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1、第05講 二次根式
1.二次根式的概念
一般地,我們把形如(a≥0)的式子叫做二次根式.
二次根式有意義的條件:_a≥0 .
2.二次根式的性質(zhì)
3.最簡二次根式
必須滿足兩個條件
4.同類二次根式
幾個二次根式化為最簡二次根式后,如果被開方數(shù)相同,那么這幾個二次根式叫同類二次根式.
5.二次根式的運算
(1)加減法:先將二次根式化為最簡二次根式,再將同類二次根式進行加減運算.
(2)乘法:·=;
(3)除法:=__.
6.二次根式的估值
二次根式的估算,一般是對根式平方,找出與平方后所得數(shù)字相鄰的兩個開得盡方的整數(shù),對其進行開方,就可以確定這個根式在哪兩個整
2、數(shù)之間.
【高頻考點】
考點1:二次根式的概念
【例題1】(廣東省廣州市,12,3分)代數(shù)式有意義時,實數(shù)x的取值范圍是 .
【答案】x≤9
【提示】要使二次根式有意義,只需滿足被開方數(shù)是非負數(shù)即可.通過解不等式,即得實數(shù)x的取值范圍.
【解答】解:∵代數(shù)式有意義,∴9-x≥0,解得x≤9.故答案為x≤9.
歸納:式子 (a≥0)叫做二次根式.(a≥0);|a|;a2;是初中階段常見的非負數(shù)形式,若幾個非負數(shù)的和為0,則這幾個數(shù)均為0,據(jù)此可求某些字母的值.
考點2:二次根式的運算
【例題2】(江蘇鹽城,19(2),4分)計算: (3-)(3+)+(2-).
3、
【提示】本題考查了二次根式的混合運算,解題的關鍵是掌握二次根式的運算法則和乘法公式,先根據(jù)平方差公式、單項式乘多項式的法則分別進行運算,再化簡.
【解答】解:原式=2+2-2=2.
點撥:二次根式的運算,若是加減運算時,先將每一項化為最簡二次根式,然后再將被開方數(shù)相同的二次根式合并;若是乘除運算時,先將被開方數(shù)相乘或相除,再將所得的數(shù)開方并化為最簡二次根式;若是混合運算時,按照先乘除,后加減,有括號的先算括號里面的順序進行計算,同時注意運算的結果必須是最簡二次根式.
考點3:二次根式與其它知識的綜合應用
【例題:3】(2018?棗莊)我國南宋著名數(shù)學家秦九韶在他的著作《數(shù)書九章》一
4、書中,給出了著名的秦九韶公式,也叫三斜求積公式,即如果一個三角形的三邊長分別為a,b,c,則該三角形的面積為S=.現(xiàn)已知△ABC的三邊長分別為1,2,,則△ABC的面積為 ?。?
【答案】1
【解析】:∵S=,
∴△ABC的三邊長分別為1,2,,則△ABC的面積為:
S==1,
故答案為:1.
【自我檢測】
一、選擇題:
1. (2018?揚州)使有意義的x的取值范圍是( )
A.x>3 B.x<3 C.x≥3 D.x≠3
【答案】C
解:由題意,得
x﹣3≥0,
解得x≥3,
故選:C.
2. (2018?綿陽)等式=成立的x的取值范圍在數(shù)軸上可表示為(
5、?。?
A. B. C. D.
【答案】B
【解答】由題意可知:
解得:x≥3
故選:B.
3. (2019?湖南益陽?4分)下列運算正確的是( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解答】解:選項A、=2,故本選項錯誤;
選項B、,故本選項錯誤;
選項C、與不是同類二次根式,不能合并,故本選項錯誤;
選項D、根據(jù)二次根式乘法運算的法則知本選項正確.
故選D.
4. (2019?湖南湘西州?4分)下面是一個簡單的數(shù)值運算程序,當輸入x的值為16時,輸出的數(shù)值為 3?。ㄓ每茖W計算器計算或筆算).
【答案】3
【解答】解:解:由題圖可得代數(shù)式為.
當x=
6、16時,原式=÷2+1=4÷2+1=2+1=3.
故答案為:3
5. (2019?湖北宜昌?3分)古希臘幾何學家海倫和我國宋代數(shù)學家秦九韶都曾提出利用三角形的三邊求面積的公式,稱為海倫﹣秦九韶公式:如果一個三角形的三邊長分別是a,b,c,記p=,那么三角形的面積為S=.如圖,在△ABC中,∠A,∠B,∠C所對的邊分別記為a,b,c,若a=5,b=6,c=7,則△ABC的面積為( )
A.6 B.6 C.18 D.
【答案】A
【解答】解:∵a=7,b=5,c=6.
∴p==9,
∴△ABC的面積S==6;
故選:A.
二、填空題:
6. 化簡= x?。▁≥0)
7、
【答案】x
解析:原式==x.
故答案為:x
7. (2018?廣州)如圖,數(shù)軸上點A表示的數(shù)為a,化簡:a+= ?。?
【答案】2
【解答】由數(shù)軸可得:
0<a<2,
則a+
=a+
=a+(2﹣a)
=2.
故答案為:2.
8. (2018·廣東廣州·3分)如圖,數(shù)軸上點A表示的數(shù)為a,化簡: =________
【答案】2
【解析】解:由數(shù)軸可知:
0
8、+=1+(﹣),
…
請利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律,計算:
+++…+,
其結果為 ?。?
【答案】2018.
【解答】解:+++…+
=1+(1﹣)+1+(﹣)+…+1+(﹣)
=2018+1﹣+﹣+﹣+…+﹣
=2018,
故答案為:2018.
三、解答題:
10. (2018·徐州)已知x=+1,求x2-2x-3的值.
解:原式=(x-3)(x+1),將x=+1代入到上式,則可得,
原式=(+1-3)×(+1+1)=(-2)×(+2)=-1.
11. 2018?陜西)計算:(﹣)×(﹣)+|﹣1|+(5﹣2π)0
解:原式=+﹣1+1
=3+﹣1+1
=4.
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9、2. 小明在學習二次根式后,發(fā)現(xiàn)一些含根號的式子可以寫成另一個式子的平方,如:3+2=(1+)2,善于思考的小明進行了以下探索:設a+b=(m+n)2(其中a,b,m,n均為整數(shù)),則有a+b=m2+2n2+2mn,所以a=m2+2n2,b=2mn,這樣小明就找到了一種把部分a+b的式子化為平方式的方法.
請你仿照小明的方法探索并解決下列問題:
(1)當a,b,m,n均為正整數(shù)時,若a+b=(m+n)2,用含m,n的式子分別表示a,b,得a= ,b= ;
(2)若a+4=(m+n)2,且a,m,n均為正整數(shù),求a的值.
解:由題意,得
∵4=2mn,且m,n為正整數(shù),
∴m=2,n=1或m=1,n=2.
∴a=22+3×12=7或a=12+3×22=13.
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