河南省2019年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 專題三 幾何圖形的折疊與動(dòng)點(diǎn)問題訓(xùn)練

《河南省2019年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 專題三 幾何圖形的折疊與動(dòng)點(diǎn)問題訓(xùn)練》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《河南省2019年中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí) 專題三 幾何圖形的折疊與動(dòng)點(diǎn)問題訓(xùn)練（15頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題三　幾何圖形的折疊與動(dòng)點(diǎn)問題 類型一 與特殊圖形有關(guān) (2018·河南)如圖，∠MAN＝90°，點(diǎn)C在邊AM上，AC＝4，點(diǎn)B為邊AN上一動(dòng)點(diǎn)，連接BC，△A′BC與△ABC關(guān)于BC所在直線對(duì)稱，點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，連接DE并延長交A′B所在直線于點(diǎn)F，連接A′E.當(dāng)△A′EF為直角三角形時(shí)，AB的長為________． 【分析】 當(dāng)△A′EF為直角三角形時(shí)，存在兩種情況：①∠A′EF＝90°，②∠A′FE＝90°進(jìn)行討論． 【自主解答】 當(dāng)△A′EF為直角三角形時(shí)，存在兩種情況：①當(dāng)∠A′EF＝90°時(shí)，如解圖①，∵△A′BC與△ABC關(guān)于BC所在直線對(duì)稱，∴

2、A′C＝AC＝4，∠ACB＝∠A′CB.∵點(diǎn)D，E分別為AC，BC的中點(diǎn)，∴D、E是△ABC的中位線，∴DE∥AB，∴∠CDE＝∠MAN＝90°，∴∠CDE＝∠A′EF，∴AC∥A′E，∴∠ACB＝∠A′EC，∴∠A′CB＝∠A′EC，∴A′C＝A′E＝4.在Rt△A′CB中，∵E是斜邊BC的中點(diǎn)，∴BC＝2A′E＝8，由勾股定理，得AB2＝BC2－AC2，∴AB＝＝4；②當(dāng)∠A′FE＝90°時(shí)，如解圖②，∵∠ADF＝∠A＝∠DFB＝90°.∴∠ABF＝90°，∵△A′BC與△ABC關(guān)于BC所在直線對(duì)稱，∴∠ABC＝∠CBA′＝45°，∴△ABC是等腰直角三角形，∴AB＝AC＝4；綜上所述，A

3、B的長為4或4. 圖① 圖② 1．如圖，四邊形ABCD是菱形，AB＝2，∠ABC＝30°，點(diǎn)E是射線DA上一動(dòng)點(diǎn)，把△CDE沿CE折疊，其中點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為D′，連接D′B. 若使△D′BC為等邊三角形，則DE＝________________. 2．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，E、F分別為AB、AC上的點(diǎn)，沿直線EF將∠B折疊，使點(diǎn)B恰好落在AC上的D處．當(dāng)△ADE恰好為直角三角形時(shí)，BE的長為______． 3．(2017·河南)如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，BC＝＋1，點(diǎn)M，N分別是邊BC，AB上的動(dòng)點(diǎn)，

4、沿MN所在的直線折疊∠B，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′始終落在邊AC上．若△MB′C為直角三角形，則BM的長為__________． 4．(2018·新鄉(xiāng)一模)菱形ABCD的邊長是4，∠DAB＝60°，點(diǎn)M、N分別在邊AD、AB上，且MN⊥AC，垂足為P，把△AMN沿MN折疊得到△A′MN.若△A′DC恰為等腰三角形，則AP的長為____________． 5．(2017·三門峽一模)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝3，點(diǎn)D是BC上一動(dòng)點(diǎn)，連接AD，將△ACD沿AD折疊，點(diǎn)C落在點(diǎn)C′，連接C′D交AB于點(diǎn)E，連接BC′.當(dāng)△BC′D是直角三角形時(shí)，DE的長為___

5、___． 6．(2018·盤錦)如圖，已知Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2＋4，點(diǎn)M、N分別在線段AC、AB上．將△ANM沿直線MN折疊，使點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D恰好落在線段BC上，當(dāng)△DCM為直角三角形時(shí)，折痕MN的長為__________． 7．(2018·烏魯木齊)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AB上一動(dòng)點(diǎn)，沿DE所在直線把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于點(diǎn)F，若△AB′F為直角三角形，則AE的長為________． 8．(2017·洛陽一模)在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝8，點(diǎn)P是對(duì)角

6、線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)P作EF垂直AC交AD于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)F，將△AEF折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)A′處，當(dāng)△A′CD為等腰三角形時(shí)，AP的長為______． 9．(2018·濮陽一模)如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，點(diǎn)D，E為AC，BC上兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)．若將∠C沿DE折疊，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)C′恰好落在AB上，且△ADC′恰好為直角三角形，則此時(shí)CD的長為__________． 類型二 點(diǎn)的位置不確定 (2016·河南)如圖，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB＝3，點(diǎn)E為射線BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AE，將△ABE沿AE折疊，點(diǎn)B落在點(diǎn)B′處，過點(diǎn)B′作AD的垂線，分別交

7、AD，BC于點(diǎn)M，N.當(dāng)點(diǎn)B′為線段MN的三等分點(diǎn)時(shí)，BE的長為________． 【分析】 根據(jù)勾股定理，可得EB′，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得EN的長，根據(jù)勾股定理，可得答案． 【自主解答】 由翻折的性質(zhì)，得AB＝AB′，BE＝B′E.①當(dāng)MB′＝2，B′N＝1時(shí)，設(shè)EN＝x，得B′E＝.由△B′EN～△AB′M，＝，即＝，x2＝，BE＝B′E＝＝； ②當(dāng)MB′＝1，B′N＝2時(shí)，設(shè)EN＝x，得B′E＝，△B′EN∽△AB′M，＝，即＝，解得x2＝，BE＝B′E＝＝，故答案為：或. 1．如圖，正方形ABCD的邊長為9，將正方形折疊，使D點(diǎn)落在BC邊上的點(diǎn)E處，折痕為GH.若

8、點(diǎn)E是BC的三等分點(diǎn)，則線段CH的長是_______． 2．(2018·林州一模)在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝9，點(diǎn)E是AD邊上一動(dòng)點(diǎn)，將邊AB沿BE折疊，點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為A′.若點(diǎn)A′到矩形較長兩對(duì)邊的距離之比為1∶3，則AE的長為__________． 3．(2015·河南)如圖，矩形ABCD中，AD＝5，AB＝7，點(diǎn)E為DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△ADE沿AE折疊，當(dāng)點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′落在∠ABC的平分線上時(shí)，DE的長為______． 4．(2017·商丘模擬)如圖，在矩形ABCD中，AD＝5，AB＝8，點(diǎn)E為射線DC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，把△ADE沿直線AE折疊，當(dāng)點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)F剛好落在

9、線段AB的垂直平分線上時(shí)，則DE的長為__________． 5．如圖，在矩形ABCD中，BC＝6，CD＝8，點(diǎn)P是AB上(不含端點(diǎn)A，B)任意一點(diǎn)，把△PBC沿PC折疊，當(dāng)點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′落在矩形ABCD對(duì)角線上時(shí)，BP＝________． 6．(2018·河南模擬)如圖，△ABC中，AB＝，AC＝5，tan A＝2，D是BC中點(diǎn)，點(diǎn)P是AC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△BPD沿PD折疊，折疊后的三角形與△PBC的重合部分面積恰好等于△BPD面積的一半，則AP的長為____________． 7．在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝12，點(diǎn)E在邊BC上，且BE＝2CE，將矩形沿過點(diǎn)E的直線

10、折疊，點(diǎn)C，D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為C′，D′，折痕與邊AD交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)B，C′，D′恰好在同一直線上時(shí)，AF的長為__________________． 類型三 根據(jù)圖形折疊探究最值問題 如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝2，AD＝3，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是AD邊上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，將△AEF沿EF所在直線翻折，得到△A′EF，則A′C的長的最小值是________． 【分析】 以點(diǎn)E為圓心，AE長度為半徑作圓，連接CE.當(dāng)點(diǎn)A′在線段CE上時(shí)，A′C的長取最小值，根據(jù)折疊的性質(zhì)可知A′E＝1，在Rt△BCE中利用勾股定理可求出CE的長度，用CE－A′E即可求出結(jié)論． 例3題解圖

11、 【自主解答】 以點(diǎn)E為圓心，AE長度為半徑作圓，連接CE，當(dāng)點(diǎn)A′在線段CE上時(shí)，A′C的長取最小值，如解圖所示．根據(jù)折疊可知：A′E＝AE＝AB＝1.在Rt△BCE中，BE＝AB＝1，BC＝3，∠B＝90°，∴CE＝＝，∴A′C的最小值＝CE－A′E＝－1.故答案為－1. 1．(2019·原創(chuàng))如圖，在邊長為10的等邊三角形△ABC中，D是AB邊上的動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊的中點(diǎn)，將△ADE沿DE翻折得到△A′DE，連接BA′，則BA′的最小值是__________． 2．在矩形ABCD中，AD＝12，E是AB邊上的點(diǎn)，AE＝5，點(diǎn)P在AD邊上，將△AEP沿EP折疊，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)A′

12、的位置，如圖，當(dāng)A′與點(diǎn)D的距離最短時(shí)，△A′PD的面積為________． 3．如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，E為AB邊的中點(diǎn)，F(xiàn)是BC邊上的動(dòng)點(diǎn)，將△EBF沿EF所在直線折疊得到△EB′F，連接B′D.則當(dāng)B′D取得最小值時(shí)，tan∠BEF的值為__________． 4．(2017·河南模擬)如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝6，點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是邊AB上的任意一點(diǎn)(點(diǎn)E不與點(diǎn)B重合)，沿DE翻折△DBE使點(diǎn)B落在點(diǎn)F處，連接AF，則線段AF的長取最小值時(shí)，BF的長為_________． 參考答案

13、 類型一 針對(duì)訓(xùn)練 1.＋1或2－2　【解析】(1)當(dāng)點(diǎn)E在邊AD上時(shí)，過點(diǎn)E作EF⊥CD于F，如解圖①，設(shè)CF＝x， 第1題解圖① ∵∠ABC＝30°，∴∠BCD＝150°.∵△BCD′是等邊三角形，∴∠DCD′＝90°.由折疊可知，∠ECD＝∠D′CE＝45°，∵EF＝CF＝x，在直角三角形DEF中，∠D＝30°，∴DE＝2x，∴DF＝x，∴CD＝CF＋DF＝x＋x＝2，解得x＝x－1，∴DE＝2x＝2－2. (2)當(dāng)E在DA的延長線上時(shí)，如解圖②. 第1題解圖② 過點(diǎn)B作BF⊥DA于點(diǎn)F，根據(jù)折疊可知，∠ED′C＝∠D＝30°，又∵三角形BD′C是等邊三角形，∴D

14、′E垂直平分BC，∵AD∥BC.∴D′E⊥AD，∵∠ABC＝30°∴∠BAF＝30°，又∵AB＝2，∴AF＝.令D′E與BC的交點(diǎn)為G，則易知EF＝BG＝BC＝1，∴AE＝－1，∴DE＝＋1，綜上所述，DE的長度為＋1或2－2. 2.或　【解析】在Rt△ABC中，∵∠C＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝3.沿直線EF將∠B折疊，使點(diǎn)B恰好落在BC上的D處，當(dāng)△ADE恰好為直角三角形時(shí)，根據(jù)折疊的性質(zhì)：BE＝DE，設(shè)BE＝x，則DE＝x，AE＝5－x，①當(dāng)∠ADE＝90°時(shí)，則DE∥BC，∴＝，∴＝，解得x＝；②當(dāng)∠AED＝90°時(shí)，則△AED∽△ACB，∴＝，∴＝，解得x＝，故所求BE的

15、長度為：或. 3.＋或1　【解析】①如解圖①，當(dāng)∠B′MC＝90°，B′與A重合，M是BC的中點(diǎn)，∴BM＝BC＝＋；②如解圖②，當(dāng)∠MB′C＝90°，∵∠A＝90°，AB＝AC，∴∠C＝45°，∴△CMB′是等腰直角三角形，∴CM＝MB′.∵沿MN所在的直線折疊∠B，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，∴BM＝B′M，∴CM＝BM.∵BC＝＋1，∴CM＋BM＝BM＋BM＝＋1，∴BM＝1，綜上所述，若△MB′C為直角三角形，則BM的長為＋或1. 圖① 圖② 第3題解圖 4.或2－2　【解析】①如解圖①，當(dāng)A′D＝A′C時(shí)，∠A′DC＝∠A′CD＝30°，∴∠AA′D＝60°.又∵∠CAD＝

16、30°，∴∠ADA′＝90°，在Rt△ADA′中，AA′＝＝＝，由折疊可得AP＝AA′＝； 圖① 圖② 第4題解圖 ②如解圖②，當(dāng)CD＝CA′＝4時(shí)，連接BD交AC于O，則Rt△COD中，CO＝CD×cos 30°＝4×＝2，∴AC＝4，∴AA′＝AC－A′C＝4－4，由折疊可得AP＝AA′＝2－2；故答案為或2－2. 5 .或　【解析】如解圖①所示，點(diǎn)E與點(diǎn)C′重合時(shí)．在Rt△ABC中，BC＝＝4.由翻折的性質(zhì)可知；AE＝AC＝3、DC＝DE，則EB＝2.設(shè)DC＝ED＝x，則BD＝4－x.在Rt△DBE中，DE2＋BE2＝DB2，即x2＋22＝(4－x)2.解得x＝.∴DE

17、＝. 圖① 圖② 第5題解圖 如解圖②所示：∠EDB＝90°時(shí)．由翻折的性質(zhì)可知：AC＝AC′，∠C＝∠AC′D＝90°.∵∠C＝∠AC′D＝∠CDC′＝90°，∴四邊形ACDC′為矩形．又∵AC＝AC′，∴四邊形ACDC′為正方形．∴CD＝AC＝3.∴DB＝BC－DC＝4－3＝1.∵DE∥AC，∴△BDE∽△BCA.∴＝＝，即＝.解得DE＝.點(diǎn)D在CB上運(yùn)動(dòng)，∠DBC′＜90°，故∠DBC′不可能為直角．故答案為：或. 6.或　【解析】分兩種情況：①如解圖①，當(dāng)∠CDM＝90°，△CDM是直角三角形，∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠A＝60°，AC＝2＋4，∴∠C＝30

18、°，AB＝AC＝＋2，由折疊可得，∠MDN＝∠A＝60°，∴∠BDN＝30°，∴BN＝DN＝AN，∴BN＝AB＝，∴AN＝2BN＝＋，∵∠DNB＝60°，∴∠ANM＝∠DNM＝60°，∴∠ANM＝60°，∴AN＝MN＝.②如解圖②，當(dāng)∠CMD＝90°時(shí)，△CDM是直角三角形，由題可得∠CDM＝60°，∠A＝∠MDN＝60°，∴∠BDN＝60°，∠BND＝30°，∴BD＝DN＝AN，BN＝BD，又∵AB＝＋2，∴AN＝2，BN＝，過N作NH⊥AM于H，則∠ANH＝30°，∴AH＝AN＝1，HN＝，由折疊可得∠AMN＝∠DMN＝45°，∴△MNH是等腰直角三角形，∴HM＝HN＝，∴MN＝，故答案為

19、或. 圖① 圖② 第6題解圖 7．3或　【解析】∴∠C＝90°，BC＝2，AC＝2，∴tan B＝＝＝，∴∠B＝30°，∴AB＝2AC＝4.∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，沿DE所在直線把△BDE翻折到△B′D′E的位置，B′D交AB于點(diǎn)F，∴DB＝DC＝，EB′＝EB，∠DB′E＝∠B＝30°.設(shè)AE＝x，則BE＝4－x，EB′＝4－x，當(dāng)∠AFB′＝90°時(shí)，在Rt△BDF中，cos B＝，∴BF＝cos 30°＝，∴EF＝－(4－x)＝x－.在Rt△B′EF中，∵∠EB′F＝30°，∴EB′＝2EF， 則4－x＝2(x－)，解得x＝3，此時(shí)AE為3； 第7題解圖 當(dāng)∠FB′

20、A＝90°時(shí)，作EH⊥AB′于H，連接AD，如解圖，∵DC＝DB′，AD＝AD，∴Rt△ADB′≌Rt△ADC，∴AB′＝AC＝2.∵∠AB′E＝∠AB′F＋∠EB′F＝90°＋30°＝120°，∴∠EB′H＝60°.在Rt△EHB′中，B′H＝B′E＝(4－x)，EH＝B′H＝(4－x)，在Rt△AEH中，∵EH2＋AH2＝AE2，∴(4－x)2＋[(4－x)＋2]2＝x2，解得x＝，此時(shí)AE為.綜上所述，AE的長為3或. 8.或　【解析】∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝5，∠DAC＝∠BAC.∵EF⊥AA′，∴∠EPA＝∠FPA′＝90°，∴∠EAP＋∠AEP＝90°，

21、∠FAP＋∠AFP＝90°，∴∠AEP＝∠AFP，∴AE＝AF.∵△A′EF是由△AEF翻折，∴AE＝EA′，AF＝FA′，∴AE＝EA′＝A′F＝FA，∴四邊形AEA′F是菱形，∴AP＝PA′.①當(dāng)CD＝CA′時(shí)，∵AA′＝AC－CA′＝3，∴AP＝AA′＝.②當(dāng)A′C＝A′D時(shí)，∵∠A′CD＝∠A′DC＝∠DAC，∴△A′CD∽△DAC，∴＝，∴A′C＝，∴AA′＝8－＝，∴AP＝AA′＝，故答案為或. 9.或　【解析】①如解圖①，當(dāng)∠ADC′＝90°時(shí)，∠ADC′＝∠C， 第9題解圖① ∴DC′∥CB，∴△ADC′∽△ACB.又∵AC＝3，BC＝4，∴＝，設(shè)CD＝C′D＝x，則

22、AD＝3－x，∴＝，解得x＝，經(jīng)檢驗(yàn)：x＝是所列方程的解，∴CD＝；②如解圖②，當(dāng)∠DC′A＝90°時(shí)，∠DCB＝90°， 第9題解圖② 由折疊可得，∠C＝∠DC′E＝90°，∴C′B與CE重合，由∠C＝∠AC′D＝90°，∠A＝∠A，可得△ADC′∽△ABC，在Rt△ABC中，AB＝5，∴＝＝，設(shè)CD＝C′D＝x，則AD＝3－x，∴＝，解得x＝，∴CD＝.綜上所述，CD的長為或. 類型二 針對(duì)訓(xùn)練 1．4或　【解析】設(shè)CH＝x，則DH＝EH＝9－x，當(dāng)BE∶EC＝2∶1時(shí)，BC＝9，∴CE＝BC＝3.在Rt△ECH中，EH2＝EC2＋CH2，即(9－x)2＝32＋x2，解得x＝

23、4，即CH＝4.當(dāng)BE∶EC＝1∶2時(shí)，CE＝BC＝6.在Rt△ECH中，EH2＝EC2＋CH2，即(9－x)2＝62＋x2，解得：x＝，即CH＝.故CH的長為4或. 2.或　【解析】如解圖，過點(diǎn)A′作A′M⊥AD于M交BC于N，則四邊形ABNM是矩形，∴AB＝MN＝4.∵若點(diǎn)A′到矩形較長兩對(duì)邊的距離之比為1∶3，∴A′M＝1，A′N＝3或A′M＝3，A′N＝1.①當(dāng)A′M＝1，A′N＝3時(shí)，在Rt△BA′N中，BN＝＝，∴AM＝BN＝.由△A′EM～△BA′N，∴＝，∴＝，∴EM＝，∴AE＝；②當(dāng)A′M＝3，A′N＝1時(shí)，同理可得AE＝. , 第2題解圖)　　 第3題解圖 3

24、.或　【解析】如解圖，連接BD′，過D′作MN⊥AB，交AB于點(diǎn)M，CD于點(diǎn)N，作D′P⊥BC交BC于點(diǎn)P.∵點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)D′落在∠ABC的平分線上，∴MD′＝PD′.設(shè)MD′＝x，則PD′＝BM＝x，∴AM＝AB－BM＝7－x，又由折疊圖形可得AD＝AD′＝5，∴x2＋(7－x)2＝25，解得x＝3或4，即MD′＝3或4.在Rt△END′中，設(shè)ED′＝a，①當(dāng)MD′＝3時(shí)，AM＝7－3＝4，D′N＝5－3＝2，EN＝4－a，∴a2＝22＋(4－a)2，解得a＝，即DE＝；②當(dāng)MD′＝4時(shí)，AM＝7－4＝3，D′N＝5－4＝1，EN＝3－a，∴a2＝12＋(3－a)2，解得a＝，即DE＝.綜上

25、所述，DE的長為或. 4.或10　【解析】分兩種情況：①如解圖①，當(dāng)點(diǎn)F在矩形內(nèi)部時(shí)，∵點(diǎn)F在AB的垂直平分線MN上，∴AN＝4.∵AF＝AD＝5，由勾股定理得FN＝3，∴FM＝2.設(shè)DE為x，則EM＝4－x，F(xiàn)E＝x，在△EMF中，由勾股定理，得x2＝(4－x)2＋22，∴x＝，即DE的長為； 圖① 圖② 第4題解圖 ②如解圖②，當(dāng)點(diǎn)F在矩形外部時(shí)，同①的方法可得FN＝3，∴FM＝8，設(shè)DE為y，則EM＝y(tǒng)－4，F(xiàn)E＝y(tǒng)，在△EMF中，由勾股定理，得y2＝(y－4)2＋82，∴y＝10，即DE的長為10.綜上所述，點(diǎn)F剛好落在線段AB的垂直平分線上時(shí)，DE的長為或10.

26、5．3或　【解析】①點(diǎn)A落在矩形對(duì)角線BD上，如解圖①，∵在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6∴∠ABC＝90°，AC＝BD，∴AC＝BD＝＝10.根據(jù)折疊的性質(zhì)，得PC⊥BB′，∴∠PBD＝∠BCP，∴△BCP∽△ABD，∴＝，即＝，解得BP＝；②點(diǎn)A落在矩形對(duì)角線AC上，如解圖②，根據(jù)折疊的性質(zhì)，得BP＝B′P，∠B＝∠PB′C＝90°，∴∠AB′A＝90°，∴△APB′∽△ACB，∴＝，即＝，解得BP＝3，故答案為：3或. 圖① 圖② 第5題解圖 6．2或5－　【解析】分兩種情況：①當(dāng)點(diǎn)B′在AC的下方時(shí)，如解圖①，∵D是BC中點(diǎn)，∴S△BPD＝S△PDC，∵S△PDF＝

27、S△BPD，∴S△PDF＝S△PDC.∴F是PC的中點(diǎn)，∴DF是△BPC的中位線，∴DF∥BP，∴∠BPD＝∠PDF，由折疊得：∠BPD＝∠B′PD，∴∠B′PD＝∠PDF，∴PB′＝B′D，即PB＝BD，過B作BE⊥AC于E，在Rt△ABE中，tan A＝＝2，∵AB＝，∴AE＝1，BE＝2，∴EC＝5－1＝4，由勾股定理，得BC＝＝＝2，∵D為BC的中點(diǎn)，∴BD＝，∴PB＝BD＝，在Rt△BPE中，PE＝1，∴AP＝AE＋PE＝1＋1＝2； 圖① 圖② 第6題解圖 ②當(dāng)點(diǎn)B′在AC的上方時(shí)，如解圖②，連接B′C，同理得：F是DC的中點(diǎn)，F(xiàn)是PB′的中點(diǎn)，∴DF＝FC，PF＝

28、FB′，∴四邊形DPCB′是平行四邊形，∴PC＝B′D＝BD＝，∴AP＝5－，綜上所述，AP的長為2或5－. 7．8＋2或8－2　【解析】由折疊的性質(zhì)得，∠EC′D′＝∠C＝90°，C′E＝CE.∵點(diǎn)B、C′、D′在同一直線上，∴∠BC′E＝90°，∵BC＝12，BE＝2CE，∴BE＝8，C′E＝CE＝4，在Rt△BC′E中，＝2，∴∠C′BE＝30°.①當(dāng)點(diǎn)C′在BC的上方時(shí)，如解圖①，過E作EG⊥AD于G，延長EC′交AD于H，則四邊形ABEG是矩形，∴EG＝AB＝6，AG＝BE＝8，∵∠C′BE＝30°，∠BC′E＝90°，∴∠BEC′＝60°，由折疊的性質(zhì)得，∠C′EF＝∠CEF＝6

29、0°.∵AD∥BC，∴∠HFE＝∠CEF＝60°，∴△EFH是等邊三角形，∴在Rt△EFG中，EG＝6，∴GF＝2，∴AF＝8＋2；②當(dāng)點(diǎn)C′在BC的下方時(shí)，如解圖②，過F作FG⊥AD于G，D′F交BE于H，同①可得，四邊形ABGF是矩形，△EFH是等邊三角形，∴AF＝BG，F(xiàn)G＝AB＝6，∠FEH＝60°，在Rt△EFG中，GE＝2.∵BE＝8，∴BG＝8－2，∴AF＝8－2. 圖① 圖② 第7題解圖 類型三 針對(duì)訓(xùn)練 1．5－5　【解析】如解圖，連接BE. 第1題解圖 ∵AB＝BC＝AC＝10，∴∠C＝60°.∵AB＝BC，E是AC的中點(diǎn)，∴BE⊥AC.∴BE＝

30、＝＝5.∵AC＝10，E是AC邊的中點(diǎn)，∴AE＝5.由翻折的性質(zhì)可知A′E＝AE＝5.∵BA′＋A′E≥BE，∴當(dāng)點(diǎn)B、A′、E在一條直線上時(shí)，BA′有最小值，最小值＝BE－A′E＝5－5. 2.　【解析】連接DE，DE＝＝13，∵將△AEP沿FP折疊，使得點(diǎn)A落在點(diǎn)A′的位置，∴EA′＝EA＝5，∵A′D≥DE－EA′ 第2題解圖 (當(dāng)且僅當(dāng)A′點(diǎn)在DE上時(shí)，取等號(hào))，∴當(dāng)A′與點(diǎn)D的距離最短時(shí)，A′點(diǎn)在DE上，∴DA′＝13－5＝8，設(shè)PA′＝x，則PA＝x，PD＝12－x，在Rt△DPA′中，x2＋82＝(12－x)2，解得x＝，∴△A′PD的面積＝×8×＝. 3.　【解析】

31、在Rt△ADE中，DE＝＝2，當(dāng)B′在ED上時(shí)，B′D最小，在ED上截取EB′＝EB＝2，連接B′F，F(xiàn)D，則B′D＝ED－EB′＝2－2，設(shè)BF＝x，則B′F＝x，CF＝4－x，在Rt△B′FD和Rt△FCD中，利用勾股定理，可得DB′2＋B′F2＝DF2＝CF2＋DC2，即(2－2)2＋x2＝(4－x)2＋42，解得x＝＋1，∴Rt△BEF中，tan∠BEF＝＝. 　第3題解圖 4.　【解析】由題意得：DF＝DB， 第4題解圖 ∴點(diǎn)F在以D為圓心，BD為半徑的圓上，作⊙D; 連接AD交⊙D于點(diǎn)F，此時(shí)AF值最小，∵點(diǎn)D是邊BC的中點(diǎn)，∴CD＝BD＝3；而AC＝4，由勾股定理得：AD2＝AC2＋CD2，∴AD＝5，而FD＝3，∴FA＝5－3＝2，即線段AF長的最小值是2，連接BF，過F作FH⊥BC于H，∵∠ACB＝90°，∴FH∥AC，∴△DFH∽△DAC，∴＝＝，即＝＝，∴HF＝，DH＝，∴BH＝，∴BF＝＝. 15