初中數學競賽專題復習 第一篇 代數 第4章 方程組試題1 新人教版

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1、 第4章方程組 §4．1方程組的解法 4．1．1★已知關、的方程組 分別求出當為何值時，方程組有唯一一組解；無解；有無窮多組解， 解析與一元一次方程一樣，含有字母系數的一次方程組求解時也要進行討論，一般是通過消元，歸結 為一元一次方程的形式進行討論，但必須特別注意，消元時，若用含有字母的式子去乘或者去除方程的兩邊時，這個式子的值不能等于零． 由①式得 ，③ 將③代入②得 ．④ 當，即且時， 方程④有唯一解，將此值代入③有 ， 因而原方程組有唯一一組解． 當，且時，即時，方程④無解，因此原方程組無解． 當且時，即時，方程④有無窮多個解，因此原方程組有 無窮多

2、組解． 評注對于二元一次方程組，（、、、為已知數，且與，與中都至少 有一個不為零）． （1）當時，方程組有唯一的解 （2）當時，原方程組有無窮多組解． （3）當時，原方程組無解． 4．1．2★對、的哪些值，方程組至少有一組解？ 解析由原方程可得．即 ． （1）當時，方程有唯一解，從而原方程組有唯一解． （2）當，時，方程有無窮多個解，從而原方程組也有無窮多組解． 綜上所述，當且為任意數，或且時，方程組至少有一組解． 4．1．3★已知關于、的二元一次方程 ． 當每取一個值時，就有一個方程，而這些方程有一個公共解，試求出這個公共解． 解析1根據題意，可分別令，代入

3、原方程得到一個方程組： 解之得 將，代入原方程得 ． 所以對任何值 都是原方程的解． 評注取為的是使方程中，方程無項，可直接求出值；取的道理類似． 解析2可將原方程變形為 ． 由于公共解與無關，故有 解之得公共解為 4．1．4★★已知，且，，求的值． 解析已知代數式中含有、、三個字母，而等式只有2個，在一般情況下是不可能求出、、的具體值來的．因此，可以把已知條件中的視為常數，得到關于、的方程組，從而找出、與的關系，由此可求出其值． 把已知等式視作關于、的方程，視作常數，得關于、的方程組 解得 因為，所以，于是 ． 4．1．5★若、的值滿

4、足方程組 求的值． 解析由①+②得，即 ．③ 由③得：．④ 把④代入①得： ． 解得，把代人④得：，所以方程組解為 原式． 4．1．6★★當取何值時，關于、的方程組 有正整數解． 解析解方程組得所以，是被3除余2的整數． 由得．所以，，． 4．1．7★為何值時，方程組 （1）當，即時，原方程組有唯一解 （2）當，即時，原方程組無窮多組解； （3）由于，故方程組不可能無解． 4．1．8★若方程組的解滿足，求的值． 解析將代入原方程組，得 所以，，． 4．1．9★甲、乙二人同時求的整數解． 甲求出一組解為而乙把中的7錯看成1，求得一組解為求

5、、的值． 解析 把，代入，得． 把，代入，得． 解方程組得 4．1．10★甲、乙兩人解方程組 由于甲看錯了方程①中的以而得到方程組的解為乙看錯了方程②中的而得到的解為 假如按正確的、計算，求出原方程組的解． 解析因為甲只看錯了方程①中的，所以甲所得到的解應滿足無的正確的方程②，即 ．② 同理，應滿足正確的方程①，即 ．④ 解由③、④聯(lián)立的方程組得 所以原方程組應為 解之得 4．1．11★★已知方程組無解，、是絕對值小于10的整數，求、的值． 解析因為方程組無解的條件是參照這個條件問題便可解決． 原方程組可化為因為方程組無解，所以有 ， 所以，且，

6、因為，所以，，又因為是整數，所以， ，，0，1，2，3，相應地，-6，-3，0，3，6，9． 所以，當時，原方程組無解． 4．1．12★已知關于和的方程組 有解，求的值． 解析首先解方程組 得到，，代入原方程組中后兩個方程，得到 ① 再解上面關于和的方程組，得到，，． 4．4．13★已知，，，求的值． 解析根據題意有 （①+②+③），得 ．④ ④①得 ，． ④②得 ，． ④③得 ，． 所以． 4．1．14★如果方程組的解是正整數，求整數的值． 解析解方程組得 因為、都是正整數，所以 解得． 因為是整數，所以． 將代入①

7、和②式，、的值均為正整數． 故． 4．1．15★★解方程組 解析因為表示兩個方程，即和，或者和，或者和，所以原方程組實際上是由三個方程組成的三元一次 方程組，將原方程組改寫為 由方程②得，代入①化簡得 ．④ 由③得．⑤ ④⑤得 ， 所以，． 將代入⑤，得．將代入②， 得．所以 為原方程組的解． 評注本題解法中，由①、②消去時，采用了代入消元法；解④、⑤組成的方程組時，若用代入法消元，無論消去還是消去，都會出現(xiàn)分數系數，計算較繁，而利用兩個方程中的系數是一正一負，且系數的絕對值較小這一特征，采用加減消元法較簡單． 4．1．16★已知 求的值． 解

8、析①-②消去得，即．①②消去得，即．①②消去得，即．所以，即為所求． 4．1．17★解方程組 解析將①+②+③，得 ．④ 由④+①得，． 由④+②得，． 由④+③得，． 所以，原方程組的解為 4．1．18★解方程組 解析注意到各方程中同一未知數系數的關系，可以先得到下面四個二元方程： ①+②得，⑥ ②+③得，⑦ ③+④得，⑧ ④+⑤得．⑨ 又①+②+③+④+⑤得 ．⑩ ⑩一⑥一⑦得，把代入⑧得，把代入⑥得，把代入⑨得，把代入⑦得．所以 為原方程組的解． 4．1．19★解方程組 解析①②得 ，④ 由③得，⑤ 代入④得， 代入⑤得．

9、再把，代入①得，所以 為原方程組的解． 解析2令，，，則原方程化為 解得，，，即 為原方程組的解， 評注解法1稱為整體處理法，即從整體上進行加減消元或代人消元（此時的“元”是一個含有未知數 的代數式，如、等）；解法2稱為換元法，也就是干脆引入一個新的輔助元來代替原方程組中的“整 體元”，從而簡化方程組的求解過程． 4．1．20★★解方程組 解析原方程組可化為 ④+⑤+⑥得 ， 故．⑦ 將⑦分別代入④、⑤、⑥，得原方程組的解為 4．1．21★★解方程組 解析①②③消去、，得，所以． 由②③①，得 ． 由③①②，得 ． 所以，原方

10、程組的解為 4．1．22★★解方程組 解析有原方程得 所以 ， 即，解之得，將代入④得.將代入③得.將代入②得．所以原方程組解為 4．1．23★★解方程組 解析先把各方程左邊通分，再對每個方程兩邊取倒數，并設，則原方程可化為 ①+②+③，得 ．④ 用④分別減去①、②、③，可得 顯然，，，. 由上面三式易得，又，所以 ，，． 則有， 所以． 所以，原方程組的解為（經檢驗） 4．1．24★★解方程組 解析原方程可變形為 解得，，． 所以，方程組的解為 4．1．25★★解方程組 解析①③得， 則． 把

11、式④代入①、②，整理分別得 ，⑤ ．⑥ ⑤⑥得． 若，由式⑤得 ， 解得． 將代入式④，得． 若，同理，． 將，代入式①得 ． 分解因式得 ． 故（，，）為（，2，）、（2，，）（，，2） 綜上，共有5組解 ，，（，2，）（2，，） （，，2）． 4．1．26★解方程組 解析②①得 ． 解方程組得 4．1．27★解方程組 解析②①得 ， 所以，． 解方程組 與 得原方程組的解 4．1．28★解方程組 解析由②得 ， 所以或． 因此，原方程組可化為兩個方程組 與 解兩個方程組得原方程組的解為 評

12、注方程組至少有一個方程可以分解為一次方程時，可用因式分解法解． 4．1．29★解方程組 解析由①②得 ， 即， 所以或． 所以或． 分別解下列兩個方程組 得原方程組的解為 評注如果兩個方程都沒有一次項，可用加減消元法消去常數項，再用因式分解法求解． 4．1．30★解方程組 解析原方程組可變形為 ①②得 ． 令，則 ， 所以，， 即或． 當時，代入①得．解方程組 可得，；，． 當時，代入①得． 而方程組 無實數解． 綜上所述，方程組的解為 評注由于一般的二元對稱式總可以用基本對稱式和表示，因此在解二元對稱方程組時

13、，一定可以用和作為新的未知數，通過換元轉化為基本對稱方程組． 4．1．31★★解方程組 解析本題是一個對稱方程組的形式，觀察知它可轉化為基本對稱方程組的形式． 由①得 ．③ 將②代入③，得，所以 ．④ 由②、④可得基本對稱方程組 于是可得方程組的解為 4．1．32★解方程組 解析本題屬于二元輪換對稱方程組類型，通?？梢园褍蓚€方程相減，因為這樣總能得到一個方程 ，從而使方程降次化簡． ①②，再因式分解得 ， 所以或． 解下列兩個方程組 得原方程組的四組解為 4．1．33★★★解方程組 解析1 用換元法．設 ，， 則有 ，，．

14、 即 ③④并平方得 ， 整理得 ， 所以 ， 化得 ， 因為， 因此． 解方程組 得 經檢驗，適合方程③、④，由此得原方程的解是 解析2①②得 ， 即 ． 所以與同號或同為零．由方程①得 ， 即， 所以與不能同正，也不能同負．從而 ，． 由此解得 經檢驗，，是方程組的解． 4．1．34★★★解方程組： 解析 本例各方程中，未知數的出現(xiàn)是循環(huán)對稱的．若用消元法求解將十分困難．故而采用不等式求解． 顯然方程組的解，，，都同號，且若，，，是方程組的解，則，，，也是方程組的解．故不妨先設． 因為，所以．同理，，，． 把方程組

15、的所有方程相加，整理，得 ．① 但 ， ． 因此要等式①成立，只能 ． 容易檢驗，確實原方程組的解． 因此，原方程組有兩組解，它們是 ． 4．1．35★★★解方程組： 解析1首先有．再由（為實數）得，，，， ；所以．只能．進而求得本題的兩組解或． 解析2若，，，中有一個為零，則由方程組可推出其余個未知數都是零，則 是原方程組的解．下設都不是零，則 將所有方程相加，并整理、配方，得 ． 因為，所以只能 ， ． 易知它確實原方程組的解． 因此，原方程組的解由兩組：，或． 4．1．36★★★★已知原方程組： 它的系數滿足下列條件： （1）、、都是正數； （2）所有其他系數都是負數； （3）每一方程中系數之和是正數． 求證：是已知方程組的唯一解． 解析 本例是一個三元線性齊次方程組，，顯然是它的解，因而只要證明已知方程組不存在不全為零的解集即可． 用反證法．若方程組有不全為零的解，，，由對稱性不設防、、中以為最大，則．于是由，，，，得 ． 上面的不等式顯然是矛盾的．故已知方程組只有唯一解： ． 4．1．37★★解方程組 解析將這個5個方程相加，得 ， 所以， 故（，，，，）（3，2，1，5，4）． 經檢驗知，（，，，，）（3，2，1，5，4）是方程組的解． 22