破解圖形中變幻莫測的陰影

上傳人:沈*** 文檔編號(hào):84399704 上傳時(shí)間:2022-05-03 格式:DOC 頁數(shù):4 大?。?76KB
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1、破解圖形中變幻莫測的“陰影” 朱詠松 (南通市虹橋二中 226006) 近年來的中考數(shù)學(xué)試卷中,圍繞圖形面積而展開的試題漸多起來,并以它奇妙組合與非常變化困擾了不少學(xué)生,也成為學(xué)生心中的一個(gè)“陰影”.今天讓我們走進(jìn)“陰影”,一起來探尋它的破解方法. 一、直接公式法 〖例 1〗如圖,正六邊形與正十二邊形內(nèi)接于同一個(gè)⊙O中,已知外接圓的半徑為2,則陰影部分面積為 . 〖分析〗本圖的陰影很明顯是由六個(gè)全等的等腰三角形所構(gòu)成,只要求出一個(gè)等腰三角形的面積即可.等腰三角形是一個(gè)特殊的幾何圖形,求面積時(shí)通常首選“直接用公式”. 〖解答〗連結(jié)OA、OB、OC,

2、則OC⊥AB. 由圓內(nèi)接正六邊形得等邊△ABO,則∠BAO=60o,AB=OA=2, 在⊙O中,OD⊥AB,則AD=AB=1,由勾股定理得OD=, ∴CD=2-,S△ABC=AB·CD=2-,∴S陰=6S△ABC=12-6. 〖例 2〗如圖,AB是同心圓中大圓的弦,且與小圓相切于C點(diǎn),若AB=8cm,則圖中的陰影部分面積為 . 〖分析〗本題是求一個(gè)圓環(huán)的面積,顯然是用大圓面積減去小圓面積.但題中并沒有給出大、小圓的半徑,只有大圓的弦AB的長,怎么辦呢? 〖解答〗連結(jié)OB,OC,由AB為小圓的切線,∴OC⊥AB, 在大圓中得BC=AB=4,由勾股定理知O

3、B 2 -OC 2=BC 2=16, 由S陰=S大圓-S小圓=πOB 2 - OC 2=π(OB 2 -OC 2)=16π 【小結(jié)】“直接公式法”通常是針對(duì)一些特殊的規(guī)則圖形,且易于直接用公式來表示的問題.但這里也藏著一定的變化,命題者經(jīng)常會(huì)將直接需要的量隱藏在其它條件之中,這就要我們善于探尋這些條件間的聯(lián)系. 二、面積組合法 〖例 3〗在Rt△ABC中,∠ACB=90o,S△ABC =30cm2,分別以AC、BC、AB為直徑所作的圓構(gòu)成如圖所示的圖形,則圖中的陰影部分面積 為 . 〖分析〗本題所示的陰影部分的構(gòu)成顯然是:S陰=S⊙M+S⊙N+S△ABC-S⊙

4、O.但題中只給出了△ABC的面積,沒有△ABC的三邊的具體長度,其中有什么奧妙呢? 〖解答〗由S陰=S⊙M+S⊙N+S△ABC -S⊙O = π[+-]+30 =π+30=30(cm2). 此外,從本題條件分析可知,“陰影部分面積”與“此三角形的具體邊長”沒有什么關(guān)系,只要此三角形面積一定,它的值就是定值.故本題也可自取一組合適的邊長(如AB=5cm,AC=12cm,則BC=13cm),代入上面所列的面積組合中進(jìn)行計(jì)算. 〖例 4〗如圖,⊙Q內(nèi)切與扇形OAB,若扇形OAB的半徑為6cm, 圓心角為60o,則圖中陰影部分的面積為 . 〖分析〗本題所示的陰影部

5、分組合為:S陰=S扇形OAB-S⊙Q.扇形OAB的面積很好解決,⊙Q的面積關(guān)鍵在于半徑,如何來求它的半徑呢? 〖解答〗連結(jié)QC、QD、QE,設(shè)⊙Q的半徑為r. ∵OA、OB切⊙Q與D、E,且∠AOB =60o ∴∠QOE =30o 在Rt△OQE中,∠OEQ =90o,∠QOE =30o ∴OQ =2EQ =2r 由⊙O與⊙Q內(nèi)切于點(diǎn)C ∴OC=OQ+QC 即3 r=6 則r=2 S陰=S扇形OAB-S⊙Q=(cm2). 〖例 5〗 如圖,五邊形ABCDE的邊長都大于2,分別以A、B、C、D、E為圓心作半徑為1的圓,則圖中陰影部分的面積為

6、 . 〖分析〗本題既可以直接看成是五個(gè)陰影扇形面積之和,也可以看成五個(gè)等圓的面積和減去五個(gè)空白扇形面積和.但這五邊形是任意的,我們不知道每個(gè)內(nèi)角的具體度數(shù),怎么辦呢? 〖解答〗因?yàn)槲暹呅蔚膬?nèi)角和為540o, 則這五個(gè)空白扇形的面積之和為:; 所以 S陰 =. 【小結(jié)】“面積組合法”是求陰影部分面積中最常用的一種方法,它既考查了學(xué)生對(duì)常見幾何圖形面積公式的認(rèn)識(shí),又考查了學(xué)生對(duì)幾何圖形的拆解組合能力,還考查了學(xué)生對(duì)求解中未知條件分析應(yīng)變能力.故而這種方法是我們?cè)趯W(xué)習(xí)中要特別關(guān)注的. 三、等積形補(bǔ)法 〖例 6〗如圖,矩形ABCD中,AB=8cm,AD=6cm,以D為圓心,DC為半徑

7、作弧交DA延長線與E,交AB于F,若F點(diǎn)恰為CE的中點(diǎn),則圖中陰影部分的面積為 . 〖分析〗本題這兩塊陰影面積連結(jié)DF后,可以分別用“面積組合法”求出.雖不難,但計(jì)算過程還是有些繁的,有沒有更好的方法呢? 〖解答〗過F點(diǎn)作FG⊥CD于G, 因?yàn)辄c(diǎn)F點(diǎn)恰為CE的中點(diǎn),且FA⊥DE,F(xiàn)G⊥DC, 由圖形的對(duì)稱性可知:圖中E、A、F構(gòu)成的封閉區(qū)域與C、G、F構(gòu) 成的封閉區(qū)域是全等的,所以它們的面積也相等, ∴S陰 =S矩形BCGF=(cm2). 〖例 7〗如圖,⊙O的半徑為6cm,AB是⊙O中的弦,且與半徑相等,OC∥AB,則圖中的陰影部分面積為

8、 . 〖分析〗本題可以把陰影部分拆分為一個(gè)弓形與一個(gè)三角形分別計(jì)算,有沒有更好的選擇呢? 〖解答〗過O作OG⊥AB,過C作CH⊥AB, ∵OC∥AB ∴OG=CH(平行線間的距離處處相等) 由△OAB與△CAB同底等高,得S△OAB =S△CAB ∴S陰 =S扇形OAB=(cm2). 〖例 8〗⊙A、⊙B、⊙C、⊙D是四個(gè)半徑為5cm的等圓,位置如圖所示,則圖中的陰影部分面積為 . 〖分析〗本題陰影部分中的⊙B面積好求,但三個(gè)兩兩外切的圓的中間部分面積計(jì)算起來有些費(fèi)力,能不能不走此路解決問題呢? 〖解答〗如圖,延長AB,CB交⊙B與

9、F、E,則S陰 =S菱形ABCD ∵⊙A、⊙B、⊙C、⊙D的半徑都為5cm,AB=10cm,∠A=60o ∴S陰 =S菱形ABCD =(cm2). 【小結(jié)】“等積形補(bǔ)法”可以看作是一種技巧性解題手段.通過“等積形補(bǔ)”,它能把一些不規(guī)則的,復(fù)雜的圖形變成常用的標(biāo)準(zhǔn)圖形,從而減少了繁雜的計(jì)算,提高了解答的正確率.因?yàn)檫@類問題能夠充分考查學(xué)生對(duì)圖形的辨析能力,思路寬,解題方法多,十分吻合新課程改革的要求,故倍受命題人青睞. 四、單位面積法 〖例 9〗圖中的虛線網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格,四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,若每個(gè)小正方形的面積都為1,則陰影部分面積為 . 〖分析〗

10、正方形網(wǎng)格是這類問題中最常用的一種,這里主要用圖形的切割或外擴(kuò)成矩形進(jìn)行面積組合. 〖解答〗如圖把ABCD外擴(kuò)入一個(gè)矩形之中, 則S陰 =S矩形EFCG-S△EAB-S△BCF-S△CDG-S△DEA . 〖例10〗圖中的虛線網(wǎng)格是正三角形網(wǎng)格,四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上,若每個(gè)小正三角形的面積都為1,則陰影部分面積為 . 〖分析〗正三角形網(wǎng)格是正形網(wǎng)格的一種變形,解題的手法與正方形網(wǎng)格相似,但在組合時(shí)通常沿網(wǎng)格線進(jìn)行切割,一般可擴(kuò)成等腰梯形或平行四邊形. 〖解答〗如圖把ABCD外擴(kuò)入一個(gè)等腰梯形之中, 則S陰 =S梯形AMNP-S△MAB-S△BCN-S△CDN-S△DPA. 【小結(jié)】“單位面積法” 是針對(duì)網(wǎng)格面積問題的一種重要解題手段.這里關(guān)鍵是要充分利用構(gòu)成網(wǎng)格的單位圖形,把要求的陰影圖形依托網(wǎng)格線進(jìn)切割或外擴(kuò),并把所分割出來的圖形與單位圖形行面積對(duì)比,從而解決問題. 以上所介紹的四種方法是處理陰影圖形面積的主要方法.在此要提醒的是,解題時(shí)還需要注意認(rèn)真審題,拾階而上,切不可把簡單問題復(fù)雜化.

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