蘇科版八年級上冊數(shù)學(xué) 第四章數(shù)學(xué)活動(dòng) 有關(guān)“實(shí)數(shù)”的課題研究教案

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1、數(shù)學(xué)活動(dòng)——有關(guān)實(shí)數(shù)的課題研究 一、 教學(xué)內(nèi)容： 九年制義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)教科書 《數(shù)學(xué)》蘇科版八年級上冊第四單元《實(shí)數(shù)》中的數(shù)學(xué)活動(dòng)——有關(guān)實(shí)數(shù)的課題研究 二、 創(chuàng)新之處： 課前——通過希沃平臺(tái)，給學(xué)生在線布置預(yù)習(xí)作業(yè)，預(yù)習(xí)更便捷，以學(xué)定教，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計(jì)；課中——用希沃授課助手的拍照功能及時(shí)上傳照片反饋學(xué)生的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，并通過帶有游戲性質(zhì)的討論、互動(dòng)、搶答等方式，讓更多的學(xué)生參與課堂互動(dòng)，學(xué)生的解答及時(shí)反饋，老師現(xiàn)場了解薄弱點(diǎn)，當(dāng)堂鞏固。還運(yùn)用班級優(yōu)化大師管理學(xué)生，給與不同的評價(jià)，激發(fā)學(xué)生的好勝心和創(chuàng)造力，后臺(tái)生成的數(shù)據(jù)自動(dòng)記錄、歸檔和計(jì)算，形成大數(shù)據(jù)的分析報(bào)表可反

2、饋給家長和老師，十分高效。課后——為不同層次學(xué)生布置針對性的作業(yè)，反饋細(xì)致，批改作業(yè)高效，有效提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)的能力。 三、 教材分析： 本節(jié)課的內(nèi)容具有承上啟下的作用。學(xué)生在這之前已經(jīng)學(xué)習(xí)了有理數(shù)和勾股定理及其逆定理，初步積累了一定的數(shù)學(xué)活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)，在此基礎(chǔ)上，教材的數(shù)學(xué)活動(dòng)課題研究鼓勵(lì)學(xué)生動(dòng)手實(shí)踐、合作研究、小組談?wù)?，通過親自實(shí)驗(yàn)，體驗(yàn)獲得數(shù)學(xué)知識(shí)的樂趣，教材給學(xué)生自主探索留有很大的空間，學(xué)生可以充分發(fā)揮想象。 四、 學(xué)情分析： 學(xué)生在七年級通過生活中的事例已經(jīng)經(jīng)歷了數(shù)系的第一次擴(kuò)充，從非負(fù)有理數(shù)到負(fù)有理數(shù)的擴(kuò)充，從而擴(kuò)充到整個(gè)有理數(shù)范圍，本節(jié)從有理數(shù)擴(kuò)充無理數(shù)，學(xué)生理解起來有一定的

3、難度，可以從實(shí)例出發(fā)，引入無理數(shù)。而且通過第三章《勾股定理》的學(xué)習(xí)，學(xué)生已經(jīng)掌握勾股定理及其逆定理，并能運(yùn)用它們解決簡單的問題，為引入“新數(shù)”奠定了基礎(chǔ)．同時(shí)學(xué)生對于剪切這樣的活動(dòng)已經(jīng)具備基本的能力，并且比較感興趣，也開闊了學(xué)生的發(fā)散思維能力。 五、教學(xué)目標(biāo)： 1、知識(shí)與技能：通過設(shè)計(jì)的一系列的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生感受無理數(shù)產(chǎn)生的實(shí)際背景和引入的必要性；能判斷給出的數(shù)是否為有理數(shù)（無理數(shù)），并能說出理由。 2、過程與方法：通過拼圖等一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生感受無理數(shù)存在的必要性和合理性，培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐能力和團(tuán)隊(duì)合作精神；通過回顧有理數(shù)的有關(guān)知識(shí)，讓學(xué)生能正確地進(jìn)行推理和判斷，識(shí)別某些數(shù)是否

4、為有理數(shù)，訓(xùn)練他們的思維判斷能力。 3、情感態(tài)度與價(jià)值觀：激勵(lì)學(xué)生積極參與數(shù)學(xué)活動(dòng)，提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的熱情；引導(dǎo)學(xué)生充分進(jìn)行交流、討論與探索等數(shù)學(xué)活動(dòng)，培養(yǎng)他們合作與鉆研精神；了解有關(guān)無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的知識(shí)，鼓勵(lì)學(xué)生大膽質(zhì)疑，培養(yǎng)他們?yōu)檎胬矶鴬^斗的精神。 六、教學(xué)重難點(diǎn)及突破： 重點(diǎn)：讓學(xué)生經(jīng)歷無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的過程，感受生活中確實(shí)存在著不同于有理數(shù)的數(shù)；讓學(xué)生理解無理數(shù)的概念，并學(xué)會(huì)判斷一個(gè)數(shù)是否為有理數(shù)（無理數(shù)）。 難點(diǎn)：把兩個(gè)邊長為1的正方形拼成一個(gè)大的正方形的動(dòng)手操作過程，用逐次逼近法估算無理數(shù)的過程，判斷一個(gè)數(shù)是否為有理數(shù)（無理數(shù)）。 教學(xué)突破：通過設(shè)計(jì)一系列數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生逐步感受非有理

5、數(shù)——構(gòu)造非有理數(shù)——估算無理數(shù)，有效分解了本節(jié)課的重難點(diǎn)，讓學(xué)生經(jīng)歷無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的過程，感受生活中確實(shí)存在著不同于有理數(shù)的數(shù)。 七、 教學(xué)方法： 引導(dǎo)探究法——教師引導(dǎo)，主要由學(xué)生分組討論得出結(jié)果.。 八、教學(xué)過程： 8.1實(shí)驗(yàn)活動(dòng)探究一：拼正方形之合二為一 如圖1是兩個(gè)邊長為1的正方形，你能通過剪一剪、拼 一拼，設(shè)法得到一個(gè)大的正方形嗎？請同學(xué)們利用兩張正方 形紙片完成探索。探索完成后請思考以下三個(gè)問題。 （1）設(shè)大正方形的邊長為a,則a滿足什么條件？ （2）a可能是整數(shù)嗎？請說出你的理由； （3）a可能是分?jǐn)?shù)嗎？請說出你的理由。 實(shí)驗(yàn)探究報(bào)告一樣例 圖1 如圖1是兩個(gè)

6、邊長為1的正方形，你能通過剪一剪、拼一拼，設(shè)法得到一個(gè)大的正方形嗎？請將你的探索得到的拼圖畫在下方。 1 1 1 1 （1）設(shè)大正方形的邊長為a,則a滿足的條件是___________； （3）a可能是分?jǐn)?shù)嗎？請說明你的理由。 （2）a可能是整數(shù)嗎？請說明你的理由。 實(shí)驗(yàn)結(jié)論： 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)流程： Step1 首先讓學(xué)生拿出課前準(zhǔn)備好的兩個(gè)邊長為1的正 方形紙片和剪刀，獨(dú)立思考之后，動(dòng)手剪一剪，拼一拼，設(shè)法得到一個(gè)面積為2的正方形.然后再小組交流、討論，形成共識(shí)并對拼圖結(jié)果進(jìn)行展示，學(xué)生的做法可能有多種如圖2所示。 圖2 、Step2通過

7、問題（1）讓學(xué)生得出a滿足條件a2 = 2,然后通過問題（2）適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對整數(shù)的平方如12 = 1, 22 = 4,???進(jìn)行觀察，得出結(jié)論：a應(yīng)在1和2之間，所以a不可能是整數(shù)(也可以利用拼圖結(jié)果中三角形三邊之間的關(guān)系說明1 < a <2進(jìn)而說明a不可能是整數(shù))，緊接著利用問題(3)繼續(xù)追問并適時(shí)引導(dǎo)學(xué)生對分?jǐn)?shù)的平方如 ，???進(jìn)行觀察，得出結(jié)論：兩個(gè)相同的最簡分?jǐn)?shù)的乘積仍然是分?jǐn)?shù)，所以a不可能是分?jǐn)?shù)。 Step3 通過以上三問發(fā)現(xiàn)歸納出實(shí)驗(yàn)結(jié)論：任何整數(shù)的平方還是整數(shù)，任何最簡分?jǐn)?shù)的平方還是一個(gè)分?jǐn)?shù)。因此，a 既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，即a不是有理數(shù)。 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)意圖引導(dǎo)學(xué)生通過動(dòng)手拼圖

8、、觀察、計(jì)算、思考、交流，感受無理數(shù)發(fā)現(xiàn)的過程，感知生活中存在著不同于有理數(shù)的數(shù)，即無理數(shù)。 8.2實(shí)驗(yàn)探究二：尋找非有理數(shù) 1、如圖3，請你計(jì)算以直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積是多少?設(shè)該正方形的邊長為b，則b應(yīng)滿足什么條件?b是有理數(shù)嗎? 2、如圖4是由16個(gè)邊長為1的小正方形拼成的，任意連接這些小正方形的若干個(gè)頂點(diǎn)，可以得到一些線段，試分別找出兩條長度是有理數(shù)的線段和三條長度不是有理數(shù)的線段。 2b 21 22 圖3 b 圖4 2.如圖是由16個(gè)邊長為1的小正方形拼成的，任

9、意連接這些小正方形的若干個(gè)頂點(diǎn)，可以得到一些線段，你能找出三條長度不是有理數(shù)的線段嗎？ 1.（1）如圖3，以直角三角形的斜邊為邊的 正方形的面積是________； （2）設(shè)正方形的邊長為b，則b應(yīng)滿足條件______________； （3）b是有理數(shù)嗎？__________。 實(shí)驗(yàn)研究報(bào)告二樣例 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)流程 Step1首先利用問題1讓學(xué)生借助勾股定理得出以直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積是5，該正方形的邊長b應(yīng)滿足條件b2 = 5,然后引導(dǎo)學(xué)生根據(jù)實(shí)驗(yàn)探究一的分析方法進(jìn)行小組合作交流、討論，得出2

10、三邊關(guān)系得到)，從而得出b不是有理數(shù)的結(jié)論。 Step2然后利用問題2引導(dǎo)學(xué)生在方格紙上獨(dú)立思考構(gòu)造直角三角形，借助勾股定理尋找不是有理數(shù)的線段，再小組交流、討論，達(dá)成共識(shí)后對部分同學(xué)的結(jié)果進(jìn)行展示。 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)意圖進(jìn)一步豐富無理數(shù)的實(shí)際背景，以幾何圖形為載體，借助勾股定理讓學(xué)生親歷無理數(shù)的尋找過程，體會(huì)到無理數(shù)在現(xiàn)實(shí)生活中大量存在，同時(shí)增添知識(shí)的趣味性，提髙學(xué)生的學(xué)習(xí)積極性。 8.3實(shí)驗(yàn)探究三：感受非有理數(shù) 1、 請同學(xué)們把表示成小數(shù)的形式，觀察其小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎？ 2、 請同學(xué)們再自行寫兩個(gè)分?jǐn)?shù)，并將它化為小數(shù)的形式，觀察其小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字，是否仍具有問題1中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律

11、？ 實(shí)驗(yàn)探究報(bào)告三樣例 1.請同學(xué)們把表示成小數(shù)的形式，觀察其小數(shù)點(diǎn)后的數(shù)字，你有什么發(fā)現(xiàn)嗎? 3=___,，，， 我的發(fā)現(xiàn)： 我的發(fā)現(xiàn)： 2.請同學(xué)們再自行寫兩個(gè)分?jǐn)?shù)，并將它化為小數(shù)的形式，觀察其小數(shù)點(diǎn)的數(shù)字，是否仍具有問題1中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律？ _____=_____________；_____=______________. 結(jié)論： 獲取新知： 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)流程 Step1首先讓學(xué)生把問題1中提供的幾個(gè)有理數(shù)化為小數(shù)形式，引導(dǎo)學(xué)生觀察這幾個(gè)小數(shù)的特征，得出這幾個(gè)有理數(shù)可以化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形式。 St

12、ep2然后利用問題2讓學(xué)生自行構(gòu)造分?jǐn)?shù)，并化為小數(shù)形式，通過觀察發(fā)現(xiàn)其仍具有問題1中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律后，再小組交流討論，讓學(xué)生感受到不同的分?jǐn)?shù)都能化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)的形式。從而明確有理數(shù)都可以化為有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)也都可以寫成分?jǐn)?shù)的形式。從而得出結(jié)論：有理數(shù)總可以用有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)表示。反過來，任何有限小數(shù) 或無限循環(huán)小數(shù)也都是有理數(shù)。讓學(xué)生在腦海中建立有理數(shù) 與“有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)”的對應(yīng)關(guān)系。 Step3最后通過獲取新知“無限不循環(huán)小數(shù)叫無理數(shù). 例如我們十分熟悉的圓周率 Π= 3.14159265...就是一個(gè)無限不循環(huán)小數(shù)，因此

13、它是個(gè)無理數(shù)自然就引出了無理數(shù)的概念。 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)意圖 通過讓學(xué)生動(dòng)手計(jì)算、觀察歸納、合作交流，把不同的有理數(shù)轉(zhuǎn)化成小數(shù)，進(jìn)而總結(jié)出有理數(shù)都可以化成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，從而得出無限不循環(huán)小數(shù)不是有理數(shù)，因?yàn)樗鼈兓怀烧麛?shù)或分?jǐn)?shù)，也就不是有理數(shù)，從而引出新知——無理數(shù)的概念。 8.4實(shí)驗(yàn)探究四：構(gòu)造無理數(shù) 1、 兩人一組，合作進(jìn)行擲十面體骰子實(shí)驗(yàn):一人負(fù)責(zé)擲骰子，另一人負(fù)責(zé)記錄骰子擲出的點(diǎn)數(shù)。將第一次擲出的點(diǎn)數(shù)作為整數(shù)位，其后擲出的點(diǎn)數(shù)依次寫在小數(shù)位，即可寫出 一個(gè)不斷延伸的小數(shù)。請將你的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)填寫在實(shí)驗(yàn)記錄表中。如果骰子不斷的擲下去，那么將會(huì)得到一個(gè)無限小數(shù)，那么這個(gè)無限小數(shù)有何特

14、點(diǎn)？它是無理數(shù)嗎？ 2、請觀察無限小數(shù)0.585885888588885 ???（其構(gòu)造方法為，相鄰兩個(gè)5之間的8的個(gè)數(shù)逐次加1），那么這個(gè)無限小數(shù)有何特點(diǎn)？它是無理數(shù)嗎？你能根據(jù)類似方法構(gòu)造一個(gè)這樣的數(shù)嗎？ 實(shí)驗(yàn)探究報(bào)告四樣例 1.兩人一組，合作進(jìn)行擲十面骰子實(shí)驗(yàn)：一人負(fù)責(zé)擲骰子，另一人負(fù)責(zé)記錄骰子擲出的點(diǎn)數(shù)，將第一次擲出的點(diǎn)數(shù)記為整數(shù)位，其后擲出的點(diǎn)數(shù)依次寫在小數(shù)位，即可寫出一個(gè)不斷延續(xù)的小數(shù)。 實(shí)驗(yàn)記錄表（建議拋擲20次）

15、 如果骰子不斷地?cái)S下去，那么將會(huì)得到一個(gè)無線小數(shù)，那么這個(gè)小數(shù)有何特點(diǎn)？它是無理數(shù)嗎？ 你能根據(jù)類似方法構(gòu)造一個(gè)這樣的數(shù)嗎？ 2.請觀察無限小數(shù)0.585885888588885 ???（其構(gòu)造方法為相鄰兩個(gè)5之間的 8個(gè)數(shù)逐次加1），那么這個(gè)無限小數(shù)有何特點(diǎn)？它是無理數(shù)嗎？ 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)流程 Step1首先讓學(xué)生兩人一組，合作進(jìn)行擲十面體骰子實(shí)驗(yàn)，讓學(xué)生親身感受擲出的點(diǎn)數(shù)是沒有任何規(guī)律可循的，如果骰子不斷的擲下去，那么將會(huì)得到一個(gè)無限小數(shù)，而這樣的小數(shù)是不循環(huán)的，從而得出

16、結(jié)論：通過這種方式構(gòu)造的數(shù)是一個(gè)無理數(shù).通過這個(gè)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)使學(xué)生經(jīng)歷無理數(shù)的構(gòu)造過程，加深對無理數(shù)無限不循環(huán)這一特征的認(rèn)識(shí)。 Step2讓學(xué)生通過觀察無限小數(shù)0.585885888588885 ???（其構(gòu)造方法為，相鄰兩個(gè)5之間的8的個(gè)數(shù)逐次加1）讓學(xué)生明確，雖然這類小數(shù)的數(shù)字有規(guī)律可循，但卻不是循環(huán)的，從而也是無理數(shù)。最后激勵(lì)學(xué)生利用這種方法去構(gòu)造一個(gè)無理數(shù)，使其更加全面的認(rèn)識(shí)無理數(shù)的概念。 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)意圖 通過讓學(xué)生擲骰子寫小時(shí)，構(gòu)造像0.58588588 ???這樣的小數(shù)，體會(huì)無限不循環(huán)小數(shù)是真實(shí)存在的，而且按照以上兩種方法很容易就可以構(gòu)造出來。讓學(xué)生通過這個(gè)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)更加全面的認(rèn)識(shí)無

17、理數(shù)的概念。 8.5實(shí)驗(yàn)探究五：估算無理數(shù)的近似值 為了探索出面積為2的正方形的邊長a的值究竟是多 少，小明利用Excel軟件的計(jì)算功能進(jìn)行了一系列的探索，他的探索過程如下: 1

18、1.69 1.96 2.25 2.56 2.89 3.24 3.61 與2比較 < < < < > > > > > 表1 從表1可知1.42= 1.96<2,1.52= 2.25> 2,所以，1.4 < a < 1.5。即a的十分位上的數(shù)字是4。 1.4

19、4 1.45 1.46 1.47 1.48 1.49 a2 1.9881 2.0164 2.0449 2.0736 2.1025 2.1316 2.1609 2.1904 2.2201 與2比較 < < < < > > > > > 表2 從表2可知 1.412 = 1.9881 < 2，1.422 = 2.016 > 2,所以，1.41

20、 1

21、 實(shí)驗(yàn)報(bào)告樣例如下表4所示： 班級 姓名 學(xué)號 實(shí)驗(yàn)課題 成績 估計(jì)面積為5的正方形的邊長b的值 面積為5的正方形的邊長b介于____與_____之間，其整數(shù)位是_______。 2. 表4.1——計(jì)算b的十分位上的數(shù)字 __

22、 表4.2——計(jì)算b的百分位上的數(shù)字 __

23、__________________ 5. 表4.4——計(jì)算b的萬分位上的數(shù)字 __

24、 Step2給學(xué)生演示如何利用Excel軟件的計(jì)算功能快速地進(jìn)行計(jì)算。 Step3指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行實(shí)驗(yàn)，并完成實(shí)驗(yàn)報(bào)告。 實(shí)驗(yàn)設(shè)計(jì)意圖通過利用逐次逼近法對面積為2的正方形的邊長a這一無理數(shù)的值進(jìn)行估算讓學(xué)生體會(huì)無限逼近的數(shù)學(xué)思想。讓學(xué)生明白當(dāng)用“逐次逼近法”來解決一個(gè)數(shù)學(xué)問題時(shí)，首先從一個(gè)與該問題的實(shí)質(zhì)內(nèi)容有著本質(zhì)聯(lián)系的較大范圍開始進(jìn)行解決，再逐步縮小范圍，逐步逼近，以致最后達(dá)到問題所要求的解。最后通過讓學(xué)生進(jìn)行上機(jī)實(shí)驗(yàn)求解面積為5的正方形的邊長6的近似值這一實(shí)踐活動(dòng)，加深學(xué)生對無限逼近的數(shù)學(xué)思想理解。 3.小結(jié)與思考： 本文通過設(shè)計(jì)一系列的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，旨在吸引學(xué)生自己動(dòng)手實(shí)驗(yàn)、觀察發(fā)現(xiàn)

25、、猜想驗(yàn)證，合作交流，在已有的對有理數(shù)的認(rèn)知結(jié)構(gòu)上去發(fā)現(xiàn)新知識(shí)無理數(shù)，探索無理數(shù)的特征，在實(shí)驗(yàn)中讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生過程，尋找數(shù)學(xué)問題的 規(guī)律，以期達(dá)到提髙學(xué)生探究、發(fā)現(xiàn)、思考、分析、歸納及創(chuàng)新思維的能力的目的。 八、 教學(xué)探討與反思： · 本節(jié)課借助尋找正方形邊長這一“現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)例”，讓學(xué)生通過估計(jì)、借助計(jì)算器進(jìn)行探索、討論等途徑，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣，體會(huì)無限逼近的數(shù)學(xué)思想，得到無理數(shù)的概念；可能在教學(xué)實(shí)施過程中，對基礎(chǔ)較薄弱的學(xué)生和班級，這一探索過程所需時(shí)間較長，會(huì)影響后面環(huán)節(jié)的進(jìn)行，但感知過程是學(xué)生理解無理數(shù)這一抽象概念所必需的，所以絕對不能淡化。讓學(xué)生在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中能將抽象的知識(shí)形象具體化，復(fù)雜知識(shí)體系化.同時(shí)引導(dǎo)學(xué)生回顧舊知、探索新知，形成一定的數(shù)學(xué)探究能力，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的分類和歸納的思想，為今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。但對概念的理解掌握一些同學(xué)還不很到位，只能在以后的教學(xué)過程中不斷的加深。 8 / 8