綜合實驗 數(shù)值計算

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1、word 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院 數(shù) 學(xué) 綜 合 實 驗 報 告 班 級：2013級數(shù)學(xué)三班 姓 名：康萍 23 / 24 數(shù) 值 計 算 一、 實驗?zāi)康? 本實驗通過介紹Mathmatca的數(shù)值計算功能，它的特點是準(zhǔn)確計算與數(shù)值計算相結(jié)合，能夠通過可選參數(shù)提高計算精度，學(xué)習(xí)包括數(shù)據(jù)的擬合與插值、數(shù)值積分與方程的近似解、極值問題、最優(yōu)化與數(shù)理統(tǒng)計方面的容。 二、實驗環(huán)境 基于Windows環(huán)境下的Mathematica7.0軟件與Mathematica9.0軟件。 三、 實驗的根本理論和方法 1、 Mathmatica提供了進(jìn)展數(shù)

2、據(jù)擬合的函數(shù)： Fit[data,funs,vars] 對數(shù)據(jù)data 用最小二乘法求函數(shù)表funs中各函數(shù)的一個線性組合作為所求的近似解析式，其中vars是自變量或自變量的表。 Fit[data,,] 求形如的近似函數(shù)式。 Fit[data,,] 求形如的近似函數(shù)式。 Fit[data,,] 求形如的近似函數(shù)式。 2、 函數(shù)InterpolatingPolynomial求一個多項式，使給定的數(shù)據(jù)是準(zhǔn)確的函數(shù)值，其調(diào)用格式如下： InterpolatingPolynomial[{},x] 當(dāng)自變量為1，2，…時的函數(shù)值為。 InterpolatingPolynomial

3、[{},x] 當(dāng)自變量為時的函數(shù)值為 InterpolatingPolynomial[{,x] 規(guī)定點處的函數(shù)值。 3、 求定積分的數(shù)值解有兩種方法： 使用N[Integrate[f,{x,a,b}],n]或使用NIntegrate[f,{x,a,b}]前者首先試圖求符號然后再求近似解，后者使用數(shù)值積分的直接求近似解。終究選用哪一個，這需要首先了解兩者各自的特點。前者首先試圖求符號解，當(dāng)然花費更多的時間，但安全可靠。后者使用數(shù)值積分的直接求近似解，節(jié)約運(yùn)行時間，但可靠性就差了。 NIntegrate[f,{},{},…]是標(biāo)準(zhǔn)形式而且允許積分區(qū)間端點是奇異點。如果積分區(qū)間部有奇異點，

4、積分區(qū)間部的奇異點不能被識別，需要明確指出： NIntegrate[f,{}],其中是奇異點。 NIntegrate有控制計算精度的可選參數(shù)： WorkingPrecision 部近似計算使用的數(shù)字位數(shù)〔默認(rèn)值為16，等于系統(tǒng)變量SMachinePrecision的值〕。 AccuracyGoal 計算結(jié)果的絕對誤差〔默認(rèn)值為Infinity〕。 PrecisionGoal計算結(jié)果的相對誤差〔默認(rèn)值為Automatic一般比WorkingPrecision的值小10〕。 這3個參數(shù)都可以缺省或重新設(shè)置，后兩個值之一可以為Infinity，表示使用該參數(shù)，只使用另一個，一般第一個應(yīng)該

5、大于后兩個。 MaxPoints 計算時選取的被積函數(shù)的最大樣本數(shù)〔默認(rèn)值為Automatic〕。 MaxRecursion 積分區(qū)域遞歸子劃分的最大個數(shù)〔默認(rèn)值為6〕。 MinRecursion 積分區(qū)域遞歸子劃分的最小個數(shù)〔默認(rèn)值為0〕。 SingularityDepth 積分區(qū)間端點處變量變化前使用的遞歸子劃分個數(shù)〔默認(rèn)值為4〕。 4、 求數(shù)值的和、積的函數(shù) NSum[f,{i,imin,imax,di}] 求通項為f的和的近似值。 NProduct[f, {i,imin,imax,di}] 求通項為f的積的近似值。 5、 函數(shù)Nsolve用于求代數(shù)方程〔組〕的全部近似解

6、，其調(diào)用格式如下： Nsolve[eqns,vars,n] 其中可選參數(shù)n表示結(jié)果有n位的精度。 能解類型廣泛的方程〔組〕的是FindRoot，大多數(shù)情況下它使用牛頓迭代法，無法求出符號導(dǎo)數(shù)時用正割法，其調(diào)用格式如下： FindRoot[eqn,{x,}] 從出發(fā)求未知量x的方程eqn的一個解。 FindRoot[eqn,{x, ,x,min,xmax}] 如果超出區(qū)間[xmin,xmax]如此停止尋找。 FindRoot[eqn,{x,{，}}] 當(dāng)方程無法求出符號導(dǎo)數(shù)時必須給出兩個初值，。 FindRoot[{eqn1，eqn2,…},{x,},{}, …] 求方程組的一個解。

7、 如果在參數(shù)中出現(xiàn)復(fù)數(shù)，如此求復(fù)數(shù)解。方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為方程的右邊為0，這時可以輸入方程左邊的表達(dá)式，等號與0都可以省略。 6、 函數(shù)FindMinimum尋找一個函數(shù)的極小值點，其調(diào)用格式如下： FindMinimum[] 從出發(fā)求未知量x的函數(shù)f的一個極小值點和極小值。 FindMinimum[] 當(dāng)函數(shù)無法自動求出符號函數(shù)時，必須給出兩個初值。 FindMinimum[] 求多元函數(shù)的一個極小值點和一個極小值。 7、 ConstrainedMin[f,{ineqns},{x,y,…}] 在不等式約束的區(qū)域上求多元線性函數(shù)的最小值。 ConstrainedMax[f,{in

8、eqns},{x,y,…}] 求最大值。 其中約定的所有自變量都非負(fù)，不等式可以使用各種不等號和等號。如果系數(shù)都是整數(shù)或分?jǐn)?shù)，如此答案也是整數(shù)或分?jǐn)?shù)。 8、SampleRange[data] 求表data中數(shù)據(jù)的極差〔最大值減最小值〕。 Median[data] 求中值。 Mean[data] 求平均值。 Variance[data] 求方差〔無偏估計〕。 StandardDeviation[data] 求標(biāo)準(zhǔn)差〔無偏估計〕。 VarianceMLE[data] 求方差。 StandardDeviationMLE[data] 求標(biāo)準(zhǔn)差〔無偏估計〕。 C

9、entralMoment[data,k] 求k階中心矩。 BinomialDistribution[p] Bernoulli分布。 BinomialDistribution[n,p] 二項分布。 GeometricDistribution[p] 幾何分布。 HypergeometricDistribution[n,M,N] 超幾何分布。 PoissonDistribution[] Poisson分布。 NormalDistribution[] 正態(tài)分布。 ChiSquareDistribution[n] 分布。 UniformDistribution[min,m

10、ax] 均勻分布。 ExponentialDistribution[] 指數(shù)分布。 StudentTDDistribution[n] t分布。 FRatioDistribution[] F分布。 GammaDistibution[] 分布。 9、MeanCI[data,KnowVarianceVar] 方差Var,由數(shù)據(jù)表data求總體數(shù)學(xué)期望的置信區(qū)間〔基于正態(tài)分布〕。 MeanCI[data] 由數(shù)據(jù)表data求總體數(shù)學(xué)期望的置信區(qū)間〔方差未知，基于t分布〕。 10、MeanTest[data,,KnownVarianceVar] 方差Var，由數(shù)據(jù)表data檢

11、驗總體數(shù)學(xué)期望，求出P值。 MeanTest[data,] 方差未知，由數(shù)據(jù)表檢驗總體數(shù)學(xué)期望，求出P值。 四、實驗的容和步驟與得到的結(jié)果和結(jié)果分析 實驗一 數(shù)據(jù)擬合與插值 實驗1 數(shù)據(jù)擬合 1.1、實驗容： }、{50，85.1}，求其函數(shù)解析式,并繪制出圖形。 實驗步驟 在Mathematica中輸入語句如下 實驗結(jié)果 這組數(shù)據(jù)的近似函數(shù)解析式為y=70.5723 +0.291456 x，通過使用一次函數(shù)得到了很理想的擬合。 2.1 實驗容： {0.1,5.1234},{0.2,5.3057},{0.3,5.5687},{0.4,5.93

12、78},{0.5,6.4337},{0.6,7.0978},{0.7,7.9493},{0.8,9.0253},{0.9,10.3627}，求其函數(shù)解析式,并繪制出圖形。 在Mathematica中輸入語句如下： 實驗結(jié)果 這組數(shù)據(jù)的近似函數(shù)解析式為y= 5.30661 -1.83196 x+8.17149 x2，通過使用二次函數(shù)得到了很理想的擬合。 實驗容：數(shù)據(jù)表 x y 求4次擬合多項式，并繪圖進(jìn)展比擬。 3.2 實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下 3.3、實驗結(jié)果：

13、3.4、結(jié)果分析 擬合多項式為1.02587 -7.53296 x+65.6478 x2-162.547 x3+119.015 x4 實驗容：二元擬合 4.2 實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下： 4.3實驗結(jié)果： 4.4 結(jié)果分析 首先生成二元函數(shù),的一個數(shù)據(jù)表，然好由這些數(shù)據(jù)反過來求二元函數(shù)。說明Fit函數(shù)可以求解多元問題。使用函數(shù)Chop去掉系數(shù)很小的項，以此消除誤差。 5.1 實驗容：使用初等函數(shù)的組合進(jìn)展擬合 5.2 實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下： 5.3 實驗結(jié)果： 5.4 結(jié)果

14、分析： 在進(jìn)展數(shù)據(jù)擬合時，第二個參數(shù)使用了幾個初等函數(shù)，說明可以任意選用函數(shù)組成函數(shù)表。 實驗2 插值法構(gòu)造近似函數(shù) 1.1 實驗容：由條件求多項式 1.2 實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下 1.3 實驗結(jié)果： 1.4 結(jié)果分析： 輸出結(jié)果明確，所得答案是準(zhǔn)確結(jié)果，而不是近似函數(shù)，ln[30]是給出當(dāng)x=1時的函數(shù)值和一、二階導(dǎo)數(shù)值，由3個條件得到一個二次多項式。 2.1 實驗容：生成插值函數(shù)與其多項式 2.2 實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下 2.3 實驗結(jié)果： 2.4 結(jié)果分析：

15、 其中插值函數(shù)f的定義域是[19.1，50]，由圖形可以看出，給定的數(shù)據(jù)點在函數(shù)曲線上。 實驗容：x=0,2,3,5,6時的函數(shù)值為y=1,3,2,5,6.求插值多項式并繪圖。 3.2 實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下： 3.3 實驗結(jié)果 3.4 結(jié)果分析 插值多項式為1+(1+(-(2/3)+(3/10-11/120 (-5+x)) (-3+x)) (-2+x)) x。 4.1 實驗容：生成插值函數(shù)與其多項式。 4.2 實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下： 4.3 實驗結(jié)果 4.4

16、 結(jié)果分析： 以上生成插值函數(shù)時，因為數(shù)據(jù)太少，因此設(shè)置插值多項式的次數(shù)為2，其中f1與f2的區(qū)別是，后者的自變量取默認(rèn)值。通過實驗說明了給定數(shù)據(jù)與對應(yīng)關(guān)系，同時說明點處的近似函數(shù)值等于給定的值。 5.1 實驗容：生成插值函數(shù)與其多項式。 5.2 實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下 5.3 實驗結(jié)果： 5.4 結(jié)果分析 先生成一個二元近似函數(shù)，再使用FunctionInterpolation由復(fù)合函數(shù)生成一個新的近似函數(shù)，用以簡化復(fù)合函數(shù)的計算過程，同時繪制出復(fù)合函數(shù)與它的近似函數(shù)圖形，圖象顯示兩者相差不大。 實驗二 數(shù)值積分與方程的近似解

17、 實驗1 數(shù)值積分 1.1 實驗容：有奇異點的積分 1.2 實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下 1.3實驗結(jié)果： ： 被積函數(shù)在x=0時分母為0，x=0是奇異點。如果給出的點不是奇異點，也不影響計算結(jié)果。 2.1實驗容：可選參數(shù)比擬 2.2實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下 ： ：雖然ln[6]明確可以設(shè)置很高的精度參數(shù)，但顯然不如使用ln[5]簡便。 3.1實驗容：可選參數(shù)比擬 3.2實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下 3.3 實驗結(jié)果： 3.4 結(jié)果分析： 被積函數(shù)

18、在x=0附近變化劇烈，使用MaxRecursion的默認(rèn)值6不行，在ln[1]中設(shè)置它的值為10后解決。第二種解決問題的方法是插入分點，將積分區(qū)間分成三段，如ln[2]所示。 實驗容：求數(shù)值的和與積 4.2 實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下 4.3 實驗結(jié)果： 4.4 結(jié)果分析： 如果能求準(zhǔn)確值，應(yīng)當(dāng)首先求準(zhǔn)確值再用N求近似值，這樣得到的結(jié)果精度比直接用NSum的高。 實驗2 方程〔組〕的近似值 1.1 實驗容：有奇異點的積分 1.2 實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下 1.3 實驗結(jié)果： 1.5 結(jié)果分析

19、： 𝑥^5?2?𝑥+1=0的解為x=1.00.方程組𝑥^2+𝑦^2=1,𝑥^3?𝑦=0的解為x=0.826031,y=0.563624。 2.1 實驗容：解方程組 實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下 2.3 實驗結(jié)果： 2.4 結(jié)果分析： ln[9]和ln[10]說明，取不同的初值可能得到不同的解。Ln[11]是解方程組，已經(jīng)不是代數(shù)方程了。Ln[12]求指定區(qū)間的解失敗，仍輸出一個結(jié)果，但不是解。Ln[13]是給出兩個初值的例子，此

20、例如果僅給一個初值如此失敗。 實驗三 極值問題 實驗1 極值問題 1.1 實驗容：求函數(shù)的極小值。 1.2 實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下 1.3 實驗結(jié)果： 1.4 結(jié)果分析： ln[20]是求函數(shù)的極大值點，因為沒有求極大值的函數(shù)，改求-f的極小值。Ln[21]是求多元函數(shù)的極小值。 實驗2 線性規(guī)化 1.1 實驗容：多元線性規(guī)劃。 1.2 實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下 1.3 實驗結(jié)果： 1.4 結(jié)果分析： ln[27]說明即使不等式使用嚴(yán)格不等式號，答案仍取在邊界上。在ln[

21、28]中系數(shù)使用小數(shù)，如此答案也是小數(shù)形式的。Ln[29]說明可以使用等號，但必須鍵入“= =〞。 2.1 實驗容：非正常的多元線性規(guī)劃。 2.2 實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下 2.3 實驗結(jié)果： 2.4 結(jié)果分析 Ln[1]實質(zhì)上有無窮多個解，但沒有警告信息。Ln[2]無解，返回結(jié)果是原來的輸入式。Ln[3]區(qū)域無界，沒有最大值，如果在無界區(qū)域上有最大最小值，還是能求出來的。 3.1 實驗容：自變量和約束不等式較多時的多元線性規(guī)劃。 2.2 實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下 3.3 實驗結(jié)果：

22、 3.4 結(jié)果分析 Ln[2]有無窮多解，仍沒有警告出現(xiàn)。Ln[3]無解。Ln[1]為正常情況，復(fù)雜的系數(shù)矩陣可以由數(shù)據(jù)文件讀入。 實驗四 數(shù)理統(tǒng)計 實驗1 樣本的數(shù)字特征 1.1、實驗容：一元數(shù)理統(tǒng)計的根本計算。 1.2、實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下 1.3、實驗結(jié)果： 1.4、結(jié)果分析： 所給樣本的樣本容量為7，其中樣本的最小值為3.8，最大值為6.6，中值為6，平均值為6.，方差〔無偏估計〕為0.962857，標(biāo)準(zhǔn)差〔無偏估計〕為0.981253. 2.1、實驗容：求多元數(shù)理統(tǒng)計的根本計算。 2.2

23、、實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下 2.3、實驗結(jié)果 2.4、結(jié)果分析：樣本容量為4，中值為{1.185，2.125，3.245}，平均值為{1.1925，2.14，3.125}，方差為{0.00755833，0.0200667，0.0137667}，2階中心矩為{0.00566875，0.01505，0.010325}，z的協(xié)方差為0.0093，y與z的相關(guān)系數(shù)為0.0521435，x的自相關(guān)系數(shù)為1.。 實驗2 常用分布的計算 1.1、實驗容：二項分布的各種計算。 1.2、實驗步驟：在Math

24、ematica中輸入語句如下 1.4、結(jié)果分析 二項分布的均值為nb，方差為 n(1-p)p,特征函數(shù)為。當(dāng)二項分布中n=10,p=0.3時，點4處分布b的密度值為0.200121，點3.9處分布函數(shù)值為0.649611，點4處的分布函數(shù)值為0.849732，方差為2.1. 2.1、實驗容：離散分布的例子。 2.2、實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下 2.3、實驗結(jié)果 2.4、結(jié)果分析 超幾何分布〔n,M,N〕的均值為，方差為。參數(shù)為5的泊松分

25、布在點2處的密度值為，點20處的密度值為。 3.1、實驗容：〔1〕，求 。 〔2〕，求 3.2、實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下 3.3、實驗結(jié)果 3.4、結(jié)果分析 〔1〕， 〔2〕 實驗容：繪制分布在n分別為1，5，15時的分布密度函數(shù)圖。 4.2、實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下 4.3、實驗結(jié)果 4.4、結(jié)果分析： 當(dāng)參數(shù)為1時，函數(shù)圖為藍(lán)色分支；當(dāng)參數(shù)為5時，函數(shù)圖為紅色分支；當(dāng)參數(shù)為15時，函數(shù)圖為黃色分支?？梢?，參數(shù)越大，圖像越“矮胖〞，參數(shù)越小，圖像越“高瘦〞。 實驗3 區(qū)間

26、估計 1.1、實驗容：，求鐵水平均含炭量的置信區(qū)間。 。 1.2、實驗步驟：在Mathematica中輸入語句如下 、實驗結(jié)果 根據(jù)所做程序，實驗沒有給出一個的正確的置信區(qū)間。 1.4、結(jié)果分析 本機(jī)所裝Mathematica程序中沒有相應(yīng)的外部函數(shù)。 實驗4 回歸分析 1.1、實驗容：某食品廠使用自動裝罐機(jī)生產(chǎn)罐頭，每罐標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量是500g，標(biāo)準(zhǔn)差為10g，現(xiàn)抽取10罐，測的質(zhì)量〔單位：g〕分別為495,510,505,498,503,492,502,512,497，506，假定罐頭的質(zhì)量服從正態(tài)分布，顯著性水平為0.05，問裝罐機(jī)工作是否正常？ 1.2、實驗步驟：在M

27、athematica中輸入語句如下 、實驗結(jié)果 根據(jù)所做程序，實驗沒有得出一個的正確的假設(shè)檢驗。 、結(jié)果分析 本機(jī)所裝Mathematica程序中沒有相應(yīng)的外部函數(shù)。 五、心得體會 之前在數(shù)值分析、常微分方程、以與運(yùn)籌學(xué)等課程中學(xué)習(xí)了很多關(guān)于數(shù)值計算方面的問題，但是之前一直都是筆算進(jìn)展的。有時候問題特別復(fù)雜，或是題設(shè)特別多的時候，總給人一種無從下手的感覺，我們必須花費大量的時間去練習(xí)求極限、導(dǎo)數(shù)和積分的技能，需要死背大量的公式，這些重復(fù)勞動的技能令人厭煩，在擠占理解數(shù)學(xué)概念和理論方面所花時間的同時，還直接影響了我們的學(xué)習(xí)興趣。但這次通過做數(shù)值分析的實驗，我了解了很多關(guān)于

28、數(shù)值分析編程方面的知識，而且，無論題設(shè)多復(fù)雜，題目多么難，只要會調(diào)用相關(guān)的函數(shù)，并編寫正確的調(diào)用格式，就會在極短的時間得到我們所想要的結(jié)果。這無疑節(jié)省了我們很多時間，而且通過這次實驗讓我對計算數(shù)學(xué)產(chǎn)生了一定的興趣。通過計算機(jī)的輔助，我們可以解決很多實際問題中筆算明顯存在費時費力的問題，快速而又準(zhǔn)確的高效率無疑是一項極有意義的工作。 在實驗過程中還是存在很多問題，如常微分方程的求解上，編程存在一定的問題，導(dǎo)致一直運(yùn)行不出來結(jié)果，但是在日后的學(xué)習(xí)中，我會繼續(xù)尋找問題的根源，盡早解決它。還有在數(shù)理統(tǒng)計的計算方面，由于學(xué)校機(jī)房的Mathematic7.0與我自己電腦上的Mathetivca9.0自帶

29、的程序包中缺乏實現(xiàn)統(tǒng)計計算的一些外部函數(shù)，導(dǎo)致在數(shù)理統(tǒng)計模塊中，無法對總體數(shù)學(xué)期望與總體方差的區(qū)間進(jìn)展估計，沒能對總體數(shù)學(xué)期望與總體方差的假設(shè)進(jìn)展檢驗。在做回歸分析模型時也未能生成回歸分析報表。雖然在做的過程中受到了很大的阻礙，最終沒能達(dá)到自己預(yù)期的效果，但是單日后的學(xué)習(xí)中，我會繼續(xù)思考能否在不用調(diào)用外部函數(shù)的條件下，用其他方法快速、準(zhǔn)確的求出其結(jié)果。 雖然機(jī)械可以代替人做重復(fù)的、繁重的工作，但不如人靈活，譬如在沒有相關(guān)的調(diào)用函數(shù)時，問題便無從下手。Mathematica的符號功能雖然強(qiáng)大，能代替人解數(shù)學(xué)教材中的絕大多數(shù)計算題，但很多時候都沒有人的思維靈活。所以，在解決一個問題時，首先應(yīng)該自己思考清楚，真正把問題想清楚了，才能運(yùn)用正確的方法去解決，計算機(jī)只是一個輔助工具，是為了讓我們能更快速的得出答案，節(jié)約時間，并不能代替我們?nèi)ニ伎肌?