山東省諸城市桃林鎮(zhèn)中考數(shù)學(xué) 第31章 歸納法復(fù)習(xí)題（無答案）

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1、 第31章 歸納法 31．1 觀察下列數(shù)列：，，，……，那么第n個等式的一般表達式是 ． 31．2 在一列數(shù)，，，，，，…中，從哪一個數(shù)開始，1與每個數(shù)之差都小于？ 31．3 一列數(shù)是按以下條件確定的：第一個是3，第二個是6，第三個是18，以后每一個數(shù)是前面所有數(shù)的和的2倍，則第六個數(shù)等于 ，從這列數(shù)的第 個數(shù)開始，每個都大于2007． 31．4 依次排列4個數(shù)：2，11，8，9．對相鄰的兩個數(shù)，都用右邊的數(shù)減去左邊的數(shù)，所得之差排在這兩個數(shù)之間得到一串新的數(shù)：2，9，11，－3，8，1，

2、9．這稱為一次操作．第二次操作后得到一個新數(shù)串2，7，9，2，11，－14，－3，11，8，－7，1，8，9．這樣下去，第100次操作后得到新數(shù)串的所有數(shù)的和是多少？ 31．5 （1）判斷下列各式是否成立，你認為成立的請在括號內(nèi)打“勾”，不成立的打“叉”． ①（ ）； ②（ ）； ③（ ）； ④（ ）． （2）你判斷完以上各題之后，發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？請用含有n的式子將規(guī)律表示出來，并注明n的取值范圍． （3）請證明你所寫式子的正確性． 31．6 觀察圖中規(guī)律，從上向下數(shù)，第n層（n為正整數(shù)）所有圓圈內(nèi)的數(shù)之和是

3、 ． 1 2 2 4 4 4 4 8 8 8 8 8 8 8 8 31.7　如圖所示，用同樣大小的正三角形，向下逐次拼接出更大的正三角形．其中最小的三角形頂點的個數(shù)(重合的頂點只計一次)依次為：3，6，10，15，21，…．問：這列數(shù)中的第9個是多少？ 31.8　如圖所示，將邊長為1的正方形二等分，再將正方形的一半二等分，又將這一半的一半二等分，這樣繼續(xù)下去．展開你想象的翅膀，從這個過程中你能得到一些什么樣的結(jié)論？ 31.9　如下數(shù)表由從1開始的連續(xù)自然數(shù)寫成，并且每

4、行最右邊的一個數(shù)都是平方數(shù)，則表中第10行所寫出的各數(shù)的和等于＿＿＿＿． 31.10　已知某個三角形數(shù)陣，在同一行中，從第3個數(shù)開始，每一個數(shù)都是它前兩個數(shù)的和；在同一列中，從第3行開始，每一個數(shù)都是它上面兩個數(shù)的和，如下圖： 其中，有連續(xù)四行的第一個數(shù)依次為a、b、c、x．若a、b、c為已知，求x． 31.11　數(shù) 稱為三角形數(shù)． (1)如果t是三角形數(shù)，求證：9t＋1也是三角形數(shù)． (2)找出一對不同于整數(shù)對(9，1)的整數(shù)對(a，b)，使at＋b是三角形數(shù)，其中t是三角形數(shù)． 31.12　一

5、列自然數(shù)0，1，2，3，…，2005，…，2500，第一個數(shù)是0，從第二個數(shù)開始，每一個都比它前一個大1，最后一個數(shù)是2500．現(xiàn)在將這列自然數(shù)排成右圖數(shù)表，規(guī)定：橫排為行，豎排為列．問：在數(shù)表中，2009位于第幾行和第幾列？ 31.13　在8×8方格網(wǎng)的每個小方格內(nèi)各有一個正數(shù)，這些正數(shù)滿足： (1)每一行從左起第2列開始，每個格子中的數(shù)與其左邊格子中的數(shù)之差都相同． (2)每一列從第2行開始，每個格子中的數(shù)都是其上面格子中的數(shù)的q倍． 在下圖標出的三個數(shù)的情形下，主對角線上的8個數(shù)之和是多少？

6、 31.14　一家機密文件碎紙公司有許多雇員，這些雇員在輸送帶前排成一列，分別編號為1，2，3，…．老板接到將一份文件撕碎的任務(wù)，他把這份文件撕成5份后交給第1號雇員．每當?shù)趎號雇員接到前手傳來的一疊紙時，都從中取n塊，把每塊再分厲5塊，然后再傳給第n＋1號雇員．若第k號雇員接到前手傳來的總塊數(shù)少于2006塊，但傳給下一位的總塊數(shù)超過2006塊，請問：k是多少？ 31.15　整數(shù)a、b、c表示三角形三邊的長，其中a≤b≤c，試問：當b＝n(n是正整數(shù))時，這樣的三角形有幾個？ 31.16　桌面上有1張正方形紙片，每次允許你從桌面上拿起1張紙片，沿著某條直線把它剪

7、成2塊，然后放回桌面，如此繼續(xù)下去．請問：至少需要剪多少刀，才能得到100個20邊形？并對你的結(jié)論加以說明． 31．17　一個直角三角形的三邊長都是正整數(shù)，這樣的直角三角形稱為整數(shù)勾股形，其三邊的值叫作勾股弦三數(shù)組．下面給出一些勾股數(shù)組(勾、股、弦)：(3，4，5)；(5，12，13)；(7，24，25)；(8，15，17)；(20，21，29)；(360，319，481)；(2400，1679，2929)，… 觀察這些勾股弦三數(shù)組，請你歸納一個猜想，并加以證明． 31.18　設(shè)k是自然數(shù)，試求滿足不等式 ① 的整數(shù)解的組數(shù)． 31.19　第一次操作，在圓上兩

8、個不同的點處分別寫上數(shù)4和3；第二次操作，在數(shù)字3和4將圓周分成的兩條弧的中點處分別寫上3與4的和；第三次操作，在四個四分之一圓弧的中點處分別寫上每條弧的兩端點上的數(shù)之和；……．如圖所示，每次都在由數(shù)字劃分出的圓弧的中點處分別寫上這條弧的兩端點上的兩個數(shù)的和． (1)操作了10次后，圓周上的所有數(shù)的和是＿＿＿． (2)20次操作后圓周上的所有數(shù)的和與22次操作后圓周上的所有數(shù)的和的比是＿＿＿． 31.20　一條直徑將圓周分成兩個半圓，在每個分點標上質(zhì)數(shù)p；第二次將兩個半圓周的每一個分成兩個相等的圓周，在新產(chǎn)生的分點標上相鄰兩數(shù)的和的；第三次將四個圓周的

9、每一個分成兩個相等的圓周，在新產(chǎn)生的分點標上其相鄰兩數(shù)和；第四次將八個圓周的每一個分成兩個相等的圓周，在新產(chǎn)生的分點標上其相鄰兩數(shù)和的．如此進行了n次，最后，圓周上所有數(shù)字之和為17170．求n和p的值各是多少？ 31.21 一個七邊形棋盤如圖所示，7個頂點順次從0到6編號，稱為7個格子．一枚棋放在0格，現(xiàn)在依逆時針方向移動這枚棋子，且每次移動1，2，…，n格．試證明：不論移動多少次，總有三個格子從不停留棋子． 31.22　圓周上放有N枚棋子，其中，B點的一枚棋子緊鄰A點的棋子，如圖所示．小洪首先取走B點處的一枚棋子，然后順時針每隔1枚棋子拿走2

10、枚棋子，連續(xù)轉(zhuǎn)了10周，9次越過A．第10次將要越過A處棋子取走其他棋子時，小洪發(fā)現(xiàn)圓周上僅余20多枚棋子．已知N是14的倍數(shù)，請幫助小洪計算一下圓周上還有多少枚棋子？ 31．23　有一無窮小數(shù)A＝，其中(i＝1，2，…)是數(shù)字，并且a1是奇數(shù)，a2是偶數(shù)，a3等于a1＋a2的個位數(shù)，a4等于a2＋a3的個位數(shù)，…，是(n＝1，2，…)的個位數(shù)，試證：A是有理數(shù)． 31．24　是否對一切自然數(shù)n，數(shù)n2＋n＋41都是質(zhì)數(shù)？ 31．25　17世紀費馬觀察如下的事實： 當n＝0時，＝3是個質(zhì)數(shù)； 當n＝1時，＝5是個質(zhì)數(shù)； 當n＝2時，＝17是個質(zhì)數(shù)； 當n＝3時，＝257是個質(zhì)數(shù)； 當n＝4時，＝65537是個質(zhì)數(shù)； 由上述5個事實，費馬得出一個猜想：“當n取非負整數(shù)時，是一個質(zhì)數(shù)．”請你判斷費馬的猜想是否正確． 8