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1、類型一 二次函數(shù)與線段問題
例1、 如圖1-1，拋物線y＝x2－2x－3與x軸交于A、B兩點，與y軸交于點C，點P是拋物線對稱軸上的一個動點，如果△PAC的周長最小，求點P的坐標(biāo)．
圖1-1
【解析】如圖1-2，把拋物線的對稱軸當(dāng)作河流，點A與點B對稱，連結(jié)BC，那么在△PBC中，PB＋PC總是大于BC的．如圖1-3，當(dāng)點P落在BC上時，PB＋PC最小，因此PA＋PC最小，△PAC的周長也最?。?
由y＝x2－2x－3，可知OB＝OC＝3，OD＝1．所以DB＝DP＝2，因此P(1,－2)．
圖1-2 圖1-3
例2、如圖，
2、拋物線與y軸交于點A，B是OA的中點．一個動點G從點B出發(fā)，先經(jīng)過x軸上的點M，再經(jīng)過拋物線對稱軸上的點N，然后返回到點A．如果動點G走過的路程最短，請找出點M、N的位置，并求最短路程．
圖2-1
【解析】如圖2-2，按照“臺球兩次碰壁”的模型，作點A關(guān)于拋物線的對稱軸對稱的點A′，作點B關(guān)于x軸對稱的點B′，連結(jié)A′B′與x軸交于點M，與拋物線的對稱軸交于點N．
在Rt△AA′B′中，AA′＝8，AB′＝6，所以A′B′＝10，即點G走過的最短路程為10．根據(jù)相似比可以計算得到OM＝，MH＝，NH＝1．所以M(, 0)，N(4, 1)．
圖2-2
例3、如圖3-1，拋物線與
3、y軸交于點A，頂點為B．點P是x軸上的一個動點，求線段PA與PB中較長的線段減去較短的線段的差的最小值與最大值，并求出相應(yīng)的點P的坐標(biāo)．
圖3-1
【解析】題目讀起來像繞口令，其實就是求|PA－PB|的最小值與最大值．
由拋物線的解析式可以得到A(0, 2)，B(3, 6)．設(shè)P(x, 0)．
絕對值|PA－PB|的最小值當(dāng)然是0了，此時PA＝PB，點P在AB的垂直平分線上（如圖3-2）．解方程x2＋22＝(x－3)2＋62，得．此時P．
在△PAB中，根據(jù)兩邊之差小于第三邊，那么|PA－PB|總是小于AB了．如圖3-3，當(dāng)點P在BA的延長線上時，|PA－PB|取得最大值，最大值
4、AB＝5．此時P．
圖3-2 圖3-3
例4、如圖4-1，菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝120°，點P、Q、K分別為線段BC、CD、BD上的任意一點，求PK＋QK的最小值．
圖4-1
【解析】如圖4-2，點Q關(guān)于直線BD的對稱點為Q′，在△KPQ′中，PK＋QK總是大于PQ′的．如圖4-3，當(dāng)點K落在PQ′上時，PK＋QK的最小值為PQ′．如圖4-4，PQ′的最小值為Q′H，Q′H就是菱形ABCD的高，Q′H＝．
這道題目應(yīng)用了兩個典型的最值結(jié)論：兩點之間，線段最短；垂線段最短．
圖4-2 圖4
5、-3 圖4-4
例5、如圖5-1，菱形ABCD中，∠A＝60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半徑分別為2和1，P、E、F分別是邊CD、⊙B和⊙A上的動點，求PE＋PF的最小值．
圖5-1
【解析】E、F、P三個點都不確定，怎么辦？BE＝1，AF＝2是確定的，那么我們可以求PB＋PA－3的最小值，先求PB＋PA的最小值（如圖5-2）．
如圖5-3，PB＋PA的最小值為AB′，AB′＝6．所以PE＋PF的最小值等于3．
圖5-2 圖5-3
例6、如圖6-1，已知A(0, 2)、B(6, 4)、E(a
6、, 0)、F(a＋1, 0)，求a為何值時，四邊形ABEF周長最??？請說明理由．
圖6-1
【解析】在四邊形ABEF中，AB、EF為定值，求AE＋BF的最小值，先把這兩條線段經(jīng)過平移，使得兩條線段有公共端點．
如圖6-2，將線段BF向左平移兩個單位，得到線段ME．
如圖6-3，作點A關(guān)于x軸的對稱點A′，MA′與x軸的交點E，滿足AE＋ME最?。?
由△A′OE∽△BHF，得．解方程，得．
圖6-2 圖6-3
例7、如圖7-1，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝2，BC＝1．點A、C分別在x軸和y軸的正半軸上，當(dāng)
7、點A在x軸上運動時，點C也隨之在y軸上運動．在整個運動過程中，求點B到原點的最大距離．
圖7-1
【解析】如果把OB放在某一個三角形中，這個三角形的另外兩條邊的大小是確定的，那么根據(jù)兩邊之和大于第三邊，可知第三邊OB的最大值就是另兩邊的和．
顯然△OBC是不符合條件的，因為OC邊的大小不確定．
如圖7-2，如果選AC的中點D，那么BD、OD都是定值，OD＝1，BD＝．
在△OBD中，總是有OB＜OD＋BD．
如圖7-3，當(dāng)點D落在OB上時，OB最大，最大值為．
圖7-2 圖7-3
例8、如圖8-1，已知A(－2,0
8、)、B(4, 0)、．設(shè)F為線段BD上一點（不含端點），連結(jié)AF，一動點M從點A出發(fā)，沿線段AF以每秒1個單位的速度運動到F，再沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到D后停止．當(dāng)點F的坐標(biāo)是多少時，點M在整個運動過程中用時最少？
圖8-1
【解析】點B(4, 0)、的坐標(biāo)隱含了∠DBA＝30°，不由得讓我們聯(lián)想到30°角所對的直角邊等于斜邊的一半．
如果把動點M在兩條線段上的速度統(tǒng)一起來，問題就轉(zhuǎn)化了．
如圖8-2，在Rt△DEF中，F(xiàn)D＝2FE．如果點M沿線段FD以每秒2個單位的速度運動到點D時，那么點M沿線段FE以每秒1個單位的速度正好運動到點E．因此當(dāng)AF＋FE最小時，點M用時
9、最少．
如圖8-3，當(dāng)AE⊥DE時，AF＋FE最小，此時F．
圖8-2 圖8-3
例9、如圖9-1，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8．點E是BC邊上的點，連結(jié)AE，過點E作AE的垂線交AB邊于點F，求AF的最小值．
圖9-1
【解析】如圖9-2，設(shè)AF的中點為D，那么DA＝DE＝DF．所以AF的最小值取決于DE的最小值．
如圖9-3，當(dāng)DE⊥BC時，DE最?。O(shè)DA＝DE＝m，此時DB＝．
由AB＝DA＋DB，得．解得．此時AF＝．
圖9-2 圖9-3
10、
例10、如圖10-1，已知點P是拋物線上的一個點，點D、E的坐標(biāo)分別為(0, 1)、(1, 2)，連結(jié)PD、PE，求PD＋PE的最小值．
圖10-1
【解析】點P不在一條筆直的河流上，沒有辦法套用“牛喝水”的模型．
設(shè)P，那么PD2＝．所以PD＝．
如圖10-2，的幾何意義可以理解為拋物線上的動點P到直線y＝－1的距離PH．所以PD＝PH．因此PD＋PE就轉(zhuǎn)化為PH＋PE．
如圖10-3，當(dāng)P、E、H三點共線，即PH⊥x軸時，PH＋PE的最小值為3．
高中數(shù)學(xué)會學(xué)到，拋物線是到定點的距離等于到定直線的距離的點的集合，在中考數(shù)學(xué)壓軸題里, 如果要用到這個性質(zhì)，最好鋪墊一個小題，求證PD＝PH.
圖10-2 圖10-3
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2020年中考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 重難題型突破 類型一 二次函數(shù)與線段問題
