初中數(shù)學(xué)競賽專題復(fù)習(xí) 第一篇 代數(shù) 第2章 代數(shù)式試題1 新人教版

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1、 第2章 代數(shù)式 2.1整式的運(yùn)算 2.1.1★化簡，其中為大于1的事數(shù)． 解析 原式． 評(píng)注 本例可推廣為一個(gè)一般的形式： ． 2.1.2★計(jì)算 （1）； （2）． 解析 （2）這兩個(gè)多項(xiàng)式對(duì)應(yīng)項(xiàng)或者相同或者互為相反數(shù)，所以可考慮應(yīng)用平方差公式，分別把相同項(xiàng)結(jié)合，相反項(xiàng)結(jié)合． 原式 ． （2）的結(jié)果是，這個(gè)結(jié)果與多項(xiàng)式相乘時(shí)，不能直接應(yīng)用公式，但 與前兩個(gè)因式相乘的結(jié)果相乘時(shí)就可以利用差的立方公式了． 原式 ． 2.1.3★設(shè)，，求用去除所得的商及余式． 解析1用普通的豎式除法 因此，所求的商，余式． 解析2 用待定系數(shù)法 由于為3次

2、多項(xiàng)式，首項(xiàng)系數(shù)為1，而為次，首項(xiàng)系數(shù)為3，故商必為1次，首項(xiàng)系數(shù)必為，而余式次數(shù)小于2，于是可設(shè)商式，余式． 根據(jù)，得 ． 比較兩端系數(shù)，得 解得，，，故商式，余式． 2.1.4★已知當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值為4，求當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值． 解析 比較兩個(gè)代數(shù)式，發(fā)現(xiàn)它們的相同與不同． 當(dāng)時(shí)， ． 2.1.5★若，且，試求的值． 解析 ，，代入 得，故，，所以． 2.1.6★★試確定和，使能被整除． 解析 由于，因此，若設(shè) ， 假如能被整除，則和必是的因式，因此，當(dāng)時(shí)，，即 ，① 當(dāng)時(shí)，，即 ，② 由①，②聯(lián)立，則有 2.1.7★若，求的值．

3、 解析， 所以，． ． 2.1.8★將表示成的形式． 解析 ． 2.1.9★已知，求的值． 解析1 由，有 ． 解析2由，有 ． 評(píng)注 解析1是應(yīng)用拆項(xiàng)法；解析2是應(yīng)用降次法． 這兩種方法在整式恒等變形中常用． 2.1.10★★已知，，，求的值． 解析 因?yàn)?，所? ， 所以． 所以 ． 2.1.11★★若，，求的值． 解析 把兩個(gè)方程相加，得，于是有 ， 故或． 2.1.12★★★已知，．求的值． 解析 因?yàn)?，所以，從而．所? ． ． 故． 2.1.13★★已知，，，求多項(xiàng)式的值． 解析 由 ， 又因?yàn)?/p>

4、，，，故 原式． 2.1.14★★已知實(shí)數(shù)、、、滿足，，求的值． 解析 由，得 ． 因?yàn)椋裕? 因而， ． 2.1.15★★已知，試求的值． 解析 多項(xiàng)式的系數(shù)和，就是． ． 2.1.16★★求一個(gè)關(guān)于的二次三項(xiàng)式，它被除余2；被除余8；并且被整除． 解析 設(shè)這個(gè)二次三項(xiàng)式為 ． 則 ①③得 代入②、③得 ④⑤得 ， 代入⑤得 ． 所求二次三項(xiàng)式為． 2.1.17★未知數(shù)、滿足 ， 其中、表示非零已知數(shù)，求、的值． 解析 兩個(gè)未知數(shù)，一個(gè)方程，對(duì)方程左邊的代數(shù)式進(jìn)行恒等變形，經(jīng)過配方之后，看是否能化成非負(fù)數(shù)和為零的形式． 將已知等

5、式變形為 ， ， 即． 所以 因?yàn)?，所以，? 2.1.18★★已知、、滿足，求證： ． 解析 因?yàn)?，所? 左邊 右邊． 2.1.19★已知，證明． 解析 因?yàn)?，所? ， 即， 因此， 即． 2.1.20★證明： ． 解析 此題看起來很復(fù)雜，但仔細(xì)觀察，可以使用換元法．令 ， ① ， ② ， ③ 則要證的等式變?yōu)椋? 因?yàn)? ， 所以將①，②，③相加有 ， 所以， 所以 ． 2.1.21★★已知，且、、、都是正數(shù)，求證：． 解析 由已知可得 ， ， 所以 ． 因?yàn)? ，，，所以 ， 所以．

6、又因?yàn)?、、、都為正?shù)，所以，，所以 ，． 所以 ， 所以．故成立． 2.1.22★★已知，求證 ． 解析 用作差法，注意利用的條件． 左右 ． 所以等式成立． 2.2因式分解 2.2.1★分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 解析（1）原式 ． （2）原式 ． （3）原式． 本小題可以稍加變形，解法如下： 原式． （4）原式 ． 2.2.2★分解因式：． 解析1 原式 ． 解析2 原式 ． 評(píng)注 解析2中， 是因式分解中經(jīng)常用到的一個(gè)結(jié)論，記住這個(gè)結(jié)論是必

7、要的． 2.2.3★★分解因式： ． 解析 原式中與的和等于，所以考慮用立方和公式變開后，再進(jìn)行分解． 原式 ． 2.2.4★★分解因式：． 解析 原式 3 評(píng)注 ． 顯然，當(dāng)時(shí)，則；當(dāng)時(shí)，則，即，而且，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立． 如果令，，，則有 ． 等號(hào)成立的充要條件是．這也是一個(gè)常用的結(jié)論． 2.2.5★★分解因式： ． 解析 這個(gè)多項(xiàng)式的特點(diǎn)是：有16項(xiàng)，從最高次項(xiàng)開始，的次數(shù)順次遞減到0，由此想到應(yīng)用公式來分解．因?yàn)? ， 所以 原式 ． 評(píng)注在本題分解過程中，用到先乘以，再除以的技巧，這一技巧在等式變形中很常用．

8、2.2.6★分解因式：． 解析 本題解法很多，這里只介紹運(yùn)用拆項(xiàng)、添項(xiàng)法分解的幾種解法，注意一下拆項(xiàng)、添項(xiàng)的目的與技巧． 方法1 將常數(shù)項(xiàng)8拆成． 原式 ． 方法2 將一次項(xiàng)拆成． 原式 ． 方法3 將三次項(xiàng)拆成． 原式 方法4 添加兩項(xiàng)． 原式． 評(píng)注 由此題可以看出，用拆項(xiàng)、添項(xiàng)的方法分解因式時(shí)，要拆哪些項(xiàng)，添什么項(xiàng)并無一定之規(guī)，主要的是要依靠對(duì)題目特點(diǎn)的觀察，靈活變換，因此拆項(xiàng)、添項(xiàng)法是因式分解諸方法中技巧性最強(qiáng)的一種． 2.2.7★★分解因式： （1）； （2）； （3）； （4）． 解析（1）將拆成． 原式

9、 ． （2）將拆成． 原式 ． （3）將拆成． 原式 ． （4）添加兩項(xiàng)． 原式 評(píng)注（4）是一道較難的題目，由于分解后的因式結(jié)構(gòu)較復(fù)雜，所以不易想到添加，而且添加項(xiàng)后分成的三項(xiàng)組又無公因式，而是無將前兩組分解，再與第三組結(jié)合，找到公因式．這道題目使我們體會(huì)到拆項(xiàng)、添項(xiàng)法的極強(qiáng)技巧所在． 2.2.8★分解因式：． 解析原式 2.2.9★★分解因式： ． 解析 原式 ． 2.2.10★★分解因式： ． 解析 原式 ． 2.2.11★★分解因式：． 解析 原式 ．

10、 2.2.12★★分解因式： ． 解析將原式展開，是關(guān)于的四次多項(xiàng)式，分解因式較困難．我們不妨將看作一個(gè)整體，并用字母來替代，于是原題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的二次三項(xiàng)式的因式分解問題了． 設(shè)，則 原式 ． 評(píng)注本題也可將看作一個(gè)整體，比如令，可以得到同樣的結(jié)果，有興趣的同學(xué)不妨試一試． 2.2.13★★分解因式： ． 解析 先將兩個(gè)括號(hào)內(nèi)的多項(xiàng)式分解因式，然后再重新組合． 原式 ． 令，則 原式 ． 評(píng)注 對(duì)多項(xiàng)式適當(dāng)?shù)暮愕茸冃问俏覀冋业叫略幕A(chǔ)． ． 解析 令，，則 原式 ， 所以，原式． 2.2.15★★分解因式： ． 解析

11、 令，則 ． 原式 ． 所以，原式 ． 2.2.16★★分解因式：． 解析令，則 原式 ． 所以，原式． 2.2.17★★分解因式： ． 解析 設(shè)，則 原式 ． 評(píng)注 由本題可知，用換元法分解因式時(shí)，不必將原式中的元都用新元代換，根據(jù)題目需要，引入必要的新元，原式中的變元和新變元可以一起變形，換元法的本質(zhì)是簡化多項(xiàng)式． 2.2.18★★分解因式：． 解析1 原式 ． 評(píng)注 本解法實(shí)際上是將看作一個(gè)整體，但并沒有設(shè)立新元來代替它，即熟練使用換元法后，并非每題都要設(shè)置新元來代替整體． 解析2 原式 ．

12、 令，則，于是 原式 ＝ ． 2.2.19★★分解因式： ． 解析 本題含有兩個(gè)字母，且當(dāng)互換這兩個(gè)字母的位置時(shí)，多項(xiàng)式保持不變，這樣的多項(xiàng)式叫作二元對(duì)稱式．對(duì)于較難分解的二元對(duì)稱式，經(jīng)常令，，用換元法分解因式． 原式． 令，，則 原式 ． 2.2.20★分解因式：． 解析 原式 ． 其十字相乘圖為 評(píng)注 凡是可以化成或形式的二次三項(xiàng)式，都可以直接采用十字相乘法把它分解成或的形式． 對(duì)于某些二元二次六項(xiàng)式，我們也可以用十字相乘法分解因式，通常稱為雙十字相乘法．其因式分解的步驟是：首先用十字相乘法分解，得到一個(gè)十字相乘圖（有兩列）；然后把常數(shù)項(xiàng)分

13、解成兩個(gè)因式填在第三列上，要求第二、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的，第一、第三列構(gòu)成的十字交叉之積的和等于原式中的． 2.2.21★分解因式： ． 解析原式 ． 其十字相乘圖為 2.2.22★分解因式： ． 解析 原式 ． 其十字相乘圖為 2.2.23★分解因式： ． 解析 原式 ＝ ． 對(duì)于形如（、、、、、為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，則把與分別相乘后，構(gòu)成有相同部分：的項(xiàng)，使原式得到簡化，再用十字相乘法進(jìn)行分解． 2.2.24★★分解因式： ． 解析 原式 ． 對(duì)地形如（、、、、、為常數(shù)），當(dāng)時(shí)，則把與分別先作法，

14、構(gòu)成具有相同部分的項(xiàng)，再用十字相乘法進(jìn)行分解． 2.2.25★★分解因式： ． 解析 由于． 若原式可以分解因式，那么它一定是的形式．應(yīng)用待定系數(shù)法即可求出和，使問題得到解決． 設(shè) ． 比較兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，則有 解之，得 ，． 所以，原式． 2.2.26★★分解因式：． 解析 這是關(guān)于的四次多項(xiàng)式，若它可以因式分解，則必為關(guān)于的兩個(gè)二次式之積．可用待定系數(shù)法求之． 設(shè) ． 比較兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，則有 解之，得，． 所以，原式． 如果設(shè)原式，那么由待定系數(shù)法解題后知關(guān)于與的方程組無解，所以設(shè)原式． 2.2.27★★為何值時(shí)，可以分解成兩個(gè)一次因

15、式的乘積？ 解析 因?yàn)?，所以如果可以分解成兩個(gè)一次因式的乘積，那么它的兩個(gè)一次因式一定是與的形式，其中、都是待定系數(shù)． 設(shè) ， ． 比較兩邊對(duì)應(yīng)項(xiàng)的系數(shù)，得 解之，得 因此，當(dāng)時(shí)，可以分解成兩個(gè)一次因式的乘積． 2.2.28★★分解因式：． 解析 因?yàn)? ， 所以，原式 ． 2.2.29★★分解因式：． 解析 這個(gè)式子是關(guān)于、、的五次齊次對(duì)稱式，令，則原式．故原式有因式．同理，亦有因式，．這樣原式還有一個(gè)二次齊次對(duì)稱式 ． 所以，可設(shè) 原式． 當(dāng)，時(shí)，得 ． ① 當(dāng)，，時(shí)，得 ． ② 由①式與②式可解得 ，．

16、所以，原式． 2.2.30★★分解因式：． 解析 當(dāng)時(shí)，易知原式，所以原式有因式．同理，與也都是原式的因式． 但四次多項(xiàng)式應(yīng)有四個(gè)一次因式，由對(duì)稱性余下的一個(gè)因式必有為，故可設(shè) ． 令，，，得．解得． 所以，原式＝． 2.2.31★★分解因式：． 解析所給的式子是一個(gè)四次對(duì)稱式．若令，則 原式 ． 所以，原式含有因式． 同理，原式含有因式，． 于是，原式含有因式． 由于原式為四次對(duì)稱式，故還有因式，其中為待定系數(shù)． 所以，原式． 比較等式兩邊的系數(shù)，得． 所以，原式． 2.3分式 2.3.1★計(jì)算： （1）； （2）． 解析（1）． （

17、2） ． 2.3.2★計(jì)算： （1）； （2）． 解析（1）． （2） ． 2.3.3★★化簡分式： ． 解析 直接通分計(jì)算較繁，先把每個(gè)假分式化成整式與真分式之和的形式，再化簡將簡便得多． 原式 ． 評(píng)注 本題的關(guān)鍵是正確地將假分式寫成整式與真分式之和的形式． 2.3.4★★求分式 當(dāng)時(shí)的值． 解析 先化簡再求值．直接通分較復(fù)雜，注意到平方差公式： ， 可將分式分步通分，每一步只通分左邊兩項(xiàng)． 原式 ． 2.3.5★計(jì)算： ． 解析 本題如果直接通分化為同分母，去處較繁．而通過分子拆項(xiàng)，

18、分母分解之后，利用，比較簡潔．由此可看出，有時(shí)需要把分式按分母不變，分子相加減的法則倒過來運(yùn)用，把一個(gè)分式拆成幾個(gè)分式的和差． 原式 ． 2.3.6★已知．求的值． 解析 由已知得且可得，即，所以 ． 評(píng)注 這里利用與互為倒數(shù)的特點(diǎn)．巧妙地運(yùn)用乘法公式加以變形，使問題變得較簡單．同樣地， ， ． 2.3.7★已知．求的值． 解析由可得．故 ． 評(píng)注 本題同樣通過將已知的條件作適當(dāng)變形，代入所求的分式中．由此可看出，在已知條件與所求的式子中尋找橋梁是非常關(guān)鍵的，往往需要作整體的代換，而不一定要一一求出每個(gè)字母的數(shù)值． 2.3.8★計(jì)算：． 解析 直接通分比較繁

19、，考慮到這里主要涉及，，三個(gè)式子，不妨用換元法．使所求式子的形式變得簡單一些． 設(shè)，，，則，所以 原式 ． 2.3.9★★已知，，． 求的值． 解析 因?yàn)椋瑑蛇吰椒降茫阎?，所以，．又，所以? 同理，，．故 原式 ． 2.3.10★★若，求 的值． 解析 本題可將分式通分后，再進(jìn)行化簡求值，但較復(fù)雜．下面介紹幾種簡單的解法． 方法1 因?yàn)?，所以、、都不為零? 原式 ． 方法2 因?yàn)?，所以，，? 原式 ． 方法3 由，得，將之代入原式 原式 ． 2.3.11★化簡分式： ． 解析 三個(gè)分式一起通分運(yùn)算量大，可先將每個(gè)分式的分

20、母分解因式，然后再化簡． 原式 ． 評(píng)注 本題在將每個(gè)分式的分母因式分解后，各個(gè)分式具有的一般形式，與分式運(yùn)算的通分思想方法相反，我們將上式拆成與兩項(xiàng)，這樣，前后兩個(gè)分式中就有可以相互消掉的一對(duì)相反數(shù)，這種化簡的方法叫“拆項(xiàng)相消”法，它是分式化簡中常用的技巧． 2.3.12★★若實(shí)數(shù)、、滿足，，，求的值． 解析 因?yàn)? ， 所以 ， ， ， 故．從而，．所以． 2.3.13★★已知：（，且、、不全相等），求 的值． 解析 本題字母多，分式復(fù)雜．若把條件寫成，那么題目只與，，有關(guān)，為簡化計(jì)算，可用換元法求解． 令，，，則分式變?yōu)椋矣梢阎校畬蛇吰椒降? ．

21、由于、、不全相等，所以、、不全為零，所以，從而有 ， 即所求分式的值為． 評(píng)注 從本題中可以看出，換元法可以減少字母個(gè)數(shù)，使運(yùn)算過程簡化． 2.3.14★★已知，求的值． 解析 本題的已知條件是以連比形式出現(xiàn)，可引入?yún)?shù)，用它表示連比的比值，以便把它們分割成幾個(gè)等式． 設(shè)，于是有 ，，． 所以 ． 2.3.15★★已知，，求的值． 解析 令，，，于是條件變?yōu)? ， ① ． ② 由②有 ， 所以． 把①兩邊平方得 ， 所以 ， 即 ． 2.3.16★★已知實(shí)數(shù)、、滿足，，，求的值． 解析 因?yàn)? ， 所以． 同理可得 ， ． 結(jié)合

22、 可得 ， 所以． 結(jié)合，，可得．因此， ． 實(shí)際上，滿足條件的、、可以分別為、、． 2.3.17★★已知，求下面代數(shù)式的值： ． 解析 根據(jù)分式的基本性質(zhì)，分子、分母可以同時(shí)乘以一個(gè)不為零的式子，分式的值不變．利用已知條件，可將前三個(gè)分式的分母變?yōu)榕c第四個(gè)相同． ， 同理 ， ． 所以 原式． 2.3.18★★若，求分式 的值． 解析 ， 所以，所以，即 ． 原式分子 ， 原式分母， 所以 原式． 評(píng)注 本題的解法采用的是整體代入的方法，這是代入消元法的一種特殊類型，應(yīng)用得當(dāng)會(huì)使問題的求解過程大大簡化． 2.3.19★★若，求的值．

23、 解析1 利用比例的性質(zhì)解決分式問題． （1）若，由等比定理有 ， 所以 ，，， 于是有 ． （2）若，則 ，，， 于是有 ． 評(píng)注 比例有一系列重要的性質(zhì)，在解決分式問題時(shí)，靈活巧妙地使用，便于問題的求解． 解析2 設(shè)參數(shù)法．令 ， 則 ， ① ， ② ． ③ ①②③有 ， 所以， 故有或． 當(dāng)時(shí)， ． 當(dāng)時(shí)， ． 評(píng)注 引進(jìn)一個(gè)參數(shù)表示以連比形式出現(xiàn)的已知條件，可使已知條件便于使用． 2.3.20★★一列數(shù)，，，…滿足對(duì)于任意正整數(shù)，都有 ， 求的值． 解析 當(dāng)時(shí)，有 ， ， 兩式相減，得， 所以， ，，… 故 ． 30