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1、第15講 等腰、等邊及直角三角形
一、 知識(shí)清單梳理
知識(shí)點(diǎn)一：等腰和等邊三角形
關(guān)鍵點(diǎn)撥與對(duì)應(yīng)舉例
1.等腰三角形
（1）性質(zhì)
①等邊對(duì)等角：兩腰相等，底角相等，即AB＝AC∠B＝∠C；
②三線合一：頂角的平分線、底邊上的中線和底邊上的高
互相重合;
③對(duì)稱性：等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，直線AD是對(duì)稱軸.
（2）判定
①定義：有兩邊相等的三角形是等腰三角形；
②等角對(duì)等邊：即若∠B＝∠C，則△ABC是等腰三角形.
（1）三角形中“垂線、角平分線、中線、等腰”四個(gè)條件中，只要滿足其中兩個(gè)，其余均成立. 如：如左圖，已知AD⊥BC,D為BC的中點(diǎn)，則三角形的
2、形狀是等腰三角形.
失分點(diǎn)警示：當(dāng)?shù)妊切蔚难偷撞幻鞔_時(shí)，需分類討論. 如若等腰三角形ABC的一個(gè)內(nèi)角為30°，則另外兩個(gè)角的度數(shù)為30°、120°或75°、75°.
2.等邊三角形
（1）性質(zhì)
①邊角關(guān)系：三邊相等，三角都相等且都等于60°.
即AB＝BC＝AC，∠BAC＝∠B＝∠C＝60°；
②對(duì)稱性：等邊三角形是軸對(duì)稱圖形，三條高線(或角平分線或中線)所在的直線是對(duì)稱軸.
（2）判定
①定義：三邊都相等的三角形是等邊三角形；
②三個(gè)角都相等（均為60°）的三角形是等邊三角形；
③任一內(nèi)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.即若AB＝AC，且∠B＝60°，則△A
3、BC是等邊三角形.
（1）等邊三角形是特殊的等腰三角形，所以等邊三角形也滿足“三線合一”的性質(zhì).
（2）等邊三角形有一個(gè)特殊的角60°，所以當(dāng)?shù)冗吶切纬霈F(xiàn)高時(shí)，會(huì)結(jié)合直角三角形30°角的性質(zhì)，即BD=1/2AB.
例：△ABC中，∠B=60°，AB=AC，BC=3，則△ABC的周長(zhǎng)為9.
知識(shí)點(diǎn)二 ：角平分線和垂直平分線
3.角平分線
（1）性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．即若
∠1 ＝∠2，PA⊥OA，PB⊥OB，則PA＝PB.
（2）判定：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的角平
分線上．
例：如圖，△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB的垂直平分線
4、交AC于D，交AB于E，CD=2，則AC=6.
4.垂直平分線圖形
（1）性質(zhì)：線段的垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩端點(diǎn)距離相等．即若OP垂直且平分AB，則PA＝PB.
（2）判定：到一條線段兩端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上．
知識(shí)點(diǎn)三：直角三角形的判定與性質(zhì)
5.直角三角形的性質(zhì)
(1)兩銳角互余.即∠A＋∠B＝90°；
(2) 30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.即若∠B＝30°則AC＝AB；
(3) 斜邊上的中線長(zhǎng)等于斜邊長(zhǎng)的一半．即若CD是中線，則CD＝AB.
(4) 勾股定理：兩直角邊a、b的平方和等于斜邊c的平方．即 a2＋b2＝c
5、2 .
（1）直角三角形的面積S=1/2ch=1/2ab(其中a,b為直角邊，c為斜邊，h是斜邊上的高)，可以利用這一公式借助面積這個(gè)中間量解決與高相關(guān)的求長(zhǎng)度問題.
（2）已知兩邊，利用勾股定理求長(zhǎng)度，若斜邊不明確，應(yīng)分類討論.
（3）在折疊問題中，求長(zhǎng)度，往往需要結(jié)合勾股定理來列方程解決.
6.直角三角形的判定
(1) 有一個(gè)角是直角的三角形是直角三角形.即若∠C＝90°，則△ABC是Rt△；
(2) 如果三角形一條邊的中線等于這條邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形．即若AD＝BD＝CD，則△ABC是Rt△
(3) 勾股定理的逆定理：若a2＋b2＝c2，則△ABC是Rt△.
二、 典例試做：
內(nèi)參P56---5、6、7、17、20
P58---1、2、4、11、17
三、課后反思：
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