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1、
第10章 四邊形
§10.1 平行四邊形與梯形
10.1.1★如圖(a)，在四邊形中，、是對(duì)角線，已知是等邊三角形，，，，求邊的長．
解析 如圖(b)，以為邊向四邊形外作等邊，連結(jié)．由于，，
．
所以≌，從而．
又因?yàn)?，，，于是，從而在中，．所以?
10.1.2★在中，，為中點(diǎn)，D交(或延長線)于．求證：．
解析 如圖，取中點(diǎn)，連結(jié)、．
易知四邊形與均為菱形，垂直平分，于是，于是．
10.1.3★、、是的三條中線，，,四邊形是平行四邊形．
解析 如圖，連結(jié)，則是中位線．
由條件知，故，于是，故結(jié)論成立．
10.1.4★延長矩形的邊到，使，是的
2、中點(diǎn)，求證：．
解析 如圖，取中點(diǎn)，連結(jié)，則，于是．
10.1.5★菱形中，，，求菱形的面積．
解析 如圖，易知與均為正三角形．
設(shè)菱形邊長為，則由，得，，所以，，因此菱形面積為．
10.1.6★在梯形中，，中位線分別交、、、于、、、，若延長、的交點(diǎn)正好位于上，求．
解析 設(shè)、延長后交于，且在上，則由中位線知，，，故．
10.1.7★★四邊形中，，，,，，求．
解析 如圖所示，作，分別交所在直線于、，作交于，則為等腰直角三角形，，，故；，，，故，．
所以，
．
從而．
10.1.8★★★已知中，，是上一點(diǎn)，關(guān)于、的對(duì)稱點(diǎn)分別為、，若,．
解析 如
3、圖，連結(jié)、、、．
由對(duì)稱，有，故、、共線．
又，故，而，所以梯為等腰梯形．又，于是．
10.1.9★★將梯形的各個(gè)頂點(diǎn)均作關(guān)于不包含該頂點(diǎn)的對(duì)角線的對(duì)稱點(diǎn)，證明：如果所得到的四個(gè)像點(diǎn)也形成四邊形，則必為一個(gè)梯形．
解析 如圖，，、、、關(guān)于對(duì)應(yīng)對(duì)角線的對(duì)稱點(diǎn)分別為′、′、′、′．
設(shè)、交于，連結(jié)′、′、′、′．則′=′，故′、、′共線，且，同理′、、′共線，，所以由
得．
故如′、′、′、′不位于同一直線上，則′′′′，即′′′′成梯形．
10.1.10★已知：直角梯形，，，，是上一點(diǎn)，，，求．
解析 如圖，連結(jié)，則由，，得．
又，故≌，．
又，故為正三角形
4、，于是．
10.1.11★★在四邊形中，，，，，求、和的長．
解析 如圖，延長、至，則，．
又，故，，又，，故．
至于求，有多種方法，如勾股定理或余弦定理，也可用、、、四點(diǎn)共圓的性質(zhì)：
，．
§10.2 正方形
10.2.1★在正方形中，為的中點(diǎn)，為上的點(diǎn)，且．求證：．
解析 如圖，延長、，設(shè)交于，則得，．于是，即．
10.2.2★正方形邊長等于1，通過它的中心引一條直線，求正方形的四個(gè)頂點(diǎn)到這條直線的距離平方
和的取值范圍．
解析 如圖，設(shè)是正方形的中心，通過，、分別與垂直于、．
由于，，故≌，
．
對(duì)、的垂線也有類似結(jié)論，因此所求距離的平
5、方和是常數(shù)1．
10.2.3★正方形的對(duì)角線交于，的平分線交于，交于，求證：．
解析 如圖，作，交于，為中位線，．
問題變?yōu)樽C明．
因?yàn)槊?，于是結(jié)論成立．
10.2.4★設(shè)、分別為正方形的邊、的中點(diǎn)，且與交于，求證：．
解析 如圖，由知≌，故，故．延長、，設(shè)交于，則，為直角三角形斜邊之中點(diǎn)，于是．
10.2.5★已知兩個(gè)正方形、(頂點(diǎn)均按照順時(shí)針方向排列)，求證：這兩個(gè)正方形的中心和、的中點(diǎn)組成一個(gè)正方形．
解析 如圖，設(shè)、、、的中點(diǎn)分別為、、、．
由于，，，于是≌，由此得與垂直且相等．由于，，故四邊形為正方形．
10.2.6★★是正方形內(nèi)一點(diǎn)，若，，
6、求．
解析 如圖，作于，則
解得，．
不妨設(shè)，，，則
，
，
由條件，知，即，解得．
又作于，于是，，故．
10.2.7★是正方形的兩對(duì)角線的交點(diǎn)，是上異于的任一點(diǎn)，于，于，是的延長線和的交點(diǎn)，求．
解析 如圖，易知，，，于是≌≌，于是，，故為等腰直角三角形，．
10.2.8★★是正方形的邊的中點(diǎn)，點(diǎn)分對(duì)角線的比為，證明：．
解析 連結(jié)，由正方形關(guān)于對(duì)稱，知．
又作于，由，易知，故為中點(diǎn)，垂直平分，于是，，或,故．
10.2.9★已知，向外作正方形和．直線垂直于，反向延長交于，求證：是的中點(diǎn)．
解析 如圖，作、分別與直線垂直，垂足為、．
易
7、見，，又，，故有≌，，同理，于是，．
10.2.10★已知：正方形中，、分別在、上，于．若，求證：
．反之，若，則．
解析 如圖，延長至，使，連結(jié)，則≌，，，又，，故≌，、為其對(duì)應(yīng)
邊上的高，于是．
反之，若，則≌，，同理，，于是．
10.2.11★★在梯形中，(>)，，，在邊上，，若，求的長．
解析 延長至，使過作，為垂足．易知四邊形為正方形，所以．又，≌，故．
又，故≌，．
設(shè)，則，，．
在中，，故，即，解之，得，．故的長為4或6．
10.2.12★★在正方形的邊上任取一點(diǎn)，過作于，且延長交于，設(shè)正
方形對(duì)角線的交點(diǎn)為，連結(jié)、，求證：．
解析 如圖，易知，故≌，故，又，，于是≌，．
\
10.2.13★★四邊形是正方形，四邊形是菱形，、、在一直線上．求證：、三等分．
解析 如圖，作、與垂直，垂足為、，于是由知，于是．又，于是，，、三等分．
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初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽專題復(fù)習(xí) 第二篇 平面幾何 第10章 四邊形試題（無答案） 新人教版
