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1、
第3講 因式分解
因式分解
考試內(nèi)容
考試
要求
定義
把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式 的形式，就是因式分解．
a
方法
提公因式法
ma＋mb＋mc＝____________________.
c
公式法
a2－b2＝____________________；
a2±2ab＋b2＝ ．
步驟
1.若有公因式，應(yīng)先____________________；
2．看是否可用____________________；
3．檢查各因式能否繼續(xù)分解．
考試內(nèi)容
考試
要求
基本
2、
方法
1.因式分解與整式乘法是互逆運(yùn)算．
c
2.因式分解時(shí)，要先觀察、分析已知式的結(jié)構(gòu)特征，而后再靈活選用方法的解題習(xí)慣．
1．(2015·臺(tái)州)把多項(xiàng)式2x2－8分解因式，結(jié)果正確的是( )
A．2(x2－8) B．2(x－2)2 C．2(x＋2)(x－2) D．2x(x－)
2．(2017·臺(tái)州)因式分解：x2＋6x＝____________________.
3．(2017·金華)分解因式：x2－4
3、＝____________________.
4．(2016·紹興)分解因式：a3－9a＝ .
【問題】給出三個(gè)多項(xiàng)式：x2＋x－1，x2＋3x＋1，x2－x.
(1)請(qǐng)你選擇其中兩個(gè)進(jìn)行加法運(yùn)算，并把結(jié)果分解因式．
(2)結(jié)合以上解題的體驗(yàn)，回答因式分解有哪些方法，一般步驟怎樣？
【歸納】通過(guò)開放式問題，歸納、疏理運(yùn)用多種方法分解因式，其一般順序是：首先提取公因式，然后再考慮用公式，最后結(jié)果一定要分解到不能再分解為止．
類型一 因式分解的意義
下列式子從左到右變形是因式分解的是( )
4、
A．a(chǎn)2＋4a－21＝a(a＋4)－21
B．a(chǎn)2＋4a－21＝(a－3)(a＋7)
C．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21
D．a(chǎn)2＋4a－21＝(a＋2)2－25
【解后感悟】此題主要考查因式分解的意義，正確把握因式分解的意義是解題關(guān)鍵．
1．下面的多項(xiàng)式中，能因式分解的是( )
A．m2＋n B．m2－m＋1 C．m2－n D．m2－2m＋1
2．(2016·濱州)把多項(xiàng)式x2＋ax＋b分解因式，得(x＋1)(x－3)，則a，b的值分別是( )
A．a(chǎn)＝2，b＝3
5、 B．a(chǎn)＝－2，b＝－3
C．a(chǎn)＝－2，b＝3 D．a(chǎn)＝2，b＝－3
類型二 因式分解的幾何性
如圖，邊長(zhǎng)為a的正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，若將圖1的陰影部分拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖2，比較圖1和圖2的陰影部分的面積，你能得到的公式是____________________________．
【解后感悟】利用圖形的面積來(lái)解釋代數(shù)式的恒等變形，這是數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，是我們學(xué)習(xí)過(guò)程中，常見的列等量關(guān)系的依據(jù)．
3．利用1個(gè)a×a的正方形，1個(gè)b×b的正方形和2個(gè)a×b的矩形可拼成一個(gè)正方形(如圖所示)，從而可得到因式分解的
6、公式____________________．
類型三 因式分解的方法
分解因式：(1)(2017·紹興)x2y－y＝__________．
(2)(2017·安徽模擬)ax2－6ax＋9a＝________．
(3)(x－1)2－9＝________．
(4)(2016·荊門)(m＋1)(m－9)＋8m＝________．
【解后感悟】多項(xiàng)式分解因式有公因式首先提取公因式，然后再用公式法或其他方法進(jìn)行因式分解，同時(shí)因式分解要徹底，直到不能分解為止．第(4)題利用多項(xiàng)式的乘法運(yùn)算法則展開整理成一般多項(xiàng)式是解題的關(guān)鍵．
4．因式分解：(1)(2017·溫州)m2＋4m＝_
7、___________________.
(2)(2015·麗水)9－x2＝____________________．
(3)a3－4a＝____________________.
(4)(2017·杭州市江干區(qū)模擬)a3b－2a2b＋ab＝____________________.
(5)(2015·南京)(a－b)(a－4b)＋ab＝____________________．
類型四 因式分解的應(yīng)用
(1)已知a＋b＝2，ab＝1，則a2b＋ab2的值為________；
(2)已知x2－2x－3＝0，則2x2－4x的值為________．
【解后感悟】此題是因式分解的應(yīng)
8、用，將所求式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃问墙獗绢}的關(guān)鍵．
5．(1)(2015·衡陽(yáng))已知a＋b＝3，a－b＝－1，則a2－b2的值為____________________．
(2)(2015·鹽城)若2m－n2＝4，則代數(shù)式10＋4m－2n2的值為____________________．
6．仔細(xì)閱讀下面例題，解答問題：
例題：已知二次三項(xiàng)式x2－4x＋m有一個(gè)因式是(x＋3)，求另一個(gè)因式以及m的值．
解：設(shè)另一個(gè)因式為(x＋n)，得x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，則x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n，∴.解得：n＝－7，m＝－21，∴另一個(gè)因式為(x－7)，m的值為－2
9、1.
問題：仿照以上方法解答下面問題：
已知二次三項(xiàng)式2x2＋3x－k有一個(gè)因式是(2x－5)，求另一個(gè)因式以及k的值．
【閱讀理解題】
閱讀下列文字與例題：
將一個(gè)多項(xiàng)式分組后，可提公因式或運(yùn)用公式繼續(xù)分解的方法是分組分解法．
例如：(1)am＋an＋bm＋bn＝(am＋bm)＋(an＋bn)＝m(a＋b)＋n(a＋b)＝(a＋b)(m＋n)；
(2)x2－y2－2y－1＝x2－(y2＋2y＋1)＝x2－(y＋1)2＝(x＋y＋1)(x－y－1)．
試用上述方法分解因式a2＋2ab＋ac＋bc＋b2＝________．
【方法與對(duì)策】(1
10、)當(dāng)某項(xiàng)正好為公因式時(shí)，提取公因式后，該項(xiàng)應(yīng)為1，不可漏掉；(2)首項(xiàng)系數(shù)為負(fù)數(shù)時(shí)，一般公因式的系數(shù)取負(fù)數(shù)，使括號(hào)內(nèi)首項(xiàng)系數(shù)為正；(3)公因式也可以是多項(xiàng)式．該題型是中考命題方向．
【忽視提系數(shù)的最大公約數(shù)、分解不徹底】
因式分解：(1)a3－16a； (2)4x2－16y2.
參考答案
第3講 因式分解
【考點(diǎn)概要】
乘積 m(a＋b＋c) (a＋b)(a－b) (a±b)2 提公因式 公式法
【考題體驗(yàn)】
1．C 2.x(x＋6) 3.(x＋2)(x－2) 4.a(a＋3)(a－3)
【知識(shí)引擎】
【解析】(1)(x2＋x－1)＋(x2＋3x＋1)＝x2＋4x＝
11、x(x＋4)；(x2＋x－1)＋(x2－x)＝x2－1＝(x＋1)(x－1)；(x2＋3x＋1)＋(x2－x)＝x2＋2x＋1＝(x＋1)2；(2)因式分解的方法：①提公因式法；②公式法．因式分解的步驟：一提、二套、三查．
【例題精析】
例1 B 例2 a2－b2＝(a＋b)(a－b)． 例3 (1)y(x＋1)(x－1)；(2)a(x－3)2；(3)(x＋2)(x－4)；(4)(m＋3)(m－3)．例4 (1)2；(2)6.
【變式拓展】
1． D
2. B
3.a2＋2ab＋b2＝(a＋b)2 4.(1)m(m＋4) (2)(3＋x)(3－x) (3)a(a＋2)(a－2) (4)ab(a－1)2 (5)(a－2b)2 5.(1)－3 (2)18 6.設(shè)另一個(gè)因式為(x＋a)，得2x2＋3x－k＝(2x－5)(x＋a)，則2x2＋3x－k＝2x2＋(2a－5)x－5a，∴，解得：a＝4，k＝20，故另一個(gè)因式為(x＋4)，k的值為20.
【熱點(diǎn)題型】
【分析與解】原式＝(a2＋2ab＋b2)＋(ac＋bc)＝(a＋b)2＋c(a＋b)＝(a＋b)(a＋b＋c)．
【錯(cuò)誤警示】
(1)a(a＋4)(a－4)； (2)4(x＋2y)(x－2y)．
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浙江省2018年中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第一章 數(shù)與式 第3講 因式分解講解篇
