2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 重難題型突破 類型二 二次函數(shù)與角度問題

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1、類型二 二次函數(shù)與角度問題 例1、已知拋物線的圖象與軸交于、兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的左邊），與軸交于點(diǎn)，，過點(diǎn)作軸的平行線與拋物線交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，直線經(jīng)過、兩點(diǎn). （1） 求此拋物線的解析式； （2）連接、、，試比較和的大小，并說明你的理由. 【答案】解：（1）∵CD∥x軸且點(diǎn)C（0，3）， ∴設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，3) ． ∵直線y= x+5經(jīng)過D點(diǎn)， ∴3= x+5．∴x=－2． 即點(diǎn)D(－2，3) ． 根據(jù)拋物線的對稱性，設(shè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)為M（－1，y）， 又∵直線y= x+5經(jīng)過M點(diǎn)， ∴y =－1+5，y =4．即M（－1，4）． ∴設(shè)拋物線的解析式為． ∵點(diǎn)C（

2、0，3）在拋物線上，∴a=－1． 即拋物線的解析式為．…………3分 （2）作BP⊥AC于點(diǎn)P，MN⊥AB于點(diǎn)N． 由（1）中拋物線可得 點(diǎn)A（－3，0），B（1，0）， ∴AB=4，AO=CO=3，AC=． ∴∠PAB＝45°． ∵∠ABP=45°，∴PA=PB=． ∴PC=AC－PA=． 在Rt△BPC中，tan∠BCP==2． 在Rt△ANM中，∵M(jìn)（-1，4），∴MN=4．∴AN=2． tan∠NAM==2． ∴∠BCP＝∠NAM． 即∠ACB＝∠MAB． 例2、在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線經(jīng)過點(diǎn)N（2,－5），

3、過點(diǎn)N作x軸的平行線交此拋物線左側(cè)于點(diǎn)M，MN=6. （1）求此拋物線的解析式； （2）點(diǎn)P（x,y）為此拋物線上一動點(diǎn)，連接MP交此拋物線的對稱軸于點(diǎn)D，當(dāng)△DMN為直角三角形時，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； （3）設(shè)此拋物線與y軸交于點(diǎn)C，在此拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使∠QMN=∠CNM ？若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，說明理由. 【答案】解：（1）∵過點(diǎn)M、N（2，－5），， 由題意，得M（，）. ∴ 解得 ∴此拋物線的解析式為. …………………………………2分 （2）設(shè)拋物線的對稱軸交MN于點(diǎn)G， 若△DMN為直角三角形，則. ∴D1（，），（，）. …………………

4、……………………4分 直線MD1為，直線為. 將P（x，）分別代入直線MD1， 的解析式， 得①，②. 解①得 ，（舍）， ∴（1,0）. …………………………………5分 解②得 ，（舍）， ∴（3,－12）. ……………………………6分 （3）設(shè)存在點(diǎn)Q（x，）， 使得∠QMN=∠CNM. ① 若點(diǎn)Q在MN上方，過點(diǎn)Q作QH⊥MN， 交MN于點(diǎn)H，則. 即. 解得，（舍）. ∴（，3）. ……………………………7分 ② 若點(diǎn)Q在MN下方， 同理可得（6，）. …………………8分 例3、平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與x軸交于點(diǎn)A、點(diǎn)B，與y軸的

5、正半軸交于點(diǎn)C，點(diǎn) A的坐標(biāo)為(1, 0)，OB=OC，拋物線的頂點(diǎn)為D． (1) 求此拋物線的解析式； (2) 若此拋物線的對稱軸上的點(diǎn)P滿足∠APB=∠ACB，求點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3) Q為線段BD上一點(diǎn)，點(diǎn)A關(guān)于∠AQB的平分線的對稱點(diǎn)為，若，求點(diǎn)Q的坐標(biāo)和此時△的面積． 【答案】圖9 （1）∵ ， ∴ 拋物線的對稱軸為直線． ∵ 拋物線與x軸交于 點(diǎn)A、點(diǎn)B，點(diǎn)A的坐標(biāo)為， ∴ 點(diǎn)B的坐標(biāo)為，OB＝3．…………… 1分 可得該拋物線的解析式為． ∵ OB=OC，拋物線與y軸的正半軸

6、交于點(diǎn)C， ∴ OC=3，點(diǎn)C的坐標(biāo)為． 將點(diǎn)C的坐標(biāo)代入該解析式，解得a=1．……2分 ∴ 此拋物線的解析式為．（如圖9）…………………… 3分 （2）作△ABC的外接圓☉E，設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)為點(diǎn)F，設(shè)☉E與拋物線的對稱軸位于x軸上方的部分的交點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為點(diǎn)，點(diǎn)、點(diǎn)均為所求點(diǎn).（如圖10） 可知圓心E必在AB邊的垂直平分線即拋物線的對稱軸直線上． ∵ 、都是弧AB所對的圓周角， ∴ ，且射線FE上的其它點(diǎn)P都不滿足． 由（1）可知 ∠OBC=45°，AB=2，OF=2． 可得圓心E也在BC邊的垂直平分線即直

7、線上． ∴ 點(diǎn)E的坐標(biāo)為．………………………………………………… 4分 ∴ 由勾股定理得 ． ∴ ． ∴ 點(diǎn)的坐標(biāo)為．…………………………………………… 5分 由對稱性得點(diǎn)的坐標(biāo)為． ……………………………… 6分 ∴符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為、. （3）∵ 點(diǎn)B、D的坐標(biāo)分別為、， 可得直線BD的解析式為，直線BD與x軸所夾的銳角為45°． ∵ 點(diǎn)A關(guān)于∠AQB的平分線的對稱點(diǎn)為，（如圖11） 若設(shè)與∠AQB的平分線的交點(diǎn)為M， 則有 ，，，Q，B，三點(diǎn)在一條直線上． ∵ ， ∴ 作⊥x軸于點(diǎn)N． ∵ 點(diǎn)Q在線段BD上， Q，B，三點(diǎn)在一條

8、直線上， ∴ ，． ∴ 點(diǎn)的坐標(biāo)為． ∵ 點(diǎn)Q在線段BD上， ∴ 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為，其中． ∵ ， ∴ 由勾股定理得 ． 解得． 經(jīng)檢驗，在的范圍內(nèi)． ∴ 點(diǎn)Q的坐標(biāo)為． …………………………………………… 7分 此時．… 8分 例4、已知，拋物線與x軸交于點(diǎn)A（－2,0）、B（8,0），與y軸交于點(diǎn)C（0，－4）。直線y=x+m與拋物線交于點(diǎn)D、E（D在E的左側(cè)），與拋物線的對稱點(diǎn)交于點(diǎn)F。 （1）求拋物線的解析式； （2）當(dāng)m=2時，求∠DCF的大?。? （3）若在直線y=x+m下方的拋物線上存在點(diǎn)P，使∠DPF＝450，且滿足條件的點(diǎn)P只有兩個，則m的值

9、為___________________.（第（3）問不要求寫解答過程） 【答案】解：（1）依題意，設(shè)拋物線的解析式為y=a（x+2）（x-8）， ∵拋物線與y軸交于點(diǎn)C（0，-4）， ∴-4=a（0+2）（0-8）． 解得a=． ∴拋物線的解析式為y=(x+2)(x-8)，即y=x2-x-4； （2）由（1）可得拋物線的對稱軸為x=3， ∵m=2， ∴直線的解析式為y=x+2， ∵直線y=x+2與拋物線交于點(diǎn)D、E，與拋物線的對稱軸交于點(diǎn)F， ∴F、D兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為F（3，5），D（-2，0）． 設(shè)拋物線的對稱軸與x軸的交點(diǎn)為M， 可得CM=FM=MD=5，

10、∴F、D、C三點(diǎn)在以M為圓心，半徑為5的圓上． ∴∠DCF=∠DMF=45°． （3）由拋物線解析式可知，拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)為G（3，-） 設(shè)F（3，3+m），則FG=m+3+，設(shè)D關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)為D1， 當(dāng)四邊形DGD1F為正方形時，滿足題意，此時P點(diǎn)與頂點(diǎn)G重合，或者與D1重合， 故DD1=F′G，D點(diǎn)橫坐標(biāo)為：x=-（F′G-3）=-，縱坐標(biāo)為-（F′G-3-m）=， 將D點(diǎn)坐標(biāo)拋物線解析式，解得m=-． 例5、如圖，拋物線，與軸交于點(diǎn)，且． （I）求拋物線的解析式； （II）探究坐標(biāo)軸上是否存在點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形？ 若存在，求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存

11、在，請說明理由； （III）直線交軸于點(diǎn)，為拋物線頂點(diǎn)．若， 的值． 【答案】解：（I），且． ． 代入，得 （II）①當(dāng)可證∽ ． ②同理: 如圖當(dāng) ③當(dāng) 綜上，坐標(biāo)軸上存在三個點(diǎn)，使得以點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，分別是，． （III）．． ∴． ． ． 又．． ． 例6、如圖⑴，在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y=ax2＋8ax＋16a＋6經(jīng)過點(diǎn)B（0，4）. ⑴求拋物線的解析式； ⑵設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為D，過點(diǎn)D、B作直線交x軸于點(diǎn)A，點(diǎn)C在拋物線的對稱軸上，且C點(diǎn)的縱坐標(biāo)為-4，聯(lián)結(jié)BC、AC.求證：△ABC是等

12、腰直角三角形； ⑶在⑵的條件下，將直線DB沿y軸向下平移，平移后的直線記為l ，直線l 與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A′、B′，是否存在直線l，使△A′B′C是直角三角形，若存在求出l 的解析式，若不存在，請說明理由． 圖（1） 備用圖 【答案】⑴解：由題意知： 解得： ∴拋物線的解析式為：-------1分 ⑵證明 ：由拋物線的解析式知:頂

13、點(diǎn)D坐標(biāo)為（－4,6） ∵點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為－4，且在拋物線的對稱軸上 ∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(－4，－4) 設(shè)直線BD解析式為： 有：，∴ ∴BD解析式為 ∴直線BD與x軸的交點(diǎn)A的坐標(biāo)為（8,0） 過點(diǎn)C作CE⊥軸于點(diǎn)E，則CE=4，BE=8 又∵OB=4，OA=8, ∴CE=OB,BE=OA,∠CEB=∠BOA=90° ∴△CEB≌△BOA(SAS)-----------------------------2分 ∴CB=AB, ∠1=∠2 ∵∠2+∠3=90°，∴∠2+∠3=90° ∴∠1+∠3=90°，即∠ABC=90° ∴△ABC是等腰直角三角形-----

14、----------------3分 ⑶存在.①當(dāng)∠CA′B′=90°時，如圖1所示， ∵A′B′∥AB ∴∠OA′B′=∠BAO 易證:∠ECA′=∠OA′B′ 圖1 ∴∠ECA′=∠BAO ∵tan∠BAO= ∴tan∠ECA′= ∴EA′=2 ∴A′坐標(biāo)為(－2,0) ∴直線l解析式為------5分 ②當(dāng)∠A′CB′=90°時，如圖2所示， 圖2 過點(diǎn)C作CE⊥軸于點(diǎn)E， 易證△A′FC≌△B′EC ∴A′F=B′E ∴由①tan∠B′A′O= ∴設(shè)B′坐標(biāo)為（0，n） ∴有 ∴ B′坐標(biāo)為（0，） ∴直線l解析式為------7分

15、例7、已知：拋物線y＝－x2＋2x＋m-2交y軸于點(diǎn)A（0，2m-7）．與直線y＝x交于點(diǎn)B、C（B在右、C在左）． （1）求拋物線的解析式； （2）設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為E，在拋物線的對稱軸上是否存在一點(diǎn)F，使得，若存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，說明理由； （3）射線OC上有兩個動點(diǎn)P、Q同時從原點(diǎn)出發(fā)，分別以每秒個單位長度、每秒2個單位長度的速度沿射線OC運(yùn)動，以PQ為斜邊在直線BC的上方作直角三角形PMQ（直角邊分別平行于坐標(biāo)軸），設(shè)運(yùn)動時間為t秒，若△PMQ與拋物線y＝－x2＋2x＋m-2有公共點(diǎn)，求t的取值范圍． 【答案】解： （1）點(diǎn)A（0，2m-7）代入y＝－x2＋2x＋m-2，得m=5 ∴拋物線的解析式為y＝－x2＋2x＋3 ………………………2分 （2）由得， ∴B（），C（） B（）關(guān)于拋物線對稱軸的 對稱點(diǎn)為 可得直線的解析式為， 由，可得 ∴ ………………………5分 （3）當(dāng)在拋物線上時，可得，， 當(dāng)在拋物線上時，可得，， 舍去負(fù)值，所以t的取值范圍是．………………8分 12