彈性力學(xué)練習(xí) -問題詳解

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1、word 一、填空題 1. 等截面直桿扭轉(zhuǎn)問題中，的物理意義是 : 桿端截面上剪應(yīng)力 對轉(zhuǎn)軸的矩等于桿截面內(nèi)的扭矩M 。 2. 在彈性力學(xué)里分析問題，要考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，分別 建立三套方程。 3. 彈性力學(xué)研究彈性體由于受外力作用、邊界約束或溫度改變等原因而發(fā)生的應(yīng)力、形變和位移。 4. 在彈性力學(xué)中規(guī)定，線應(yīng)變以伸長時為正，縮短時為負(fù)，與正應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)定相適應(yīng)。 5．彈性力學(xué)的根本假定為:連續(xù)性、完全彈性、均勻性、各向同性、小變形性。 6． 一組可能的應(yīng)力分量應(yīng)滿足：平衡微分方程 、相容方程〔變形協(xié)調(diào)條件〕 。 7． 最小勢能原理等價于彈

2、性力學(xué)根本方程中：平衡微分方程 、應(yīng)力邊界條件 。 8. 在彈性力學(xué)中規(guī)定，切應(yīng)變以直角變小時為正，變大時為負(fù)，與切應(yīng)力的正負(fù)號規(guī)定相適應(yīng)。 9. 物體受外力以后，其內(nèi)部將發(fā)生內(nèi)力，它的集度稱為應(yīng)力。與物體的形變和材料強(qiáng)度直接有關(guān)的，是應(yīng)力在其作用截面的法線方向和切線方向的分量，也就是正應(yīng)力和切應(yīng)力。應(yīng)力與其分量的量綱是L-1MT-2。 10. 表示應(yīng)力分量與體力分量之間關(guān)系的方程為平衡微分方程。 11. 邊界條件表示邊界上位移與約束，或應(yīng)力與面力之間的關(guān)系式。分為位移邊界條件、應(yīng)力邊界條件和混合邊界條件。 12．按應(yīng)力求解平面問題時常采用逆解法和半逆解法。 13．彈性力學(xué)平衡

3、微分方程、幾何方程的X量表示為：， 14. 平面問題分為平面應(yīng)力問題和平面應(yīng)變問題。 15. 每個單元的應(yīng)變一般總是包含著兩局部：一局部是與該單元中各點的位置坐標(biāo)有關(guān)的，是各點不一樣的，即所謂變量應(yīng)變；另一局部是與位置坐標(biāo)無關(guān)的，是各點一樣的，即所謂常量應(yīng)變。 16. 為了能從有限單元法得出正確的解答，位移模式必須能反映單元的剛體位移和常量應(yīng)變，還應(yīng)當(dāng)盡可能反映相鄰單元的位移連續(xù)性。 17. 有限單元法首先將連續(xù)體變換成為離散化結(jié)構(gòu)，然后再用結(jié)構(gòu)力學(xué)位移法進(jìn)展求解。其具體步驟分為單元分析和整體分析兩局部。 18. 為了使得單元內(nèi)部的位移保持連續(xù)，必須把位移模式取為坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)，

4、為了使得相鄰單元的位移保持連續(xù)，就不僅要使它們在公共結(jié)點處具有一樣的位移時，也能在整個公共邊界上具有一樣的位移。 19. 每個單元的位移一般總是包含著兩局部：一局部是由本單元的形變引起的，另一局部是由于其他單元發(fā)生了形變而連帶引起的。 20. 為了提高有限單元法分析的精度，一般可以采用兩種方法：一是將單元的尺寸減小，以便較好地反映位移和應(yīng)力變化情況；二是采用包含更高次項的位移模式，使位移和應(yīng)力的精度提高。 二、判斷題 1、連續(xù)性假定是指整個物體的體積都被組成這個物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙?！病獭? 2、均勻性假定是指整個物體的體積都被組成這個物體的介質(zhì)所填滿，不留下任何空隙?！病?/p>

5、〕 3、表示位移分量與應(yīng)力分量之間關(guān)系的方程為物理方程?！病痢? 4、當(dāng)物體的位移分量完全確定時，形變分量即完全確定?！病獭? 5、連續(xù)性假定是指整個物體是由同一材料組成的?！病痢? 6、平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題的物理方程是完全一樣的?！病痢? 7、按應(yīng)力求解平面問題，最后可以歸納為求解一個應(yīng)力函數(shù)?！病痢? 8、在有限單元法中，結(jié)點力是指單元對結(jié)點的作用力?！病痢? 9、在有限單元法中，結(jié)點力是指結(jié)點對單元的作用力?！病獭? 10、當(dāng)物體的形變分量完全確定時，位移分量卻不能完全確定。〔√〕 11、在平面三結(jié)點三角形單元的公共邊界上應(yīng)變和應(yīng)力均有突變。〔√ 〕 12、按應(yīng)力求解平面問題

6、時常采用位移法和應(yīng)力法?！病痢? 13、表示應(yīng)力分量與面力分量之間關(guān)系的方程為平衡微分方程。〔×〕 三、問答題 1．試簡述力學(xué)中的圣維南原理，并說明它在彈性力學(xué)分析中的作用。 答：圣維南原理：如果物體的一小局部邊界上的面力變換為分布不同但靜力等效的面力〔主矢與主矩一樣〕，如此近處的應(yīng)力分布將有顯著的改變，但遠(yuǎn)處的應(yīng)力所受影響可以忽略不計。 作用： 〔1〕將次要邊界上復(fù)雜的面力〔集中力、集中力偶等〕作分布的面力代替。 〔2〕將次要的位移邊界條件轉(zhuǎn)化為應(yīng)力邊界條件處理。 2．簡述彈性力學(xué)的研究方法。 答：在彈性體區(qū)域內(nèi)部，考慮靜力學(xué)、幾何學(xué)和物理學(xué)三方面條件，分別建立三套方程。即根

7、據(jù)微分體的平衡條件，建立平衡微分方程；根據(jù)微分線段上形變與位移之間的幾何關(guān)系，建立幾何方程；根據(jù)應(yīng)力與形變之間的物理關(guān)系，建立物理方程。此外，在彈性體的邊界上還要建立邊界條件。在給定面力的邊界上，根據(jù)邊界上微分體的平衡條件，建立應(yīng)力邊界條件；在給定約束的邊界上，根據(jù)邊界上的約束條件建立位移邊界條件。求解彈性力學(xué)問題，即在邊界條件下根據(jù)平衡微分方程、幾何方程、物理方程求解應(yīng)力分量、形變分量和位移分量。 3．彈性力學(xué)中主要引用的五個根本假定與各假定用途分別是什么？ 答：1〕連續(xù)性假定：引用這一假定后，物體中的應(yīng)力、應(yīng)變和位移等物理量就可看成是連續(xù)的，因此，建立彈性力學(xué)的根本方程時就可以用坐標(biāo)的

8、連續(xù)函數(shù)來表示他們的變化規(guī)律。 2〕完全彈性假定：這一假定包含應(yīng)力與應(yīng)變成正比的含義，亦即二者呈線性關(guān)系，復(fù)合胡克定律，從而使物理方程成為線性的方程。 3〕均勻性假定：在該假定下，所研究的物體內(nèi)部各點的物理性質(zhì)顯然都是一樣的。因此，反響這些物理性質(zhì)的彈性常數(shù)〔如彈性模量E和泊松比μ等〕就不隨位置坐標(biāo)而變化。 4〕各向同性假定：各向同性是指物體的物理性質(zhì)在各個方向上都是一樣的，也就是說，物體的彈性常數(shù)也不隨方向變化。 5〕小變形假定：研究物體受力后的平衡問題時，不用考慮物體尺寸的改變，而仍然按照原來的尺寸和形狀進(jìn)展計算。同時，在研究物體的變形和位移時，可以將它們的二次冪或乘積略去不計，使

9、得彈性力學(xué)的微分方程都簡化為線性微分方程。 4．簡述材料力學(xué)和彈性力學(xué)在研究對象方面的異同點。 答：在研究對象方面，材料力學(xué)根本上只研究桿狀構(gòu)件，也就是長度遠(yuǎn)大于高度和寬度的構(gòu)件；而彈性力學(xué)除了對桿狀構(gòu)件作進(jìn)一步的、較準(zhǔn)確的分析外，還對非桿狀結(jié)構(gòu)，例如板和殼，以與擋土墻、堤壩、地基等實體結(jié)構(gòu)加以研究。 5．簡述材料力學(xué)和彈性力學(xué)在研究方法方面的異同點。 在研究方法方面，材料力學(xué)研究桿狀構(gòu)件，除了從靜力學(xué)、幾何學(xué)、物理學(xué)三方面進(jìn)展分析以外，大都引用了一些關(guān)于構(gòu)件的形變狀態(tài)或應(yīng)力分布的假定，這就大簡化了數(shù)學(xué)推演，但是，得出的解答往往是近似的。彈性力學(xué)研究桿狀構(gòu)件，一般都不必引用那些假定，因

10、而得出的結(jié)果就比擬準(zhǔn)確，并且可以用來校核材料力學(xué)里得出的近似解答。 6．簡述平面應(yīng)力問題與平面應(yīng)變問題的區(qū)別。 答：平面應(yīng)力問題是指很薄的等厚度薄板，只在板邊上受有平行于板面并且不沿厚度變化的面力，同時，體力也平行于板面并且不沿厚度變化。對應(yīng)的應(yīng)力分量只有，，。而平面應(yīng)變問題是指很長的柱形體，在柱面上受有平行于橫截面并且不沿長度變化的面力，同時體力也平行于橫截面并且不沿長度變化，對應(yīng)的位移分量只有u和v 7．為了保證有限單元法解答的收斂性，位移模式應(yīng)滿足哪些條件？ 答：為了保證有限單元法解答的收斂性，位移模式應(yīng)滿足如下條件：〔1〕位移模式必須能反映單元的剛體位移；〔2〕位移模式必須

11、能反映單元的常量應(yīng)變；〔3〕位移模式應(yīng)盡可能反映位移的連續(xù)性。 8．在有限單元法中，為什么要求位移模式必須能反映單元的剛體位移？ 答：每個單元的位移一般總是包含著兩局部：一局部是由本單元的形變引起的，另一局部是本單元的形變無關(guān)的，即剛體位移，它是由于其他單元發(fā)生了形變而連帶引起的。甚至在彈性體的某些部位，例如在靠近懸臂梁的自由端處，單元的形變很小，單元的位移主要是由于其他單元發(fā)生形變而引起的剛體位移。因此，為了正確反映單元的位移形態(tài)，位移模式必須能反映該單元的剛體位移。 9．在有限單元法中，為什么要求位移模式必須能反映單元的常量應(yīng)變？ 答：每個單元的應(yīng)變一般總是包含著兩局部：一局部是與

12、該單元中各點的位置坐標(biāo)有關(guān)的，是各點不一樣的，即所謂變量應(yīng)變；另一局部是與位置坐標(biāo)無關(guān)的，是各點一樣的，即所謂常量應(yīng)變。而且，當(dāng)單元的尺寸較小時，單元中各點的應(yīng)變趨于相等，也就是單元的應(yīng)變趨于均勻，因而常量應(yīng)變就成為應(yīng)變的主要局部。因此，為了正確反映單元的形變狀態(tài)，位移模式必須能反映該單元的常量應(yīng)變。 10．簡述按應(yīng)力求解平面問題時的逆解法。 答：所謂逆解法，就是先設(shè)定各種形式的、滿足相容方程的應(yīng)力函數(shù)；并由應(yīng)力分量與應(yīng)力函數(shù)之間的關(guān)系求得應(yīng)力分量；然后再根據(jù)應(yīng)力邊界條件和彈性體的邊界形狀，看這些應(yīng)力分量對應(yīng)于邊界上什么樣的面力，從而可以得知所選取的應(yīng)力函數(shù)可以解決的問題。 11．以三節(jié)

13、點三角形單元為例，簡述有限單元法求解離散化結(jié)構(gòu)的具體步驟。 〔1〕取三角形單元的結(jié)點位移為根本未知量。 〔2〕應(yīng)用插值公式，由單元的結(jié)點位移求出單元的位移函數(shù)。 〔3〕應(yīng)用幾何方程，由單元的位移函數(shù)求出單元的應(yīng)變。 〔4〕應(yīng)用物理方程，由單元的應(yīng)變求出單元的應(yīng)力。 〔5〕應(yīng)用虛功方程，由單元的應(yīng)力出單元的結(jié)點力。 〔6〕應(yīng)用虛功方程，將單元中的各種外力荷載向結(jié)點移置，求出單元的結(jié)點荷載。 〔7〕列出各結(jié)點的平衡方程，組成整個結(jié)構(gòu)的平衡方程組。 四、計算題 1、圖示懸臂梁，受三角形分布載荷作用，假如梁的正應(yīng)力由材料力學(xué)公式給出，試由平衡微分方程求出 ，并檢驗該應(yīng)力分量能否滿足應(yīng)

14、力表示的相容方程。 解： 〔1〕求橫截面上正應(yīng)力 任意截面的彎矩為 截面慣性矩為 由材料力學(xué)計算公式有：〔1〕 〔2〕由平衡微分方程求、 平衡微分方程： 其中：，將式〔1〕代入式〔2〕，有 將〔1〕代入〔2〕，有 積分上式，得 利用邊界條件： 有：得 〔4〕 將式〔4〕代入式〔3〕，有 得 積分得： 利用邊界條件： ，。 得： 由第二式，得 將其代入第一式，得 ，自然成立。 將、代入的表達(dá)式，有 〔5〕 所求應(yīng)力分量： 2、應(yīng)力分量，，，體力不計,Q 為常數(shù)。試?yán)闷胶馕⒎址匠糖笙禂?shù)C1，C2，C3。 解

15、： 將所給應(yīng)力分量代入平衡微分方程 得 即 由x，y的任意性，得 由此解得，，， 3、應(yīng)力分量，，，判斷該應(yīng)力分量是否滿足平衡微分方程和相容方程。 解： 將應(yīng)力分量，，，代入平衡微分方程 可知，應(yīng)力分量，，一般不滿足平衡微分方程，只有體力忽略不計時才滿足。 按應(yīng)力求解平面應(yīng)力問題的相容方程： 將應(yīng)力分量，，代入上式，可知滿足相容方程。 按應(yīng)力求解平面應(yīng)變問題的相容方程： 將應(yīng)力分量，，代入上式，可知滿足相容方程。 4、試寫出平面問題的應(yīng)變分量存在的必要條件，并考慮如下平面問題的應(yīng)變分量是否可能存在。 〔1〕，，； 〔2〕，，； 〔3

16、〕，，； 其中，A，B，C，D為常數(shù)。 解： 應(yīng)變分量存在的必要條件是滿足形變協(xié)調(diào)條件，即 將以上應(yīng)變分量代入上面的形變協(xié)調(diào)方程，可知： 〔1〕相容。 〔2〕〔1分〕；這組應(yīng)力分量假如存在，如此須滿足：B=0，2A=C。 〔3〕0=C；這組應(yīng)力分量假如存在，如此須滿足：C=0，如此，，。 5、如下列圖的矩形截面的長堅柱，密度為，在一邊側(cè)面上受均布剪力，試求應(yīng)力分量。 O x y b q rg 解： 根據(jù)結(jié)構(gòu)的特點和受力情況，可以假定縱向纖維互不擠壓，即設(shè)。由此可 知 將上式對y積分兩次，可得如下應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式

17、 將上式代入應(yīng)力函數(shù)所應(yīng)滿足的相容方程如此可得 這是y的線性方程，但相容方程要求它有無數(shù)多的解〔全柱內(nèi)的y值都應(yīng)該滿足它〕，可見它的系數(shù)和自由項都應(yīng)該等于零，即 ， 這兩個方程要求 ， 代入應(yīng)力函數(shù)表達(dá)式，并略去對應(yīng)力分量無影響的一次項和常數(shù)項后，便得 對應(yīng)應(yīng)力分量為 以上常數(shù)可以根據(jù)邊界條件確定。 左邊，，，，沿y方向無面力，所以有 右邊，，，，沿y方向的面力為q，所以有 上邊，，，，沒有水平面力，這就要求在這局部邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即 將的表達(dá)式代入，并考慮到C=0，如此有 而自然滿足。又由于在這局

18、部邊界上沒有垂直面力，這就要求在這局部邊界上合成的主矢量和主矩均為零，即 ， 將的表達(dá)式代入，如此有 由此可得 ，，，， 應(yīng)力分量為 , , 雖然上述結(jié)果并不嚴(yán)格滿足上端面處〔y=0〕的邊界條件，但按照圣維南原理，在稍遠(yuǎn)離y=0處這一結(jié)果應(yīng)是適用的。 6、設(shè)有楔形體如下列圖，左面鉛直，右面與鉛直面成角，下端作為無限長，承受重力與液體壓力，楔形體的密度為，液體的密度為，試求應(yīng)力分量。 r2g r1g a y x O 解： 采用半逆解法。首先應(yīng)用量綱分析方法來假設(shè)應(yīng)力分量的函數(shù)形式。取坐標(biāo)軸如下列圖。

19、在楔形體的任意一點，每一個應(yīng)力分量都將由兩局部組成：一局部由重力引起，應(yīng)當(dāng)與成正比〔g是重力加速度〕；另一局部由液體壓力引起，應(yīng)當(dāng)與成正比。此外，每一局部還與，x，y有關(guān)。由于應(yīng)力的量綱是L-1MT-2，和的量綱是L-2MT-2，是量綱一的量，而x和y的量綱是L，因此，如果應(yīng)力分量具有多項式的解答，那么它們的表達(dá)式只可能是，，，四項的組合，而其中的A，B，C，D是量綱一的量，只與有關(guān)。這就是說，各應(yīng)力分量的表達(dá)式只可能是x和y的純一次式。 其次，由應(yīng)力函數(shù)與應(yīng)力分量的關(guān)系式可知，應(yīng)力函數(shù)比應(yīng)力分量的長度量綱高二次，應(yīng)該是x和y純?nèi)问?，因此，假設(shè) 相應(yīng)的應(yīng)力分量表達(dá)式為 , , 這些應(yīng)力分量是滿足平衡微分方程和相容方程的?，F(xiàn)在來考察，如果適當(dāng)選擇各個系數(shù)，是否能滿足應(yīng)力邊界條件。 左面，，，，作用有水平面力，所以有 對左面的任意y值都應(yīng)成立，可見 同時，該邊界上沒有豎直面力，所以有 對左面的任意y值都應(yīng)成立，可見 因此，應(yīng)力分量可以簡化為 ，， 斜面，，，，沒有面力，所以有 由第一個方程，得 對斜面的任意y值都應(yīng)成立，這就要求 由第二個方程，得 對斜面的任意x值都應(yīng)成立，這就要求 由此解得 ， 從而應(yīng)力分量為 , ，。 13 / 13