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1、
平行四邊形中的折疊問題
一、選擇題
1.如圖18-4-1,將矩形ABCD折疊,使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合,點(diǎn)C落在C'處,折痕為EF,若AB=1,BC=2,則△ABE和△BC'F的周長之和為( )
圖18-4-1
A.3 B.4 C.6 D.8
答案 C 由折疊的性質(zhì)得CD=BC'=AB,∠FC'B=∠C=90°,∠EBC'=∠D=90°.∵∠ABE+∠EBF=∠C'BF+∠EBF=90°,∴∠ABE=∠C'BF.在△BAE和△BC'F中,
∴△BAE≌△BC'F(ASA).
∴BE=BF,AE=C'F,
又由折疊知C'F=CF,
∴AE=CF,∴DE=BF,
2、
∴EB=DE,
∴△ABE的周長=AB+AE+EB=AB+AE+ED=AB+AD=1+2=3,
∴△ABE和 BC'F的周長之和為2×3=6.故選C.
2.如圖18-4-2,在菱形ABCD中,∠A=120°,EF⊥AD交BD于點(diǎn)F,沿BE折疊△ABE,點(diǎn)A恰好落在BD上的點(diǎn)F處,那么∠BFC的度數(shù)是( )
圖18-4-2
A.60° B.70° C.75° D.80°
答案 C ∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC,∠A+∠ABC=180°,BD平分∠ABC.∵∠A=120°,∴∠ABC=60°,∴∠FBC=30°.根據(jù)折疊可得AB=BF,∴FB=BC.∴∠B
3、FC=∠BCF=(180°-30°)÷2=75°.故選C.
3.如圖18-4-3,在正方形ABCD中,AB=6,點(diǎn)E在邊CD上,且CD=3DE.將△ADE沿AE對折至△AFE,延長EF交邊BC于點(diǎn)G,連接AG,CF,有下列結(jié)論:①△ABG≌△AFG,②BG=CG,③AG∥CF,④S△EGC=S△AFE,⑤∠AGB+∠AED=145°.其中正確的個(gè)數(shù)是( )
圖18-4-3
A.2 B.3 C.4 D.5
答案 C 易知AB=AD=AF,又AG=AG,∠B=∠AFG=90°,∴Rt△ABG≌Rt△AFG,故①正確.由已知得EF=DE=CD=2,∴CE=CD=
4、4.設(shè)BG=FG=x,則CG=6-x.在Rt△ECG中,根據(jù)勾股定理,得(6-x)2+42=(x+2)2,解得x=3.∴BG=3=CG.故②正確.∵CG=BG,BG=GF,∴CG=GF,∴△FGC是等腰三角形,∠GFC=∠GCF,又∵Rt△ABG≌Rt△AFG,∴∠AGB=∠AGF,∴∠AGB+∠AGF=2∠AGB=180°-∠FGC=∠GFC+∠GCF=2∠GFC=2∠GCF,∴∠AGB=∠AGF=∠GFC=∠GCF,∴AG∥CF.故③正確.∵S△GCE=GC·CE=×3×4=6,S△AFE=AF·EF=×6×2=6,∴S△EGC=S△AFE.故④正確.由Rt△ABG≌Rt△AFG得∠BAG
5、=∠FAG,又由折疊知∠DAE=∠FAE.而∠BAD=90°,∴∠GAE=45°.∴∠AGB+∠AED=180°-∠GAE=135°.故⑤錯(cuò)誤.應(yīng)選C.
二、填空題
4.在?ABCD中,AB=6,AD=8,∠B是銳角,將△ACD沿對角線折疊,點(diǎn)D落在△ABC所在平面內(nèi)的點(diǎn)E處,如果AE恰好經(jīng)過BC的中點(diǎn),那么?ABCD的面積是 .?
答案 12
解析 如圖,連接BE,設(shè)AE,BC的交點(diǎn)為O,則O是BC的中點(diǎn).
∵在△ABC和△CDA中,AB=CD,BC=DA,AC=CA,∴△ABC≌△CDA,∴△ABC≌△CEA,∴∠ACB=∠CAE,由折疊知AD=AE,∴BC=AE.在△
6、AOC中,∵∠ACB=∠CAE,∴AO=OC,又O是BC的中點(diǎn),∴AO=OC=BO=OE,∴四邊形ABEC是矩形,則?ABCD的面積與矩形ABEC的面積相等,在Rt△AEC中,AC=6,AE=AD=8,由勾股定理得EC===2,∴?ABCD的面積=AC·CE=6×2=12.
5.如圖18-4-4,矩形ABCD中,AB=8,AD=17,將此矩形折疊,使頂點(diǎn)A落在BC邊的A'處,折痕所在直線同時(shí)經(jīng)過AB,AD(包括端點(diǎn)).設(shè)BA'=x,則x的取值范圍是 .?
圖18-4-4
答案 2≤x≤8
解析 如圖,∵四邊形ABCD是矩形,AB=8,AD=17,
∴BC=AD=17,CD=
7、AB=8.
當(dāng)折痕經(jīng)過點(diǎn)D時(shí),由翻折的性質(zhì)得A'D=AD=17,
在Rt△A'CD中,A'C===15,
∴BA'=BC-A'C=17-15=2;
當(dāng)折痕經(jīng)過點(diǎn)B時(shí),由翻折的性質(zhì)得BA″=AB=8.
綜上,x的取值范圍是2≤x≤8.
三、解答題
6.如圖18-4-5,將平行四邊形ABCD沿對角線AC折疊,點(diǎn)D落在點(diǎn)E處,AE恰好經(jīng)過BC邊的中點(diǎn)F.若AB=3,BC=6,求∠B的度數(shù).
圖18-4-5
解析 ∵四邊形ABCD為平行四邊形,
∴AD∥BC,∴∠ACB=∠DAC.
∵平行四邊形ABCD沿對角線AC折疊,點(diǎn)D落在點(diǎn)E處,
∴∠DAC=∠EAC,∴∠ACB
8、=∠EAC,∴FC=FA.
∵F為BC邊的中點(diǎn),BC=6,∴AF=CF=BF=×6=3.
又∵AB=3,∴△ABF是等邊三角形,∴∠B=60°.
7.如圖18-4-6,將菱形ABCD折疊,使點(diǎn)A恰好落在菱形的對角線交點(diǎn)O處,折痕為EF.若菱形的邊長為2 cm,∠BAD=120°,求EF的長.
圖18-4-6
解析 ∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥BD,AC平分∠BAD.
∵∠BAD=120°,∴∠BAC=60°,∴∠ABO=90°-60°=30°.
∵∠AOB=90°,∴AO=AB=×2=1(cm).由勾股定理,得BO=DO= cm.
∵點(diǎn)A沿EF折疊后與點(diǎn)O重合,∴EF⊥AC,EF平分AO.
∵AC⊥BD,∴EF∥BD,∴EF為△ABD的中位線,∴EF=BD=×(+)=(cm).
3
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