初中數(shù)學(xué)競賽專題復(fù)習(xí) 第二篇 平面幾何 第14章 共點(diǎn)線與共線點(diǎn)試題 新人教版

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1、 第14章 共點(diǎn)線與共線點(diǎn) §14.1 梅涅勞斯定理 14.1.1★★設(shè)等腰直角三角形，，是中點(diǎn)，在上，，求證： .（試用梅氏定理證明） 解析 如圖，設(shè)與交于，則，由梅氏定理，，得，又，故∽，故. 14.1.2★設(shè)是銳角三角形的邊上的一點(diǎn)，，是邊上的一點(diǎn)，，與相交于點(diǎn)，求. 解析 由梅涅勞斯定理，，得，，故，. 所以. 14.1.3★證明：銳角三角形一條高線的垂足在另兩邊及另兩條高線的身影在同一直線上. 解析 設(shè)的三條高線為、、，在、、、上的身影分別為、、、，欲證、、、共線，先證、、共線. 由梅氏逆定理，知該結(jié)論為真，即，最后一步是由于∽. 同理，

2、、、共線，故、、、四點(diǎn)共線. 14.1.4★已知是的高，在內(nèi)，且，，作與垂直，與垂直，、分別是垂足，連結(jié)并延長，交延長線于，求. 解析 如圖，設(shè)，則由梅氏定理 . 又由身影定理，，，于是，得. 14.1.5★★如圖，已知銳角三角形，是高，在、上的垂足分別是、，延長后交延長線于，若，求. 解析 由圖知，，故. . 由梅氏定理及身影定理，有，，，故，即， 移項(xiàng)并因式分解，得，于是，即是所求答案. 14.1.6★證明，兩內(nèi)角、平分線分別交對(duì)邊于、，而的外角平分線交直線于，求證：、、共線. 解析 如圖，既然的外角平分線直線相交，說明，不防設(shè)，則在延長線上. 由

3、角平分線性質(zhì)知 ， 故由梅氏逆定理知、、共線. 14.1.7★★已知不等邊三角形，、、的平分線分別交對(duì)邊于、、，的中垂線與直線交于，同理得到、，證明：、、共線. 解析 如圖，不妨設(shè)的中垂線與延長線相交，連結(jié)，則，于是，因此∽，于是. 同理，，于是，由梅氏逆定理，知、、共線. 14.1.8★★已知：是的邊上一點(diǎn)，是上一點(diǎn)，、分別在、上，與交于，與交于.求證：若，則. 解析 如圖，由梅氏定理， .于是 . 由于，故，于是，故. 14.1.9★已知的面積為，點(diǎn)、在上，且∶∶∶∶，點(diǎn)在上，且∶∶，、分別與交于點(diǎn)、，求四邊形的面積. 解析 這類題目基本且典型，顯

4、然有，而，于是下求. 由梅氏定理，有，代入已知數(shù)值得，于是，從而. 又由，即，得，從而，于是，故 . 14.1.10★★★已知不等邊銳角三角形，、是高，且位置如圖所示，與中位線交于點(diǎn)，點(diǎn)、分別是的外心與垂心，求證：. 解析 一個(gè)熟知事實(shí)是，.延長交直線于點(diǎn)，則有 ， 延長交于點(diǎn)，于是只需證明∽，即只需證 . 由于，問題歸結(jié)為，下面計(jì)算與. 由梅氏定理知，于是 . 因，由正弦定理有，故上式為.證畢. 14.1.11★★★如圖，已知、是圓的兩條切線，為圓的一條割線，交于，在上，，交于，求證：. 解析 易知、、、為調(diào)和點(diǎn)列，于是 .（見題12.3.13）

5、由梅氏定理， ， 因此 . 14.1.12★★★ 已知為的直徑，弦，弦與交于，，求證：平分. 解析 如圖，無非要證明，或證明，或證明. 設(shè)與交于，與交于.由梅氏定理，，得，故 ，即，得，證畢. 14.1.13★★★證明牛頓定理：設(shè)中，、分別在、上，、交于，則、、的中點(diǎn)在一條直線上（牛頓線）. 解析 設(shè)、、的中點(diǎn)分別為、、，則易由中位線知、、共線，、、共線，、、共線.且 （后者是截所得）.故由梅氏逆定理，知、、共線. 評(píng)注 此題亦可由面積證. 14.1.14★★★★設(shè)等腰直線三角形中，，是三角形內(nèi)一點(diǎn)，，連結(jié)并延長至，使，是中點(diǎn)，直線分別與、交于、，求

6、證：是的中點(diǎn). 解析 如圖，延長、，分別交直線于、，設(shè)，，，則由梅氏定理，有，而，故，即，或 ，或. 又由梅氏定理，，此即，所以，于是. 14.1.15★★★★設(shè)的邊的中點(diǎn)，，是射線上一點(diǎn)，滿足，是射線上一點(diǎn)，且與在邊的同側(cè)，滿足，與交于，與交于，求. 解析 設(shè)邊長分別為、、，由梅氏定理，，由于，，，故 ， . 接下去處理.延長與交于，則，故，，，又由梅氏定理，，得，故平分，.故答案為. 14.1.16★★★在中，，為的中點(diǎn)，以為直徑的圓交、于另一點(diǎn)、.分別過點(diǎn)、作圓的切線和.證明：、和直線共點(diǎn). 解析 如圖設(shè)交直線于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn). 由條件，及圓

7、以為直徑，可知，于是 . ① 為證、與直線共點(diǎn)，只需證明與重合.我們下證：. 利用，可知∽，故，于是.同理可證.于是，其中為與的交點(diǎn). 對(duì)考慮割線，運(yùn)用梅涅勞斯定理，可知，結(jié)合，可知，從而. 再由①可知，綜合上式，得.命題獲證. §14.2 塞瓦定理 14.2.1★已知，向外外作長方形、、，又設(shè)直線與直線交于，直線與直線交于，直線與直線交于，則、、共點(diǎn). 解析 如圖，設(shè)延長后交于，同理定義、（圖中未畫出）. 連結(jié)、，則， 同理，，故，、、共點(diǎn)或平行，由于、、均在內(nèi)，故平行不可能. 14.2.2★已知內(nèi)有一點(diǎn)，今過點(diǎn)作一直線與關(guān)于的角平分線對(duì)稱，同樣，過點(diǎn)、分

8、別作直線、，求證：、、交于一點(diǎn). 解析 如圖，設(shè)與直線交于，則，同理， ，. 于是，由塞瓦逆定理，即知、、共點(diǎn).這個(gè)公共點(diǎn)，稱為的等角共軛點(diǎn). 14.2.3★已知，向外作相似的等腰三角形、及，其中、、是頂角.求證：、、交于一點(diǎn). 解析 如圖，不妨設(shè)與交于，同理定義、.設(shè)，則 ，由塞瓦逆定理，便得結(jié)論. 14.2.4★★★已知：中，、、是角平分線，則當(dāng)且僅當(dāng). 解析 當(dāng)，延長至任一點(diǎn)，則，于是至距離等于至距離；又平分，故至距離等于至距離，因此可知平分，同理平分，故. 反之，若，過作，與、延長線分別交于、，則由塞瓦定理知 ，于是，故，即平分，于是過作、、的垂線

9、，不難得出平分，于是. 14.2.5★★已知中，、分別在、上，，、交于，延長后交于，與交于，與交于，、延長后分別交于、，求∶ ∶. 解析 由塞瓦定理易知，又由梅氏定理， ， ， 兩式相除，注意，，得.易得，同理，故 ∶∶∶∶. 14.2.6★★如圖，是銳角的角平分線，于點(diǎn)，于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，求證：. 解析 作，易知∽，∽，故而有，，于是. 又由，故由塞瓦逆定理知、、共點(diǎn).于是. 14.2.7★★銳角，向外作和， 使得，，，若、交于點(diǎn)，求證：. 解析 為證明結(jié)論，我們干脆作的高，設(shè)法證明、與共點(diǎn). 由及知 . 設(shè)與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，則有

10、 . 于是由塞瓦逆定理，結(jié)論成立，最后一步用到的仍是∽. 14.2.8★中，、、分別在邊、、上，且、、共點(diǎn)于.也在上，且與的中點(diǎn)重合，同理定義、.求證：、、也共點(diǎn). 解析 由塞瓦定理和逆定理，注意到等，立得結(jié)果. 評(píng)注 新共點(diǎn)與點(diǎn)互為等邊共軛點(diǎn). 14.2.9★★★設(shè)的邊、、上分別有點(diǎn)、、，且、、共點(diǎn)，又的邊、、上分別有點(diǎn)、、，、、也共點(diǎn)，求證：、、共點(diǎn). 解析 如圖，又設(shè)延長后與交于（為簡潔起見，圖中未圖出），同理定義、.于是，同理，，由條件及塞瓦定理，得，于是、、共點(diǎn). 14.2.10★★★一個(gè)三角形的一邊上的高、第二邊上的中線與第三邊上的角平分線交于一點(diǎn)，這個(gè)三角

11、形一定是正三角形嗎？ 解析 不一定.不妨設(shè)中，、、分別為高、中線與角平分線，于是，若三線交于一點(diǎn)，則由塞瓦定理（此處設(shè)，，），知有. 而由，，知，于是有， .例如令，，則. 14.2.11★★★ 如圖，、是兩條切線，與是任意兩條割線，求證：、與交于一點(diǎn). 解析 本題無疑是要運(yùn)用塞瓦逆定理，比如在中，知只需證 . 由圓內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)知，上式等價(jià)于，化簡，得. 由∽、∽及∽，得，，，于是. 14.2.14★★設(shè)的內(nèi)切圓分別與、、切于點(diǎn)、、，于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，與交于點(diǎn)，求證：、與共點(diǎn). 解析 易知 ，由塞瓦逆定理，知三線共點(diǎn). 評(píng)注 此處這個(gè)條件多余

12、，但可用來證明平分.證明如下：設(shè)中內(nèi)角為、、，于是易知，，故，又由 ，故∽，于是命題得證. 14.2.13★★★已知凸四邊形，，是上任一點(diǎn)，延長、，分別交、于、，求證：. 解析 如圖，分別作，，且、、共線，、、共線，設(shè)與交于. 由塞瓦定理及角平分線性質(zhì)定理，有.但，，于是.又，，故≌，于是. 14.2.14★★設(shè)、分別是的邊和上的點(diǎn)，、分別是與、與的交點(diǎn).證明：若，點(diǎn)、、、共圓，則. 解析 如圖，延長交于，為證，只需證明.而、、、共圓，故，，于是只需證明為的平分線. 對(duì)的割線及其內(nèi)一點(diǎn)分別利用梅涅勞斯定理和塞瓦定理，得 ， . 所以， . ① 在射線上取一

13、點(diǎn)，使得，則由，可知為的外角平分線，于是，利用內(nèi)、外角平分線定理，可知 . 從而， . 對(duì)比式①得，故與重合，因此，為的角平分線. 14.2.15★★★給定，點(diǎn)為內(nèi)一點(diǎn)，使得，；為內(nèi)一點(diǎn)，使得，；為內(nèi)一點(diǎn)，使得，.證明：、和三線共點(diǎn)，且該公共點(diǎn)在的外接圓上. 解析 延長交于點(diǎn)，則，即為的平分線，于是，.而由條件，易知∽，故 （這里、、為的三邊長），從而，故 . 同理可證：，，其中為與的交點(diǎn)，為與的交點(diǎn)（圖中、未畫出）.從而 . 于是，由塞瓦定理的逆定理可知、、三線共點(diǎn). 設(shè)上述公共點(diǎn)為，為的外心，則，故、、、四點(diǎn)共圓.于是設(shè)交這個(gè)圓于另一點(diǎn)，則為的中點(diǎn).結(jié)合，可

14、知為、、、所共圓的直徑.因此，，類似可證，，.所以，、、在以為直徑的圓上. §14.3 其他問題 14.3.1★求證：已知，點(diǎn)是上一點(diǎn)，則有；反之，若上式成立，且（即不是“反方向”的），則點(diǎn)、、共線. 解析 如圖，由，得，兩邊同時(shí)除以，即得結(jié)論. 為證三點(diǎn)共線，只需將上述過程反過來，得，于是點(diǎn)、、共線. 14.3.2★★已知及直線，在上的身影為，在上的身影為，類似地定義，和、，求證：、和共點(diǎn). 解析 如圖，只需證明（、未畫出）. 由于，同理 ，，于是三式相加，便知結(jié)論成立. 14.3.3.★★★銳角三角形中，，、是兩條高，為的垂心，、分別是、的中點(diǎn).證明：、和

15、共點(diǎn)，這里為的外心. 解析 如圖，由條件，可知和都是等腰直角三角形，而為、的中垂線上的點(diǎn)，故，，于是，，從而四邊形為平行四邊形.故與的交點(diǎn)為的中點(diǎn). 另一方面，、為、的中點(diǎn)，結(jié)合直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，可知，.即四邊形為菱形，所以與的交點(diǎn)亦是的中點(diǎn). 從而命題獲證. 14.3.4★★四邊形與都是正方形，且點(diǎn)、、共線，點(diǎn)、、共線，連結(jié)、，點(diǎn)在上的射影是點(diǎn)，點(diǎn)在上的射影是點(diǎn)，求證：點(diǎn)、、共線. 解析 設(shè)與交于點(diǎn)，又設(shè)，.于是由，有 ， 即點(diǎn)與點(diǎn)重合. 14.3.5★★在矩形的邊、、、上分別取異于頂點(diǎn)的、、、，已知.證明與的交點(diǎn)在矩形的對(duì)角線上.

16、解析 連結(jié)、. 因?yàn)?，與相交于，所以∽，可得，. 又因，所以，則；因此∽. 綜上，，，所以∽，可得，即、、共線. 14.3.6★★證明：如果一個(gè)梯形內(nèi)的（）個(gè)點(diǎn)到梯形四邊距離之和相等，那么這個(gè)點(diǎn)共線. 解析 如圖，延長梯形的腰、交于點(diǎn).設(shè)為這個(gè)點(diǎn)中的一個(gè)點(diǎn)，過作一直線，交、于點(diǎn)、，使得為等腰三角形（）. 設(shè)是這個(gè)點(diǎn)中的另一個(gè)點(diǎn)，我們證明在直線上. 由條件到、的距離和等于到、的距離和.若在四邊形內(nèi)，則 ，從而，這里表示點(diǎn)到直線的距離.結(jié)合，可得 ，矛盾.類似地，若在四邊形內(nèi)，則 ，亦矛盾.故在線段上. 14.3.7★★★設(shè)四邊形僅有一個(gè)內(nèi)角是直角，且兩對(duì)角線相等，則

17、對(duì)邊中垂線交點(diǎn)與直角頂點(diǎn)共線. 解析 如圖，設(shè)四邊形中，，作矩形，則，又設(shè)的中垂線與之中垂線交于，則易知，于是、均在中垂線上.同理、中垂線之交點(diǎn)也在中垂線上，故而結(jié)論成立. 14.3.8★★等腰梯形中.將繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，得一個(gè)新的.證明：線段、和的中點(diǎn)共線. 解析 如圖，設(shè)、、的中點(diǎn)分別為、、，為的中點(diǎn).并設(shè)，， 則，，且，即為等腰三角形，并且等于減去與所成的角. 注意到，，所以，，從而.于是 . 另一方面，，而 ，故. 綜上，.故、、共線. 14.3.9★★直角三角形中，是斜邊，為斜邊上的高，以為圓心、為半徑作.過作的割線，交于點(diǎn)和，交于點(diǎn)（在與之間）.在上

18、取一點(diǎn)，使得，且與不在的同一側(cè).證明：、、三點(diǎn)共線. 解析 延長交于點(diǎn)，我們證明與重合，即證. 由知為的切線，故.再在中，為高，從而由身影定理可知，所以，故、、、共圓，因此. 注意到，故（這里再次用到、、、共圓），結(jié)合前面的結(jié)果，可知. 由圓的對(duì)稱性，即得. 14.3.10★★設(shè)銳角三角形，、、為高，是垂心，、分別在、上，且，求證：、的中垂線之交點(diǎn)在上. 解析 如圖，若設(shè)、中垂線分別交于、（、在圖中未畫出），只要證明，即知結(jié)論成立. 由于，，而，故只需證明 或即可. 由條件知∽，故.結(jié)論證畢. 14.3.11★★★的內(nèi)切圓切邊、于點(diǎn)、，直線與該內(nèi)切圓切于劣弧內(nèi)一

19、點(diǎn)，分別交、于點(diǎn)、.為與的交點(diǎn).證明：在線段上. 解析 設(shè)交于點(diǎn)，的內(nèi)切圓切與于點(diǎn)、.交于點(diǎn)，先證：與重合. 由正弦定理，可知 ， ， 結(jié)合，，可知.同理可證：.所以，由及，可知，即與重合.這表明過與的交點(diǎn). 類似可知，與與的交點(diǎn).所以，與的交點(diǎn)在線段上. 14.3.12★★★在中，，.、、分別為邊、、上的點(diǎn)，使得四邊形為正方形.設(shè)為過所作的外接圓的切線.證明：、和三線共點(diǎn). 解析 設(shè)交直線于點(diǎn)，連延長交于點(diǎn).只需證明與重合. 記的三邊長分別為、、，而正方形的邊長為.則由，可知，故. 由為外接圓的切線，得，而為公共角，故∽，從而，于是，即，從而，結(jié)合，可知，故，.所以 ，即. 而.所以，故與重合，命題獲證. 14.3.13★★★、均為圓的切線，是該圓的一條能弦，與圓交于點(diǎn)、，已知，點(diǎn)為中點(diǎn)，求證：點(diǎn)、、共線，這里為與的交點(diǎn). 解析 連結(jié)、、，易知題目無非是要證明 . 易知，，，，于是問題轉(zhuǎn)變?yōu)榍笞C . 由切線性質(zhì)知，于是根據(jù)三角形面積公式，有 ， 于是待證式又變?yōu)榍笞C . 事實(shí)上， ， 這是由于，且. 20