高一平面向量講義

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1、word 平面向量講義 §2.1　平面向量的實(shí)際背景與根本概念 1．向量：既有________，又有________的量叫向量． 2．向量的幾何表示：以A為起點(diǎn)，B為終點(diǎn)的向量記作________． 3．向量的有關(guān)概念： (1)零向量：長度為__________的向量叫做零向量，記作______． (2)單位向量：長度為______的向量叫做單位向量． (3)相等向量：__________且__________的向量叫做相等向量． (4)平行向量(共線向量)：方向__________的________向量叫做平行向量，也叫共線向量． ①記法：向量a平行于b，記作____

2、____． ②規(guī)定：零向量與__________平行． 考點(diǎn)一　向量的有關(guān)概念 例1　判斷如下命題是否正確，并說明理由． ①假如a≠b，如此a一定不與b共線；②假如＝，如此A、B、C、D四點(diǎn)是平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)；③在平行四邊形ABCD中，一定有＝；④假如向量a與任一向量b平行，如此a＝0；⑤假如a＝b，b＝c，如此a＝c；⑥假如a∥b，b∥c，如此a∥c. 變式訓(xùn)練1　判斷如下命題是否正確，并說明理由． (1)假如向量a與b同向，且|a|>|b|，如此a>b； (2)假如向量|a|＝|b|，如此a與b的長度相等且方向一樣或相反； (3)對于

3、任意|a|＝|b|，且a與b的方向一樣，如此a＝b； (4)向量a與向量b平行，如此向量a與b方向一樣或相反． 考點(diǎn)二　向量的表示方法 例2　一輛汽車從A點(diǎn)出發(fā)向西行駛了100 km到達(dá)B點(diǎn)，然后又改變方向向西偏北50°走了200 km到達(dá)C點(diǎn)，最后又改變方向，向東行駛了100 km到達(dá)D點(diǎn)． (1)作出向量、、；　(2)求||. 考點(diǎn)三　相等向量與共線向量 例3　如下列圖，O是正六邊形ABCDEF的中心，且＝a，＝b，＝c. (1)與a的模相等的向量有多少個(gè)？ (2)與a的長度相等，方向相反的向量有哪些？ (3

4、)與a共線的向量有哪些？ (4)請一一列出與a，b，c相等的向量． §2.2　平面向量的線性運(yùn)算 1．向量的加法法如此 (1)三角形法如此 如下列圖，非零向量a，b，在平面內(nèi)任取一點(diǎn)A，作＝a，＝b，如此向量________叫做a與b的和(或和向量)，記作__________，即a＋b＝＋＝________.上述求兩個(gè)向量和的作圖法如此，叫做向量求和的三角形法如此． 對于零向量與任一向量a的和有a＋0＝________＋______＝______. (2)平行四邊形法如此 如下列圖，兩個(gè)不共線向量a，b，作＝a，＝b，如此O、A、

5、B三點(diǎn)不共線，以______，______為鄰邊作__________，如此對角線上的向量________＝a＋b，這個(gè)法如此叫做兩個(gè)向量求和的平行四邊形法如此． 2．向量加法的運(yùn)算律 (1)交換律：a＋b＝______________. (2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝______________________. 3. 相反向量 (1)定義：如果兩個(gè)向量長度________，而方向________，那么稱這兩個(gè)向量是相反向量． (2)性質(zhì)：①對于相反向量有：a＋(－a)＝______. ②假如a，b互為相反向量，如此a＝________，a＋b＝______. ③零向

6、量的相反向量仍是__________． 4. 向量的減法 (1)定義：a－b＝a＋(－b)，即減去一個(gè)向量相當(dāng)于加上這個(gè)向量的 ___________________________________________________________________． (2)作法：在平面內(nèi)任取一點(diǎn)O，作＝a，＝b，如此向量a－b＝__________.如下列圖． (3)幾何意義：如果把兩個(gè)向量的始點(diǎn)放在一起，如此這兩個(gè)向量的差是以減向量的終點(diǎn)為________，被減向量的終點(diǎn)為________的向量．例如：－＝________. 5．向量數(shù)乘運(yùn)算 實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)__

7、________，這種運(yùn)算叫做向量的__________，記作________，其長度與方向規(guī)定如下： (1)|λa|＝__________. (2)λa (a≠0)的方向； 特別地，當(dāng)λ＝0或a＝0時(shí)，0a＝________或λ0＝________. 6．向量數(shù)乘的運(yùn)算律 (1)λ(μa)＝________. (2)(λ＋μ)a＝____________. (3)λ(a＋b)＝____________. 特別地，有(－λ)a＝____________＝________； λ(a－b)＝____________. 7．共線向量定理 向量a (a≠0)與b共線，當(dāng)且

8、僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使______________． 8．向量的線性運(yùn)算 向量的____、____、________運(yùn)算統(tǒng)稱為向量的線性運(yùn)算，對于任意向量a、b，以與任意實(shí)數(shù)λ、μ1、μ2，恒有 λ(μ1a±μ2b)＝__________________. 考點(diǎn)一　運(yùn)用向量加法法如此作和向量 例1　如下列圖，向量a、b，求作向量a＋b. 變式訓(xùn)練1　如下列圖，向量a、b、c，試作和向量a＋b＋c. 考點(diǎn)二　運(yùn)用向量加減法法如此化簡向量 例2　化簡： 〔1〕＋；(2)＋＋；(3)＋＋＋＋. 〔4〕(－)－(－)．(5)(－)－(－)；

9、 〔6〕(＋＋)－(－－)． 變式訓(xùn)練2　如圖，在平行四邊形ABCD中，O是AC和BD的交點(diǎn)． (1)＋＝________； (2)＋＋＝________； (3)＋＋＝________； (4)＋＋＝________. 變式訓(xùn)練3　如下列圖，O是平行四邊形ABCD的對角線AC、BD的交點(diǎn)，設(shè)＝a， ＝b，＝c，求證：b＋c－a＝. 考點(diǎn)三 向量的共線 例3設(shè)e1，e2是兩個(gè)不共線的向量，假如向量m＝－e1＋ke2 (k∈R)與向量n＝e2－2e1共線，如此(　　) A．k＝0 B．k＝1 C．

10、k＝2 D．k＝ 變式訓(xùn)練4 △ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C與平面內(nèi)一點(diǎn)P，且＋＋＝，如此(　　) A．P在△ABC內(nèi)部 B．P在△ABC外部 C．P在AB邊上或其延長線上 D．P在AC邊上 考點(diǎn)四：三點(diǎn)共線 例4兩個(gè)非零向量a、b不共線． (1)假如A＝a＋b，B＝2a＋8b，C＝3(a－b)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線； (2)某某數(shù)k使ka＋b與2a＋kb共線． 變式訓(xùn)練5 向量a、b，且＝a＋2b，＝－5a＋6b，＝7a－2b，如此一定共線的三點(diǎn)是(　　) A．B、C、D B．A、B、C

11、 C．A、B、D D．A、C、D 變式訓(xùn)練6 平面內(nèi)O，A，B，C四點(diǎn)，其中A，B，C三點(diǎn)共線，且＝x＋y，如此x＋y＝________. §2.3　平面向量的根本定理與坐標(biāo)表示 1．平面向量根本定理 (1)定理：如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)______向量，那么對于這一平面內(nèi)的______向量a，__________實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝____________________________. (2)基底：把________的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)________向量的一組基底． (1)夾角：

12、兩個(gè)__________a和b，作＝a，＝b，如此________＝θ (0°≤θ≤180°)，叫做向量a與b的夾角． ①X圍：向量a與b的夾角的X圍是______________． ②當(dāng)θ＝0°時(shí)，a與b________. ③當(dāng)θ＝180°時(shí)，a與b________. (2)垂直：如果a與b的夾角是________，如此稱a與b垂直，記作______________． 3．平面向量的坐標(biāo)表示 (1)向量的正交分解：把一個(gè)向量分解為兩個(gè)__________的向量，叫作把向量正交分解． (2)向量的坐標(biāo)表示：在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向一樣的兩個(gè)_________

13、___i，j作為基底，對于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，有且只有一對實(shí)數(shù)x，y使得a＝____________，如此________________叫作向量a的坐標(biāo)，________________叫作向量的坐標(biāo)表示． (3)向量坐標(biāo)的求法：在平面直角坐標(biāo)系中，假如A(x，y)，如此＝________，假如A(x1，y1)，B(x2，y2)，如此＝________________________. 4．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)假如a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如此a＋b＝________________，即兩個(gè)向量和的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的和． (2)假如a＝(x1，y1)

14、，b＝(x2，y2)，如此a－b＝________________________，即兩個(gè)向量差的坐標(biāo)等于這兩個(gè)向量相應(yīng)坐標(biāo)的差． (3)假如a＝(x，y)，λ∈R，如此λa＝________，即實(shí)數(shù)與向量的積的坐標(biāo)等于用這個(gè)實(shí)數(shù)乘原來向量的相應(yīng)坐標(biāo)． 5．兩向量共線的坐標(biāo)表示 設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)． (1)當(dāng)a∥b時(shí)，有______________________． (2)當(dāng)a∥b且x2y2≠0時(shí)，有____________________．即兩向量的相應(yīng)坐標(biāo)成比例． 6．假如＝λ，如此P與P1、P2三點(diǎn)共線． 當(dāng)λ∈________時(shí)，P位于線段P

15、1P2的內(nèi)部，特別地λ＝1時(shí)，P為線段P1P2的中點(diǎn)； 當(dāng)λ∈________時(shí)，P位于線段P1P2的延長線上； 當(dāng)λ∈________時(shí)，P位于線段P1P2的反向延長線上． 考點(diǎn)一　對基底概念的理解 例1　如果e1，e2是平面α內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么如下說法中不正確的答案是(　　) ①λe1＋μe2(λ、μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量； ②對于平面α內(nèi)任一向量a，使a＝λe1＋μe2的實(shí)數(shù)對(λ，μ)有無窮多個(gè)； ③假如向量λ1e1＋μ1e2與λ2e1＋μ2e2共線，如此有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得λ1e1＋μ1e2＝λ(λ2e1＋μ2e2)； ④假如存在實(shí)數(shù)λ

16、，μ使得λe1＋μe2＝0，如此λ＝μ＝0. A．①②B．②③C．③④D．② 變式訓(xùn)練1　設(shè)e1、e2是不共線的兩個(gè)向量，給出如下四組向量： ①e1與e1＋e2；②e1－2e2與e2－2e1； ③e1－2e2與4e2－2e1；④e1＋e2與e1－e2. 其中能作為平面內(nèi)所有向量的一組基底的序號是________．(寫出所有滿足條件的序號) 考點(diǎn)二　用基底表示向量 例2　如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，M、N分別是DC和AB的中點(diǎn)，假如＝a，＝b試用a，b表示、、. 變式訓(xùn)練2　如圖，△ABC中，D為BC的中點(diǎn)，E，F(xiàn)為B

17、C的三等分點(diǎn)，假如＝a，＝b，用a，b表示，，. 考點(diǎn)三　平面向量根本定理的應(yīng)用 例3　如下列圖，在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且AN＝2NC，AM與BN相交于點(diǎn)P，求證：AP∶PM＝4∶1. 變式訓(xùn)練3　如下列圖，△AOB中，點(diǎn)C是以A為中點(diǎn)的點(diǎn)B的對稱點(diǎn)，＝2，DC和OA交于點(diǎn)E，設(shè)＝a，＝b. (1)用a和b表示向量、； (2)假如＝λ，某某數(shù)λ的值． 考點(diǎn)四　平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 例4　平面上三點(diǎn)A(2，－4)，B(0,6)，C(－8,10)，求(1)－；(2)＋2；(3)－.

18、 變式訓(xùn)練4a＝(－1,2)，b＝(2,1)，求：(1)2a＋3b；(2)a－3b；(3)a－b. 考點(diǎn)五　平面向量的坐標(biāo)表示 例5　a＝(－2,3)，b＝(3,1)，c＝(10，－4)，試用a，b表示c. 變式訓(xùn)練5設(shè)i、j分別是與x軸、y軸方向一樣的兩個(gè)單位向量，a＝i－(2m－1)j，b＝2i＋mj (m∈R)，a∥b，求向量a、b的坐標(biāo)． 考點(diǎn)六　平面向量坐標(biāo)的應(yīng)用 例6　?ABCD的頂點(diǎn)A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5,6)，求頂點(diǎn)D的坐標(biāo)． 變式訓(xùn)練6平

19、行四邊形的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(3,7)，(4,6)，(1，－2)，求第四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)． 考點(diǎn)七　平面向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算 例7　a＝(1,2)，b＝(－3,2)，當(dāng)k為何值時(shí)，ka＋b與a－3b平行？平行時(shí)它們是同向還是反向？ 變式訓(xùn)練7A(2,1)，B(0,4)，C(1,3)，D(5，－3)．判斷與是否共線？如果共線，它們的方向一樣還是相反？ 考點(diǎn)八　平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 例8　點(diǎn)A(3，－4)與點(diǎn)B(－1,2)，點(diǎn)P在直線AB上，且||＝2||，求點(diǎn)P的坐標(biāo)． 變式訓(xùn)練8點(diǎn)A(

20、1，－2)，假如向量與a＝(2,3)同向，||＝2，求點(diǎn)B的坐標(biāo)． 考點(diǎn)九　利用共線向量求直線的交點(diǎn) 例9　如圖，點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)． 變式訓(xùn)練9平面上有A(－2,1)，B(1,4)，D(4，－3)三點(diǎn)，點(diǎn)C在直線AB上，且＝，連接DC，點(diǎn)E在CD上，且＝，求E點(diǎn)坐標(biāo)． §2.4　平面向量的數(shù)量積 1．平面向量數(shù)量積 (1)定義：兩個(gè)非零向量a與b，我們把數(shù)量______________叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ

21、，其中θ是a與b的夾角． (2)規(guī)定：零向量與任一向量的數(shù)量積為____． (3)投影：設(shè)兩個(gè)非零向量a、b的夾角為θ，如此向量a在b方向的投影是____________，向量b在a方向上的投影是______________． 2．?dāng)?shù)量積的幾何意義 a·b的幾何意義是數(shù)量積a·b等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影________________的乘積． 3．向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)a·b＝________(交換律)； (2)(λa)·b＝________＝________(結(jié)合律)； (3)(a＋b)·c＝______________________(分配律)．

22、 4．平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示 假如a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如此a·b＝____________. 即兩個(gè)向量的數(shù)量積等于________________． 5．兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)表示 設(shè)兩個(gè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)， 如此a⊥b?________________. 6．平面向量的模 (1)向量模公式：設(shè)a＝(x1，y1)，如此|a|＝________________. (2)兩點(diǎn)間距離公式：假如A(x1，y1)，B(x2，y2)，如此||＝________________________. 7．向量的夾角公式 設(shè)兩非零向

23、量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ，如此cos θ＝________＝__________. 考點(diǎn)一　求兩向量的數(shù)量積 例1　|a|＝4，|b|＝5，當(dāng)(1)a∥b；(2)a⊥b；(3)a與b的夾角為30°時(shí)，分別求a與b的數(shù)量積． 變式訓(xùn)練1　正三角形ABC的邊長為1，求： (1)·；(2)·；(3)·. 考點(diǎn)二　求向量的模長 例2　|a|＝|b|＝5，向量a與b的夾角為，求|a＋b|，|a－b|. 變式訓(xùn)練2　|a|＝|b|＝1，|3a－2b|＝3，求|3a

24、＋b|. 考點(diǎn)三　向量的夾角或垂直問題 例3　設(shè)n和m是兩個(gè)單位向量，其夾角是60°，求向量a＝2m＋n與b＝2n－3m的夾角． 變式訓(xùn)練3　|a|＝5，|b|＝4，且a與b的夾角為60°，如此當(dāng)k為何值時(shí)，向量ka－b與a＋2b垂直？ 考點(diǎn)四　向量的坐標(biāo)運(yùn)算 例4　a與b同向，b＝(1,2)，a·b＝10. (1)求a的坐標(biāo)；(2)假如c＝(2，－1)，求a(b·c)與(a·b)c. 變式訓(xùn)練4假如a＝(2,3)，b＝(－1，－2)，c＝(2,1)，如此(a·

25、b)·c＝________；a·(b·c)＝________. 考點(diǎn)五　向量的夾角問題 例5　a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分別確定實(shí)數(shù)λ的取值X圍，使得： (1)a與b的夾角為直角； (2)a與b的夾角為鈍角； (3)a與b的夾角為銳角． 變式訓(xùn)練5a＝(1，－1)，b＝(λ，1)，假如a與b的夾角α為鈍角，求λ的取值X圍． 考點(diǎn)六　向量數(shù)量積坐標(biāo)運(yùn)算的應(yīng)用 例6　在△ABC中，A(2，－1)、B(3,2)、C(－3，－1)，AD為BC邊上的高，求||與點(diǎn)D的坐標(biāo)．

26、 變式訓(xùn)練6以原點(diǎn)和A(5,2)為兩個(gè)頂點(diǎn)作等腰直角△OAB，∠B＝90°，求點(diǎn)B和的坐標(biāo)． §2.5　平面向量應(yīng)用舉例 1．向量方法在幾何中的應(yīng)用 (1)證明線段平行問題，包括相似問題，常用向量平行(共線)的等價(jià)條件：a∥b(b≠0)?________?____________. (2)證明垂直問題，如證明四邊形是矩形、正方形等，常用向量垂直的等價(jià)條件：a⊥b?__________?__________. (3)求夾角問題，往往利用向量的夾角公式cos θ＝_______________＝_______________. (4)求線段的長度或證明線段相等，

27、可以利用向量的線性運(yùn)算、向量模的公式：|a|＝______. 2．力向量 力向量與前面學(xué)過的自由向量有區(qū)別． (1)一樣點(diǎn)：力和向量都既要考慮________又要考慮________． (2)不同點(diǎn)：向量與________無關(guān)，力和________有關(guān)，大小和方向一樣的兩個(gè)力，如果________不同，那么它們是不相等的． 3．向量方法在物理中的應(yīng)用 (1)力、速度、加速度、位移都是________． (2)力、速度、加速度、位移的合成與分解就是向量的________運(yùn)算，運(yùn)動的疊加亦用到向量的合成． (3)動量mν是______________． (4)功即是力F與

28、所產(chǎn)生位移s的________． 考點(diǎn)一 三角形問題 例1　點(diǎn)O是三角形ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足·＝·＝·，如此點(diǎn)O 是△ABC的(　　) A．三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)B．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) C．三條中線的交點(diǎn)D．三條高的交點(diǎn) 變式訓(xùn)練1 在△ABC中，A(4,1)、B(7,5)、C(－4,7)，如此BC邊的中線AD的長是(　　) A．2 B. C．3 D. 變式訓(xùn)練2 假如O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，且滿足|－|＝|＋－2|，如此△ABC的形狀是(　　) A．等腰三角形

29、B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形 變式訓(xùn)練3 設(shè)平面上有四個(gè)互異的點(diǎn)A、B、C、D，(＋－2)·(－)＝0，如此△ABC的形狀一定是__________． 考點(diǎn)二 向量的計(jì)算 例2　平面上三點(diǎn)A、B、C滿足||＝3，||＝4，|·＋·＋·＝______. 變式訓(xùn)練4 如圖，在△ABC中，點(diǎn)O是BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O的直線分別交直線AB、AC于不同的兩點(diǎn)M、N，假如＝m，＝n，如此m＋n的值為__________________． 考點(diǎn)三 向量的應(yīng)用 例3兩個(gè)大小相等的共點(diǎn)力F1，F(xiàn)2，當(dāng)它們夾角為90°時(shí)，合力大小為20 N，如此當(dāng)它們的夾角為120°時(shí)，合力大小為(　　) A．40 N B．10 N C．20N D．10 N 變式訓(xùn)練5 在水流速度為4千米/小時(shí)的河流中，有一艘船沿與水流垂直的方向以8千米/小時(shí)的速度航行，如此船實(shí)際航行的速度的大小為________． 14 / 14