重慶市2018年中考數(shù)學(xué)題型復(fù)習(xí) 題型八 二次函數(shù)綜合題 類型五 與特殊四邊形有關(guān)的問題練習(xí)

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1、 類型五 與特殊四邊形有關(guān)的問題 1. (2017重慶江北區(qū)一模)如圖①，拋物線y＝－x2＋x＋2的圖象與x軸交于點(diǎn)A、B，與y軸交于點(diǎn)C，連接BC，過點(diǎn)A作AD∥BC交拋物線的對稱軸于點(diǎn)D. (1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)； (2)如圖②，點(diǎn)P是拋物線在第一象限內(nèi)的一點(diǎn)，作PQ⊥BC于Q，當(dāng)PQ的長度最大時，在線段BC上找一點(diǎn)M(不與點(diǎn)B、點(diǎn)C重合)，使PM＋BM的值最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)及PM＋BM的最小值； (3)拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)E，平移拋物線，使拋物線的頂點(diǎn)E在直線AE上移動，點(diǎn)A、E平移后的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′、E′.在平面內(nèi)有一動點(diǎn)F，當(dāng)以點(diǎn)A′、E′、B、F為頂點(diǎn)的四邊形為菱形時，求出點(diǎn)

2、A′的坐標(biāo)． 第1題圖 2. 如圖①，拋物線y＝x2－x－與x軸交于A，B兩點(diǎn)(點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè))，交y軸于點(diǎn)C.連接AC，過點(diǎn)A作AC的垂線交拋物線的對稱軸于點(diǎn)D. (1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)； (2)點(diǎn)P為直線AD下方拋物線上一動點(diǎn)，當(dāng)△PAD面積最大時，作PE⊥x軸于點(diǎn)E，連接AP，點(diǎn)M，N分別為線段AP，AE上的兩個動點(diǎn)，求EM＋MN的最小值； (3)如圖②，拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)Q，平移拋物線，使拋物線的頂點(diǎn)Q在直線AQ上移動，點(diǎn)A，Q平移后的對應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)A′，Q′.在平面內(nèi)有一動點(diǎn)G，當(dāng)以點(diǎn)A′，Q′，B，G為頂點(diǎn)的四邊形為平行四邊

3、形時，在直線AQ下方找一個滿足條件的點(diǎn)G，與在直線AQ上方所有滿足條件的點(diǎn)G為頂點(diǎn)的多邊形為軸對稱圖形時，求點(diǎn)Q′的坐標(biāo)． 第2題圖 答案 1. 解：(1)當(dāng)y＝0時，－x2＋x＋2＝0， 解得x1＝，x2＝－， 即A(－，0)，B(，0) 當(dāng)x＝0時，y＝2，即C(0，2)， ∴直線BC的解析式為y＝－x＋2， ∴直線AD的解析式為y＝－x－， 拋物線的對稱軸為x＝－＝， 當(dāng)x＝時，y＝－x－＝－， 即D點(diǎn)坐標(biāo)為(，－)； (2)如解圖①，作PF∥y軸交BC于點(diǎn)F， 則△PQF∽△BOC， 第1題解圖①

4、 ∴＝＝， 即PQ＝PF， 設(shè)P(t，－t2＋t＋2)，F(xiàn)(t，－t＋2)， ∴PF＝－t2＋t， 當(dāng)t＝時，PF取最大值，PQ取最大值， 此時P(，)， 作MN⊥x軸于點(diǎn)N，則△BMN∽△BCO， ∴＝＝， 即MN＝BM， 則當(dāng)P，M，N共線時，PN有最小值，PM＋BM＝PN＝， 此是M(，1)； (3)如解圖②， 1)當(dāng)A′E′＝A′B，A′E′∥BF1，A′E′＝BF1時四邊形A′E′F1B是菱形，此時 A1′(，)，A′2(－，－)； 2)當(dāng)A′E′＝E′B，A′E′∥BF2，A′E′＝BF2時四邊形A′E′F2B是菱形，此時 A′3(－，0)，A

5、′4(－，－)； 3)當(dāng)A′B＝E′B，A′F3∥BE′，A′F3＝BE′時四邊形A′F3E′B是菱形，此時 A′5(－，－)． 綜上所述，A′的坐標(biāo)分別為(，)或(－，－)或(－，0)或(－，－)或(－，－)． 第1題解圖② 2. 解：(1)如解圖①，設(shè)對稱軸交AB于點(diǎn)H，對于拋物線y＝x2－x－， 令x＝0得y＝－，令y＝0，得x2－x－＝0，解得x＝－1或x＝3， ∴C(0，－)，A(－1，0)，B(3，0)， ∴OA＝1，OC＝， ∴tan∠OAC＝＝， ∴∠OAC＝60°， ∵AD⊥AC， ∴∠DAC＝90°，∠DAH＝30°， ∵拋物線的對稱軸x＝－＝

6、1， ∴AH＝2，DH＝AH·tan30°＝， ∴D(1，)； 第2題解圖① (2)如解圖②，延長PE交直線AD于點(diǎn)K， ∵點(diǎn)A(－1，0)，D(1，)， ∴直線AD的解析式為y＝x＋. 設(shè)點(diǎn)K(x，x＋)，則點(diǎn)P(x，x2－x－)． ∴PK＝－x2＋x＋. ∴S△PAD＝S△PKA－S△PKD＝×(xD－xA)·PK＝－x2＋x＋＝－(x－)2＋. ∴當(dāng)x＝時，△PAD的面積最大，此時點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，－)． ∵PE⊥x軸于點(diǎn)E，∴E(，0)， ∴AE＝，PE＝. 在Rt△PAE中，PA＝， 如解圖②，作點(diǎn)E關(guān)于直線AP的對稱點(diǎn)E′，過點(diǎn)E′作E′N⊥x軸于點(diǎn)N

7、，交AP于點(diǎn)M， 第2題解圖② 連接EM，此時EM＋MN的值最小，EM＋MN＝E′M＋MN＝E′N. EE′＝，由△E′NE∽△AEP可知， ＝， ∴E′N＝. ∴EM＋MN的最小值為. (3)如解圖③， ∵點(diǎn)A(－1，0)，Q(1，－)， ∴直線AQ的解析式為y＝－x－. 設(shè)點(diǎn)Q′(x，－x－)，則點(diǎn)A′(x－2，－x＋)． 若以點(diǎn)A′，Q′，B，G為頂點(diǎn)的平行四邊形以A′Q′為邊時， ∵A′Q′∥BG1且A′Q′＝BG1， ∴xG1－xB＝xA′－xQ′＝xA－xQ＝－2. ∴yG1－yB＝y(tǒng)A′－yQ′＝y(tǒng)A－yQ＝. 又∵點(diǎn)B(3，0)，∴點(diǎn)G1(1，

8、)． 同理得點(diǎn)G2(5，－)． ∴在直線AQ上方滿足條件的點(diǎn)G有兩個，分別為G1(1，)，G2(5，)． 若以點(diǎn)A′，Q′，B，G為頂點(diǎn)的平行四邊形以A′Q′為對角線時，線段A′Q′中點(diǎn)的坐標(biāo)點(diǎn)F(x－1，－x)，此時點(diǎn)F也為BG3中點(diǎn)， 又∵B(3，0)， ∴G3(2x－5，－x)． 由題意得，以滿足條件的點(diǎn)G為頂點(diǎn)的多邊形為三角形， ∵△G1G2G3為軸對稱圖形， ∴△G1G2G3為等腰三角形． ∴G1G22＝， G2G32＝x2－x＋， G1G32＝x2－x＋， ①若G3G1＝G3G2， 則有x2－x＋＝x2－x＋， ∴x＝，∴Q(，－)． ②若G1G2＝G1G3，則有x2－x＋＝， ∴x1＝1，x2＝， ∴Q′(1，－)或(，－)． ③若G2G1＝G2G3，則有x2－x＋＝， ∴x1＝，x2＝3， ∴Q′(，－)或(3，－)． 綜上所述，點(diǎn)Q′的坐標(biāo)為(，－)或(1，－)或(，－)或(，－)或(3，－)． 第2題解圖③ 12