江蘇省2018中考數(shù)學(xué)試題研究 第一部分 考點(diǎn)研究 第四章 三角形 第17課時(shí) 等腰三角形與直角三角形練習(xí)

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1、 第17課時(shí) 等腰三角形與直角三角形 1.（2017包頭）若等腰三角形的周長為10cm，其中一邊長為2 cm，則該等腰三角形的底邊長為 ( ) A. 2 cm B. 4 cm C. 6 cm D. 8 cm 2. (2017長沙)一個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)角的度數(shù)之比為1∶2∶3,則這個(gè)三角形一定是( ) A. 銳角三角形 B. 直角三角形 C. 鈍角三角形 D. 等腰直角三角形 3. （2017大連）如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，點(diǎn)E是AB的

2、中點(diǎn)，CD=DE=a，則AB的長為( ) A. 2a B. C. 3a D. 第3題圖 4. (2017荊州)如圖，在△ABC中，AB=AC,∠A=30°，AB的垂直平分線l交AC于點(diǎn)D，則∠CBD的度數(shù)為（） 第4題圖 A. 30° B. 45° C. 50° D. 75° 5. (2017南充)如圖，等邊△OAB的邊長為2，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為( ) A. (1,1) B. (3,1) C. (3，3) D. (1,3)

3、 第5題圖 6. （2017臺(tái)州）如圖,已知等腰三角形ABC,AB=AC.若以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑畫弧，交腰AC于點(diǎn)E，則下列結(jié)論一定正確的是( ) 第6題圖 A. AE=EC B. AE=BE C. ∠EBC=∠BAC D. ∠EBC=∠ABE 7. (2017聊城)如圖是由8個(gè)全等的矩形組成的大正方形，線段AB的端點(diǎn)都在小矩形的頂點(diǎn)上.如果點(diǎn)P是某個(gè)小矩形的頂點(diǎn)，連接PA，PB．那么使△ABP為等腰直角三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是( ) 第7題圖 A. 2個(gè) B. 3個(gè) C. 4個(gè)

4、 D. 5個(gè) 8. （2017海南）已知△ABC的三邊長分別為4、4、6，在△ABC所在平面內(nèi)畫一條直線，將△ABC分割成兩個(gè)三角形，使其中的一個(gè)是等腰三角形，則這樣的直線最多可畫( )條. A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 9. （2017襄陽）“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理，是我國古代數(shù)學(xué)的驕傲．如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形．設(shè)直角三角形較長直角邊長為a，較短直角邊長為b，若(a+b)2=21，大正方形的面積為13，則小正方形的面積為( ) 第9題圖 A

5、. 3 B. 4 C. 5 D. 6 10. （2017河池）已知等邊△ABC的邊長為12，D是AB上的動(dòng)點(diǎn)，過D作DE⊥AC于點(diǎn)E，過E作EF⊥BC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作FG⊥AB于點(diǎn)G，當(dāng)G與D重合時(shí)，AD的長是( ) A. 3 B. 4 C. 8 D. 9 11. (2017麗水)等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為100°，則頂角的度數(shù)是_____. 12. （2017內(nèi)高）已知等腰三角形一邊長等于4，一邊等于9，則它的周長是__________. 13. （2017淄博）在邊長為4的等邊三角

6、形ABC中，D為BC邊上的任意一點(diǎn)，過點(diǎn)D分別作DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E，F(xiàn)，則DE+DF=____________. 14. （2017益陽）如圖，△ABC中，AC=5，BC=12，AB=13，CD是AB邊上的中線，則CD=______________. 第14題圖 15. (2017青島)如圖，在四邊形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，E為對角線AC的中點(diǎn)，連接BE，ED，BD，若∠BAD=58°，則∠EBD的度數(shù)為__________度. 第15題圖 16. （2017瀘州）在△ABC中，已知BD和CE分別是邊AC，AB上的中線，且BD⊥CE，垂足為O

7、，若OD=2 cm,OE=4 cm,則線段AO的長度為________cm. 17. (2016哈爾濱）在等腰直角三角形ABC中,∠ACB=90°,AC=3,點(diǎn)P為邊BC的三等分點(diǎn),連接AP,則AP的長為_____________. 18. （2017杭州）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=15，AC=20，點(diǎn)D在邊AC上，AD=5，DE⊥BC于點(diǎn)E，連接AE，則△ABE的面積等于__________. 第18題圖 19. （2017北京）如圖，在△ABC中，AB=AC,∠A=36°，BD平分∠ABC交AB于點(diǎn)D. 求證：AD=BC. 第19題圖 20. （

8、2017內(nèi)江）如圖，AD平分∠BAC，AD⊥BD,垂足為點(diǎn)D，DE∥AC. 求證：△BDE是等腰三角形. 第20題圖 滿分沖關(guān) 1. （2017武漢）如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，以△ABC的一邊為邊畫等腰三角形，使得它的第三個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的其他邊上，則可以畫出的不同的等腰三角形的個(gè)數(shù)最多為( ) A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 第1題圖 2. （2017天津）如圖，在△ABC中，AB=AC,AD,CE是△ABC的兩條中線，P是AD上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則下列線段的長等于BP+EP最小值的是( )

9、第2題圖 A. BC B. CE C. AD D. AC 3. (2016株洲)如圖,以直角三角形a,b,c為邊,向外分別作等邊三角形、半圓 、等腰直角三角形和正方形,上述四種情況的面積關(guān)系滿足S1+S2=S3的圖形個(gè)數(shù)有（ ） 第3題圖 A. 1個(gè) B. 2個(gè) C. 3個(gè) D. 4個(gè) 4. (2017咸寧)如圖，在Rt△ACB中，BC=2,∠BAC=30°，斜邊AB的兩個(gè)端點(diǎn)分別在相互垂直的射線OM、ON上滑動(dòng)，下列結(jié)論： ①若C、O兩點(diǎn)關(guān)于AB對稱，則OA=23； ②C、O兩點(diǎn)距離的最大值為4； ③若AB平分CO

10、,則AB⊥CO; ④斜邊AB的中點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)路徑的長為π2. 其中正確的是.(把你認(rèn)為正確結(jié)論的序號(hào)都填上) 第4題圖 答案 1. A　【解析】若2 cm為等腰三角形的腰長，則底邊長為10－2－2＝6(cm)，2＋2＜6，不符合三角形的三邊關(guān)系，若2 cm為等腰三角形的底邊，則腰長為(10－2)÷2＝4(cm)，此時(shí)三角形的三邊長分別為2 cm，4 cm，4 cm，符合三角形的三邊關(guān)系． 2. B　【解析】∵一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角度數(shù)之比為1：2：3，設(shè)這三個(gè)內(nèi)角分別為x，2x，3x，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°可得x＋2x＋3x＝180°，解得x＝30

11、°，∴3x＝90°，則這個(gè)三角形一定是直角三角形，但不是等腰直角三角形． 3. B　【解析】∵CD⊥AB，CD＝DE＝a，∴CE＝a，∵在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴AB＝2CE＝2a. 4. B　【解析】∵∠A＝30°，AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB＝75°，又∵l為AB的垂直平分線，∴DB＝DA，∠DBA＝∠A＝30°∴∠CBD＝∠CBA－∠DBA＝75°－30°＝45°，故選B. 5. D　【解析】如解圖，過點(diǎn)B作BC⊥x軸于點(diǎn)C.由于△OAB是等邊三角形，則OC＝1，在Rt△OBC中，根據(jù)勾股定理BC＝＝＝.于是得到點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，)． 第5題解圖

12、 6. C　【解析】由作圖知，BC＝BE，∴∠BCE＝∠BEC，∵AB＝AC，∴∠BCA＝∠CBA，∴∠BCE＝∠BEC＝∠CBA，∵∠EBC＝180°－∠BCE－∠BEC，∠BAC＝180°－∠BCA－∠CBA，∴∠EBC＝∠BAC. 7. B　【解析】分A為直角頂點(diǎn)、B為直角頂點(diǎn)和AB為底三個(gè)角度考慮，以A為直角頂點(diǎn)，能構(gòu)成1個(gè)等腰直角三角形；以B為頂點(diǎn)，能構(gòu)成2個(gè)等腰直角三角形；AB為底不存在，故選B. 8. B　【解析】如解圖，符合條件的直線共有 4 條：(1)在邊BC上截取CE＝CA，BF＝BA，連接AE、AF，得到等腰三角形△CEA，△BAF；(2)分別作AB，AC的中垂線交

13、BC于點(diǎn)M、N，連接AM，AN，得到等腰三角形△MAB，△NCA.綜上所述，直線AE、AF、AM、AN均滿足題意． 第8題解圖 9. C　【解析】由題意可知，如解圖，∵S正方形ABCD＝13，∴AB＝，∵AG＝a，BG＝b，∴a2＋b2＝AB2＝13，∵(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2＝21，∴2ab＝(a＋b)2－a2－b2＝21－13＝8，∴ab＝4，∴S△ABG＝a·b＝×4＝2，∴S小正方形＝S大正方形－4S△ABG＝13－4×2＝5. 第9題解圖 10. C　【解析】設(shè)BD＝x，如解圖，∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵DE⊥AC于點(diǎn)E，EF⊥BC

14、于點(diǎn)F，F(xiàn)G⊥AB，∴∠BDF＝∠DEA＝∠EFC＝90°，∴BF＝2x，∴CF＝12－2x，∴CE＝2CF＝24－4x，∴AE＝12－CE＝4x－12，∴AD＝2AE＝8x－24，∵AD＋BD＝AB，∴8x－24＋x＝12，∴x＝4，∴AD＝8x－24＝32－24＝8. 第10題解圖 11. 100°　【解析】由三角形內(nèi)角和定理可知，若等腰三角形的一個(gè)內(nèi)角為100°，則這個(gè)內(nèi)角為頂角，此時(shí)兩底角均為40°，即該三角形頂角的度數(shù)是100°. 12. 22　【解析】分兩種情況：①當(dāng)?shù)走呴L為4，腰長為9時(shí)，4＋9＞9，∴周長為4＋9＋9＝22；②當(dāng)?shù)走呴L為9，腰長為4時(shí)，4＋4＜9，故此

15、時(shí)等腰三角形不存在．故答案為22. 13. 2　【解析】假設(shè)點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，可得DE＋DF為等邊三角形AC邊上的高，再由等邊三角形的邊長為4，可求AC邊上的高為2. 14. 　【解析】∵△ABC中，AC＝5，BC＝12，AB＝13，∵AC2＋BC2＝AB2，∴△ABC為直角三角形，又∵CD是AB邊上的中線，根據(jù)直角三角形“斜邊中線等于斜邊一半”可知：CD＝AB＝. 15. 32　【解析】∵∠ABC＝∠ADC＝90°，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴AE＝DE＝CE＝BE，∴∠EAD＝∠EDA，∠EAB＝∠EBA，∵∠CED是△ADE的外角，∴∠CED＝2∠EAD，同理∠CEB＝2∠EAB，∴∠DEB

16、＝2∠DAB＝2×58°＝116°，∵BE＝DE，∴∠EBD＝∠EDB＝(180°－∠BED)＝(180°－116°)＝32°. 16. 4　【解析】如解圖，連接AO，作OF⊥AB于點(diǎn)F.∵BD、CE是△ABC中線，∴OB＝2OD＝4，∵OE＝4，BD⊥CE，∴△BOE是等腰直角三角形，∴AE＝BE＝4，∴OF＝EF＝2，AF＝6，∴AO＝＝4. 第16題解圖 17. 或　【解析】由題知，P為直角邊BC的三等分點(diǎn)，顯然分兩種情況討論：①如解圖①，當(dāng)點(diǎn)P靠近點(diǎn)B時(shí)，∵AC＝BC＝3，∴CP＝2，在Rt△ACP中，由勾股定理得AP＝＝＝；②如解圖②，當(dāng)點(diǎn)P靠近點(diǎn)C時(shí)，∵AC＝BC＝3，∴

17、CP＝1，在Rt△ACP中，由勾股定理得AP＝＝＝. 綜上可得AP＝或. 第17題解圖 18. 78　【解析】如解圖，過A作AH⊥BC，∵AB＝15，AC＝20，∠BAC＝90°，∴由勾股定理得，BC＝＝25，∵AD＝5，∴DC＝20－5＝15，∵DE⊥BC，∠BAC＝90°，∴△CDE∽△CBA，∴＝，∴CE＝×20＝12.∵BC·AH＝AB·AC，AH＝＝＝12，S△ABE＝×12×13＝78. 第18題解圖 19. 證明：∵AB＝AC，∠A＝36°， ∴∠ABC＝∠C＝72°， ∵BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D， ∴∠ABD＝∠DBC＝36°， ∴∠A＝∠A

18、BD， ∴AD＝BD， ∵∠C＝72°， ∴∠BDC＝72°， ∴∠C＝∠BDC， ∴BC＝BD， ∴AD＝BC. 20. 證明：∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠DAC， ∵DE∥AC， ∴∠ADE＝∠DAC， ∴∠BAD＝∠ADE， ∵AD⊥BD， ∴∠ADB＝90°， ∴∠BAD＋∠ABD＝90°. ∵∠BDE＋∠ADE＝90°， ∴∠EBD＝∠BDE， ∴BE＝DE， ∴△BDE是等腰三角形． 滿分沖關(guān) 1. D　【解析】設(shè)等腰三角形的第三個(gè)頂點(diǎn)為D，則①當(dāng)AC＝AD時(shí)，以點(diǎn)A為圓心，AC長為半徑畫弧，交AB于一點(diǎn)，即為點(diǎn)D，故此時(shí)存在一個(gè)等腰三角

19、形；②若AC＝CD時(shí)，以點(diǎn)C為圓心，AC長為半徑，與線段AB和BC不再有新的交點(diǎn)，故此時(shí)不存在等腰三角形；③當(dāng)AD＝CD時(shí)，作AC的垂直平分線，交AB于點(diǎn)D，故此時(shí)存在一個(gè)等腰三角形；④當(dāng)CD＝BC時(shí)，以點(diǎn)C為圓心，BC長為半徑畫弧，分別交AC和AB于兩點(diǎn)，故此時(shí)存在兩個(gè)等腰三角形；⑤當(dāng)BC＝BD時(shí)，以點(diǎn)B為圓心，BC長為半徑畫弧，交AB邊于一點(diǎn)，故此時(shí)存在一個(gè)等腰三角形；⑥當(dāng)CD＝BD時(shí)，作BC的垂直平分線交AB于一點(diǎn)，故此時(shí)存在一個(gè)等腰三角形；⑦當(dāng)AB＝AD或AB＝BD時(shí)，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，AB為半徑，與AC和BC均無另外交點(diǎn)，故此情況不存在等腰三角形；⑧當(dāng)AD＝BD時(shí)，作AB的垂直

20、平分線交AC于一點(diǎn)，故此時(shí)存在一個(gè)等腰三角形．綜上所述，等腰三角形共有7個(gè)． 2. B　【解析】如解圖，連接CP，由AB＝AC，AD是△ABC的一條中線可知，BP＝CP，當(dāng)P運(yùn)動(dòng)到AD與CE交點(diǎn)時(shí)BP＋EP＝CE；當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到AD的其它位置時(shí)，在△CPE中，CP＋EP>CE，故BP＋EP的最小值等于線段CE. 第2題解圖 3. D　【解析】題圖①中，∵S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，∴a2＝S1，b2＝S2，c2＝S3，∵a2＋b2＝c2，∴S1＋S2＝S3，即S1＋S2＝S3；題圖②中，∵S1＝π()2＝，S2＝π()2＝，S3＝π()2＝，∴a2＝S1 ，b2＝S2 ，c2＝

21、S3，∵a2＋b2＝c2，∴S1＋S2＝S3 ，即S1＋S2＝S3；題圖③中，設(shè)斜邊長為a的等腰直角三角形的直角邊為x，則x＝a，同理可得，那兩個(gè)三角形的直角邊分別為b和c，∴S1＝×a×a＝，S2＝×b×b＝，S3＝×c×c＝，∴a2＝4S1，b2＝4S2，c2＝4S3，∵a2＋b2＝c2，∴4S1＋4S2＝4S3 ，即S1＋S2＝S3；題圖④中，S1＝a2，S2＝b2，S3＝c2，∵a2＋b2＝c2，∴S1＋S2＝S3. 4. ①②　【解析】①若C，O兩點(diǎn)關(guān)于AB對稱，即AB垂直平分CO，∴BO＝BC＝2.∠BAO＝∠BAC＝30°，在直角三角形BOA中，可求得OA＝2，∴此結(jié)論正確；②

22、由于∠BOA＝∠BCA＝90°，∴C，B，O，A四點(diǎn)共圓，而在圓中最長的線段即是直徑為4.當(dāng)CO兩點(diǎn)是直徑時(shí)為距離最大值是4，∴此結(jié)論正確；③當(dāng)AB、CO均為直徑時(shí)，AB平分CO，但不一定垂直，∴此結(jié)論不正確；④由題意求半徑為2，而D點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)軌跡是一個(gè)以O(shè)為原點(diǎn)，2為半徑的一段弧，圓心角為∠BOA＝90°，利用弧長公式＝π，即斜邊AB的路徑長為π，∴此結(jié)論不正確． 5. x＝0或x＝4－4或4

23、2＝4，△NMP2為以點(diǎn)N為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形；③過點(diǎn)N作NP3⊥MB，則NP3＝MP3＝ 2，△NMP3為以點(diǎn)P3為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形，恰好構(gòu)成3個(gè)等腰三角形； 第5題解圖① (2)當(dāng)x＜4且以點(diǎn)N為圓心，MN為半徑的圓與OB相切時(shí)，如解圖②，①設(shè)切點(diǎn)為P1，連接MP1和NP1，則MN＝NP1＝4，△NMP1就是以N為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形，∠NP1O＝90°，∴ON＝＝＝4，∵ON＝x＋4，∴x＝ON－4＝4－4；②以M為圓心，MN為半徑畫圓，交OB于點(diǎn)P2，則MN＝MP2，△MP2N就是以M為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形；③作線段MN的垂直平分線交OB于點(diǎn)P3，則P3M＝P3N，△P3

24、MN是以P3為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形．∴當(dāng)x＝4－4時(shí)，點(diǎn)P也恰好有3個(gè)． 第5題解圖② (3)當(dāng)x＞4且以點(diǎn)M為圓心，MN為半徑的圓與OB相交時(shí)，設(shè)交點(diǎn)分別為P1，P2，如解圖③，①連接MP1和NP1，則MN＝MP1＝4，△MNP1就是以M為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形；②連接MP2和NP2，則MN＝MP2，△MP2N就是以M為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形；③作線段MN的垂直平分線交OB于點(diǎn)P3，則P3M＝P3N，△P3MN是以P3為頂角頂點(diǎn)的等腰三角形．∵此時(shí)以N為圓心，M為半徑的圓與OB相離，∴此時(shí)x的取值范圍是4