初中數(shù)學競賽專題復(fù)習 第二篇 平面幾何 第16章 幾何變換試題 新人教版

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1、 第16章幾何變換 §16.1對稱和平移 16．1．1★設(shè)是邊長為2的正三角形的邊的中點．是邊上的任意一點，求的最小值． 解析 作正三角形關(guān)于的對稱圖形．是的對稱點，故是的中 點．，如圖所示，則 . 連結(jié)，易知，所以． 所以，的最小值是． 16．1．2★★已知中，．試在的邊、上分別找出一點、，使最?。? 解析 作關(guān)于直線的對稱點，關(guān)于直線的對稱點，連與、分別交于點、，則、即為所求，如圖所示． 事實上，對于、上的任意點，， ． 評注 因為，所以所作線段必與線段、相交． 16．1．3★★求證：直角三角形的內(nèi)接三角形的周長不小于斜邊上高的兩倍． 解析 如圖

2、所示，設(shè)在直角三角形中，是斜邊上的高，是它的任一內(nèi)接三角形． 將以為對稱軸反射為，此時反射為，再將以為對稱軸反射為，此時反射為延長交于． 易知，所以，即，且是兩平行線與之間的距離． 所以 . 16．1．4★★★在內(nèi)取一點使，．設(shè)， ．求. 解析 本題中為等腰三角形，這就提示我們利用對稱性解題，先作一條對稱軸，作的高與直線交于點由對稱性知， ， 所以， 從而， 因為，又 ， 所以≌， 于是， 所以． 16．1．5★★在中，是高，在邊上，已知，，，求的面積． 解析 作的關(guān)于的對稱圖形，作的關(guān)于的對稱圖形．分別延長和，它們相交于，如圖所示． 易知，且

3、 ， ． 所以，四邊形是正方形． 設(shè)正方形的邊長為，則 ，． 在直角三角形中，由勾股定理知 ． ． 解方程，得，即．所以 ． 16．1．6★★★如圖，凸四邊形的四個頂點分別在邊長為的正方形的四條邊上，求證：的周長不小于． 解析 作正方形關(guān)于的軸對稱圖形，得到正方形，再作正方形關(guān)于的軸對稱圖形，得到正方形，再作正方形關(guān)于的軸對稱圖形，得到正方形，而、、、四點的對應(yīng)點如圖所示． 顯然，，，故 ， 所以四邊形的周長 ． 即四邊形的周長不小于． 16．1．7★★★如圖，和是兩個不全等的等腰直角三角形， ，現(xiàn)固定而將繞點在平面上旋轉(zhuǎn)，試證：不論旋轉(zhuǎn)到什么位

4、置，線段上必存在點使力等腰直角三角形． 解析 如圖，設(shè)為等腰直角三角形，下面證明點在線段上． 作關(guān)于的對稱點，則． 因為， 所以 ， 又． 所以又是關(guān)于的對稱點． 同理也是關(guān)于的對稱點，因此 ，， 又因， 所以． 即在上（且為的中點）． 16．1．8★★★如圖，矩形中，，，若在、上各取一點、，使的值最小，試求出這個最小值． 解析 作關(guān)于直線的對稱線段，即、關(guān)于對稱，作關(guān)于的對稱點，則在上，且有于，于． 由對稱變換可知，. 欲使最小，必須共線，所以最小值為點到的距離. 在中，，，所以，則． 在中，．又，在 中，，則．從而的最小值為16． 16．1．

5、9★★凸四邊形中，，．求證： . 解析將沿翻折，點落在點．因為，，所以必定在內(nèi)部．延長線交于點，則 . 16．1．10★★設(shè)表示凸四邊形的面積，證明． 解析如圖，作點關(guān)于的垂直平分線的對稱點，顯然與關(guān)于成軸對稱圖形．所以 ， . 16．1．11★★在矩形內(nèi)取一點，使，試求的值． 解析 如圖將沿平移至，顯然，．所以，由已知條件，即、、、四點共圓，從而 ． 16．1．12★★設(shè)是平行四邊形內(nèi)一點，使得， 證明：． 解析 如圖，把平移至，則，及，， 所以． 又已知，故，從而、、、四點共圓．于是 ， 又， 所以． 16．1．13★（

6、1）如圖（a）所示，在梯形中，.已知：，， ，求梯形的面積． （2）如圖（b），在梯形中，．是的中點，于．設(shè)，，求梯形的面積． 解析（1）將平移到，連結(jié)，則，．所以 ． ． 因此． 因為， 所以． （2）將平移至，如圖（b）所示，過點．由于≌，所以 ． 評注 本題的兩種添平行線法是解梯形問題的常用方法． 16．1．14★★如圖，在四邊形中，，、分別是及中點，的 延長線與及的延長線分別交于點、．求證：． 解析1如圖（a），將線段平移至．則四邊形為平行四邊形．由于是中 點，故、、共線． 現(xiàn)在是的中位線，故，所以 ，． 又顯然．故． 于是． 解析2

7、如圖（b），連結(jié)，取中點為，連結(jié)、，則、分別為、 的中位線，所以，．故 ， ， 且，故， 所以． 16．1．15★★如圖，，、、均垂直于，垂足為、、 ，，，，．求的值． 解析 將平移到，在線段上，延長交于，將平移到，在上． 因為、、均垂直于，所以四邊形和都是矩形． 由，，得．又，所以，，．所以≌，，． 于是， ， ． 在中，，，也即 ． 16．1．16★★在正三角形的三條邊上，有三條相等的線段、、．證明：直線、、所成的三角形中，三條線段、、與包含它們的邊 成比例． 解析 如圖，將平移到，連結(jié)、、．因為四邊形為平行四邊形，所以，，故為正三角形，．這樣所

8、得四邊形為平行四邊形，． 因此，由、、這三條線段構(gòu)成的三角形與全等，而≌，從而命題得證． 16．1．17★★如圖所示，且共點于，， 求證：． 解析 將沿方向平移長的距離，得，將沿方向平移長的距離，得．由于 ，， 所以． 又因， 故與重合，且、、三點共線．在正三角形中， ． 16．1．18★★★如圖，由平行四邊形的頂點引它的高和，已知，，求點到的垂心的距離． 解析 令表示的垂心． 考慮到，，有．同理有，因而四邊形，為平行四邊形，平移到位置，顯然為上一點，所求線段即，已與位于同一直角三角形中．由于四邊形為矩形，有，于是 ． 16．1．19★★★已知的面積

9、為，、、分別為、、上的點，且 ，試求以、、為邊的三角形的面積． 解析 如圖，過點作平行且等于．連、、，則四邊形為平行四邊形，． 又， 所以≌，，因此. 又因， 所以． 于是四邊形也為平行四邊形，從而，即為、、所構(gòu)成的三角形，它的面積為． 在梯形中， ， 所以， 而， 所以， 因此 ． §16.2旋轉(zhuǎn) 16．2．1★★對于邊長為1的正內(nèi)任一點．求證：． 解析 把繞點旋轉(zhuǎn)到．則為正三角形，且 ，， 因而． 16．2．2★★設(shè)是等邊三角形內(nèi)一點，，，．試求此等邊三角形的邊長． 解析 如圖，把繞點逆時針旋轉(zhuǎn)，到達的位置，顯然， ，，． 在中，，

10、所以．故 . 在中，由余弦定理，得 ． 所以，等邊三角形的邊長是． 16．2．3★★設(shè)是正三角形內(nèi)一點，已知，，求以線段、、為邊構(gòu)成的三角形的各角． 解析 以為旋轉(zhuǎn)中心，將按逆時針方向旋轉(zhuǎn)，旋轉(zhuǎn)至，如圖所示． 連結(jié)．由于，，所以是正三角形，故． 又，故是以、、為邊構(gòu)成的一個三角形． 因此 ， ， 從而． 所以，以線段、、為邊構(gòu)成的三角形的各角分別為、和． 16．2．4★★如圖，兩個正方形與（頂點按順時針方向排列），求證：這兩個正方形的中心以及線段、的中點是某正方形的頂點． 解析 設(shè)、分別是正方形、的中心，、分別是線段、的中點，先證是以為斜邊

11、的等腰直角三角形． 連結(jié)、，將繞逆時針旋轉(zhuǎn)，則、分別到、位置，所以，． 因為、分別是、的中點，所以．同理．所以，且．即是以為斜邊的等腰直角三角形． 同理可證也是以為斜邊的等腰直角三角形．故、、、是正方形的四個頂點． 16．2．5★★正方形內(nèi)有一點，，．，求正方形的面積． 解析 將繞點旋轉(zhuǎn)，得．連結(jié)．易知，． 于是． 在中，．所以是直角三角形，從而． 由余弦定理得 ． 16．2．6★★在正方形的邊和上分別取點和，使得，在線段上取點，使得．證明：是直角． 解析 如圖所示，在邊上取點，使，連結(jié)、、． 由于，所以、、、四點共圓，作四邊形的外接圓和矩形 的外接圓，因

12、為這兩個外接圓均過、、三點，從而這兩圓是相同的，所以 ． 易知≌. 故以正方形的中心為旋轉(zhuǎn)中心，將以逆對針方向旋轉(zhuǎn)，則旋轉(zhuǎn)至，從而．又，故、、三點共線，所以． 16．2．7★★★已知凸六邊形中，，，， ．求證： （1）； （2），， ． 解析 （1）將繞點旋轉(zhuǎn)，使與重合，得到，如圖所示．連結(jié)． 因為 ， 所以 ． 因此 . 從而≌， ≌， 所以． （2）由（1）可知 ， 所以． 同理可證：，． 評注 本題通過旋轉(zhuǎn)，把、、拼成一個與全等的新三角形.也可以采取向內(nèi)部旋轉(zhuǎn)的方法，把、、放在的內(nèi)部，使之恰好“拼成”． 16．2．8★★★如圖所

13、示，、是邊長為1的正方形內(nèi)兩點，使得 ，求的值． 解析 將繞點順時針旋轉(zhuǎn)至，繞點逆時針旋轉(zhuǎn)至，連結(jié)、，則 ≌，≌． 又，所以、、三點共線，且 ， 故， 所以 ． 16．2．9★★在中，，點不與重合．求證. 解析 如圖，將繞點旋轉(zhuǎn)至的位置，使與共線．于是 ． 又因為，所以 ． 故在等腰中， ． 因此， 從而. 評注 此題似乎依賴于圖形，在內(nèi)，事實上在其他位置照樣成立，方法完全一樣． 16．2．10★★★凸四邊形中，點、分別是、的中點，且（是常數(shù)），求證：． 解析 如圖所示，將繞點旋轉(zhuǎn)得，將繞點旋轉(zhuǎn)得，連，于是 ， 所以與凸四邊形的邊不相交．故 ． 16．2．11★★★如圖，設(shè)為銳角內(nèi)一點，且， ，求的值． 解析 將線段繞點順時針旋轉(zhuǎn)到，連結(jié)、． 因為，，所以 ，又， 則． 由，得，于是，所以， ．從而．所以，，則，即． 在中，，，故． 17