(shù)”．例如

7、：321，6543，98，…都是“妙數(shù)”． （1）若某個“妙數(shù)”恰好等于其個位數(shù)的153倍，則這個“妙數(shù)”為　　． （2）證明：任意一個四位“妙數(shù)”減去任意一個兩位“妙數(shù)”之差再加上1得到的結果一定能被11整除． （3）在某個三位“妙數(shù)”的左側放置一個一位自然數(shù)m作為千位上的數(shù)字，從而得到一新的四位自然數(shù)A，且m大于自然數(shù)A百位上的數(shù)字，否存在一個一位自然數(shù)n，使得自然數(shù)（9A+n）各數(shù)位上的數(shù)字全都相同？若存在請求出m和n的值；若不存在，請說明理由． 6．連續(xù)整數(shù)之間有許多神奇的關系， 如：32+42=52，這表明三個連續(xù)整數(shù)中較小兩個數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方，稱這樣的正整數(shù)組為

8、“奇幻數(shù)組”，進而推廣：設三個連續(xù)整數(shù)為a，b，c（a＜b＜c） 若a2+b2=c2，則稱這樣的正整數(shù)組為“奇幻數(shù)組”； 若a2+b2＜c2，則稱這樣的正整數(shù)組為“魔幻數(shù)組”； 若a2+b2＞c2，則稱這樣的正整數(shù)組為“夢幻數(shù)組”． （1）若有一組正整數(shù)組為“魔幻數(shù)組”，寫出所有的“魔幻數(shù)組”； （2）現(xiàn)有幾組“科幻數(shù)組”具有下面的特征： 若有3個連續(xù)整數(shù)：=2； 若有5個連續(xù)整數(shù)：=2； 若有7個連續(xù)整數(shù)：=2； … 由此獲得啟發(fā)，若存在n（7＜n＜11）個連續(xù)正整數(shù)也滿足上述規(guī)律，求這n個數(shù)． 7．我們對多項式x2+x﹣6進行因式分解時，可以用特定系數(shù)法求解．例如，我

9、們可以先設x2+x﹣6=（x+a）（x+b），顯然這是一個恒等式．根據(jù)多項式乘法將等式右邊展開有：x2+x﹣6=（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab 所以，根據(jù)等式兩邊對應項的系數(shù)相等，可得：a+b=1，ab=﹣6，解得a=3，b=﹣2或者a=﹣2，b=3．所以x2+x﹣6=（x+3）（x﹣2）．當然這也說明多項式x2+x﹣6含有因式：x+3和x﹣2． 像上面這種通過利用恒等式的性質來求未知數(shù)的方法叫特定系數(shù)法．利用上述材料及示例解決以下問題． （1）已知關于x的多項式x2+mx﹣15有一個因式為x﹣1，求m的值； （2）已知關于x的多項式2x3+5x2﹣x+b有一個因式為x

10、+2，求b的值． 8．閱讀下列材料解決問題： 材料：古希臘著名數(shù)學家 畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)把數(shù)1，3，6，10，15，21…這些數(shù)量的（石子），都可以排成三角形，則稱像這樣的數(shù)為三角形數(shù)． 把數(shù) 1，3，6，10，15，21…換一種方式排列，即 1=1 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10 1+2+3+4+5=15 … 從上面的排列方式看，把1，3，6，10，15，…叫做三角形數(shù)“名副其實”． （1）設第一個三角形數(shù)為a1=1，第二個三角形數(shù)為a2=3，第三個三角形數(shù)為a3=6，請直接寫出第n個三角形數(shù)為an的表達式（其中n為正整數(shù)）． （2）根據(jù)（1）的結論判斷

11、66是三角形數(shù)嗎？若是請說出66是第幾個三角形數(shù)？若不是請說明理由． （3）根據(jù)（1）的結論判斷所有三角形數(shù)的倒數(shù)之和T與2的大小關系并說明理由． 9．如果一個自然數(shù)可以表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的立方差，那么我們就稱這個自然數(shù)為“麻辣數(shù)”．如：2=13﹣（﹣1）3，26=33﹣13，所以2、26均為“麻辣數(shù)”． 【立方差公式a3﹣b3=（a﹣b）（a2+ab+b2）】 （1）請判斷98和169是否為“麻辣數(shù)”，并說明理由； （2）在小組合作學習中，小明提出新問題：“求出在不超過2016的自然數(shù)中，所有的‘麻辣數(shù)’之和為多少？”小組的成員胡圖圖略加思索后說：“這個難不倒圖圖，我們知道奇數(shù)可以

12、用2k+1表示…，再結合立方差公式…”，請你順著胡圖圖的思路，寫出完整的求解過程． 10．下面是某同學對多項式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4進行因式分解的過程． 解：設x2﹣4x=y 原式=（y+2）（y+6）+4（第一步） =y2+8y+16（第二步） =（y+4）2（第三步） =（x2﹣4x+4）2（第四步） 回答下列問題： （1）該同學第二步到第三步運用了因式分解的　?。? A、提取公因式B．平方差公式 C、兩數(shù)和的完全平方公式D．兩數(shù)差的完全平方公式 （2）該同學因式分解的結果是否徹底　?。ㄌ睢皬氐住被颉安粡氐住保? 若不徹底，請直接寫出因式分解的最后結

13、果　　． （3）請你模仿以上方法嘗試對多項式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1進行因式分解． 11．閱讀材料： 材料一：對于任意的非零實數(shù)x和正實數(shù)k，如果滿足為整數(shù)，則稱k是x的一個“整商系數(shù)”． 例如：x=2時，k=3?=2，則3是2的一個整商系數(shù)； x=2時，k=12?=8，則12也是2的一個整商系數(shù)； x=時，k=6?=1，則6是的一個整商系數(shù)； 結論：一個非零實數(shù)x有無數(shù)個整商系數(shù)k，其中最小的一個整商系數(shù)記為k（x），例如k（2）= 材料二：對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，兩根x1，x2有如下關系： x1+x2=﹣；x1x2= 應用： （1

14、）k（）=　　 k（﹣）=　　 （2）若實數(shù)a（a＜0）滿足k（）＞k（），求a的取值范圍？ （3）若關于x的方程：x2+bx+4=0的兩個根分別為x1、x2，且滿足k（x1）+k（x2）=9，則b的值為多少？ 12．定義符號min{a，b}的含義為：當a≥b時，min{a，b}=b；當a＜b時，min{a，b}=a．如：min{1，﹣2}=﹣2，min{﹣1，2}=﹣1． （1）求min{x2﹣1，﹣2}； （2）已知min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3，求實數(shù)k的取值范圍； （3）已知當﹣2≤x≤3時，min{x2﹣2x﹣15，m（x+1）}=x2﹣2x﹣15．直接寫出實數(shù)m的

15、取值范圍． 13．對于非負實數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為＜x＞，即：當n為非負整數(shù)時，如果n﹣≤x＜n+，則＜x＞=n．如：＜0＞=＜0.46＞=0，＜0.64＞=＜1.49＞=1，＜3.5＞=＜4.28＞=4，…試解決下列問題： （1）填空：①＜π＞=　?。é袨閳A周率）； ②如果＜2x﹣1＞=3，則實數(shù)x的取值范圍為　　； （2）試舉例說明：當x=　　，y=　　時，＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不恒成立； （3）求滿足＜x＞=x的所有非負實數(shù)x的值． 14．設a，b是整數(shù)，且b≠0，如果存在整數(shù)c，使得a=bc，則稱b整除a，記作b|a． 例如：∵8=1×8，∴1|8；∵﹣5=﹣

16、5×1，∴﹣5|﹣5；∵10=2×5，∴2|10． （1）若n|6，且n為正整數(shù)，則n的值為　　； （2）若7|2k+1，且k為整數(shù)，滿足，求k的值． 15．對于實數(shù)a、b，定義一種新運算“?”為：a?b=，這里等式右邊是通常的四則運算．例如：1?3==． （1）解方程（﹣2）?x=1?x； （2）若x，y均為自然數(shù)，且滿足等式y(tǒng)﹣5=，求滿足條件的所有數(shù)對（x，y）． 16．韋達定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根分別為x1、x2，則x1+x2=﹣，x1?x2=，閱讀下面應用韋達定理的過程： 若一元二次方程﹣2x2+4x+1=0的兩根分別為x1、x2，求x1

17、2+x22的值． 解：該一元二次方程的△=b2﹣4ac=42﹣4×（﹣2）×1=24＞0 由韋達定理可得，x1+x2=﹣=﹣=2，x1?x2===﹣ x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2 =22﹣2×（﹣） =5 然后解答下列問題： （1）設一元二次方程2x2+3x﹣1=0的兩根分別為x1，x2，不解方程，求x12+x22的值； （2）若關于x的一元二次方程（k﹣1）x2+（k2﹣1）x+（k﹣1）2=0的兩根分別為α，β，且α2+β2=4，求k的值． 17．閱讀材料： 關于x的方程： x+的解為：x1=c，x2= x﹣（可變形為x+）的解為：x1=c，x2=

18、 x+的解為：x1=c，x2= x+的解為：x1=c，x2= … 根據(jù)以上材料解答下列問題： （1）①方程x+的解為　　 ②方程x﹣1+=2+的解為　　 （2）解關于x方程：x﹣（a≠2） 18．認真閱讀下面的材料，完成有關問題． 材料：在學習絕對值時，老師教過我們絕對值的幾何含義，如|5﹣3|表示5、3在數(shù)軸上對應的兩點之間的距離；|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在數(shù)軸上對應的兩點之間的距離；|5|=|5﹣0|，所以|5|表示5在數(shù)軸上對應的點到原點的距離．一般地，點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，那么A、B之間的距離可表示為|a﹣b|． 問題（

19、1）：點A、B、C在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)x、﹣2、1，那么A到B的距離與A到C的距離之和可表示為　?。ㄓ煤^對值的式子表示）． 問題（2）：利用數(shù)軸探究：①找出滿足|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是　　，②設|x﹣3|+|x+1|=p，當x的值取在不小于﹣1且不大于3的范圍時，p的值是不變的，而且是p的最小值，這個最小值是　　；當x的值取在　　的范圍時，|x|+|x﹣2|的最小值是　?。? 問題（3）：求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值以及此時x的值． 問題（4）：若|x﹣3|+|x﹣2|+|x|+|x+1|≥a對任意的實數(shù)x都成立，求a的取值． 　 2018級中考

20、數(shù)學專題訓練-材料閱讀 參考答案與試題解析 　 一．解答題（共18小題） 1．（2015?重慶）如果把一個自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個位依次排出的一串數(shù)字，與從個位到最高位依次排出的一串數(shù)字完全相同，那么我們把這樣的自然數(shù)稱為“和諧數(shù)”．例如自然數(shù)12321，從最高位到個位依次排出的一串數(shù)字是：1，2，3，2，1，從個位到最高位依次排出的一串數(shù)字仍是：1，2，3，2，1，因此12321是一個“和諧數(shù)”，再加22，545，3883，345543，…，都是“和諧數(shù)”． （1）請你直接寫出3個四位“和諧數(shù)”；請你猜想任意一個四位“和諧數(shù)”能否被11整除？并說明理由； （2）已知一個能

21、被11整除的三位“和諧數(shù)”，設其個位上的數(shù)字x（1≤x≤4，x為自然數(shù)），十位上的數(shù)字為y，求y與x的函數(shù)關系式． 【分析】（1）根據(jù)“和諧數(shù)”的定義（把一個自然數(shù)各數(shù)位上的數(shù)字從最高位到個位依次排出的一串數(shù)字，與從個位到最高位依次排出的一串數(shù)字完全相同）寫出四個“和諧數(shù)”，設任意四位“和諧數(shù)”形式為：，根據(jù)和諧數(shù)的定義得到a=d，b=c，則 ===91a+10b為正整數(shù)，易證得任意四位“和諧數(shù)”都可以被11整除； （2）設能被11整除的三位“和諧數(shù)”為：，則===9x+y+為正整數(shù)．故y=2x（1≤x≤4，x為自然數(shù)）． 【解答】解：（1）四位“和諧數(shù)”：1221，1331，1111，

22、6666…（答案不唯一） 任意一個四位“和諧數(shù)”都能被11整除，理由如下： 設任意四位“和諧數(shù)”形式為：，則滿足： 最高位到個位排列：a，b，c，d． 個位到最高位排列：d，c，b，a． 由題意，可得兩組數(shù)據(jù)相同，則：a=d，b=c， 則 ===91a+10b為正整數(shù)． ∴四位“和諧數(shù)”能被11整數(shù)， 又∵a，b，c，d為任意自然數(shù)， ∴任意四位“和諧數(shù)”都可以被11整除； （2）設能被11整除的三位“和諧數(shù)”為：，則滿足： 個位到最高位排列：x，y，z． 最高位到個位排列：z，y，x． 由題意，兩組數(shù)據(jù)相同，則：x=z， 故 ==101x+10y， 故

23、===9x+y+為正整數(shù)． 故y=2x（1≤x≤4，x為自然數(shù)）． 【點評】本題考查了因式分解的應用．解題的關鍵是弄清楚“和諧數(shù)”的定義，從而寫出符合題意的數(shù)． 　 2．（2016?重慶模擬）“十字相乘法”能把二次三項式分解因式，對于形如ax2+bxy+cy2的關于x，y的二次三項式來說，方法的關鍵是把x2項系數(shù)a分解成兩個因數(shù)a1，a2的積，即a=a1?a2，把y2項系數(shù)c分解成兩個因數(shù)c1，c2的積，即c=c1?c2，并使a1?c2+a2?c1正好等于xy項的系數(shù)b，那么可以直接寫成結果：ax2+bxy+cy2=（a1x+c1y）（a2x+c2y）． 例：分解因式：x2﹣2xy﹣

24、8y2． 解：如圖1，其中1=1×1，﹣8=（﹣4）×2，而﹣2=1×2+1×（﹣4）． ∴x2﹣2xy﹣8y2=（x﹣4y）（x+2y） 而對于形如ax2+bxy+cy2+dx+ey+f的x，y的二元二次式也可以用十字相乘法來分解，如圖2，將a分解成mn乘積作為一列，c分解成pq乘積作為第二列，f分解成jk乘積作為第三列，如果mq+np=b，pk+qj=e，mk+nj=d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都滿足十字相乘規(guī)則，則原式=（mx+py+j）（nx+qy+k）； 例：分解因式：x2+2xy﹣3y2+3x+y+2 解：如圖3，其中1=1×1，﹣3=（﹣1）×3，2=1×2

25、； 而2=1×3+1×（﹣1），1=（﹣1）×2+3×1，3=1×2+1×1； ∴x2+2xy﹣3y2+3x+y+2=（x﹣y+1）（x+3y+2） 請同學們通過閱讀上述材料，完成下列問題： （1）分解因式： ①6x2﹣17xy+12y2=（3x﹣4y）（2x﹣3y） ②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12=（x﹣2y+3）（2x+3y﹣4） ③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y=（x﹣3y）（x+2y+2） （2）若關于x，y的二元二次式x2+7xy﹣18y2﹣5x+my﹣24可以分解成兩個一次因式的積，求m的值． 【分析】（1）①直接用十字相乘法分解因式；②把某個字母

26、看成常數(shù)用十字相乘法分解即可；③同②的方法分解； （2）用十字相乘法把能分解的集中情況全部列出求出m值． 【解答】解：（1）①6x2﹣17xy+12y2=（3x﹣4y）（2x﹣3y）， ②2x2﹣xy﹣6y2+2x+17y﹣12=（x﹣2y+3）（2x+3y﹣4）， ③x2﹣xy﹣6y2+2x﹣6y=（x﹣3y）（x+2y+2）， 故答案為）①（3x﹣4y）（2x﹣3y），②（x﹣2y+3）（2x+3y﹣4），③（x﹣3y）（x+2y+2）， （2）如圖， m=3×9+（﹣8）×（﹣2）=43 或m=9×（﹣8）+3×（﹣2）=﹣78． 【點評】此題是因式分解﹣十字相乘法

27、，主要考查了二元二次多項式的分解因式的方法，解本題的關鍵是選好那個字母當做常數(shù)對待，再用十字相乘法分解． 　 3．（2016?重慶校級模擬）能被3整除的整數(shù)具有一些特殊的性質： （1）定義一種能夠被3整除的三位數(shù)的“F”運算：把的每一個數(shù)位上的數(shù)字都立方，再相加，得到一個新數(shù)．例如=213時，則：21336（23+13+33=36）243（33+63=243）．數(shù)字111經(jīng)過三次“F”運算得　351　，經(jīng)過四次“F”運算得　153　，經(jīng)過五次“F”運算得　153　，經(jīng)過2016次“F”運算得　153　． （2）對于一個整數(shù)，如果它的各個數(shù)位上的數(shù)字和可以被3整除，那么這個數(shù)就一定能夠被

28、3整除，例如，一個四位數(shù)，千位上的數(shù)字是a，百位上的數(shù)字是b，十位上的數(shù)字為c，個為上的數(shù)字為d，如果a+b+c+d可以被3整除，那么這個四位數(shù)就可以被3整除．你會證明這個結論嗎？寫出你的論證過程（以這個四位數(shù)為例即可）． 【分析】（1）根據(jù)“F運算”的定義得到111經(jīng)過三次“F運算”的結果，經(jīng)過四次“F運算”的結果，經(jīng)過五次“F運算”的結果，經(jīng)過2016次“F運算”的結果即可； （2）首先根據(jù)題意可設a+b+c+d=3e，則此四位數(shù)1000a+100b+10c+d可表示為999a+99b+9c+a+b+c+d，即3（333a+33b+3c）+3e，所以可得這個四位數(shù)就可以被3整除． 【

29、解答】（1）解：1113（13+13+13=3）27（33=27）351（23+73=351）153（33+53+13=153）153（13+53+33=153）153（33+53+13=153）． 故數(shù)字111經(jīng)過三次“F”運算得351，經(jīng)過四次“F”運算得153，經(jīng)過五次“F”運算得 153，經(jīng)過2016次“F”運算得 153． （2）證明：設a+b+c+d=3e（e為整數(shù)）， 這個四位數(shù)可以寫為：1000a+100b+10c+d， ∴1000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+a+b+c+d=3（333a+33b+3c）+3e， ∴=333a+33b+3c+e，

30、 ∵333a+33b+3c+e是整數(shù)， ∴1000a+100b+10c+d可以被3整除． 故答案為：351，153，153，153． 【點評】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類：認真觀察、仔細思考，善用聯(lián)想是解決這類問題的方法．同時考查了數(shù)的整除性問題．注意四位數(shù)的表示方法與整體思想的應用． 　 4．（2016?重慶校級二模）定義：如果M個不同的正整數(shù)，對其中的任意兩個數(shù)，這兩個數(shù)的積能被這兩個數(shù)的和整除，則稱這組數(shù)為M個數(shù)的祖沖之數(shù)組．如（3，6）為兩個數(shù)的祖沖之數(shù)組，因為3×6能被（3+6整除）；又如（15，30，60）為三個數(shù)的祖沖之數(shù)組，因為（15×30）能被（15+30）整除，

31、（15×60）能被（15+60）整除，（30×60）能被（30+60）整除… （1）我們發(fā)現(xiàn)，3和6，4和12，5和20，6和30…，都是兩個數(shù)的祖沖之數(shù)組；由此猜測n和n（n﹣1）（n≥2，n為整數(shù)）組成的數(shù)組是兩個數(shù)的祖沖之數(shù)組，請證明這一猜想． （3）若（4a，5a，6a）是三個數(shù)的祖沖之數(shù)組，求滿足條件的所有三位正整數(shù)a． 【分析】（1）根據(jù)祖沖之數(shù)組的定義，即可解決問題． （2）首先判斷出a是5，9，11的倍數(shù)，由此即可解決問題． 【解答】解：（1）∵n?n（n﹣1）÷[n+n（n﹣1）]=n2（n﹣1）÷n2=n﹣1， ∴n和n（n﹣1）（n≥2，n為整數(shù)）組成的數(shù)組是

32、祖沖之數(shù)組． （2）∵=，=，=都是整數(shù)， ∴a是5，9，11的倍數(shù)， ∴滿足條件的所有三位正整數(shù)a為495或990． 【點評】本題考查因式分解的應用，整數(shù)等知識，解題的關鍵是理解題意，題目比較抽象，有一定難度． 　 5．（2016?重慶校級一模）如果一個多位自然數(shù)的任意兩個相鄰數(shù)位上，左邊數(shù)位上的數(shù)總比右邊數(shù)位上數(shù)大1，那么我們把這樣的自然數(shù)叫做“妙數(shù)”．例如：321，6543，98，…都是“妙數(shù)”． （1）若某個“妙數(shù)”恰好等于其個位數(shù)的153倍，則這個“妙數(shù)”為　765?。? （2）證明：任意一個四位“妙數(shù)”減去任意一個兩位“妙數(shù)”之差再加上1得到的結果一定能被11整除．

33、 （3）在某個三位“妙數(shù)”的左側放置一個一位自然數(shù)m作為千位上的數(shù)字，從而得到一新的四位自然數(shù)A，且m大于自然數(shù)A百位上的數(shù)字，否存在一個一位自然數(shù)n，使得自然數(shù)（9A+n）各數(shù)位上的數(shù)字全都相同？若存在請求出m和n的值；若不存在，請說明理由． 【分析】（1）設這個“妙數(shù)”個位數(shù)字為a，根據(jù)題意判斷“妙數(shù)”的尾位數(shù)，從而得知這個“妙數(shù)”為3位數(shù)，列出方程100（x+2）+10（x+1）+x=153x，求解可得； （2）設四位“妙數(shù)”的個位為x、兩位“妙數(shù)”的個位為y，分別表示出四位“妙數(shù)”和兩位“妙數(shù)”，再將四位“妙數(shù)”減去任意一個兩位“妙數(shù)”之差再加上1的結果除以11判斷結果是否為整數(shù)即

34、可； （3）設三位“妙數(shù)”的個位為z，可知A=1000m+111z+210，繼而可得9A+n=9000m+999z+1890+n=1000（9m+z+1）+800+90+n﹣z，由﹣8≤n﹣z≤9、1000（9m+z+1）≤1000（9×9+9+1）=91000知其百位數(shù)一定是8，且該數(shù)為5位數(shù)，若存在則該數(shù)為88888，從而得出即9m+z=87、n﹣z=﹣2，由m＞z+2知z＜m﹣2，而z=87﹣9m＜m﹣2，解之可得m＞8.9，即可得m值，進一步即可得答案． 【解答】解：（1）設這個“妙數(shù)”個位數(shù)字為a， 若這個“妙數(shù)”為4位數(shù)，則其個位數(shù)字最大為6，根據(jù)題意可知這個“妙數(shù)”最大為6

35、×153=918，不合題意； ∴這個“妙數(shù)”為3位數(shù)，根據(jù)題意得：100（x+2）+10（x+1）+x=153x， 解得：x=5， 則這個“妙數(shù)”為765， 故答案為：765； （2）由題意，設四位“妙數(shù)”的個位為x，則此數(shù)為1000（x+3）+100（x+2）+10（x+1）+x=1111x+3210， 設兩位“妙數(shù)”的個位為y，則此數(shù)為10（y+1）+y=11y+10， ∴==101x﹣y+291， ∵x、y為整數(shù)， ∴101x﹣y+291也為整數(shù)， ∴任意一個四位“妙數(shù)”減去任意一個兩位“妙數(shù)”之差再加上1得到的結果一定能被11整除； （3）設三位“妙數(shù)”的個位為z

36、，由題意，得： A=1000m+100（z+2）+10（z+1）+z=1000m+111z+210， ∴9A+n=9000m+999z+1890+n =9000m+1000z+1890+n﹣z =1000（9m+z+1）+800+90+n﹣z， ∵m、n是一位自然數(shù)，0≤z≤9，且z為整數(shù)， ∴﹣8≤n﹣z≤9， ∵9A+n的百位為8，且1000（9m+z+1）≤1000（9×9+9+1）=91000， ∴9A+n為五位數(shù)，且9A+n=88888， ∴， ∴9m+z=87，n﹣z=﹣2， ∵m＞z+2， ∴z＜m﹣2， ∴z=87﹣9m＜m﹣2， ∴m＞8.9，

37、∵m是一個自然數(shù)， ∴m=9， 于是z=6，n=4， 答：m=9，n=4． 【點評】本題主要考查因式分解的應用及新定義下數(shù)字的規(guī)律，理解新定義是解題的根本，將9A+n分解成1000（9m+z+1）+800+90+n﹣z并判斷出其百位數(shù)是解題的關鍵． 　 6．（2016?重慶校級三模）連續(xù)整數(shù)之間有許多神奇的關系， 如：32+42=52，這表明三個連續(xù)整數(shù)中較小兩個數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方，稱這樣的正整數(shù)組為“奇幻數(shù)組”，進而推廣：設三個連續(xù)整數(shù)為a，b，c（a＜b＜c） 若a2+b2=c2，則稱這樣的正整數(shù)組為“奇幻數(shù)組”； 若a2+b2＜c2，則稱這樣的正整數(shù)組為“魔幻數(shù)

38、組”； 若a2+b2＞c2，則稱這樣的正整數(shù)組為“夢幻數(shù)組”． （1）若有一組正整數(shù)組為“魔幻數(shù)組”，寫出所有的“魔幻數(shù)組”； （2）現(xiàn)有幾組“科幻數(shù)組”具有下面的特征： 若有3個連續(xù)整數(shù)：=2； 若有5個連續(xù)整數(shù)：=2； 若有7個連續(xù)整數(shù)：=2； … 由此獲得啟發(fā)，若存在n（7＜n＜11）個連續(xù)正整數(shù)也滿足上述規(guī)律，求這n個數(shù)． 【分析】（1）根據(jù)“魔幻數(shù)組”的定義，找出所有的“魔幻數(shù)組”即可得出結論； （2）根據(jù)規(guī)律找出n=9，設出這9個數(shù)，再根據(jù)“科幻數(shù)組”的特征找出關于m的一元二次方程，解方程即可得出結論． 【解答】解：（1）1，2，3及2，3，4． （2）由已

39、知可得： 32+42=52，102+112+122=132+142，212+222+232+242=252+262+272，… 故可知n=9，可設這9個數(shù)為m﹣4，m﹣3，m﹣2，m﹣1，m，m+1，m+2，m+3，m+4，則有： （m﹣4）2+（m﹣3）2+（m﹣2）2+（m﹣1）2+m2=（m+1）2+（m+2）2+（m+3）2+（m+4）2， 整理得：m2﹣40m=0，由題意m不為0，故m=40， ∴這9個數(shù)為36，37，38，39，40，41，42，43，44． 【點評】本題考查了新定義的應用，根據(jù)新定義的意義找出方程是解題的關鍵． 　 7．（2015?重慶校級模擬）我

40、們對多項式x2+x﹣6進行因式分解時，可以用特定系數(shù)法求解．例如，我們可以先設x2+x﹣6=（x+a）（x+b），顯然這是一個恒等式．根據(jù)多項式乘法將等式右邊展開有：x2+x﹣6=（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab 所以，根據(jù)等式兩邊對應項的系數(shù)相等，可得：a+b=1，ab=﹣6，解得a=3，b=﹣2或者a=﹣2，b=3．所以x2+x﹣6=（x+3）（x﹣2）．當然這也說明多項式x2+x﹣6含有因式：x+3和x﹣2． 像上面這種通過利用恒等式的性質來求未知數(shù)的方法叫特定系數(shù)法．利用上述材料及示例解決以下問題． （1）已知關于x的多項式x2+mx﹣15有一個因式為x﹣1，求m的

41、值； （2）已知關于x的多項式2x3+5x2﹣x+b有一個因式為x+2，求b的值． 【分析】（1）根據(jù)多項式乘法將等式右邊展開有：x2+mx﹣15=（x﹣1）（x+n）=x2+（n﹣1）x﹣n，所以，根據(jù)等式兩邊對應項的系數(shù)相等可以求得m的值； （2）解答思路同（1）． 【解答】解：（1）由題設知：x2+mx﹣15=（x﹣1）（x+n）=x2+（n﹣1）x﹣n， 故m=n﹣1，﹣n=﹣15， 解得n=15，m=14． 故m的值是14； （2）由題設知：2x3+5x2﹣x+b=（x+2）（2x+t）（x+k）=2x3+（2k+t+4）x2+（4k+2t+kt）x+2kt， ∴2

42、k+t+4=5，4k+2t+kt=﹣1，2kt=b． 解得：k1=，k2=﹣1． ∴t1=﹣2，t2=3． ∴b1=b2=2kt=﹣6． 【點評】本題考查了解一元二次方程﹣因式分解法和因式分解的應用，主要考查學生的理解能力和閱讀能力，題目比較好，但有一定的難度． 　 8．（2016?重慶校級一模）閱讀下列材料解決問題： 材料：古希臘著名數(shù)學家 畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)把數(shù)1，3，6，10，15，21…這些數(shù)量的（石子），都可以排成三角形，則稱像這樣的數(shù)為三角形數(shù)． 把數(shù) 1，3，6，10，15，21…換一種方式排列，即 1=1 1+2=3 1+2+3=6 1+2+3+4=10

43、1+2+3+4+5=15 … 從上面的排列方式看，把1，3，6，10，15，…叫做三角形數(shù)“名副其實”． （1）設第一個三角形數(shù)為a1=1，第二個三角形數(shù)為a2=3，第三個三角形數(shù)為a3=6，請直接寫出第n個三角形數(shù)為an的表達式（其中n為正整數(shù)）． （2）根據(jù)（1）的結論判斷66是三角形數(shù)嗎？若是請說出66是第幾個三角形數(shù)？若不是請說明理由． （3）根據(jù)（1）的結論判斷所有三角形數(shù)的倒數(shù)之和T與2的大小關系并說明理由． 【分析】（1）根據(jù)題意歸納總結得到一般性規(guī)律，寫出即可； （2）66是三角形數(shù)，理由為：根據(jù)得出的規(guī)律確定出原因即可； （3）表示出的T表示后，利用拆項法整理

44、判斷即可． 【解答】解：（1）根據(jù)題意得：an=（n為正整數(shù)）； （2）66是三角形數(shù)，理由如下： 當=66時，解得：n=11或n=﹣12（舍去）， 則66是第11個三角形數(shù)； （2）T=++++…+=++++…+=2（1﹣+﹣+﹣+…+﹣）=， ∵n為正整數(shù)，∴0＜1， 則T＜2． 【點評】此題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，弄清題中的規(guī)律是解本題的關鍵． 　 9．（2016?重慶校級一模）如果一個自然數(shù)可以表示為兩個連續(xù)奇數(shù)的立方差，那么我們就稱這個自然數(shù)為“麻辣數(shù)”．如：2=13﹣（﹣1）3，26=33﹣13，所以2、26均為“麻辣數(shù)”． 【立方差公式a3﹣b3=（a﹣

45、b）（a2+ab+b2）】 （1）請判斷98和169是否為“麻辣數(shù)”，并說明理由； （2）在小組合作學習中，小明提出新問題：“求出在不超過2016的自然數(shù)中，所有的‘麻辣數(shù)’之和為多少？”小組的成員胡圖圖略加思索后說：“這個難不倒圖圖，我們知道奇數(shù)可以用2k+1表示…，再結合立方差公式…”，請你順著胡圖圖的思路，寫出完整的求解過程． 【分析】（1）根據(jù)相鄰兩個奇數(shù)的立方差，可得答案； （2）根據(jù)相鄰兩個奇數(shù)的立方差，麻辣數(shù)的定義，可得答案． 【解答】解：設k為整數(shù)，則2k+1、2k﹣1為兩個連續(xù)奇數(shù)， 設M為“麻辣數(shù)”， 則M=（2k+1）3﹣（2k﹣1）3=24k2+2； （

46、1）98=53﹣33，故98是麻辣數(shù)；M=24k2+2是偶數(shù)，故169不是麻辣數(shù)； （2）令M≤2016，則24k2+2≤2016， 解得k2≤＜84， 故k2=0，1，4，9，16，25，36，49，64，81， 故M的和為24×（0+1+4+9+16+25+36+49+64+81）+2×10=6860． 【點評】本題考查了平方差公式，利用平方差公式是解題關鍵． 　 10．（2013?泉州校級模擬）下面是某同學對多項式（x2﹣4x+2）（x2﹣4x+6）+4進行因式分解的過程． 解：設x2﹣4x=y 原式=（y+2）（y+6）+4（第一步） =y2+8y+16（第二步）

47、 =（y+4）2（第三步） =（x2﹣4x+4）2（第四步） 回答下列問題： （1）該同學第二步到第三步運用了因式分解的　C?。? A、提取公因式B．平方差公式 C、兩數(shù)和的完全平方公式D．兩數(shù)差的完全平方公式 （2）該同學因式分解的結果是否徹底　不徹底?。ㄌ睢皬氐住被颉安粡氐住保? 若不徹底，請直接寫出因式分解的最后結果?。▁﹣2）4?。? （3）請你模仿以上方法嘗試對多項式（x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1進行因式分解． 【分析】（1）完全平方式是兩數(shù)的平方和與這兩個數(shù)積的兩倍的和或差； （2）x2﹣4x+4還可以分解，所以是不徹底． （3）按照例題的分解方法進行分解即

48、可． 【解答】解：（1）運用了C，兩數(shù)和的完全平方公式； （2）x2﹣4x+4還可以分解，分解不徹底； （3）設x2﹣2x=y． （x2﹣2x）（x2﹣2x+2）+1， =y（y+2）+1， =y2+2y+1， =（y+1）2， =（x2﹣2x+1）2， =（x﹣1）4． 【點評】本題考查了運用公式法分解因式和學生的模仿理解能力，按照提供的方法和樣式解答即可，難度中等． 　 11．（2016?重慶校級模擬）閱讀材料： 材料一：對于任意的非零實數(shù)x和正實數(shù)k，如果滿足為整數(shù)，則稱k是x的一個“整商系數(shù)”． 例如：x=2時，k=3?=2，則3是2的一個整商系數(shù)； x=

49、2時，k=12?=8，則12也是2的一個整商系數(shù)； x=時，k=6?=1，則6是的一個整商系數(shù)； 結論：一個非零實數(shù)x有無數(shù)個整商系數(shù)k，其中最小的一個整商系數(shù)記為k（x），例如k（2）= 材料二：對于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）中，兩根x1，x2有如下關系： x1+x2=﹣；x1x2= 應用： （1）k（）=　2　 k（﹣）=　　 （2）若實數(shù)a（a＜0）滿足k（）＞k（），求a的取值范圍？ （3）若關于x的方程：x2+bx+4=0的兩個根分別為x1、x2，且滿足k（x1）+k（x2）=9，則b的值為多少？ 【分析】（1）求出最小的個整商系數(shù)即可． （2）根

50、據(jù)k（）＞k（）分類討論列出不等式解不等式即可． （3）利用根與系數(shù)關系把k（x1）+k（x2）=9，轉化為含有b的方程，記得分類討論即可． 【解答】解：（1）k（）=2，k（﹣）=． 故答案分別為2，． （2）∵k（）＞k（）， 當﹣1＜a＜0時，原式化為＞3（a+1） ∴a＜﹣，即﹣1＜a＜﹣， 當a＜﹣1時，原式化為＞﹣3（a+1） 解得a＞﹣2， 故可知a的取值范圍為﹣2＜a＜﹣1或﹣1＜a＜﹣． （3）設方程的兩個根有x1＜x2， 由于x1x2=，故x1與x2同號． 當x2＜0時，k（x1）+k（x2）=﹣=﹣=， 解得b=12． 當x1＞0時，k（x1）

51、+k（x2）===， 解得b=﹣12． 綜上b=±12． 【點評】本題考查根與系數(shù)關系，解題的關鍵是理解題意，根據(jù)整商系數(shù)的定義解決問題，學會用轉化的思想把問題轉化為方程或不等式，題中也體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學思想． 　 12．（2015?東城區(qū)一模）定義符號min{a，b}的含義為：當a≥b時，min{a，b}=b；當a＜b時，min{a，b}=a．如：min{1，﹣2}=﹣2，min{﹣1，2}=﹣1． （1）求min{x2﹣1，﹣2}； （2）已知min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3，求實數(shù)k的取值范圍； （3）已知當﹣2≤x≤3時，min{x2﹣2x﹣15，m（x+1）}=

52、x2﹣2x﹣15．直接寫出實數(shù)m的取值范圍． 【分析】（1）比較x2﹣1與﹣2的大小，得到答案； （2）把x2﹣2x+k化為（x﹣1）2+k﹣1的形式，確定k的取值范圍； （3）根據(jù)當﹣2≤x≤3時，y=x2﹣2x﹣15的值小于y=m（x+1）的值，解答即可． 【解答】解：（1）∵x2≥0， ∴x2﹣1≥﹣1， ∴x2﹣1＞﹣2． ∴min{x2﹣1，﹣2}=﹣2， （2）∵x2﹣2x+k=（x﹣1）2+k﹣1， ∴（x﹣1）2+k﹣1≥k﹣1． ∵min{x2﹣2x+k，﹣3}=﹣3， ∴k﹣1≥﹣3． ∴k≥﹣2， （3）對于y=x2﹣2x﹣15，當x=﹣2時，y

53、=﹣7， 當x=3時，y=﹣12， 由題意可知拋物線y=x2﹣2x﹣15與直線y=m（x+1）的交點坐標為（﹣2，﹣7），（3，﹣12）， 所以m的范圍是：﹣3≤m≤7． 【點評】本題考查的是與二次函數(shù)和一次函數(shù)有關的新定義，根據(jù)題意理解新定義的計算公式是解題的關鍵，注意：一次函數(shù)和二次函數(shù)的性質的運用． 　 13．（2015?重慶校級二模）對于非負實數(shù)x“四舍五入”到個位的值記為＜x＞，即：當n為非負整數(shù)時，如果n﹣≤x＜n+，則＜x＞=n．如：＜0＞=＜0.46＞=0，＜0.64＞=＜1.49＞=1，＜3.5＞=＜4.28＞=4，…試解決下列問題： （1）填空：①＜π＞=　3

54、?。é袨閳A周率）； ②如果＜2x﹣1＞=3，則實數(shù)x的取值范圍為　??； （2）試舉例說明：當x=　0.6　，y=　0.7　時，＜x+y＞=＜x＞+＜y＞不恒成立； （3）求滿足＜x＞=x的所有非負實數(shù)x的值． 【分析】（1）根據(jù)取近似值的方法確定x的取值范圍即可，反過來也可確定未知數(shù)的值； （2）分0≤a＜時和≤a＜1時兩種情況分類討論即可； （3）據(jù)取近似值的方法確定x的取值范圍即可． 【解答】解：（1）①3＜π； ②如果＜2x﹣1＞=3，可得； 故答案為：3；； （2）說明：設x=n+a，其中n為x的整數(shù)部分（n為非負整數(shù)），a為x的小數(shù)部分 （0≤a＜1） 分兩種情

55、況： （Ⅰ）當0≤a＜時，有＜x＞=n ∵x+y=（n+y）+a， 這時（n+y）為（x+y）的整數(shù)部分，a為（x+y）的小數(shù)部分， ∴＜x+y＞=n+y 又＜x＞+y=n+y ∴＜x+y＞=＜x＞+y． （Ⅱ）當≤a＜1時，有＜x＞=n+1 ∵x+y=（n+y）+a 這時（n+y）為（x+y）的整數(shù)部分，a為（x+y）的小數(shù)部分， ∴＜x+y＞=n+y+1 又＜x＞+y=n+1+y=n+y+1 ∴＜x+y＞=＜x＞+y． 綜上所述：＜x+y＞=＜x＞+y，此時x=0.6，y=0.7； 故答案為：0.6；0.7； （3）設（k為非負整數(shù)），則x=，根據(jù)題意可得：

56、 ， 即﹣2≤k≤2， 則k=0，1，2， x=0，． 【點評】本題考查了一元一次不等式的應用，關鍵是根據(jù)取近似值的方法確定x的取值范圍． 　 14．（2015?重慶校級模擬）設a，b是整數(shù)，且b≠0，如果存在整數(shù)c，使得a=bc，則稱b整除a，記作b|a． 例如：∵8=1×8，∴1|8；∵﹣5=﹣5×1，∴﹣5|﹣5；∵10=2×5，∴2|10． （1）若n|6，且n為正整數(shù)，則n的值為　1，2，3，6　； （2）若7|2k+1，且k為整數(shù)，滿足，求k的值． 【分析】（1）根據(jù)新定義運算法則，本題實際上是求6的約數(shù)； （2）首先通過解不等式組求得k的取值范圍，然后根據(jù)新

57、定義運算法則得到：7是2k+1的約數(shù)，由此可以確定k的值． 【解答】解：（1）n的值為：1，2，3，6； 故答案是：1，2，3，6； （2）解不等式組得：1＜k＜15． ∵7|2k+1， ∴存在正整數(shù)n，使2k+1=7n， ∴k=， ∴1≤≤15， ∴≤n≤， ∴n=1，2，3，4， 當n=1時，k=3，滿足題意； 當n=2時，k=6.5，不符合題意； 當n=3時，k=10，滿足題意； 當n=4時，k=13.5，不符合題意． 綜上所述：k的值為3或10． 【點評】本題考查了一元一次不等式組的應用．解（2）題的關鍵是掌握新定義的運算法則，根據(jù)新定義運算法則列出不等式

58、1≤≤15，并解答，并注意n是正整數(shù)． 　 15．（2015?重慶校級二模）對于實數(shù)a、b，定義一種新運算“?”為：a?b=，這里等式右邊是通常的四則運算．例如：1?3==． （1）解方程（﹣2）?x=1?x； （2）若x，y均為自然數(shù)，且滿足等式y(tǒng)﹣5=，求滿足條件的所有數(shù)對（x，y）． 【分析】（1）所求方程利用題中的新定義化簡，求出解即可； （2）已知等式利用題中的新定義化簡，整理得到x與y的方程，即可求出滿足條件的所有數(shù)對（x，y）． 【解答】解：（1）根據(jù)題意，得=， 去分母得：1+x=4﹣2x， 解得：x=1， 經(jīng)檢驗x=1是分式方程的解； （2）根據(jù)題意得：

59、y﹣5=， 整理得：x+2y=11， ∵x，y均為自然數(shù)， ∴或或或或或， 經(jīng)檢驗，不是原方程的解， 則滿足條件的所有數(shù)對（x，y）為（3，4）；（5，3）；（7，2）；（9，1）；（11，0），共五對． 【點評】此題考查了解分式方程，弄清題中的新定義是解本題的關鍵． 　 16．（2015?重慶校級一模）韋達定理：若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根分別為x1、x2，則x1+x2=﹣，x1?x2=，閱讀下面應用韋達定理的過程： 若一元二次方程﹣2x2+4x+1=0的兩根分別為x1、x2，求x12+x22的值． 解：該一元二次方程的△=b2﹣4ac=42﹣4×（

60、﹣2）×1=24＞0 由韋達定理可得，x1+x2=﹣=﹣=2，x1?x2===﹣ x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2 =22﹣2×（﹣） =5 然后解答下列問題： （1）設一元二次方程2x2+3x﹣1=0的兩根分別為x1，x2，不解方程，求x12+x22的值； （2）若關于x的一元二次方程（k﹣1）x2+（k2﹣1）x+（k﹣1）2=0的兩根分別為α，β，且α2+β2=4，求k的值． 【分析】（1）先根據(jù)根與系數(shù)的關系得到x1+x2=﹣，x1?x2=﹣，再利用完全平方公式變形得到x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2，然后利用整體代入的方法計算即可； （2）根

61、據(jù)一元二次方程（k﹣1）x2+（k2﹣1）x+（k﹣1）2=0的兩根分別為α，β，求出兩根之積和兩根之和的關于k的表達式，再將α2+β2=4變形，將表達式代入變形后的等式，解方程即可． 【解答】解：（1）∵一元二次方程的△=b2﹣4ac=32﹣4×2×（﹣1）=17＞0， 由根與系數(shù)的關系得：x1+x2=﹣，x1?x2=﹣， ∴x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2==； （2）由根與系數(shù)的關系知：=﹣k﹣1，αβ==k﹣1， α2+β2=（（α+β）2﹣2αβ=（k+1）2﹣2（k﹣1）=k2+3 ∴k2+3=4， ∴k=±1， ∵k﹣1≠0 ∴k≠1， ∴k=﹣1

62、， 將k=﹣1代入原方程：﹣2x2+4=0， △=32＞0， ∴k=﹣1成立， ∴k的值為﹣1． 【點評】本題不僅考查了一元二次方程根與系數(shù)的關系，要注意，利用根與系數(shù)的關系解題，首先要注意方程有根． 　 17．（2015?重慶校級二模）閱讀材料： 關于x的方程： x+的解為：x1=c，x2= x﹣（可變形為x+）的解為：x1=c，x2= x+的解為：x1=c，x2= x+的解為：x1=c，x2= … 根據(jù)以上材料解答下列問題： （1）①方程x+的解為　　 ②方程x﹣1+=2+的解為　　 （2）解關于x方程：x﹣（a≠2） 【分析】（1）①本題可根據(jù)給出的方

63、程的解的概念，來求出所求的方程的解． ②本題可根據(jù)給出的方程的解的概念，來求出所求的方程的解． （2）本題要求的方程和題目給出的例子中的方程形式不一致，可先將所求的方程進行變形．變成式子中的形式后再根據(jù)給出的規(guī)律進行求解． 【解答】解：（1）①方程x+的解為：； ②根據(jù)題意得；x﹣1=2，x﹣1=， 解得： 故答案為：①；②． （2）兩邊同時減2變形為x﹣2﹣=a﹣2﹣， 解得：x﹣2=a﹣2，x﹣2= 即x1=a，． 【點評】本題考查了分式方程的解，要注意給出的例子中的方程與解的規(guī)律，還要注意套用列子中的規(guī)律時，要保證所求方程與例子中的方程的形式一致． 　 18．（2

64、015?重慶校級一模）認真閱讀下面的材料，完成有關問題． 材料：在學習絕對值時，老師教過我們絕對值的幾何含義，如|5﹣3|表示5、3在數(shù)軸上對應的兩點之間的距離；|5+3|=|5﹣（﹣3）|，所以|5+3|表示5、﹣3在數(shù)軸上對應的兩點之間的距離；|5|=|5﹣0|，所以|5|表示5在數(shù)軸上對應的點到原點的距離．一般地，點A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，那么A、B之間的距離可表示為|a﹣b|． 問題（1）：點A、B、C在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)x、﹣2、1，那么A到B的距離與A到C的距離之和可表示為　|x+2|+|x﹣1|?。ㄓ煤^對值的式子表示）． 問題（2）：利用數(shù)軸探究：①找出滿足

65、|x﹣3|+|x+1|=6的x的所有值是　﹣2，4　，②設|x﹣3|+|x+1|=p，當x的值取在不小于﹣1且不大于3的范圍時，p的值是不變的，而且是p的最小值，這個最小值是　4?。划攛的值取在　不小于0且不大于2　的范圍時，|x|+|x﹣2|的最小值是　2?。? 問題（3）：求|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|的最小值以及此時x的值． 問題（4）：若|x﹣3|+|x﹣2|+|x|+|x+1|≥a對任意的實數(shù)x都成立，求a的取值． 【分析】問題（1）根據(jù)兩點間的距離公式，可得答案； 問題（2）根據(jù)兩點間的距離公式，點在線段上，可得最小值； 問題（3）：|x﹣3|+|x﹣2|+|x+1|

66、=（|x﹣3|+|x+1|）+|x﹣2|，根據(jù)問題（2）中的探究②可知，要使|x﹣3|+|x+1|的值最小，x的值只要取﹣1到3之間（包括﹣1、3）的任意一個數(shù)，要使|x﹣2|的值最小，x應取2，顯然當x=2時能同時滿足要求，把x=2代入原式計算即可； 問題（4）根據(jù)兩點間的距離公式，點在線段上，可得答案． 【解答】解：問題（1）A到B的距離與A到C的距離之和可表示為|x+2|+|x﹣1|； 問題（2）①﹣2、4， ②4；不小于0且不大于2，2； 問題（3）由分析可知， 當x=2時能同時滿足要求，把x=2代入原式=1+0+3=4； 問題（4）|x﹣3|+|x﹣2|+|x|+|x+1|=（|x﹣3|+|x+1|）+（|x﹣2|+|x|） 要使|x﹣3|+|x+1|的值最小，x的值取﹣1到3之間（包括﹣1、3）的任意一個數(shù)，要使|x﹣2|+|x1|的值最小，x取0到2之間（包括0、2）的任意一個數(shù)，顯然當x取0到2之間（包括0、2）的任意一個數(shù)能同時滿足要求，不妨取x=0代入原式，得|x﹣3|+|x﹣2|+|x|+|x+1|=3+2+0+1=6 方法二：當x取在0到