重慶南開中學(xué)2021年中考一輪復(fù)習(xí)幾何綜合（一）

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1、幾何綜合（一）（講義） ??課前預(yù)習(xí) 1.?如圖，在梯形ABCD中，AB∥CD，∠B=∠C=90°，點(diǎn)E在BC邊上，AB=3，CD=2，BC=7．若∠AED=90°，則CE=_____． ? 提示：多個直角（一線三等角），考慮三等角模型． 具體操作：∠ABE=∠ECD=∠AED=90°，考慮△ABE∽△ECD． ? ? ? ? ? 2.?如圖，將三角板放在矩形ABCD上，使三角板的一邊恰好經(jīng)過點(diǎn)B，三角板的直角頂點(diǎn)E落在矩形對角線AC上，另一邊交CD于點(diǎn)F．若AB=3，BC=4，則=________． ? 提示：斜直角要放正（關(guān)鍵是與其他直角配合），利用互余轉(zhuǎn)移角后，

2、尋找三角形相似或全等． 具體操作：過點(diǎn)E分別作EM⊥CD于M，EN⊥BC于N，則△EMF∽△ENB． ? ? ? 3.?如圖，將長為4?cm，寬為2?cm的矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)B落在CD邊的中點(diǎn)E處，壓平后得到折痕MN，則線段AM的長為__________． ? 提示：折疊，對稱軸上的點(diǎn)到對應(yīng)點(diǎn)的距離相等． 具體操作：連接BM，ME，則BM=ME，在Rt△BAM和 Rt△MDE中表達(dá)BM2，ME2，利用相等建等式求解． ? ? 4.?如圖，P是等邊三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，連接PA，PB，PC，以BP為邊作∠PBQ=60°，且BQ=BP，連接PQ，CQ．若PA:PB:

3、PC=3:4:5，則∠PQC=________． ? 提示：利用旋轉(zhuǎn)可以重新組合條件．當(dāng)看到等線段共端點(diǎn)時往往會考慮利用旋轉(zhuǎn)思想構(gòu)造全等． 具體操作：由等線段共端點(diǎn)AB=BC，PB=BQ，先考慮△APB和△BQC的旋轉(zhuǎn)關(guān)系，證明△APB≌△CQB后驗(yàn)證，重新組合條件后利用勾股定理逆定理進(jìn)行求解． ? ? ??知識點(diǎn)睛 1.?幾何綜合問題的處理思路 ①標(biāo)注條件，合理轉(zhuǎn)化 ②組合特征，分析結(jié)構(gòu) ③由因?qū)Ч瑘?zhí)果索因 2.?常見的思考角度 ? 3.?常見結(jié)構(gòu)、常用模型 ? ??精講精練 1.?如圖，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD=3，

4、BC=5，將腰DC繞點(diǎn)D逆時針方向旋轉(zhuǎn)90°并縮小，恰好使DE=CD，連接AE，則△ADE的面積是________． ? 2.?如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線y=x上一點(diǎn)P(1，1)，C為y軸上一點(diǎn)，連接PC．線段PC繞點(diǎn)P順時針旋轉(zhuǎn)90°至線段PD，過點(diǎn)D作直線AB⊥x軸，垂足為B，直線AB與直線y=x交于點(diǎn)A，且BD=2AD．若直線CD與直線y=x交于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為__________． ? 3.?如圖，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=3，CD=1，CH⊥BD于H，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，連接OH，則OH=_______． ? ? 4.?如圖，把矩形ABC

5、D沿直線AC折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)E處，連接DE．若DE:AC=3:5，則的值為_________． ? 5.?如圖1，將正方形紙片ABCD對折，使AB與CD重合，折痕為EF；如圖2，展開再折疊一次，使點(diǎn)C落在線段EF上，折痕為BM，BM交EF于O，且△NMO的周長為．如圖3，展開再折疊一次，使點(diǎn)C與點(diǎn)E重合，折痕為GH，點(diǎn)B的對應(yīng)點(diǎn)為P，EP交AB于Q，則△AQE的周長為_______． ? ? ? ? 6.?如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB=，AD=10，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)．將這張紙片依次折疊兩次：第一次折疊紙片使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，如圖2，折痕為MN，連接ME，NE；第二次折

6、疊紙片使點(diǎn)N與點(diǎn)E重合，如圖3，點(diǎn)B落在B′處，折痕為HG，連接HE，則tan∠EHG=_______． ? 圖1??圖2?圖3 ? ? 7.?如圖，矩形ABCD中，BC=2，將矩形ABCD繞點(diǎn)D順時針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)A，C分別落在點(diǎn)A′，C′處，如果點(diǎn)A′，C′，B在同一條直線上，那么tan∠ABA′的值為__________． ????? 8.?如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=30°，將△DCB繞點(diǎn)C順時針旋轉(zhuǎn)60°后，點(diǎn)D的對應(yīng)點(diǎn)恰好與點(diǎn)A重合，得到△ACE．若AB=3，BC=4，則BD=__________． ? ? 9.?如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°

7、，tan∠CBA=，AB=5.將△ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)得到△AB′C′，連接CC′并延長，交AB于點(diǎn)O，交BB′于點(diǎn)F．若CC′=CA，則BF=_____． ? ? 10.?如圖，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，AD是BC邊上的中線，∠ACE=∠BAC，CE交AB于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F．若BC=2，則EF的長為________． ? ? 11.?如圖，在△ABC中，AB=10，∠B=60°，點(diǎn)D，E分別在AB，BC上，且BD=BE=4，將△BDE沿DE所在直線折疊得到△B′DE（點(diǎn)B′在四邊形ADEC內(nèi)），連接AB′，則AB′的長為________． ? 12.?如

8、圖，已知菱形ABCD的邊長為2，∠A=60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AB，AD上，若將△AEF沿直線EF折疊，使得點(diǎn)A恰好落在CD邊的中點(diǎn)G處，則EF=__________． ? 13.?如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，CD的中點(diǎn)，連接AE，BF交于點(diǎn)G，將△BCF沿BF對折，得到△BPF，延長FP交BA的延長線于點(diǎn)Q．下列結(jié)論：①AE=BF； ②AE⊥BF；③tan∠BQP=；④．其中正確的個數(shù)是（????） A．4?B．3?C．2?D．1 ? 【參考答案】 ??課前預(yù)習(xí) 1.?1或6 2.? 3.?cm 4.?90° ??精講精練 1.?2 2.?

9、3.? 4.? 5.?12 6.? 7.? 8.?5 9.? 10.? 11.? 12.? 13.?C 幾何綜合（一）（習(xí)題） ??例題示范 例1：如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD邊的中點(diǎn)，∠EBC的平分線交CD于點(diǎn)F．將△DEF沿EF折疊，點(diǎn)D恰好落在BE上的點(diǎn)M處，延長BC，EF交于點(diǎn)N．有下列四個結(jié)論：①DF=CF；②BF⊥EN；③△BEN是等邊三角形； ④S△BEF=3S△DEF．其中正確結(jié)論的序號是（????） A．①②③?B．①②④?C．②③④?D．①②③④ ? 【思路分析】 1.?標(biāo)注條件，合理轉(zhuǎn)化 對“E是中點(diǎn)

10、，BF是角平分線，△DEF沿EF折疊”進(jìn)行適當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)化標(biāo)注． ? 2.?組合條件，分析結(jié)構(gòu) 多結(jié)論問題，層層推進(jìn)，問與問之間聯(lián)系緊密，一般情況下，從前向后依次推證． ①要證DF=CF，由折疊知DF=MF，所以只需證明CF=MF即可；已知∠BCF=90°，∠FMB=90°，BF是∠MBC的平分線，所以FM=FC=FD，△FBC≌△FBM． ②要證BF⊥EN，就是證∠BFE=90°，由△FBC≌△FBM可以得知，∠BFM=∠CFB，由折疊又知，∠EFD=∠EFM，所以∠BFE=∠BFM+∠MFE=，即BF⊥EN，所以△EBN為等腰三角形． ③若△BEN是等邊三角形，則∠ABE=30°，設(shè)

11、ED=t，則BC=2t，所以BE=3t，sin∠ABE=，所以△BEN不是等邊三角形． ④∵BM=2EM， ∴S△BFM=2S△EFM， ∴S△BFE=3S△EFM， 由折疊知，S△EFM=S△EFD ∴S△BEF=3S△DEF． 所以，正確結(jié)論為①②④，答案為選項(xiàng)B． ? ? ? ? ? ??鞏固練習(xí) 1.?如圖，正方形ABCD邊長為3，連接AC，AE平分∠CAD，交BC的延長線于點(diǎn)E，F(xiàn)A⊥AE，交CB的延長線于點(diǎn)F，則EF的長為___________． ? 第1題圖?????????????????????第2題圖 2.?如圖，折疊矩形ABCD的一邊AD，

12、使點(diǎn)D落在BC邊的點(diǎn)F處，已知折痕AE=cm，且tan∠EFC=，則矩形ABCD的周長為_______cm． 3.?如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別(8，0)，(0，)，C是AB的中點(diǎn)，過C作y軸的垂線，垂足為D．動點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)，沿DC向C勻速運(yùn)動，過點(diǎn)P作x軸的垂線，垂足為E，連接BP，EC．當(dāng)BP所在直線與EC所在直線第一次垂直時，點(diǎn)P的坐標(biāo)為_________． ? 4.?如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，BE平分∠ABC交CD于E，且BE⊥CD，CE:ED=2:1．如果△BEC的面積為2，那么四邊形ABED的面積是__________． ? 5.?如圖，△

13、AOB為等腰三角形，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2，)，底邊OB在x軸上．將△AOB繞點(diǎn)B按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度后得△A′O′B，點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A′在x軸上，則點(diǎn)O′的坐標(biāo)為（????） A．(，) B．(，) ??????? C．(，) D．(，) 6.?如圖，已知正方形ABCD的邊長為5，E在BC邊上運(yùn)動，G是DE的中點(diǎn)，EG繞E順時針旋轉(zhuǎn)90°得EF，當(dāng)CE為（????）時，點(diǎn)A，C，F(xiàn)在一條直線上． A．?B．?C．?D． ? 7.?如圖，正方形ABCD的邊長為6，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AB，AD上，若CE=，且∠ECF=45°，則CF的長為（????） A．?B．?C．?D． ?

14、? 8.?如圖，矩形ABCD中，AB=3，BC=5，點(diǎn)P是BC邊上的一個動點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)B，C都不重合），現(xiàn)將△PCD沿直線PD折疊，使點(diǎn)C落到點(diǎn)F處；過點(diǎn)P作∠BPF的平分線交AB于點(diǎn)E．設(shè)BP=x，BE=y，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式為________． ?? 第8題圖???????????????????第9題圖 9.?如圖，D是等邊三角形ABC邊AB上的一點(diǎn)，且AD:DB=1:2，現(xiàn)將△ABC折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)D重合，折痕為EF，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AC，BC上，則（????） A．??B．????C．?????D． 10.?如圖，在矩形紙片ABCD中，AB=6，BC=10，點(diǎn)E在CD上

15、，將△BCE沿BE折疊，點(diǎn)C恰落在邊AD上的點(diǎn)F處；點(diǎn)G在AF上，將△ABG沿BG折疊，點(diǎn)A恰落在線段BF上的點(diǎn)H處．有下列結(jié)論：①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG； ③；④AG+DF=FG．其中正確的有__________（填寫序號）． ? ? ? ? ? 11.?如圖，在△ABC中，∠A=60°，BM⊥AC于點(diǎn)M，CN⊥AB于點(diǎn)N，P為BC邊的中點(diǎn)，連接PM，PN，MN．有下列四個結(jié)論：①PM=PN；②；③△PMN為等邊三角形；④當(dāng)∠ABC=45°時，．其中正確結(jié)論的序號是_______． ? 12.?如圖，分別以Rt△ABC的斜邊AB、直角邊AC為邊，向△ABC外

16、作等邊三角形ABD和等邊三角形ACE，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，DE與AB交于點(diǎn)G，EF與AC交于點(diǎn)H，∠ACB=90°， ∠BAC=30°．有以下結(jié)論：①EF⊥AC；②四邊形ADFE為菱形；③AD=4AG；④．其中正確結(jié)論的序號為________． ? 第12題圖 ??????????????????第13題圖 13.?如圖，在一張矩形紙片ABCD中，AB=4，BC=8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，BC上，將紙片ABCD沿直線EF折疊，點(diǎn)C落在AD上的一點(diǎn)H處，點(diǎn)D落在點(diǎn)G處，連接CE，CH．有以下四個結(jié)論：①四邊形CFHE是菱形；②CE平分∠DCH； ③線段BF的取值范圍為3≤BF≤4；④當(dāng)點(diǎn)H與

17、點(diǎn)A重合時，EF=．其中正確的有（????） A．1個?B．2個?C．3個?D．4個 ? ??思考小結(jié) 回顧下列角平分線的思考角度，并結(jié)合本講講義預(yù)習(xí)中的題目嘗試自我總結(jié)中點(diǎn)、直角、旋轉(zhuǎn)、折疊的思考角度． 1.?相關(guān)定理 ①角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等； ②到角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個角的角平分線上； ③在下圖中，成立． ? 2.?組合搭配 ①等腰三角形“三線合一” ②平行線+角平分線，出現(xiàn)等腰三角形 ③圓中有角平分線，遇角考慮弧（由弧找角，由角看?。? 3.?模型結(jié)構(gòu) ①三個小結(jié)論 兩條內(nèi)角平分線相交??????內(nèi)角平分線與外角平分線相交 ???????? ?????????????????? 兩條外角平分線相交 ? ②二倍角（構(gòu)造角平分線） 【參考答案】 ??鞏固練習(xí) 1.? 2.?36 3.? 4.? 5.?C 6.?C 7.?A 8.? 9.?B 10.?①③④ 11.?①②③④ 12.?①③④ 13.?C 20 / 20