山東省棗莊市2018中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 聚焦棗莊 專題五 函數(shù)壓軸題試題

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1、 專題五 函數(shù)壓軸題 類型一 動點(diǎn)函數(shù)圖象問題 此類問題一般是通過分析動點(diǎn)在幾何圖形邊上的運(yùn)動情況，確定出有關(guān)動點(diǎn)函數(shù)圖象的變化情況．分析此類問題，首先要明確動點(diǎn)在哪條邊上運(yùn)動，在運(yùn)動過程中引起了哪個量的變化，然后求出在運(yùn)動過程中對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，最后根據(jù)函數(shù)表達(dá)式判別圖象的變化． (2016·濟(jì)南)如圖，在四邊形ABCD中，AB∥CD，∠B＝90°，AB＝AD＝5，BC＝4，M，N，E分別是AB，AD，CB上的點(diǎn)，AM＝CE＝1，AN＝3.點(diǎn)P從點(diǎn)M出發(fā)，以每秒1個單位長度的速度沿折線MB－BE向點(diǎn)E運(yùn)動，同時點(diǎn)Q從點(diǎn)N出發(fā)，以相同的速度沿折線ND－DC－CE向點(diǎn)E運(yùn)動，當(dāng)其中一個

2、點(diǎn)到達(dá)后，另一個點(diǎn)也停止運(yùn)動．設(shè)△APQ的面積為S，運(yùn)動時間為t s，則S與t之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象為(　 　) 【分析】 由點(diǎn)Q從點(diǎn)N出發(fā)，沿折線ND－DC－CE向點(diǎn)E運(yùn)動，確定出點(diǎn)Q分別在ND，DC，CE運(yùn)動時對應(yīng)的t的取值范圍，再根據(jù)t所在的取值范圍分別求出其對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，最后根據(jù)函數(shù)表達(dá)式確定對應(yīng)的函數(shù)圖象． 1．(2017·白銀)如圖1，在邊長為4 cm的正方形ABCD中，點(diǎn)P以每秒2 cm的速度從點(diǎn)A出發(fā)，沿AB→BC的路徑運(yùn)動，到點(diǎn)C停止．過點(diǎn)P作PQ∥BD，PQ與邊AD(或邊CD)交于點(diǎn)Q，PQ的長度y(cm)與點(diǎn)P的運(yùn)動時間x(s)的函數(shù)圖象如

3、圖2所示．當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動2.5 s時，PQ的長是(　　)　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　 圖1　 　　　　　圖2 A．2 cm B．3 cm C．4 cm D．5 cm 2．(2017·葫蘆島)如圖，菱形ABCD的邊長為2，∠A＝60°，點(diǎn)P和點(diǎn)Q分別從點(diǎn)B和點(diǎn)C出發(fā)，沿射線BC向右運(yùn)動，且速度相同，過點(diǎn)Q作QH⊥BD，垂足為H，連接PH.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動的距離為x(0＜x≤2)，△BPH的面積為S，則能反映S與x之間的函數(shù)關(guān)系的圖象大致為 (　　) 　　　　　　　　　　　　　　　 類型二 二次函數(shù)綜合題 二次函數(shù)

4、的綜合題是中考數(shù)學(xué)的必考問題，一般作為壓軸題出現(xiàn)，常與動點(diǎn)、存在點(diǎn)、相似等相結(jié)合，難度較大，是考生失分的重災(zāi)區(qū)． 1．二次函數(shù)動點(diǎn)問題 (2017·濱州)如圖，直線y＝kx＋b(k，b為常數(shù))分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A(－4，0)，B(0，3)，拋物線y＝－x2＋2x＋1與y軸交于點(diǎn)C. (1)求直線y＝kx＋b的函數(shù)表達(dá)式； (2)若點(diǎn)P(x，y)是拋物線y＝－x2＋2x＋1上的任意一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到直線AB的距離為d，求d關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求d取最小值時點(diǎn)P的坐標(biāo)； (3)若點(diǎn)E在拋物線y＝－x2＋2x＋1的對稱軸上移動，點(diǎn)F在直線AB上移動，求CE＋EF的最小值． 【分析

5、】 (1)利用待定系數(shù)法可求得直線表達(dá)式；(2)過P作PH⊥AB于點(diǎn)H，過H作HQ⊥x軸，過P作PQ⊥y軸，兩垂線交于點(diǎn)Q，則可證明△PHQ∽△BAO，設(shè)H(m，m＋3)，利用相似三角形的性質(zhì)可得到d與x的函數(shù)表達(dá)式，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)可求得d取得最小值時的P點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)C點(diǎn)關(guān)于拋物線對稱軸的對稱點(diǎn)為C′，由對稱的性質(zhì)確定出C′點(diǎn)的坐標(biāo)，利用(2)中所求函數(shù)表達(dá)式求得d的值，即可求得CE＋EF的最小值． 解決二次函數(shù)動點(diǎn)問題，首先要明確動點(diǎn)在哪條直線或拋物線上運(yùn)動，運(yùn)動速度是多少，結(jié)合直線或拋物線的表達(dá)式設(shè)出動點(diǎn)的坐標(biāo)或表示出與動點(diǎn)有關(guān)的線段長度，最后結(jié)合題干中與動點(diǎn)

6、有關(guān)的條件進(jìn)行計算． 3．(2017·菏澤)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2＋bx＋1交y軸于點(diǎn)A，交x軸正半軸于點(diǎn)B(4，0)，與過A點(diǎn)的直線相交于另一點(diǎn)D(3，)，過點(diǎn)D作DC⊥x軸，垂足為C. (1)求拋物線的表達(dá)式； (2)點(diǎn)P在線段OC上(不與點(diǎn)O，C重合)，過P作PN⊥x軸，交直線AD于M，交拋物線于點(diǎn)N，連接CM，求△PCM面積的最大值； (3)若P是x軸正半軸上的一動點(diǎn)，設(shè)OP的長為t，是否存在t，使以點(diǎn)M，C，D，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形？若存在，求出t的值；若不存在，請說明理由． 2．二次函數(shù)存在點(diǎn)問題 (20

7、17·蘇州)如圖，二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OB＝OC.點(diǎn)D在函數(shù)圖象上，CD∥x軸，且CD＝2，直線l是拋物線的對稱軸，E是拋物線的頂點(diǎn)． (1)求b，c的值； (2)如圖①，連接BE，線段OC上的點(diǎn)F關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)F′恰好在線段BE上，求點(diǎn)F的坐標(biāo)； (3)如圖②，動點(diǎn)Ρ在線段OB上，過點(diǎn)Ρ作x軸的垂線分別與BC交于點(diǎn)M，與拋物線交于點(diǎn)N.試問：拋物線上是否存在點(diǎn)Q，使得△PQN與△APM的面積相等，且線段ΝQ的長度最??？如果存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；如果不存在，說明理由． 【分析】 (1)由條件可求得拋物線對稱軸，則可求得b的值；

8、由OB＝OC，可用c表示出B點(diǎn)坐標(biāo)，代入拋物線表達(dá)式可求得c的值；(2)可設(shè)F(0，m)，則可表示出F′的坐標(biāo)，由B，E的坐標(biāo)可求得直線BE的表達(dá)式，把F′坐標(biāo)代入直線BE表達(dá)式可得到關(guān)于m的方程，可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(n，0)，可表示出PA，PB，PN的長，作QR⊥PN，垂足為R，則可求得QR的長，用n可表示出Q，R，N的坐標(biāo)，在Rt△QRN中，由勾股定理可得到關(guān)于n的二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)可知其取得最小值時n的值，則可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)． , 解決二次函數(shù)存在點(diǎn)問題，一般先假設(shè)該點(diǎn)存在，根據(jù)該點(diǎn)所在的直線或拋物線的表達(dá)式，設(shè)出該點(diǎn)的坐標(biāo)；然后用該點(diǎn)的坐標(biāo)表示出與該

9、點(diǎn)有關(guān)的線段長或其他點(diǎn)的坐標(biāo)等；最后結(jié)合題干中其他條件列出等式，求出該點(diǎn)的坐標(biāo)，然后判別該點(diǎn)坐標(biāo)是否符合題意，若符合題意，則該點(diǎn)存在，否則該點(diǎn)不存在. 4．(2016·日照)如圖1，拋物線y＝－[(x－2)2＋n]與x軸交于點(diǎn)A(m－2，0)和B(2m＋3，0)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC. (1)求m，n的值； (2)如圖2，點(diǎn)M，P分別為線段BC和線段OB上的動點(diǎn)，連接PM，PC，是否存在這樣的點(diǎn)P，使△PCM為等腰三角形、△PMB為直角三角形同時成立？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 3．二次函數(shù)相似問題 (

10、2017·棗莊)如圖，拋物線y＝－x2＋bx＋c與x軸交于點(diǎn)A和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)B坐標(biāo)為(6，0)，點(diǎn)C坐標(biāo)為(0，6)，點(diǎn)D是拋物線的頂點(diǎn)，過點(diǎn)D作x軸的垂線，垂足為E，連接BD. (1)求拋物線的表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)； (2)點(diǎn)F是拋物線上的動點(diǎn)，當(dāng)∠FBA＝∠BDE時，求點(diǎn)F的坐標(biāo)； (3)若點(diǎn)M是拋物線上的動點(diǎn)，過點(diǎn)M作MN∥x軸與拋物線交于點(diǎn)N，點(diǎn)P在x軸上，點(diǎn)Q在坐標(biāo)平面內(nèi)，以線段MN為對角線作正方形MPNQ，請寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)． 　　　　　　　　　　　　　　　　　 備用圖 【分析】 (1)由B，C的坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求得拋物線表達(dá)式，再

11、求其頂點(diǎn)D即可；(2)過F作FG⊥x軸于點(diǎn)G，可設(shè)出F點(diǎn)坐標(biāo)，利用△FBG∽△BDE，由相似三角形的性質(zhì)可得到關(guān)于F點(diǎn)坐標(biāo)的方程，可求得F點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)由M，N兩點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱，可知點(diǎn)P為對稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q在對稱軸上，可設(shè)出Q點(diǎn)的坐標(biāo)，則可表示出M的坐標(biāo)，代入拋物線表達(dá)式可求得Q點(diǎn)的坐標(biāo)． 二次函數(shù)相似問題常與動點(diǎn)、存在點(diǎn)相結(jié)合，利用動點(diǎn)或存在點(diǎn)的坐標(biāo)表示出與相似三角形有關(guān)的線段長，要注意邊的對應(yīng)有多種可能，對每一種情況都要具體分析討論，然后利用相似三角形的對應(yīng)邊成比例列出方程，通過解方程求得結(jié)果，還要考慮求出的結(jié)果是否符合題意及實(shí)際情況． 5．(2016

12、·濟(jì)南)如圖1，拋物線y＝ax2＋(a＋3)x＋3(a≠0)與x軸交于點(diǎn)A(4，0)，與y軸交于點(diǎn)B.在x軸上有一動點(diǎn)E(m，0)(0

13、QG⊥AB于點(diǎn)G， 當(dāng)0≤t≤2時，點(diǎn)Q在線段ND上． ∵AB∥CD，∠B＝90°， ∴四邊形BCDF是矩形，∴DF＝BC＝4， ∴AF＝＝3，∴DC＝BF＝2， ∴AQ＝AN＋NQ＝3＋t，AP＝AM＋MP＝1＋t. ∵QG∥DF，∴△AQG∽△ADF， ∴＝，即＝，∴QG＝(3＋t)， ∴S＝AP·QG＝×(1＋t)×(3＋t)＝t2＋t＋，且當(dāng)t＝2時，點(diǎn)Q恰好運(yùn)動到點(diǎn)D，S＝6； 當(dāng)2＜t≤4時，點(diǎn)Q在線段DC上， ∴S＝AP·BC＝×(1＋t)×4＝2t＋2； 當(dāng)4＜t≤5時，點(diǎn)P，Q均在BC上運(yùn)動，BP＝CQ＝t－4， ∴PQ＝BC－BP－CQ＝12－2

14、t， ∴S＝AB·PQ＝×5×(12－2t)＝－5t＋30， 且當(dāng)t＝5時，點(diǎn)Q運(yùn)動到點(diǎn)E后停止運(yùn)動，此時S＝5. 綜上所述，S＝ S與t之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象為C或D. ∵t＝2時，S＝6；t＝5時，S＝5，6＞5， ∴S與t之間的函數(shù)關(guān)系的大致圖象為D. 變式訓(xùn)練 1．B　2.A 【例2】 (1)∵y＝kx＋b經(jīng)過A(－4，0)，B(0，3)， ∴解得 ∴直線的函數(shù)表達(dá)式為y＝x＋3. (2)如圖，過點(diǎn)P作PH⊥AB于點(diǎn)H，過點(diǎn)H作x軸的平行線MN，分別過點(diǎn)A，P作MN的垂線段，垂足分別為M，N. 設(shè)H(m，m＋3)，則M(－4，m＋3)， N(x，m＋

15、3)，P(x，－x2＋2x＋1)． ∵PH⊥AB，∴∠PHN＋∠AHM＝90°. ∵AM⊥MN，∴∠MAH＋∠AHM＝90°， ∴∠MAH＝∠PHN. ∵∠AMH＝∠PNH＝90°，∴△AMH∽△HNP. ∵M(jìn)A∥y軸，∴△MAH∽△OBA， ∴△OBA∽△NHP，∴＝＝， ∴＝＝， 整理得d＝x2－x＋， 當(dāng)x＝時，d最小，即P(，)． (3)如圖，作點(diǎn)C關(guān)于直線x＝1的對稱點(diǎn)C′，過點(diǎn)C′作C′F⊥AB于F，交拋物線的對稱軸x＝1于點(diǎn)E，此時CE＋CF的值最小． 根據(jù)對稱性，易知點(diǎn)C′(2，1)． ∵點(diǎn)C′在拋物線上， ∴由(2)得C′F＝×22－2＋＝，

16、即CE＋EF的最小值為. 變式訓(xùn)練 3．解：(1)把點(diǎn)B(4，0)，點(diǎn)D(3，)代入y＝ax2＋bx＋1中， 得解得 ∴拋物線的表達(dá)式為y＝－x2＋x＋1. (2)設(shè)直線AD的表達(dá)式為y＝kx＋b， ∵A(0，1)，D(3，)， ∴解得 ∴直線AD的表達(dá)式為y＝x＋1. 設(shè)P(t，0)，則M(t，t＋1)，∴PM＝t＋1. ∵CD⊥x軸，∴PC＝3－t， ∴S△PCM＝PC·PM＝(3－t)(t＋1) ＝－t2＋t＋＝－(t－)2＋， ∴△PCM面積的最大值是. (3)∵OP＝t，∴點(diǎn)M，N的橫坐標(biāo)為t， 設(shè)M(t，t＋1)，N(t，－t2＋t＋1)， ∴MN

17、＝－t2＋t＋1－t－1＝－t2＋t， CD＝. ∵以點(diǎn)M，C，D，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形， ∴MN＝CD，即－t2＋t＝， 整理得－3t2＋9t－10＝0. ∵Δ＝92－4×3×10＝－39， ∴方程無實(shí)數(shù)根， ∴不存在t，使以點(diǎn)M，C，D，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形． 【例3】 (1)∵CD∥x軸，CD＝2， ∴拋物線對稱軸為直線l：x＝1， ∴－＝1，b＝－2. ∵OB＝OC，C(0，c)，∴B點(diǎn)的坐標(biāo)為(－c，0)， ∴0＝c2＋2c＋c，解得c＝－3或c＝0(舍去)， ∴c＝－3. (2)設(shè)點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，m)． ∵對稱軸為直線l：x＝1，

18、∴點(diǎn)F關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)F的坐標(biāo)為(2，m)． ∵直線BE經(jīng)過點(diǎn)B(3，0)，E(1，－4)， ∴直線BE的表達(dá)式為y＝2x－6. ∵點(diǎn)F在BE上， ∴m＝2×2－6＝－2，即點(diǎn)F的坐標(biāo)為(0，－2)． (3)存在點(diǎn)Q滿足題意． 設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)為(n，0)， 則PA＝n＋1，PB＝PM＝3－n，PN＝－n2＋2n＋3. 如圖，作QR⊥PN，垂足為R， ∵S△PQN＝S△APM， ∴(n＋1)(3－n)＝(－n2＋2n＋3)·QR， ∴QR＝1. ①點(diǎn)Q在直線PN的左側(cè)時，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(n－1，n2－4n)，R點(diǎn)的坐標(biāo)為(n，n2－4n)，N點(diǎn)的坐標(biāo)為(n，n2－2n－3

19、)． 在Rt△QRN中，NQ2＝1＋(2n－3)2， ∴n＝時，NQ取最小值1. 此時Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(，－)． ②點(diǎn)Q在直線PN的右側(cè)時，Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(n＋11，n2－4)．同理，NQ2＝1＋(2n－1)2， ∴n＝時，NQ取最小值1. 此時Q點(diǎn)的坐標(biāo)為(，－)． 綜上所述，滿足題意的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(，－)或(，－)． 變式訓(xùn)練 4．解：(1)∵拋物線的對稱軸是x＝2， ∴m－2＋2m＋3＝4，解得m＝1. ∴A(－1，0), B(5，0)． 把A(－1，0)代入拋物線表達(dá)式， 得－(9＋n)＝0，解得n＝－9. ∴m＝1，n＝－9. (2)假設(shè)點(diǎn)P存在，設(shè)點(diǎn)P(x

20、0，0)(0

21、∵y＝－x2＋2x＋6＝－(x－2)2＋8， ∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，8)． (2)如圖，當(dāng)點(diǎn)F在x軸上方時，過點(diǎn)F作FG⊥x軸于G，連接BF. 設(shè)F點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，－x2＋2x＋6)， ∵∠FBA＝∠BDE，∠FGB＝∠BED＝90°， ∴△FBG∽△BDE，∴＝. ∵點(diǎn)B(6，0)，點(diǎn)D(2，8)， ∴點(diǎn)E(2，0)，BE＝4，DE＝8，OB＝6， ∴＝， 解得x1＝－1，x2＝6(舍去)， ∴點(diǎn)F的坐標(biāo)為(－1，)． 當(dāng)點(diǎn)F在x軸下方時， 同理可得點(diǎn)F的坐標(biāo)為(－3，－)． 綜上可知，滿足條件的點(diǎn)F有兩個：F1(－1，)或F2(－3，－)． (3)設(shè)對角線MN

22、，PQ交于點(diǎn)O′，如圖． ∵點(diǎn)M，N關(guān)于拋物線對稱軸對稱，且四邊形MPNQ為正方形， ∴點(diǎn)P為拋物線對稱軸與x軸的交點(diǎn)，點(diǎn)Q在拋物線對稱軸上． 設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2，2n)，則點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2－n，n)． ∵點(diǎn)M在拋物線y＝－x2＋2x＋6的圖象上， ∴n＝－(2－n)2＋2(2－n)＋6， 化簡得n2＋2n－16＝0， 解得n1＝－1＋，n2＝－1－， ∴滿足條件的點(diǎn)Q有兩個，坐標(biāo)分別為 Q1(2，－2＋2)或Q2(2，－2－2)． 變式訓(xùn)練 5．解：(1)∵點(diǎn)A(4，0)在拋物線y＝ax2＋(a＋3)x＋3上， ∴0＝16a＋4(a＋3)＋3，解得a＝－. ∴

23、拋物線的表達(dá)式是y＝－x2＋x＋3， 令x＝0，得y＝3，∴B(0，3)． 設(shè)直線AB的函數(shù)表達(dá)式是y＝kx＋b， 則解得 故直線AB的函數(shù)表達(dá)式是y＝－x＋3. (2)由E(m，0)， 則N(m，－m＋3)，P(m，－m2＋m＋3)， ∴PN＝－m2＋3m，AE＝4－m，NE＝－m＋3， ∴AN＝＝. ∵∠NEA＝∠NMP，∠ENA＝∠MNP， ∴△ENA∽△MNP，∴＝＝. 代入整理得m2－6m＋8＝0. 解得m＝2或m＝4(舍去)． (3)如圖，在線段OB上取一點(diǎn)C，使OC＝OE′，連接CE′，AC， 由(2)知，m＝2，∴OE′＝OE＝2. ∵OB＝3，∴＝. ∵OC＝OE′，∴＝. ∵∠COE′＝∠E′OB，∴△COE′∽△E′OB， ∴＝＝，∴CE′＝E′B， ∴E′A＋E′B＝E′A＋E′C≥AC， ∴當(dāng)E′恰好在AC上時，E′A＋E′B的值最小，最小值為. 11