2020年中考數(shù)學(xué)必考考點 專題23 多邊形內(nèi)角和問題（含解析）

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1、專題23 多邊形內(nèi)角和問題 專題知識回顧 1．多邊形：在平面內(nèi)，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。 2．多邊形的內(nèi)角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內(nèi)角。 3．多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫多邊形的外角。 4．多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。 5．正多邊形：在平面內(nèi)，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。 6．多邊形內(nèi)角和公式：n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）·180° 7．多邊形的外角和：多邊形的內(nèi)角和為360°。 8.多邊形對角線的條數(shù)： （1）從n邊形的一個頂點出

2、發(fā)可以引（n-3）條對角線，把多邊形分成（n-2）個三角形。 （2）n邊形共有條對角線。 專題典型題考法及解析 【例題1】（2019貴州銅仁）如圖為矩形ABCD，一條直線將該矩形分割成兩個多邊形，若這兩個多邊形的內(nèi)角和分別為a和b，則a+b不可能是（　?。? A．360° B．540° C．630° D．720° 【答案】C． 【解析】一條直線將該矩形ABCD分割成兩個多邊形，每一個多邊形的內(nèi)角和都是180°的倍數(shù)，都能被180整除，分析四個答案，只有630不能被180整除，所以a+b不可能是630°． 【例題2】（2019廣西梧州）正九邊形的

3、一個內(nèi)角的度數(shù)是（　?。? A．108° B．120° C．135° D．140° 【答案】D． 【解析】先根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理：180°?（n﹣2）求出該多邊形的內(nèi)角和，再求出每一個內(nèi)角的度數(shù)． 該正九邊形內(nèi)角和＝180°×（9﹣2）＝1260°， 則每個內(nèi)角的度數(shù)＝． 【例題3】（2019湖南湘西州）已知一個多邊形的內(nèi)角和是1080°，則這個多邊形是（　　） A．五邊形 B．六邊形 C．七邊形 D．八邊形 【答案】D 【解析】本題考查根據(jù)多邊形的內(nèi)角和計算公式求多邊形的邊數(shù)，解答時要會根據(jù)公式進(jìn)行正確運算、變形和數(shù)據(jù)處理。 多邊形的內(nèi)角和可以表示成（n﹣2）?180°，

4、列方程可求解． 設(shè)所求多邊形邊數(shù)為n， 則（n﹣2）?180°＝1080°， 解得n＝8． 【例題4】（2019海南）如圖，⊙O與正五邊形ABCDE的邊AB、DE分別相切于點B、D，則劣弧所對的圓心角∠BOD的大小為　 　度． 【答案】144． 【解析】根據(jù)正多邊形內(nèi)角和公式可求出∠E、∠D，根據(jù)切線的性質(zhì)可求出∠OAE、∠OCD，從而可求出∠AOC，然后根據(jù)圓弧長公式即可解決問題． ∵五邊形ABCDE是正五邊形， ∴∠E＝∠A＝＝108°． ∵AB、DE與⊙O相切， ∴∠OBA＝∠ODE＝90°， ∴∠BOD＝（5﹣2）×180°﹣90°﹣108°﹣108°﹣90

5、°＝144°。 專題典型訓(xùn)練題 一、選擇題 1．（2019湖北咸寧）若正多邊形的內(nèi)角和是540°，則該正多邊形的一個外角為（　?。? A．45° B．60° C．72° D．90° 【答案】C 【解析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180°求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的外角和是固定的360°，依此可以求出多邊形的一個外角． ∵正多邊形的內(nèi)角和是540°， ∴多邊形的邊數(shù)為540°÷180°+2＝5， ∵多邊形的外角和都是360°， ∴多邊形的每個外角＝360÷5＝72°． 2．（2019內(nèi)蒙古巴彥卓爾）下列命題： ①若x2+kx+是完全平方

6、式，則k＝1； ②若A（2，6），B（0，4），P（1，m）三點在同一直線上，則m＝5； ③等腰三角形一邊上的中線所在的直線是它的對稱軸； ④一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍，則這個多邊形是六邊形． 其中真命題個數(shù)是（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解析】利用完全平方公式對①進(jìn)行判斷；利用待定系數(shù)法求出直線AB的解析式，然后求出m，則可對②進(jìn)行判斷；根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)對③進(jìn)行判斷；根據(jù)多邊形的內(nèi)角和和外角和對④進(jìn)行判斷． 若x2+kx+是完全平方式，則k＝±1，所以①錯誤； 若A（2，6），B（0，4），P（1，m）三點在同一直線上，而直線AB的

7、解析式為y＝x+4，則x＝1時，m＝5，所以②正確； 等腰三角形底邊上的中線所在的直線是它的對稱軸，所以③錯誤； 一個多邊形的內(nèi)角和是它的外角和的2倍，則這個多邊形是六邊形，所以④正確． 3．（2019寧夏）如圖，正六邊形ABCDEF的邊長為2，分別以點A，D為圓心，以AB，DC為半徑作扇形ABF，扇形DCE．則圖中陰影部分的面積是（　?。? A．6﹣π B．6﹣π C．12﹣π D．12﹣π 【答案】B． 【解析】∵正六邊形ABCDEF的邊長為2， ∴正六邊形ABCDEF的面積是： ＝6×＝6， ∠FAB＝∠EDC＝120°， ∴圖中陰影部分的面積是： 6﹣＝， 4

8、.（2018蘇州）一個多邊形除一個內(nèi)角外其余內(nèi)角的和為1510°，則這個多邊形對角線的條數(shù)是（　?。? A． 27 B． 35 C． 44 D． 54 【答案】C 【解析】設(shè)出題中所給的兩個未知數(shù)，利用內(nèi)角和公式列出相應(yīng)等式，根據(jù)邊數(shù)為整數(shù)求解即可，再進(jìn)一步代入多邊形的對角線計算方法，即可解答． 設(shè)這個內(nèi)角度數(shù)為x，邊數(shù)為n， ∴（n﹣2）×180°﹣x=1510， 180n=1870+x， ∵n為正整數(shù)， ∴n=11， ∴=44 5.（2018齊齊哈爾）如果一個多邊形的每一個外角都是60°，則這個多邊形的邊數(shù)是（　?。? A．3

9、 B，4 C.5 D.6 【答案】D 【解析】由一個多邊形的每一個外角都等于60°，且多邊形的外角和等于360°，即可求得這個多邊形的邊數(shù)． ∵一個多邊形的每一個外角都等于60°，且多邊形的外角和等于360°， ∴這個多邊形的邊數(shù)是：360÷60=6． 6.（2018武漢）一個多邊形除一個內(nèi)角外其余內(nèi)角的和為1510°，則這個多邊形對角線的條數(shù)是（　?。? A． 27 B． 35 C． 44 D． 54 【答案】C 【解析】設(shè)出題中所給的兩個未知數(shù)，利用內(nèi)角和公式列出相應(yīng)等式，根據(jù)邊數(shù)為整數(shù)求解即可，

10、再進(jìn)一步代入多邊形的對角線計算方法，即可解答． 設(shè)這個內(nèi)角度數(shù)為x，邊數(shù)為n， ∴（n﹣2）×180°﹣x=1510， 180n=1870+x， ∵n為正整數(shù)， ∴n=11， ∴=44 7.（2018大連）如圖，在△ABC中，∠A=40°，D點是∠ABC和∠ACB角平分線的交點，則∠BDC=　　． 【答案】110°． 【解析】由D點是∠ABC和∠ACB角平分線的交點可推出∠DBC+∠DCB=70，再利用三角形內(nèi)角和定理即可求出∠BDC的度數(shù)． ∵D點是∠ABC和∠ACB角平分線的交點， ∴有∠CBD=∠ABD=∠ABC，∠BCD=∠ACD=∠ACB， ∴∠ABC+∠

11、ACB=180﹣40=140， ∴∠OBC+∠OCB=70， ∴∠BOC=180﹣70=110° 8.（2018沈陽）若正多邊形的一個內(nèi)角是150°，則該正多邊形的邊數(shù)是（　　） A．6 B．12 C．16 D．18 【答案】B 【解析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和，可得答案． 設(shè)多邊形為n邊形，由題意，得 （n﹣2）180°=150n， 解得n=12 9．（2018山東臨沂）內(nèi)角和為540°的多邊形是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式（n﹣2）?180°列式進(jìn)行計算即可求解． 設(shè)多邊形的邊數(shù)是n，則 （

12、n﹣2）?180°=540°， 解得n=5． 10.（2018江蘇鎮(zhèn)江）已知n邊形的內(nèi)角和θ=（n-2）×180°. （1）甲同學(xué)說，θ能取360°；而乙同學(xué)說，θ也能取630°.甲、乙的說法對嗎？若對，求出邊數(shù)n.若不對，說明理由； （2）若n邊形變?yōu)椋╪+x）邊形，發(fā)現(xiàn)內(nèi)角和增加了360°，用列方程的方法確定x. 【答案】(1)甲對，乙不對,理由見解析；（2）2. 【解析】（1）根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式判定即可；（2）根據(jù)題意列方程，解方程即可. 試題解析：(1)甲對，乙不對. ∵θ=360°，∴（n-2）×180°=360°， 解得n=4. ∵θ=630°，∴（n-2）

13、×180°=630°， 解得n=. ∵n為整數(shù)，∴θ不能取630°. (2) 由題意得，（n-2）×180+360=（n+x-2）×180， 解得x=2. 11．（2018湖南岳陽）已知正多邊形的一個外角等于40°，那么這個正多邊形的邊數(shù)為（　　） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【解析】根據(jù)正多邊形的外角和以及一個外角的度數(shù)，求得邊數(shù)． 正多邊形的一個外角等于40°，且外角和為360°， 則這個正多邊形的邊數(shù)是：360°÷40°=9． 12.（2018四川綿陽）一個多邊形切去一個角后，形成的另一個多邊形的內(nèi)角和為1080°，那么原多邊形的

14、邊數(shù)為（　　） A．7 B．7或8 C．8或9 D．7或8或9 【答案】D． 【解析】本題考查了多邊形的內(nèi)角和定理，一個多邊形截去一個角后它的邊數(shù)可能增加1，可能減少1，或不變． 首先求得內(nèi)角和為1080°的多邊形的邊數(shù)，即可確定原多邊形的邊數(shù)． 設(shè)內(nèi)角和為1080°的多邊形的邊數(shù)是n，則（n﹣2）?180°=1080°， 解得：n=8． 則原多邊形的邊數(shù)為7或8或9． 13.（2019大慶模擬題）將一矩形紙片沿一條直線剪成兩個多邊形，那么這兩個多邊形的內(nèi)角和之和不可能是（　?。? A．360° B．540° C．720° D．900° 【答

15、案】D． 【解析】本題考查了多邊形的內(nèi)角與外角，能夠得出一個矩形截一刀后得到的圖形有三種情形，是解決本題的關(guān)鍵． 根據(jù)題意列出可能情況，再分別根據(jù)多邊形的內(nèi)角和定理進(jìn)行解答即可． ①將矩形沿對角線剪開，得到兩個三角形，兩個多邊形的內(nèi)角和為：180°+180°=360° ②將矩形從一頂點剪向?qū)?，得到一個三角形和一個四邊形，兩個多邊形的內(nèi)角和為：180°+360°=540° ③將矩形沿一組對邊剪開，得到兩個四邊形，兩個多邊形的內(nèi)角和為：360°+360°=720° 14.（2019長沙模擬題）若一個正n邊形的每個內(nèi)角為144°，則正n邊形的所有對角線的條數(shù)是（　?。? A．7

16、B．10 C．35 D．70 【答案】C． 【解析】本題考查了多邊形的內(nèi)角以及多邊形的對角線，解題的關(guān)鍵是求出正n邊形的邊數(shù)．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式求出多邊形邊的條數(shù)是關(guān)鍵． 由正n邊形的每個內(nèi)角為144°結(jié)合多邊形內(nèi)角和公式，即可得出關(guān)于n的一元一次方程，解方程即可求出n的值，將其代入中即可得出結(jié)論． ∵一個正n邊形的每個內(nèi)角為144°， ∴144°n=180°×（n﹣2），解得：n=10． 這個正n邊形的所有對角線的條數(shù)是： ==35． 15. （2018江西）如圖，五邊形ABCDE中有一正三角形ACD，若AB=DE，B

17、C=AE，∠E=115°，則∠BAE的度數(shù)為何？（　　） A．115 B．120 C．125 D．130 【答案】C 【解析】根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出△ABC與△AED全等，進(jìn)而得出∠B=∠E，利用多邊形的內(nèi)角和解答即可． ∵正三角形ACD， ∴AC=AD，∠ACD=∠ADC=∠CAD=60°， ∵AB=DE，BC=AE， ∴△ABC≌△AED， ∴∠B=∠E=115°，∠ACB=∠EAD，∠BAC=∠ADE， ∴∠ACB+∠BAC=∠BAC+∠DAE=180°﹣115°=65°， ∴∠BAE=∠BAC+∠DAE+∠CAD=65°+60°=125

18、° 二、填空題 16．（2019江蘇淮安）若一個多邊形的內(nèi)角和是540°，則該多邊形的邊數(shù)是　 　． 【答案】5 【解析】n邊形的內(nèi)角和公式為（n﹣2）?180°，由此列方程求n． 設(shè)這個多邊形的邊數(shù)是n， 則（n﹣2）?180°＝540°， 解得n＝5 17.（2019陜西）若正六邊形的邊長為3，則其較長的一條對角線長為 【答案】6 【解析】如圖所示為正六邊形最長的三條對角線，由正六邊形性質(zhì)可知，△AOB，△COD為兩個邊長相等的等邊三角形，∴AD=2AB=6，故答案為6 18．（2019江蘇徐州）如圖，A、B、C、D為一個外角為40°的正

19、多邊形的頂點．若O為正多邊形的中心，則∠OAD＝　 ． 【答案】140° 【解析】利用任意凸多邊形的外角和均為360°，正多邊形的每個外角相等即可求出多邊形的邊數(shù)，再根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式計算即可． 多邊形的每個外角相等，且其和為360°， 據(jù)此可得多邊形的邊數(shù)為：， ∴∠OAD＝． 19.（經(jīng)典題）一個多邊形的內(nèi)角和是其外角和的3倍，則這個多邊形的邊數(shù)是________. 【答案】8 【解析】根據(jù)多邊形的內(nèi)角和公式，多邊形外角和為360°，根據(jù)題意列出方程，解之即可. 設(shè)這個多邊形邊數(shù)為n，∴（n-2）×180°=360°×3，∴n=8. 10