初中數(shù)學(xué)競賽專題復(fù)習(xí) 第一篇 代數(shù) 第5章 不等式試題1 新人教版

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1、 第5章 不等式 §5.1 一元一次不等式（組） 5.1.1★已知，且，試比較與的大小. 解析 首先解關(guān)于的方程得.將代入不等式得，即.又因?yàn)?，所? 5.1.2★解關(guān)于的不等式. 解析 由題設(shè)知，去分母并整理得 . 當(dāng)，即時(shí)，； 當(dāng)，即時(shí)，無解； 當(dāng)，即時(shí)，. 評注 對含有字母系數(shù)的不等式的解，也要分情況討論. 5.1.3★★已知不等式的解為，求不等式的解. 解析 已知不等式為.由題設(shè)知 所以 由，可得，從而，. 于是不等式等價(jià)于 ， 即，解得. 所求的不等式解為. 5.1.4★★如果關(guān)于的不等式 的解集為，求關(guān)于的不等式的

2、解集. 解析 由已知得 ，① .② 由已知①和②的解集相同，所以 解得 從而的解集是. 5.1.5★求不等式 的正整數(shù)解. 解析 由原不等式可得，所以是原不等式的解.因?yàn)橐笳麛?shù)解，所以原不等式的正整數(shù)解為，2，3. 5.1.6★★如果不等式組的整數(shù)解僅為1、2、3，那么適合這個(gè)不等式組的整數(shù)、的有序數(shù)對（，）共有多少對？ 解析 由原不等式組可解得. 如圖所示，在數(shù)軸上畫出這個(gè)不等式組解集的可能范圍，可得 即 所以，1，2，…，9共個(gè)，，26，…，32共個(gè)，于是有序數(shù)對（，）共有個(gè). 5.1.7★★★設(shè)、是正整數(shù)，求滿足，且最小的分

3、數(shù). 解析 欲求的最小值，只需將放入一個(gè)不等式，然后估計(jì)出的下界，這里要用到整數(shù)的離散性，即若整數(shù)、滿足，則. 原不等式等價(jià)于 即 所以 故 ， 解得 . 又分?jǐn)?shù)滿足，故最小且滿足題意的分?jǐn)?shù)是. 5.1.8★已知，，求的最大值和最小值. 解析 因?yàn)?，，所以的最大值為，最小值為；的最大值為，最小值? 故的最大值為；的最小值為. 5.1.9★★求同時(shí)滿足，和的的最大值及最小值. 解析 由和，得 ，. 再由得，，解此不等式，得. 所以的最大值為，最小值為. 5.1.10★求適合，且滿足方程的取值范圍. 解析 ，所以.于是 ，.

4、故的取值范圍是. 5.1.11★★當(dāng)、、為非負(fù)數(shù)時(shí)，，，求的最大值和最小值. 解析 由解得 因?yàn)?、、均為非?fù)數(shù).所以，從上面可得. . . 所以的最大值是，的最小值是. §5.2 含絕對值的不等式（組） 5.2.1★（1）解不等式； （2）解不等式. 解析 根據(jù)絕對值的非負(fù)性，易知（1）無解，（2）的解集為全體實(shí)數(shù). 5.2.2★★解不等式. 解析 原不等式的零點(diǎn)為、.根據(jù)零點(diǎn)的情況分類討論. （1）當(dāng)時(shí)，原不等式化為 ， 解之，得. 所以，此時(shí)不等式的解為. （2）當(dāng)時(shí)，原不等式化為 ， 解之，得. 所以，此時(shí)不等式的解為. （3）當(dāng)時(shí)，

5、原不等式化為 ， 解之，得. 所以，此時(shí)不等式的解為. 綜上，原不等式的解為或. 評注 解與絕對值有關(guān)的不等式的關(guān)鍵一點(diǎn)是根據(jù)絕對值的定義，去掉不等式中的絕對值符號(hào).分類討論是去絕對值符號(hào)的另一種重要方法. 5.2.3★解不等式. 解析1 如圖，分別用、兩點(diǎn)代表和. 表示某點(diǎn)（所對應(yīng)的點(diǎn)）到點(diǎn)和點(diǎn)的距離差.又當(dāng)時(shí)，點(diǎn)到、兩點(diǎn)的距離差恰好為. 當(dāng)點(diǎn)靠近點(diǎn)時(shí)，到、兩點(diǎn)的距離差變小，所以原不等式的解為 . 解析2 因?yàn)椤?分別是和的零點(diǎn)，于是分三種情況討論： （1）當(dāng)時(shí)，原不等式變?yōu)? ， 此式恒成立，故是原不等式的解. （2）當(dāng)時(shí)，原不等式變?yōu)? ， 解得

6、 . 所以，是原不等式的解. （3）若，原不等式變?yōu)? ， 即，此不等式無解. 綜上所述，原不等式的解為. 5.2.4★★解不等式. 解析 原不等式等價(jià)于 ，① 或 . ② ①的解為；②的解為. 所以，原不等式的解為或. 5.2.5★解不等式： . 解析 注意，整體分解. 由題意得 ， 即 或， 而由得 或， 由得 . 所以，原不等式的解為 或或. 5.2.6★★解不等式組： 解析 由得或. 由得. 于是原不等式組的解就是 即 或. 5.2.7★★取何值時(shí)，不等式 無實(shí)數(shù)解？ 解法1 欲使不

7、等式無實(shí)數(shù)解，關(guān)鍵是求出的最小值. 因、的零點(diǎn)分別是、. 當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，有最小值； 當(dāng)時(shí)，，最小值及最大值都是； 當(dāng)時(shí)，，無最小值. 故的最小值為. 欲使不等式無實(shí)數(shù)解，則. 解法2 由，得 ， 故欲使不等式無實(shí)數(shù)解，只需即可. 5.2.8★★若不等式有解，求的取值范圍. 解析1 利用不等式性質(zhì)： ， 又， 可得. 解析2 根據(jù)絕對值的幾何意義，因?yàn)?、分別表示數(shù)軸上點(diǎn)到點(diǎn)和的距離，所以表示數(shù)軸上某點(diǎn)到：和：的距離和.從圖可見，不論在點(diǎn)左邊或者點(diǎn)右邊時(shí)，到、點(diǎn)距離和至少為；當(dāng)在兩點(diǎn)之間時(shí)，到、點(diǎn)距離和為.所以. 評注 解絕對值不等式常用分類討論方法

8、（1）當(dāng)時(shí)，原不等式化為； （2）當(dāng)時(shí)，原不等式化為； （3）當(dāng)時(shí)，原不等式化為. 綜上所述，. 本題中，兩個(gè)絕對值符號(hào)中未知數(shù)的系數(shù)相同，所以我們利用了絕對值的幾何意義. 5.2.9★已知且，求的取值范圍. 解析 整理可得. 因?yàn)椋? ， 即 . （1）當(dāng)時(shí)，，解之得. （2）當(dāng)時(shí)，，解之得. 綜上，的取值范圍為或者. 5.2.10★解不等式. 解析1 因?yàn)? ， 所以 或， 即或者或者. 解析2 考慮函數(shù).注意到對任意實(shí)數(shù)，有.從函數(shù)圖象來看，這個(gè)函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，即只需作出時(shí)的圖象，再把函數(shù)圖象關(guān)于軸作對稱即可. 如圖，可知，原不

9、等式的解為使得圖象在軸上方的的取值集合： 或者或者. 評注 當(dāng)我們從函數(shù)圖象的角度去解不等式時(shí)，有兩點(diǎn)需要引起讀者注意：表示的函數(shù)圖象是在軸正向部分圖象及其與關(guān)于軸翻折；的圖象是把在軸下方的圖象關(guān)于軸翻折后的圖象.由這兩點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合的方法，是比較巧的. 5.2.11★★解不等式. 解析 （1）當(dāng)，即或時(shí)，原不等式變形為 . 解不等式組，得 或. （2）當(dāng)，即時(shí)，原不等式變形為 . 此時(shí)，不等式組無解. 綜上，原不等式的解為 或. （本題從幾何解釋為使的圖象在圖象上方的的取值范圍.如圖.） 5.2.12★★已知，，且 ， 求的最小值和最大值. 解

10、析 解題的關(guān)鍵是把絕對值符號(hào)去掉，必要時(shí)可以分類討論. 因?yàn)?，，所? ，. 所以. 又，故，從而. 當(dāng)時(shí)，有. 因?yàn)?，所以，此時(shí). 當(dāng)時(shí)，有. 同樣，當(dāng)時(shí)，，即. 綜上所述，. 又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以，的最值是，最大值是. 5.2.13★★實(shí)數(shù)、、滿足不等式，，.求證： . 解析1 若、、中有一個(gè)為零時(shí)，設(shè)，則，所以，，故.下面可設(shè)、、均不等于零. （1）當(dāng)、、全為正數(shù)時(shí)，則 ，，， 這不可能. （2）當(dāng)、、為二正一負(fù)時(shí)，不妨設(shè)，，.則由，得，所以. 又有得：，所以，從而 . （3）當(dāng)、、為一正二負(fù)時(shí)，不妨設(shè)，，，于是由，得，所以 . 又有得：，

11、所以，從而 . （4）當(dāng)、、全為負(fù)數(shù)時(shí)，于是由條件得 ，，，所以，所以，矛盾. 綜上所述，得. 解析2 把題設(shè)的個(gè)不等式兩邊平方后相加，得 ， 故 ， 從而 . 5.2.14★★★★實(shí)數(shù)、、滿足，，.求最大的實(shí)數(shù)，使得不等式恒成立. 解析 當(dāng)，時(shí)，則實(shí)數(shù)、、滿足題設(shè)條件，此時(shí). 下面證明：不等式對滿足題設(shè)條件的實(shí)數(shù)、、恒成立.由已知條件知，、、都不等于，且.因?yàn)? ，， 所以. 由根與系數(shù)的關(guān)系知，、是一元二次方程 的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，于是 ， 故 . 所以 . 5.2.15★★★已知 （1）； （2）當(dāng)時(shí)，滿足； （3）當(dāng)時(shí)，有最大值

12、. 求常數(shù)、、. 解析 由（1）知為開口向上的拋物線，由（1）、（3）知 .① 由（2）知 ， ② . ③ 由①、②知 .④ 由③、④得. 故時(shí)，達(dá)到最小值.因此， ，. 由①得. 故 ，，. 5.2.16★★★證明 ， 其中{，，}表示、、這三個(gè)數(shù)中的最大者. 解析 欲證的等式中含有三個(gè)絕對值符號(hào)，且其中一個(gè)在另一個(gè)內(nèi)，要把絕對值去掉似乎較為困難，但等式的另一邊對我們有所提示，如果為、、中的最大者，即證，依次再考慮、是它們中的最大值便可證得. （1）當(dāng)，時(shí)， . （2）當(dāng)，時(shí)， . （3）當(dāng)，時(shí)，因?yàn)? {，}， 所以 . 從而

13、 {，，}. §5.3 一元二次不等式 5.3.1★設(shè)為參數(shù)，解關(guān)于的一元二次不等式 . 解析 分解因式 . （1）若，解為； （2）若，解為； （3）若，原不等式變成，無解. 5.3.2★★設(shè)為參數(shù)，解關(guān)于的一元二次不等式 . 解析 （1）時(shí)，原不等式為，解為. （2）時(shí)，分解因式得 . ①若，則 . （i），即時(shí)，解為. （ii），即時(shí)，解為. （iii），即時(shí)，不等式無解. ②若，則 ， 解為及. 5.3.3★★若一元二次不等式的解是，求不等式的解. 解析1 因一元二次不等式的解是，所以，不等式與等價(jià).即（）與等價(jià).所以 即 故不

14、等式，即，且. 化為，解得，或. 解析2 因一元二次不等式的解是，所以的根是1，2，且. 由韋達(dá)定理，得 故不等式的解是，或. 5.3.4★★★欲使不等式與不等式無公共解，求的取值范圍. 解析 不等式的解是. 不等式 ， 即 . ① （1）當(dāng)時(shí)，不等式為，即，符合題意； （2）當(dāng)，即時(shí)，不等式①之解為，符合題意； （3）當(dāng)，即時(shí)，我們分兩種情況討論： 若，即時(shí)，不等式①之解為，或，不合題意； 若，即時(shí)，不等式①之解為，或，欲使不等式與不等式無公共解，則須，從而. 綜上所述，欲使不等式與不等式無公共解，的取值范圍是 5.3.5★★對一切實(shí)數(shù)，不等式

15、恒成立，求的值. 解析 由于不等式對一切恒成立，故應(yīng)該滿足 即 所以 . 5.3.6★★設(shè)有不等式 ， 試求對于滿足的一切成立的的取值范圍. 解析 令，，則在上能取到的最小值為，最大值為，從而總有 即 所以 或 于是的取值范圍為. 5.3.7★解不等式 . 解析 原不等式可化為 ， 即 . ① 因?yàn)椋寓偈降葍r(jià)于 ， 所以 或. 5.3.8★★解不等式 . 解析 首先，由 得.將原不等式變形為 . 由于上式兩邊均非負(fù)，故兩邊平方后，整理得 ， 所以，即，并且 ， 所以 ， 或. 綜上可得，

16、原不等式的解為. 5.3.9★求不等式的整數(shù)解的個(gè)數(shù). 解析 不等式等價(jià)于不等式組 即 解得或；解得. 故原不等式組的解為或.的整數(shù)解為，3，4，5共四個(gè). 5.3.10★★實(shí)數(shù)、、滿足 . 證明：. 解析 要證，即證 ， 聯(lián)想到一元二次方程根的判別式，進(jìn)而構(gòu)造符合條件的二次函數(shù)，通過對函數(shù)圖象與性質(zhì)的研究使問題得以解決. 設(shè)輔助函數(shù)，令，得函數(shù)值；令，得函數(shù)值. 因?yàn)椋? 這說明，輔助函數(shù)上兩點(diǎn)、分布在軸的兩側(cè)，由此可見拋物線與軸有兩個(gè)交點(diǎn)，也就是說方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根. 因此，故 . 評注 有些數(shù)學(xué)問題，可以借助函數(shù)，利用對函數(shù)圖象與

17、性質(zhì)的研究，將一些抽象的數(shù)量關(guān)系通過函數(shù)圖象形象直觀地反映出來，這種數(shù)形結(jié)合的思想非常重要. 5.3.11★★★滿足下列兩個(gè)條件： （1）對所有正整數(shù)，； （2）存在正整數(shù)，使 的正整數(shù)的個(gè)數(shù)有幾個(gè)？ 解析 先求滿足條件（1）的正整數(shù).由 對所有正整數(shù)都成立，則不小于的最大值，故 . 再求滿足條件（2）的正整數(shù). ， . 由于是正整數(shù)，且大于，故此時(shí)方程的兩根、（均大于），滿足 ， 即，從而，當(dāng)時(shí)，必存在正整數(shù)，使得 . 所以，滿足條件（1）、（2）的正整數(shù)有 （個(gè)）. 5.3.12★★★設(shè)為實(shí)數(shù)，解不等式. 解析 （1）若，由原不等式，得

18、 此為矛盾不等式組，無解. （2）若，則有 由①，得 . 由②，得 ， . 此時(shí)又分兩種情形： 當(dāng)時(shí)，，則不等式①②無解； 當(dāng)時(shí)，，注意到 . 此時(shí)不等式②的解為 . 綜上所述，當(dāng)時(shí)，原不等式才有解，此時(shí)不等式的解集為 . 5.3.13★★★設(shè)，解不等式 .① 解析 因?yàn)椋俚淖蠖朔秦?fù)，因此. 下面分兩種情形討論. （1）時(shí)，①式左右兩邊平方得 ， 整理得 .② 因?yàn)?，所以時(shí)，，②對一切成立.時(shí)，，有實(shí)根，而且兩根的積為，和為非負(fù)數(shù)，所以兩根均為正.②的解為 及 . （2）時(shí)，①式變?yōu)? . ③ ③式兩邊平方整理得 . ④ 因?yàn)?，所以有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，由韋達(dá)定理知，兩根均為負(fù).由于兩根積為，較小的根小于，較大的根大于，所以④的解為 . 綜合（1）、（2），原不等式的解為： 當(dāng)時(shí)， 及 ； 當(dāng)時(shí)， . 18