初中數(shù)學(xué)競賽專題復(fù)習(xí) 第一篇 代數(shù) 第5章 不等式試題2 新人教版

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1、 §5.4 不等式的證明和應(yīng)用 5.4.1★設(shè)、、的平均數(shù)為，、的平均數(shù)為，、的平均數(shù)為.若，則與的大小關(guān)系是（ ） A. B. C. D.不確定 解析 因?yàn)?，，，，因?yàn)椋?，即，所?故選B. 5.4.2★若、是正數(shù)，且滿足，則與之間的大小關(guān)系是（ ） A. B. C. D.不能確定 解析 因?yàn)? ， 所以 . 由于，，所以. 所以，即，.故選A. 5.4.3★若（、是實(shí)數(shù)），則的值一定是（ ）. A.正數(shù) B.負(fù)數(shù) C.零 D.整數(shù) 解析 因?yàn)? ， 且，，這三個(gè)數(shù)不能同時(shí)為，所以.

2、故選A. 5.4.4★設(shè)、是正整數(shù)，且滿足，，則等于（ ）. A. B. C. D. 解析 由題設(shè)得 ，， 所以 . 因此，. 當(dāng)時(shí)，由，得，這樣的正整數(shù)不存在. 當(dāng)時(shí)，由，得，所以. 所以，. 故選B. 5.4.5★★已知，、為互質(zhì)的正整數(shù)，且，. （1）試寫出一個(gè)滿足條件的； （2）求所有滿足條件的. 解析 （1）滿足條件. （2）因?yàn)?，、為互質(zhì)的正整數(shù)，且，所以 ， 即 . 當(dāng)時(shí)，，這樣的正整數(shù)不存在. 當(dāng)時(shí)，，故，此時(shí). 當(dāng)時(shí)，，故，此時(shí). 當(dāng)時(shí)，，與互質(zhì)的正整數(shù)不存在. 當(dāng)時(shí)，，故，此時(shí). 當(dāng)時(shí)，，與互質(zhì)的正

3、整數(shù)不存在. 當(dāng)時(shí)，，故，4，5，此時(shí)，，. 當(dāng)時(shí)，，故，此時(shí). 所以，滿足條件的所有分?jǐn)?shù)為、、、、、、. 5.4.6★★已知：，，，…，，，和.求，，，…，，的值. 解析 將個(gè)不等式累加得 ，① 當(dāng)且僅當(dāng)個(gè)不等式取等號時(shí)，①式才成立. 由可以得到 ，② 由可以得到 ，③ … 由可以得到 ， 由②和③可推知.類似地，可以推知，所以，.同理可得. 所以. 5.4.7★★證明：（1）； （2）； （3）如果是正實(shí)數(shù)，那么； （4）設(shè)、是非負(fù)實(shí)數(shù)，則； （5）. 解析 （1）在的左右兩邊分別加上得到 ， 這個(gè)不等式說明：如果兩個(gè)正數(shù)的和是一個(gè)常

4、數(shù)，則乘積有最大值，如果兩個(gè)正數(shù)的乘積是一個(gè)常數(shù)，則和有最小值. （2）在的左右兩邊分別加上得到 ， 這個(gè)不等式說明了兩個(gè)數(shù)的和與平方和之間的不等式關(guān)系. （3）在（1）中令，得，這個(gè)不等式說明了一個(gè)正數(shù)與它倒數(shù)的和不小于. （4）由（3）可得 ， 這個(gè)不等式說明了兩個(gè)數(shù)的和與倒數(shù)和之間的不等式關(guān)系. （5）由，，可以得到 . 5.4.8★★設(shè)，，，求證： . 解析 因?yàn)? ，，， 所以 . 5.4.9★★★設(shè)，，，求證： . 解析 因?yàn)? ， 而 ， 所以，. 5.4.10★★若正數(shù)、、滿足，求證： . 解析 因?yàn)?

5、 ， 而 ， ， ， 所以 . 5.4.11★★（1）已知正數(shù)、、滿足 ， 求證： ； （2）已知正數(shù)、滿足，求證： ； （3）已知正數(shù)、滿足，求證： . 解析 （1）由題設(shè)和平均不等式得 . （2）由題設(shè)和平均不等式得 . （3）由題設(shè)和平均不等式得 . 5.4.12★★（1）若，求的最小值； （2）若，求的最小值； （3）若，求的最小值. 解析 （1）因?yàn)?，?dāng)時(shí)等號成立，所以，欲求的最小值是. （2）因?yàn)? ， 當(dāng)時(shí)等號成立，所以，欲求的最小值是. （3）因?yàn)? ， 當(dāng)時(shí)等號成立，所

6、以，欲求的最小值是. 5.4.13★★（1）若，求的最大值； （2）若，求的最大值. 解析 （1）因?yàn)? ， 當(dāng)時(shí)等號成立，所以，欲求的最大值是. （2）因?yàn)? ， 當(dāng)時(shí)等號成立，所以，欲求的最大值是. 5.4.14★★求代數(shù)式的最大值. 解析 我們有 ， 當(dāng)時(shí)等號成立，故欲求的最大值為. 評注 這里，在第一個(gè)不等式中，用了 . 5.4.15★★★設(shè)正實(shí)數(shù)、、滿足 ， 求的最小值. 解析 因?yàn)? ， 當(dāng)，，時(shí)等號成立，故最小值為. 5.4.16★★★設(shè)，求的最小值. 解析 因?yàn)? ， 所以 ， 當(dāng)，時(shí)等號成立. 所以，

7、欲求的最小值是. 5.4.17★★設(shè)，，. 求證：. 解析 因?yàn)? ， 又，所以，即. 5.4.18★★已知、、是實(shí)數(shù)，且 ，. 求證：，，. 解析 因?yàn)? ，， 而 ， 所以 ， ， ， ， 解得 . 同理可證：，. 5.4.19★★★已知實(shí)數(shù)、、滿足：，且 ，. 求證： . 解析 原不等式等價(jià)于 . 因?yàn)?，? 又因?yàn)?，所? ， ， ， ， 解得 . 若，則，由，可得.于是 ， 矛盾！ 故 . 5.4.20★★★若實(shí)數(shù)、滿足，求的取值范圍. 解析 由題設(shè)分別消去、，得 ， . 而，，所以

8、 所以 . 反之，若滿足不等式，則易知存在、滿足題設(shè)條件. 所以，所求的的取值范圍為. 5.4.21★★★已知實(shí)數(shù)、滿足，且，求的取值范圍. 解析1 由，相加，得，故. 又 ， 所以且. 于是可知、是關(guān)于的方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根. 由，解出. 綜上所述，的取值范圍是. 解析2 由，所以.（當(dāng)時(shí)等號成立） 由 ， 故，即.（當(dāng)時(shí)等號成立） 于是有，從而有. 根據(jù)解析1，可知：. 所以. 5.4.22★★設(shè)正數(shù)、滿足. 求證：. 解析 由可得 ， 則 . ① 由于、是兩個(gè)正數(shù)，所以，，所以，從而. 另一方面，由，可得，

9、結(jié)合①式可得，所以. 因此，. 5.4.23★★★設(shè)（、、都是實(shí)數(shù)），已知，，，求證：當(dāng)時(shí)，. 解析 因?yàn)? 所以 于是 . 5.4.24★★★證明：對任意三角形，一定存在它的兩條邊，它們的長、滿足 . 解析 若結(jié)論不成立，則對于的三邊長、、，不妨設(shè)，于是 ， ① . ② 記，，則，，代入①得 ， ， 令，，則 . ③ 由，得，即，于是.由②得 ， ④ 由③、④得 ， 矛盾.從而命題得證. 5.4.25★★★若正實(shí)數(shù)、、可以是一個(gè)三角形的三邊長，則稱（，，）是三角形數(shù).若（，，）和均為三角形數(shù)，且.求的取值范圍.

10、解析 由題設(shè)得所以 ， 即有，，得 . 而，所以所求的的取值范圍為 . §5.5 應(yīng)用題 5.5.1★某賓館底樓客房比二樓客房少間.某旅游團(tuán)有人，若全安排住在底樓，每間住4人，房間不夠；每間住5人，有房間沒有住滿5人.又若全安排住二樓，每間住3人，房間不夠；每間住4人，有房間沒有住滿4人.問該賓館底樓有多少間客房？ 解析 設(shè)底樓有客房間，則二樓有客房間.依題意，可得如下不等式組： 解不等式組得 . 因?yàn)槭钦麛?shù)，所以，. 故賓館的底樓有10間客房. 5.5.2★★一列客車始終作勻速運(yùn)動(dòng)，它通過長為米的橋時(shí)，從車頭上橋到車尾下橋共用33秒；它 穿過長760米的隧

11、道時(shí)，整個(gè)車身都在隧道里的時(shí)間為22秒．從客車的對面開來一列長度為米，速 度為每秒米的貨車，兩車交錯(cuò)，從車頭相遇到車尾相離共用秒． （1）寫出用、表示的函數(shù)解析式； （2）若貨車的速度不低于每秒米，且不到每秒米，其長度為米，求兩車交錯(cuò)所用時(shí)間的取值范圍． 解析 （1）設(shè)客車的速度為每秒米，客車的長度為米．依題意知 解得 所以，（，）. （2）當(dāng)，時(shí)，由（1）得. 又因?yàn)?，所以? . 故的取值范圍為. 5.5.3★★個(gè)人乘速度相同的兩輛小汽車同時(shí)趕往火車站，每輛車乘人（不包括司機(jī)）．其中一輛小 汽車在距離火車站的地方出現(xiàn)故障，此時(shí)距停止檢票的時(shí)間還有分鐘．這時(shí)唯一可

12、利用的交 通工具是另一輛小汽車，已知包括司機(jī)在內(nèi)這輛車限乘人，且這輛車的平均速度是，人步行的平均速度是．試設(shè)計(jì)兩種方案，通過計(jì)算說明這個(gè)人能夠在停止檢票前趕到火車站． 解析 【方案一】當(dāng)一輛小汽車出現(xiàn)故障時(shí)，乘這輛車的個(gè)人下車步行，另一輛車將車內(nèi)的個(gè)人送到火車站，立即返回接步行的個(gè)人到火車站． 設(shè)乘出現(xiàn)故障汽車的個(gè)人步行的距離為，根據(jù)題意，有 ， 解得．因此這個(gè)人全部到火車站所需時(shí)間為 （小時(shí)）（分鐘）（分鐘）. 故此方案可行， 【方案二】當(dāng)一輛小汽車出現(xiàn)故障時(shí)，乘這輛車的個(gè)人先下車步行，另一輛車將車內(nèi)的個(gè)人送到某地方后，讓他們下車步行，再立即返回接出故障汽車而步行的另外

13、個(gè)人，使得兩批人員最后同時(shí)到達(dá)車站． 分析此方案可知，兩批人員步行的距離相同，如圖所示，為無故障汽車人員下車地點(diǎn)，為有故障 汽車人員再次上車地點(diǎn)．因此，設(shè)，根據(jù)題意，有 ， 解得．因此這個(gè)人同時(shí)到火車站所需時(shí)間為（小時(shí)）（分鐘）（分鐘）. 故此方案也可行． 5.5.4★★某出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)是：千米之內(nèi)起步費(fèi)是元，以后每增加千米增收元（不足千米也算一個(gè)千米）．現(xiàn)從地到地共支出元（不計(jì)等候時(shí)間所需費(fèi)用）．如果從地到地是先 步行米，然后再乘車也是元（同樣不計(jì)等候時(shí)間所需費(fèi)用），求從的中點(diǎn)到地需多少車費(fèi)． 解析 設(shè)從地到地的距離為千米，由于，所以，即 . ① 又 ， 所

14、以 . ② 由①、②便知.故． 即與之間的路程在千米至千米之間，所需車費(fèi)為（元）． 5.5.5★★從站到站千米，每千米設(shè)一路標(biāo)（如圖），從早開始，貨車每隔分鐘從站發(fā)出一輛開往站，車速為每小時(shí)千米；早上由站發(fā)出一輛小轎車駛向站，車速為每小時(shí)千米．已知小轎車在某兩相鄰路標(biāo)之間（不包括路標(biāo)處）追過三輛貨車，問：此時(shí)小轎車已經(jīng)追過 多少輛貨車（與小轎車同時(shí)出發(fā)的那輛貨車不計(jì)算在內(nèi)）？ 解析 因?yàn)橄噜弮奢v貨車之間的距離為（千米），所以小轎車從追上第輛貨車開始，到它追上第輛貨車，所需時(shí)間為（小時(shí)），所以它追上第志輛貨車需要小時(shí)， 設(shè)小轎車追上第、、輛貨車是在兩個(gè)路標(biāo)之間，這兩個(gè)路標(biāo)

15、分別是第、個(gè)，則我們有 由①得，；由②得，，而、都是整數(shù)，所以 ，，1，2，…，. 于是只有，和，（舍去）． 所以，小轎車追過了輛貨車． 5.5.6★★★正五邊形廣場的周長為米，甲、乙兩人分別從、兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)繞廣場沿 的方向行走，甲的速度為米／分，乙的速度為米／分，那么，出發(fā)后經(jīng)過多少分鐘，甲、乙第一次開始行走在同一條邊上？ 解析 設(shè)甲走完（為正整數(shù)）條邊時(shí)，兩人第一次開始行走在同一條邊上，此時(shí)甲走了米，乙走了米.于是 ， 且， 所以，，故，此時(shí).即經(jīng)過分鐘，甲、乙第一次開始行走在同一條邊上. 5.5.7★★★如圖，甲、乙兩人在周長為的正方形水池相鄰的兩頂點(diǎn)上同時(shí)同

16、向出發(fā)繞池邊行走， 乙在甲后，甲每分鐘走，乙每分鐘走，求 （1）甲、乙兩人自出發(fā)后經(jīng)幾分鐘才能初次在同一邊上行走（不含甲、乙兩人在正方形相鄰頂點(diǎn)時(shí)的情形）； （2）第一次相遇之前，兩人在正方形同一邊上行走了多少分鐘？ 解析 （1）兩人初次在同一邊上時(shí)，甲比乙要多走邊． 設(shè)兩人初次在同一邊上時(shí)，乙已走了邊，則甲走了邊，也就是甲走了，乙走了. 因?yàn)榧自谇耙以诤?，所以，?dāng)甲、乙同在一邊時(shí)，乙所走的距離應(yīng)超過，并且當(dāng)甲到了另一邊 的端點(diǎn)時(shí)，乙肯定沒到相鄰的端點(diǎn)，所以乙走的距離又應(yīng)不足.于是 ， 解得 ． 故當(dāng)（邊），需經(jīng)過分鐘時(shí)才能初次在同一邊上行走． （2）設(shè)出發(fā)分

17、鐘后，甲、乙兩人第一次相遇（即甲追上乙）． 則，（分鐘）． 甲從出發(fā)后分鐘開始，每走到一頂點(diǎn)，都要與乙同在一邊上行走一段距離，直到乙走到頂點(diǎn)開始轉(zhuǎn)彎，甲從第分鐘開始，要走邊后才能與乙在某一頂點(diǎn)相遇． 分別討論如下： 第分鐘時(shí)，，.甲、乙位置如圖（1）所示，第一次同行時(shí)間為分鐘. 第分鐘時(shí)，，.甲、乙位置如圖（2）所示，第二次同行的時(shí)間為分鐘． 同樣，不難推得后次位置如圖（3）～（8）所示． 所以，第一次相遇前，兩人在同一邊上行走的時(shí)間是： （分鐘）. 5.5.8★★某人將一本書的頁碼按，，，…的順序相加，其中有一個(gè)頁碼被多加了一次，結(jié)果得到 一個(gè)錯(cuò)誤的總和為，則被多加的

18、頁碼是多少？ 解析 設(shè)全書共頁，被多加的頁碼為，則 ，. ① 而 ， 即 . ② 由于，驗(yàn)算知滿足②的. 代入①得. 5.5.9★★甲、乙兩個(gè)糧庫原來各存有整袋的糧食．如果從甲庫調(diào)袋到乙?guī)欤瑒t乙?guī)齑婕Z是甲庫的倍；如果從乙?guī)煺{(diào)若干袋到甲庫，則甲庫存糧是乙?guī)斓谋叮畣柤讕煸瓉碜钌俅婕Z多少袋？ 解析 設(shè)甲庫原來存糧袋，乙?guī)煸瓉泶婕Z袋，依題意可得 . ① 再設(shè)乙?guī)煺{(diào)袋到甲庫，則甲庫存糧是乙?guī)斓谋?，? ． ② 由①式得 . ③ 把③代入②，并整理得． 由于，又、是正整數(shù)，從而有，即；并 且整除，又因?yàn)榕c互素，所以整除. 經(jīng)檢驗(yàn)，可知的最小值

19、為． 5.5.10★★一家機(jī)密文件碎紙公司有許多位雇員，這些雇員在輸送帶前排列成一列，分別編號為，， ，…老板接到將一張文件撕碎的任務(wù)，他把這份文件撕成塊后交給第號雇員．每當(dāng)?shù)谔柟蛦T接到前手傳來的一疊紙時(shí)，都從中取塊，把每塊再分成塊，然后再傳給第號雇員．若第號雇員接到前手傳來的總塊數(shù)少于塊，但傳給下一位的總塊數(shù)超過塊，請問是多少？ 解析 第次操作完畢后為（塊）；第次操作完畢后為（塊）；第次操作完畢后為 （塊）……第次操作完畢后為塊. 當(dāng)時(shí)，； 當(dāng)時(shí)，. 所以，. 5.5.11★★把若干個(gè)蘋果分給若干個(gè)孩子，如果每人分個(gè)，則余個(gè)；每人分個(gè)，則最后一人分得的蘋果數(shù)不足個(gè)，問共有多

20、少個(gè)孩子？多少個(gè)蘋果？ 解析 如設(shè)有個(gè)蘋果，個(gè)孩子，那么解此題的關(guān)鍵是理解“每人分個(gè)，則最后一人分得數(shù)不足 個(gè)”這句話的含義，此話是蘋果多于個(gè)，同時(shí)又少于個(gè). 設(shè)有蘋果個(gè)，小孩子人，則根據(jù)題意，得 于是 解得，，所以小孩子數(shù)為或. 當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，. 所以，有個(gè)孩子，個(gè)蘋果，或個(gè)孩子，個(gè)蘋果． 5.5.12★★★在黑板上從開始，寫出一組連續(xù)的正整數(shù)，然后擦去其中一個(gè)數(shù)，剩下來的數(shù)的平均數(shù)是，問擦去的數(shù)是什么數(shù)？ 解析 設(shè)在黑板上寫出來的數(shù)是，．…，，擦去的數(shù)是，則，于是 ， . 由題意便得 解得 . 由于是正整數(shù)，且，故只能為，再由，解得，故擦

21、去的數(shù)是． 5.5.13★★某工廠每天用于生產(chǎn)玩具小狗和小貓的全部勞動(dòng)力為個(gè)工時(shí)，原料為個(gè)單位．生產(chǎn) 一個(gè)小狗要用個(gè)工時(shí)和個(gè)單位的原料；生產(chǎn)一個(gè)小貓要用個(gè)工時(shí)和個(gè)單位的原料．問每天生產(chǎn)玩具小狗和小貓的總數(shù)最多是多少？ 解析1 設(shè)生產(chǎn)玩具小狗和小貓的數(shù)量分別是和，由已知條件，可以得到兩個(gè)不等式： ① 可以分別列出①的第個(gè)和第個(gè)不等式和的解，然后再找出的最大值. 解析2 將①的第個(gè)不等式方程乘與第個(gè)不等式相加，得到.即有不等式 ， . ② 解二元一次方程組 得到，是滿足①的一組解，即可以有， . ③ 從①的第一個(gè)方程， ， ④ ④式說明最大是，結(jié)合③

22、，所以，．再次利用④ . 因?yàn)楸仨毷钦麛?shù)，所以，.再次利用③，得到． 利用②，得到 . 上式說明最大不超過，③式說明，可以達(dá)到.所以，每天生產(chǎn)玩具小狗和小貓的總數(shù)最多可以是個(gè)． 5.5.14★★某種商品的原價(jià)為元，現(xiàn)有四種調(diào)價(jià)方案： （1）先漲價(jià)，再降價(jià)； （2）先漲價(jià)，再降價(jià)； （3）先漲價(jià)，再降價(jià)； （4）先漲價(jià)，再降價(jià)． 其中.求調(diào)價(jià)后售價(jià)最高的方案， 解析 第（1）種方案售價(jià)為 ； 第（2）種方案售價(jià)為 ； 第（3）種方案售價(jià)為 ； 第（4）種方案售價(jià)為 . 因?yàn)?，于是? ， ， 兩式相乘得 ， 即. 又因?yàn)?，于是?

23、， 即.因?yàn)? . 顯然既可以大于，又可以小于，還可以等于． 所以，可能有，或. 因此，調(diào)價(jià)后售價(jià)最高的方案是第（1）方案或第（3）方案， 5.5.15★★某人乘船由甲地順流到乙地，再從乙地逆流回到甲地，如果水流速度和船速保持不變，請你思考，在靜水時(shí)用的時(shí)間多，還是在有流速時(shí)用的時(shí)間多？ 解析 設(shè)甲地距乙地千米，水流速度為千米／時(shí)，船的靜水速度為千米／時(shí)． （1）靜水中往返甲、乙兩地，需 （時(shí)）； （2）由甲地順流到乙地，再逆流返回甲地，需 （時(shí)）， 因?yàn)椋? . 故在靜水時(shí)用的時(shí)間少． 5.5.16★★一隊(duì)公共汽車正在行駛，甲、乙兩個(gè)檢查員招呼這列車隊(duì)停下來．甲專門統(tǒng)計(jì)超載汽車在這車隊(duì)中的百分?jǐn)?shù)，乙專門統(tǒng)計(jì)超載乘客在總乘客中的百分?jǐn)?shù)，他們誰的百分?jǐn)?shù)大些（規(guī)定超過名乘客就算超載）？ 解析 乙的大. 假設(shè)這個(gè)車隊(duì)中超載公共汽車的輛數(shù)為，未超載的輛數(shù)為，超載的汽車上的乘客人數(shù)為，未超載汽車上的乘客人數(shù)為． 那么依題意有，，兩式變形為，，因此，在不等式的兩端同時(shí)加上，于是就得到，兩端同時(shí)取倒數(shù)并乘以，就得到 . 這個(gè)不等式就表明了超載乘客的百分?jǐn)?shù)要大于超載汽車輛數(shù)在車隊(duì)內(nèi)所占的百分?jǐn)?shù)． 20