《雙曲線的定義及其標準方程》說課教案
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1、 ?雙曲線的定義及其標準方程?說課教案 姜萍 各位專家,各位老師: 大家好!我叫姜萍,來自于牡丹江市第一高級中學(xué)。很快樂能在這里和大家進行交流。 我說課的題目是?雙曲線的定義及其標準方程?,內(nèi)容選自于北師大版?高中數(shù)學(xué)實驗教材?高二下冊第九章第二單元第一小節(jié),課時安排為兩課時,本課為第一課時。下面我將從教材分析與處理、教學(xué)方法與手段、教學(xué)過程與設(shè)計、教學(xué)設(shè)計想法說明四大方面來闡述我的教學(xué)設(shè)想。 一、教材分析與處理 〔一〕教材的地位與作用 學(xué)生初步認識圓錐曲線是從橢圓開始的,雙曲線的學(xué)習(xí)是對其研究內(nèi)容的進一步深化和
2、提高。如果雙曲線研究的透徹、清楚,那么拋物線的學(xué)習(xí)就會順理成章。所以說本節(jié)課的作用就是縱向承接橢圓定義和標準方程的研究,橫向為雙曲線的簡單性質(zhì)的學(xué)習(xí)打下根底。 〔二〕學(xué)生狀況分析 學(xué)生在學(xué)習(xí)本節(jié)課之前,已掌握了橢圓的定義和標準方程,也曾經(jīng)嘗試過探究式的學(xué)習(xí)方式,所以說從知識和學(xué)習(xí)方式上來說學(xué)生已具備了自行探索和推導(dǎo)方程的根底。另外,高二學(xué)生思維活潑,敢于表現(xiàn)自己,不喜歡被動地接受別人現(xiàn)成的觀點,但同時也缺乏發(fā)現(xiàn)問題和提出問題的意識。 根據(jù)以上對教材和學(xué)生的分析,考慮到學(xué)生已有的認知規(guī)律,我希望學(xué)生能到達以下三個教學(xué)目標。 〔三〕教學(xué)目標 1、知識與技能
3、:理解雙曲線的定義并能獨立推導(dǎo)標準方程; 2、過程與方法:通過定義及標準方程的挖掘與探究 ,使學(xué)生進一步體驗類比、數(shù)形結(jié)合等思想方法的運用,提高學(xué)生的觀察與探究能力; 3、情感態(tài)度與價值觀:通過教師指導(dǎo)下的學(xué)生交流探索活動,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,培養(yǎng)學(xué)生用聯(lián)系的觀點認識問題。 〔四〕教學(xué)重點、難點 依據(jù)教學(xué)目標,根據(jù)學(xué)生的認知規(guī)律,確定本節(jié)課的重點為理解和掌握雙曲線的定義及其標準方程。難點為雙曲線標準方程的推導(dǎo)。 〔五〕教材處理 我對教學(xué)內(nèi)容作了一點調(diào)整:教材中是借用細繩畫出的雙曲線圖形,而我改用幾何畫板畫出雙 曲線圖形。因為相比之下,幾何畫板更為形象直觀。通過幾何畫板,學(xué)
4、生不僅可看到雙曲線形成的 過程,而且較易看出橢圓與雙曲線的聯(lián)系和區(qū)別。 二、教學(xué)方法與教學(xué)手段 〔一〕教學(xué)方法 著名數(shù)學(xué)家波利亞認為:“學(xué)習(xí)任何東西最好的途徑是自己去發(fā)現(xiàn)。〞雙曲線的定義和標準方程 與橢圓很類似,學(xué)生已經(jīng)有了一些學(xué)習(xí)橢圓的經(jīng)驗,所以本節(jié)課我采用了“啟發(fā)探究〞式的教學(xué)方 式,重點突出以下兩點: 1、以類比思維作為教學(xué)的主線 2、以自主探究作為學(xué)生的學(xué)習(xí)方式 〔二〕教學(xué)手段 采用多媒體輔助教學(xué),表達在用幾何畫板畫雙曲線。但不是單純用動畫給學(xué)生看,而是通過動畫啟發(fā)引導(dǎo)學(xué)生進行思考,調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性。 三、教學(xué)過程與設(shè)計 為到達本節(jié)課的教學(xué)目標,更好地突出重
5、點,分散難點,我將教學(xué)過程分為四個階段。 (一) 知識引入---- 知識回憶、觀察動畫、概括定義 在課的開始我設(shè)置了這樣幾個問題,以幫助學(xué)生進行知識回憶: 1、橢圓的第一定義是什么?定義中哪些字非常關(guān)鍵? 2、橢圓的標準方程是什么? 3、如何判斷焦點位置?a、b、c是何種關(guān)系? 通過回憶,既檢測了學(xué)生對前面知識的掌握情況,同時又為下面雙曲線的學(xué)習(xí)做好鋪墊。之后, 告訴學(xué)生:今天要學(xué)習(xí)一種新的曲線。翻開幾何畫板,首先通過動畫讓學(xué)生再一次回憶橢圓的生成過 程,然后改變圖中的條件,將距離變大,動畫生成一種新的曲線,學(xué)生易看出該曲線為雙曲線。 雙曲線的定義其實就是動點所滿足的關(guān)系,那
6、么雙曲線的定義是什么?也就是動點所滿足的關(guān)系是什 么?這個問題可讓學(xué)生進行探究。 解決這個問題有兩個難點:一是距離的運算關(guān)系的得出;二是運算關(guān)系的簡化。在探究中,學(xué)生 類比橢圓會想到動點到兩定點的距離差為定值,會認為這個定值必是正值,而會無視距離差為負值的 情況,其實這只能得到雙曲線的一支。對于這種情況,我會采取啟發(fā)引導(dǎo),把P從一支移到另一支, 然后讓學(xué)生再次思考自己得到的關(guān)系是否正確。在引導(dǎo)下,學(xué)生會想到動點到兩定點的距離差為正值 或正值的相反數(shù)。但這個關(guān)系能不能加以簡化?學(xué)生這個時候會聯(lián)想到可利用絕對值進行簡化。這樣 就得到了動點所滿足的較為精煉的關(guān)系,也就是得到了雙曲線的定
7、義。 這一設(shè)計讓學(xué)生先形象直觀地看到橢圓與雙曲線的形成過程,在此根底上,再通過教師的引導(dǎo), 學(xué)生就可在觀察思考中一步一步地由感性認識上升到理性認識,最終得到雙曲線定義,從而培養(yǎng)了學(xué) 生的觀察能力及概括能力。另外,這一設(shè)計也在形的方面實現(xiàn)了橢圓與雙曲線的比擬,也為下面雙曲 線定義的挖掘及兩種曲線的比照打下根底。 隨著雙曲線定義的得出,教學(xué)進入第二階段---知識探索 〔二〕 知識探索---- 定義的挖掘、標準方程的推導(dǎo)、方程的比照 1、定義的挖掘 在這一環(huán)節(jié)中,我們要認識到定義中的絕對值和兩點間距離與常數(shù)的大小關(guān)系二者對曲線的影響。 首先,我設(shè)置了這樣兩個問題: 〔1〕類比橢圓
8、尋找雙曲線定義中的關(guān)鍵字; 〔2〕假設(shè)分別去掉這幾個關(guān)鍵字曲線會發(fā)生怎樣變化? 然后讓學(xué)生帶著問題進行合作探究,教師可適當引導(dǎo),對于學(xué)生難以理解的地方適時給予幫助指導(dǎo)。 雖然學(xué)生學(xué)習(xí)橢圓定義時也接觸過類似問題,但雙曲線較為復(fù)雜,比方 :增加了“絕對值〞等等。學(xué)生要獨立完成會較為困難,所以采取合作探究。這個過程既可以加深學(xué)生對定義的理解,又讓可學(xué)生在相互交流中互相啟發(fā)、鼓勵、共同進步提高,從而培養(yǎng)學(xué)生的表達能力和協(xié)作能力。 在得出結(jié)論后,我又為學(xué)生提供了以下題目: 請說出以下方程對應(yīng)曲線的名稱 〔3〕 | 〔4〕 〔5〕 〔6〕 這
9、些題目由淺入深,前面兩題學(xué)生可由雙曲線定義直接認識到動點的幾何含義,后四題需根據(jù)兩點間距離公式及橢圓雙曲線定義間接認識到動點的幾何含義。這樣設(shè)置有了過渡,學(xué)生不會覺得跨度很大,處理起來比擬順手。通過這些題的練習(xí)可以加深學(xué)生對定義的理解,更重要的這些題目就是學(xué)生對自己研究結(jié)果的應(yīng)用。讓學(xué)生體驗到應(yīng)用自己探究果實的喜悅,對學(xué)生來說是一種鼓勵,一舉兩得。 2、 標準方程的推導(dǎo) 這一環(huán)節(jié)是本節(jié)課的難點,為了突破它,我設(shè)置了這樣幾個問題讓其貫穿推導(dǎo)過程以將難點分 解: 〔1〕回憶橢圓標準方程的推導(dǎo)步驟及方法; 〔2〕類比橢圓試著推導(dǎo)雙曲線的標準方程; 〔3〕換元處理與橢圓有沒有區(qū)別? 〔4
10、〕猜證雙曲線焦點在 y軸上的標準方程。 然后讓學(xué)生獨立完成推導(dǎo)過程。這樣設(shè)置的目的是考慮到由定義求方程,其實就是求軌跡方程的問題,并且雙曲線的標準方程推導(dǎo)過程與橢圓十分類似,學(xué)生有能力獨立完成。但在化簡根式時由于運算量較大,學(xué)生可能會出現(xiàn)一些運算錯誤。另外,變形時絕大多數(shù)學(xué)生會想到先移項再平方,少局部學(xué)生會直接平方。假設(shè)直接平方,就會出現(xiàn)4次方,較為復(fù)雜。如果在實際教學(xué)中,有學(xué)生提出這種做法,我會讓讓大家參與分析討論,看看哪種做法更為簡便。以讓學(xué)生認識到今后在變形時要考慮清楚不要盲目去做。整個這個推導(dǎo)過程,不僅提高了學(xué)生的變形能力、運算能力,而且也提高學(xué)生的分析問題和解決問題的能力。 3、
11、方程的比照 此時,學(xué)生接觸的方程已比擬多,很容易混淆,有必要加以比照。 我引導(dǎo)學(xué)生進行以下兩組比照: 〔1〕雙曲線方程的兩種形式的比照; 〔2〕橢圓方程與雙曲線方程的比照。 比照時會讓學(xué)生注意方程結(jié)構(gòu)的區(qū)別和聯(lián)系,比方說:到底是平方差還是平方和。另外,還要注意橢圓方程和雙曲線方程都涉及到的三個量a、b、c它們的區(qū)別和聯(lián)系。比照后,學(xué)生可初步的分清四個標準方程及知道如何判斷a、b 、c。之后,我又準備了這樣一組題,以檢測學(xué)生對四個方程的掌握程度。請說出以下方程所表示曲線的焦點位置及a、 b 、c的值: 〔三〕知識應(yīng)用----例題與穩(wěn)固練習(xí) 1、例題: 首先,我為
12、學(xué)生準備了兩道例題,例題可由學(xué)生講解,教師指導(dǎo)補充。 例1、雙曲線焦點的坐標為 ,雙曲線上一點P到的距離的差的絕對值等于6,求雙曲線的標準方程。 這道題學(xué)生可直接利用定義求標準方程,也可以按求軌跡方程的方法求標準方程,學(xué)生不會出現(xiàn)太大問題。但是要向?qū)W生指明,如果某種軌跡適合某種曲線的定義,就不必再用列方程求解,只要利用定義求出常規(guī)待定函數(shù)即可。 例2、雙曲線的焦點在y 軸上,并且雙曲線上兩點的坐標為〔3,-4,〔 ,求雙曲線的標準方程。 這道題可采用待定系數(shù)法求標準方程。此題中雙曲線焦點在y軸上,學(xué)生在求解過程中很可能會無視這個條件,易將方程設(shè)成焦點在x軸的。教師可及時加以強調(diào),讓學(xué)生
13、注意審題,以培養(yǎng)學(xué)生緊密的思維和嚴謹?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度。設(shè)置兩道題是考慮到他們都來源于教材,而且緊緊圍繞雙曲線的定義和標準方程,題目典型也有梯度,可使學(xué)生初步掌握定義及標準方程的應(yīng)用。 2、穩(wěn)固練習(xí) 練習(xí)是學(xué)習(xí)活動中不可缺少的環(huán)節(jié),通過練習(xí)可穩(wěn)固對知識的理解,在這一環(huán)節(jié)我為學(xué)生準備了三道練習(xí)題。 〔1〕雙曲線的實軸長為6,焦距為10,那么該雙曲線的標準方程為〔 〕 A、 B、 C、或 D、 或 第〔1〕題是求焦點不確定的雙曲線標準方程,學(xué)生易無視焦點在y軸的情況,通過此題的練習(xí)可以提醒學(xué)生考慮問題要全面。 〔2〕 方程表示雙曲線,
14、求m取值范圍。 第〔2〕題限制條件為m+2 和m+1同號,即二者乘積大于0,學(xué)生易認為二者均大于0,而無視了均小于0的情況,因此會丟解,所以通過這道題的練習(xí)會提醒學(xué)生考慮問題要認真、全面,同時又可加深學(xué)生對定義及標準方程的理解。 〔3〕相距2km的兩個哨所A,B都聽到遠處傳來的炮彈爆炸聲,當時的聲速為330m\s,在A哨所聽到爆炸聲的時間比在B處遲4s。試判斷爆炸點在什么上,并求出曲線的方程。 第〔3〕題是從生活中提煉出的數(shù)學(xué)問題,可以加強學(xué)生的應(yīng)用能力及應(yīng)用意識,以讓學(xué)生感悟到數(shù)學(xué)是源于生活,效勞于生活的辨證唯物主義觀點。 〔四〕知識小結(jié)----知識總結(jié)與布置作業(yè) 1、知識總結(jié):
15、 〔1〕雙曲線的定義 〔與橢圓的區(qū)別〕 〔2〕標準方程 〔兩種形式〕 〔3〕焦點位置的判斷 〔與橢圓的區(qū)別〕 〔4〕a 、b、 c的關(guān)系〔與橢圓的區(qū)別〕〔片〕 在課的尾聲,我讓學(xué)生對本節(jié)課進行了總結(jié)。目的是幫助他們認清這節(jié)課的知識結(jié)構(gòu), 培養(yǎng)他們的歸納總結(jié)能力。 2、作業(yè): (1) 用表格形式整理雙曲線與橢圓的區(qū)別和聯(lián)系 (2) 142頁第1、2題 (3) 〔選做〕M是雙曲線上一點,是雙曲線的焦點, ,求的面積。假設(shè)使雙曲線的方程和角度任意變化,你能得出一般性的結(jié)論? 教學(xué)內(nèi)涵是不局限于課堂的,為了幫助學(xué)
16、生課下能夠繼續(xù)探索和研究,我設(shè)置了幾組不同層次的作業(yè),以幫助學(xué)生穩(wěn)固對定義和標準方程的理解,同時可全面照顧到不同層次的學(xué)生,激發(fā)他們的能動性。 雙曲線的定義及其標準方程 一、 雙曲線的定義 三 例1: 定義的挖掘 二、 雙曲線的標準方程 例2 1、 推導(dǎo): 2、 比照: 板書設(shè)計 這樣的板書設(shè)計目的是為了突出這節(jié)課的主要內(nèi)容和重點,幫助學(xué)生理清思緒,起到提綱挈領(lǐng)的作用。 四、教學(xué)設(shè)計的想法說明: 我在教學(xué)過程
17、設(shè)計方面注重了三點: 〔一〕教學(xué)過程的著力點放在了如何激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)動機,培養(yǎng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣上,這是喚醒學(xué)生主體認識的關(guān)鍵。 〔二〕教學(xué)過程的重點放在了培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新精神和實踐能力上,而把握重點的關(guān)鍵是如何選擇好創(chuàng)新精神、實踐能力與課堂教學(xué)的結(jié)合點,這個結(jié)合點從學(xué)科來說,就是以科學(xué)知識為載體,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維方法;從教師來說就是“思路、教路、學(xué)路〞三者有機結(jié)合的教學(xué)過程設(shè)計,及其在課堂中的藝術(shù)展現(xiàn);從學(xué)生來說,就是親歷、體驗、探究、思考和創(chuàng)造性的解決問題的過程,從而在過程中獲得逐步開展。 〔三〕教學(xué)過程的根本點放在了夯實根底知識和訓(xùn)練根本技能上,根底知識的教學(xué)注重了層次性、針對性。
18、 我在教學(xué)理念方面注重了四點: 第一是能動性:師生互動、生生互動,學(xué)生主動參與研究過程。 第二是開放性:教學(xué)過程中關(guān)注每個學(xué)生的個性開展,尊重每個學(xué)生開展的特殊需要,學(xué)生的思維開放。 第三是生成性:在教學(xué)過程中,學(xué)生的認識和體驗不斷加深,創(chuàng)造性的火花不斷進發(fā),學(xué)生的思維資源被開發(fā)出來,充分利用。 第四是注重了學(xué)生學(xué)習(xí)方式的轉(zhuǎn)變:既注重了研究性學(xué)習(xí),又注重了接受性學(xué)習(xí),教師不把結(jié)論告訴學(xué)生,而是學(xué)生自己在教師指導(dǎo)下自主地發(fā)現(xiàn)問題、探究問題獲得結(jié)論,從而解決問題。 以上就是我對這節(jié)課的全部認識,我的說課到此結(jié)束,謝謝! 教學(xué)過程 一.問題情境
19、1.情境: 我們知道,橢圓上的點到兩個定點的距離的和等于常數(shù).當焦點在 軸上時,橢圓的標準方程為 . 2.問題: 雙曲線上的點到兩個定點距離的差的絕對值等于常數(shù),那么,雙曲線的標準方程是什么形式呢? 二.學(xué)生活動 設(shè)雙曲線的焦距為 ,雙曲線上任意一點到焦點 , 的距離的差的絕對值等于常數(shù) . 以 , 所在直線為 軸,線段 的垂直平 分線為 軸,建立直角坐標系 〔如圖〕,那么 , 的坐標分別為 . 設(shè) 為雙曲線上任意義點,根據(jù)雙曲線定義知 ,即 .化簡,得 . ∵ ,∴令 ,得 ,兩邊除以 ,得 . 由上述過程可知,雙曲線上的點的坐標 都滿足上面這個方程,并
20、且滿足上面這個方程的點 都在的雙曲線上. 三.建構(gòu)數(shù)學(xué) 雙曲線的標準方程: 焦點在 軸上的雙曲線的標準方程: , 焦點在 軸上的雙曲線的標準方程: 其中 思考:怎樣推導(dǎo)出焦點在 軸上的雙曲線標準方程? 說明:〔1〕雙曲線的標準方程是與選擇的坐標系有關(guān)的,當且僅中選擇對稱軸為坐標軸時有其標準形式. 〔2〕兩個標準方程的區(qū)別: 與 的系數(shù)符號決定了焦點所在的坐標軸,當 系數(shù)為正時焦點在 軸上,當 的系數(shù)為正時焦點在 軸上,而與分母的大小無關(guān). 〔3〕以坐標軸為對稱軸的雙曲線可用方程 表示. 四.數(shù)學(xué)運用 1.例題: 例1.雙曲線的兩個焦點分別為 ,雙曲線上一點 到 , 的距離
21、的差的絕對值等于 ,求雙曲線的標準方程. 解 由題意,可設(shè)雙曲線的標準方程為 . 因為 ,所以 因而所求雙曲線的標準方程為 . [變式]將條件中絕對值去掉,求雙曲線的標準方程. 例2.求適合以下條件的雙曲線的標準方程: 〔1〕 ,焦點在 軸上; 〔2〕 ,經(jīng)過點 ,焦點在 軸上. 解〔1〕依題意 ,且焦點在 軸上,所以雙曲線方程為 〔2〕焦點在 軸上的雙曲線方程可設(shè)為 ,由 ,且經(jīng)過點 ,可得 解得 .因此,所求雙曲線的方程為 . [變式]上題可不明確焦點所在的坐標軸. 例3. 兩地相距 ,一炮彈在某處爆炸,在 處聽到爆炸聲的時間比在 處遲 ,設(shè)聲速為 .〔1〕爆炸點在什么曲線上?〔2〕求這條曲線的方程. 解 〔1〕設(shè) 為爆炸點,由題意得 .因為爆炸點離 點比離 點距離更遠,所以爆炸點在以 為焦點且距 較近的雙曲線的一支上.〔如圖〕 〔2〕如右圖,以直線 為 軸,線段 的垂直平分線為 軸建立直角坐標系 .設(shè) 為曲線上一點.由 ,得 .由 ,得 .∴ . ∵ ,∴ . 因此,所求曲線的方程為 . 五.回憶小結(jié): 1.雙曲線的標準方程; 2.用定義和待定系數(shù)法求雙曲線的方程.
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