浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)學(xué)思想與開放探索問題 第39講 開放與探索型問題講解篇
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1、 第39講 開放與探索型問題 內(nèi)容 特性 所謂開放題,即為答案不唯一的問題,其主要特征是答案的多樣性和多層次性. 解題 策略 從總體上看,解開放型題時,通過觀察、比較、分析、綜合及猜想,應(yīng)盡可能地放開思維,大膽猜想,仔細論證,充分運用已學(xué)過的數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法,經(jīng)過歸納、類比、聯(lián)想等推理的手段,得出正確的結(jié)論.從方法上看,一般以分類討論及反演推理等方法較為常見. 基本 方法 (1)條件開放型問題:從結(jié)論出發(fā),執(zhí)果索因,逆向推理,逐步探求結(jié)論成立的條件或把可能產(chǎn)生結(jié)論的條件一一列出,逐個分析; (2)結(jié)論開放型問題:從剖析題意入手,充分捕捉題設(shè)信息,通過由因
2、導(dǎo)果,順向推理或聯(lián)想類比、猜測等,從而獲得所求的結(jié)論; (3)條件和結(jié)論都開放型:此類問題沒有明確的條件和結(jié)論,并且符合條件的結(jié)論具有多樣性,需將已知的信息集中進行分析,探索問題成立所必須具備的條件或特定的條件應(yīng)該有什么結(jié)論,通過這一思維活動得出事物內(nèi)在聯(lián)系,從而把握事物的整體性和一般性. 類型一 條件開放與探索型問題 (1)四邊形ABCD中,對角線AC、BD相交于點O,給出下列四個條件: ①AD∥BC;②AD=BC;③OA=OC;④OB=OD從中任選兩個條件,能使四邊形ABCD為平行四邊形的選法有( ) A.3種 B.4種
3、 C.5種 D.6種 【解后感悟】判斷一個四邊形是平行四邊形的基本依據(jù)是:平行四邊形的定義及其判定定理.解答此類題的關(guān)鍵是要突破思維定勢的障礙,運用發(fā)散思維,多方思考,探究問題在不同條件下的結(jié)論,挖掘它的內(nèi)在聯(lián)系,向“縱、橫、深、廣”拓展,從而尋找出添加的條件. (2)(2016·河北)如圖,∠AOB=120°,OP平分∠AOB,且OP=2.若點M,N分別在OA,OB上,且△PMN為等邊三角形,則滿足上述條件的△PMN有( ) A.1個 B.2個 C.3個 D.3個以上 【解后感悟】本題運用等邊
4、三角形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)等知識的開放性問題,解題的關(guān)鍵是正確添加輔助線,構(gòu)造全等三角形. 1.(1)請舉反例說明“對于任意實數(shù)x,x2+5x+5的值總是正數(shù)”是假命題,你舉的反例是x= (寫出一個x的值即可). (2)(2015·無錫)某商場在“五一”期間舉行促銷活動,根據(jù)顧客按商品標價一次性購物總額,規(guī)定相應(yīng)的優(yōu)惠方法:①如果不超過500元,則不予優(yōu)惠;②如果超過500元,但不超過800元,則按購物總額給予8折優(yōu)惠;③如果超過800元,則其中800元給予8折優(yōu)惠,超過800元的部分給予6折優(yōu)惠.促銷期間,小紅和她母親分別看中一件商品,若
5、各自單獨付款,則應(yīng)分別付款480元和520元;若合并付款,則她們總共只需付款 元. 類型二 結(jié)論開放與探索型問題 (2016·紹興)如果將四根木條首尾相連,在相連處用螺釘連接,就能構(gòu)成一個平面圖形. (1)若固定三根木條AB,BC,AD不動,AB=AD=2cm,BC=5cm,如圖,量得第四根木條CD=5cm,判斷此時∠B與∠D是否相等,并說明理由; (2)若固定一根木條AB不動,AB=2cm,量得木條CD=5cm,如果木條AD,BC的長度不變,當點D移到BA的延長線上時,點C也在BA的延長線上;當點C移到AB的延長線上時,點A、C、D能構(gòu)成周長為30cm的三角形,求出木
6、條AD,BC的長度. 【解后感悟】此題是動態(tài)開放探究型問題,通過畫圖轉(zhuǎn)化為所求的圖形,利用全等三角形、二元一次方程組和三角形三邊關(guān)系解決問題. 2. (2015·麗水)如圖,在方格紙中,線段a,b,c,d的端點在格點上,通過平移其中兩條線段,使得和第三條線段首尾相接組成三角形,則能組成三角形的不同平移方法有( ) A.3種 B.6種 C.8種 D.12種 3.(2015·臺州)關(guān)于x的方程mx2+x-m+1=0,有以下三個結(jié)論:①當m=0時,方程只有一個實數(shù)解;②
7、當m≠0時,方程有兩個不等的實數(shù)解;③無論m取何值,方程都有一個負數(shù)解,其中正確的是 (填序號). 類型三 條件、結(jié)論開放與探索型問題 (2015·紹興)正方形ABCD和正方形AEFG有公共頂點A,將正方形AEFG繞點A按順時針方向旋轉(zhuǎn),記旋轉(zhuǎn)角∠DAG=α,其中0°≤α≤180°,連結(jié)DF,BF,如圖. (1)若α=0°,則DF=BF,請加以證明; (2)試畫一個圖形(即反例),說明(1)中命題的逆命題是假命題; (3)對于(1)中命題的逆命題,如果能補充一個條件后能使該逆命題為真命題,請直接寫出你認為需要補充的一個條件,不必說明理由.
8、 【解后感悟】本題通過條件的改變尋求新的結(jié)論,從特殊到一般來探求問題即α=0°的情況,再逆命題的探究,以及補充一個條件后能使該命題為真命題的探究.逐步畫圖來解決問題. 4.(2015·南京)如圖,AB∥CD,點E,F(xiàn)分別在AB,CD上,連結(jié)EF,∠AEF、∠CFE的平分線交于點G,∠BEF、∠DFE的平分線交于點H. (1)求證:四邊形EGFH是矩形; (2)小明在完成(1)的證明后繼續(xù)進行了探索,過G作MN∥EF,分別交AB,CD于點M,N,過H作PQ∥EF,分別交AB,CD于點P,Q,得到四邊形MNQP,此時,他猜想四邊形MNQP是菱形,請在下列框中補全他的證
9、明思路. 由AB∥CD,MN∥EF,PQ∥EF,易證四邊形MNQP是平行四邊形,要證MNQP是菱形,只要證MN=NQ,由已知條件________,MN∥EF--故只要證GM=FQ,即證△MGE≌△QFH,易證________,________,故只要證∠MGE=∠QFH,易證∠MGE=∠GEF,∠QFH=∠EFH,________,即可得證. 類型四 過程開放與探索型問題 (1)如圖,正方形ABCD中,點E,F(xiàn)分別在邊BC,CD上,∠EAF=45°,延長CD到點G,使DG=BE,連結(jié)EF,AG.求證:EF=FG. (2)如圖,等腰直角三角形ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,
10、點M,N在邊BC上,且∠MAN=45°,若BM=1,CN=3,求MN的長. 【解后感悟】 本題是幾何綜合題,通過觀察、比較、分析、綜合及猜想,運用正方形、全等三角形、等腰直角三角形以及勾股定理等幾何圖形的性質(zhì),經(jīng)過歸納、類比、聯(lián)想等推理的手段,得出正確的結(jié)論. 5.(2015·河南)如圖,AB是半圓O的直徑,點P是半圓上不與點A、B重合的一個動點,延長BP到點C,使PC=PB,D是AC的中點,連結(jié)PD、PO. (1)求證:△CDP≌△POB; (2)填空: ①若AB=4,則四邊形AOPD的最大面積為________________
11、____; ②連結(jié)OD,當∠PBA的度數(shù)為____________________時,四邊形BPDO是菱形. 6.(2017·紹興)已知△ABC,AB=AC,D為直線BC上一點,E為直線AC上一點,AD=AE,設(shè)∠BAD=α,∠CDE=β. (1)如圖,若點D在線段BC上,點E在線段AC上. ①如果∠ABC=60°,∠ADE=70°,那么α=____________________°,β=____________________°;②求α,β之間的關(guān)系式; (2)是否存在不同于以上②中的α,β之間的關(guān)系式?若存在,求出這個關(guān)系式(求出一個即可);若不存在,說明理由
12、 【經(jīng)驗積累題】 (2015·麗水)如圖,在矩形ABCD中,E為CD的中點,F(xiàn)為BE上的一點,連結(jié)CF并延長交AB于點M,MN⊥CM交射線AD于點N. (1)當F為BE中點時,求證:AM=CE; (2)若==2,求的值; (3)若==n,當n為何值時,MN∥BE? 【方法與對策】本題是幾何綜合題,運用了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、矩形的性質(zhì)、同角的余角相等、三角形外角的性質(zhì)等知識,本題三問的解題思路是一致的;即通過特殊到一般,利用全等三角形或相似三角形解決問題,這是中考常見的壓軸題型. 【考慮欠周,容易漏解】 在一服
13、裝廠里有大量形狀為等腰三角形的邊角布料(如圖).現(xiàn)找出其中的一種,測得∠C=90°,AC=BC=4,現(xiàn)要從這種三角形中剪出一種扇形,做成不同形狀的玩具,使扇形的邊緣半徑恰好都在△ABC的邊上,且扇形與△ABC的其他邊相切.請設(shè)計出所有可能符合題意的方案示意圖,并求出扇形的半徑(只要求畫出圖形,并直接寫出扇形半徑). 參考答案 第39講 開放與探索型問題 【例題精析】 例1 (1)①②組合可根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形;③④組合可根據(jù)對角線互相平分的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形;①③可證明△ADO≌△CBO,進而
14、得到AD=CB,可利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形;①④可證明△ADO≌△CBO,進而得到AD=CB,可利用一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形判定出四邊形ABCD為平行四邊形;故選:B. (2)如圖在OA、OB上截取OE=OF=OP,作∠MPN=60°.∵OP平分∠AOB,∴∠EOP=∠POF=60°,∵OP=OE=OF,∴△OPE,△OPF是等邊三角形,∴EP=OP,∠EPO=∠OEP=∠PON=∠MPN=60°,∴∠EPM=∠OPN,在△PEM和△PON中,∴△PEM≌△PON.∴PM=PN,∵∠MPN=60°,∴△PMN是等邊三角形,
15、∴只要∠MPN=60°,△PMN就是等邊三角形,故這樣的三角形有無數(shù)個.故選D. 例2 (1)相等. 理由:連結(jié)AC,在△ACD和△ACB中,,∴△ACD≌△ACB,∴∠B=∠D. (2) 設(shè)AD=x,BC=y(tǒng),當點C在點D右側(cè)時,,解得:,當點C在點D左側(cè)時,,解得:,此時AC=17,CD=5,AD=8,5+8<17,∴不合題意,∴AD=13cm,BC=10cm. 例3 (1)證明:如圖1,正方形ABCD和正方形AEFG中,∵GF=EF,AG=AE,AD=AB,∴DG=BE.又∵∠DGF=∠BEF=90°,∴△DGF≌△BEF(SAS).∴DF=BF. (2)反例圖形如圖2:
16、 (3)不唯一,如點F在正方形ABCD內(nèi),或α<180°. 例4 (1)證明:∠ABE=∠ADG,AD=AB,在△ABE和△ADG中,∴△ABE≌△ADG(SAS),∴∠BAE=∠DAG,AE=AG,∴∠EAG=90°,在△FAE和△FAG中,∴△FAE≌△FAG(SAS),∴EF=FG; (2)如圖2,過點C作CE⊥BC,垂足為點C,截取CE,使CE=BM,連結(jié)AE、EN,∵AB=AC,∠BAC=90°,∴∠B=∠ACB=45°,∵CE⊥BC,∴∠ACE=∠B=45°,在△ABM和△ACE中,∴△ABM≌△ACE(SAS).∴AM=AE,∠BAM=∠CAE.∵∠BAC=
17、90°,∠MAN=45°,∴∠BAM+∠CAN=45°.于是,由∠BAM=∠CAE,得∠MAN=∠EAN=45°.在△MAN和△EAN中,∴△MAN≌△EAN(SAS).∴MN=EN.在Rt△ENC中,由勾股定理,得EN2=EC2+NC2.∴MN2=BM2+NC2.∵BM=1,CN=3,∴MN2=12+32,∴MN=. 【變式拓展】 1. (1)-2 (2)838或910 2.B 3.①③ 4.(1)∵EH平分∠BEF,∴∠FEH=∠BEF,∵FH平分∠DFE,∴∠EFH=∠DFE,∵AB∥CD,∴∠BEF+∠DFE=180°,∴∠FEH+∠EFH=(∠BEF+∠DFE)=×180°=
18、90°,∵∠FEH+∠EFH+∠EHF=180°,∴∠EHF=180°-(∠FEH+∠EFH)=180°-90°=90°,同理可得:∠EGF=90°,∵EG平分∠AEF,∴∠FEG=∠AEF,∵EH平分∠BEF,∴∠FEH=∠BEF,∵點A、E、B在同一條直線上,∴∠AEB=180°,即∠AEF+∠BEF=180°,∴∠FEG+∠FEH=(∠AEF+∠BEF)=×180°=90°,即∠GEH=90°,∴四邊形EGFH是矩形; (2)答案不唯一:由AB∥CD,MN∥EF,PQ∥EF,易證四邊形MNQP是平行四邊形,要證?MNQP是菱形,只要證MN=NQ,由已知條件:FG平分∠CFE,MN∥EF,
19、故只要證GM=FQ,即證△MGE≌△QFH,易證GE=FH、∠GME=∠FQH.故只要證∠MGE=∠QFH,易證∠MGE=∠GEF,∠QFH=∠EFH,∠GEF=∠EFH,即可得證. 5.(1)∵PC=PB,D是AC的中點,∴DP∥AB,DP=AB,∴∠CPD=∠PBO,∵BO=AB,∴DP=BO,在△CDP與△POB中,∴△CDP≌△POB(SAS); (2)①當四邊形AOPD的AO邊上的高等于半徑時有最大面積,(4÷2)×(4÷2)=2×2=4;②如圖:∵DP∥AB,DP=BO,∴四邊形BPDO是平行四邊形,∵四邊形BPDO是菱形,∴PB=BO,∵PO=BO,∴PB=BO=PO,∴∠PB
20、A的度數(shù)為60°. 6.(1)①∵AB=AC,∠ABC=60°,∴∠BAC=60°,∵AD=AE,∠ADE=70°,∴∠DAE=180°-2∠ADE=40°,∴α=∠BAD=60°-40°=20°,∴∠ADC=∠BAD+∠ABD=60°+20°=80°,∴β=∠CDE=∠ADC-∠ADE=10°,故答案為:20,10;②設(shè)∠ABC=x,∠AED=y(tǒng),∴∠ACB=x,∠ADE=y(tǒng),在△DEC中,y=β+x,在△ABD中,α+x=y(tǒng)+β=β+x+β,∴α=2β; (2)存在;答案不唯一,如:①當點E在CA的延長線上,點D在線段BC上,如圖1,設(shè)∠ABC=x,∠ADE=y(tǒng),∴∠ACB=x,∠
21、AED=y(tǒng),在△ABD中,x+α=β-y,在△DEC中,x+y+β=180°,∴α=2β-180°,②當點E在CA的延長線上,點D在CB的延長線上,如圖2,同①的方法可得α=180°-2β. 【熱點題型】 【分析與解】(1)∵F為BE的中點,∴BF=EF.∵AB∥CD,∴∠MBF=∠CEF,∠BMF=∠ECF.∴△BMF≌△ECF,∴MB=CE,AB=CD,CE=DE,∴MB=AM.∴AM=CE. (2)設(shè)MB=a,∵AB∥CD,∴△BMF∽△ECF.∵=2,∴=2,∴CE=2a.∴AB=CD=2CE=4a,AM=AB-MB=3a.∵=2,∴BC=AD=2a.∵MN⊥MC,∠A=∠ABC=90°,∴△AMN∽△BCM.∴=,即=,∴AN=a,ND=2a-a=a,∴==3. (3)方法一:∵==n,設(shè)MB=a,由(2)可得BC=2a,CE=na,AM=(2n-1)a.由△AMN∽△BCM,AN=(2n-1)a,DN=,∵DH∥AM,=,DH=(2n-5)a,∴HE=(5-n)a.∵MBEH是平行四邊形,∴(5-n)a=a,∴n=4.方法二:∵==n,設(shè)MB=a,由(2)可得BC=2a:CE=na.當MN∥BE時,CM⊥BE,可證△MBC∽△BCE,∴=,∴=,∴n=4. 【錯誤警示】 10
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