2020年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 基礎(chǔ)考點(diǎn)及題型 專題13 二次函數(shù)（含解析）

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1、專題13 二次函數(shù) 考點(diǎn)總結(jié) 【思維導(dǎo)圖】 【知識(shí)要點(diǎn)】 知識(shí)點(diǎn)一 二次函數(shù)的概念 概念：一般地，形如y=ax2+bx+c（a?，??b?，??c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)。 注意：二次項(xiàng)系數(shù)a≠0，而b?，??c可以為零． 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的結(jié)構(gòu)特征： ⑴ 等號(hào)左邊是函數(shù)，右邊是關(guān)于自變量x的二次式，x的最高次數(shù)是2． ⑵ a?，b?，c是常數(shù)，a是二次項(xiàng)系數(shù)，b是一次項(xiàng)系數(shù)，c是常數(shù)項(xiàng)． 1．（2017·甘肅中考模擬）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的有（ ） ①y=1-2x2②y=1x2③y=x1-x④y=1-2x1+2x A．1個(gè) B．

2、2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【答案】C 【詳解】 ①y=1?2x2=?2x2+1，是二次函數(shù)； ②y=1x2，分母中含有自變量，不是二次函數(shù)； ③y=x(1?x)=?x2+x，是二次函數(shù)； ④y=(1?2x)(1+2x)=?4x2+1，是二次函數(shù). 二次函數(shù)共三個(gè)， 故答案選C. 2．（2013·湖南中考真題）下列函數(shù)是二次函數(shù)的是（ ） A．y=2x+1 B．y=-2x+1 C．y=x2+2 D．y=12x-2 【答案】C 【詳解】 根據(jù)二次函數(shù)的定義，形如y=ax2+bx+c（其中a，b，c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)叫做二次函數(shù)，所給函數(shù)中是二次函數(shù)

3、的是y=x2+2。故選C。 3．（2018·安徽中考模擬）下列函數(shù)不屬于二次函數(shù)的是（?? ） A．y=x-1x+2 B． C．y=1-3x2 D． 【答案】D 【詳解】 把每一個(gè)函數(shù)式整理為一般形式， A、y=x-1x+2=x2+x-2，是二次函數(shù)，正確； B、=12x2+x+12，是二次函數(shù)，正確； C、y=1-3x2，是二次函數(shù)，正確； D、=2x2+12x+18-2x2=12x+18，這是一個(gè)一次函數(shù)，不是二次函數(shù)， 故選D. 4．（2018·上海中考模擬）下列函數(shù)中是二次函數(shù)的是（　?。? A．y=2（x﹣1） B．y=（x﹣1）2﹣x2 C．y=a（x﹣1

4、）2 D．y=2x2﹣1 【答案】D 【詳解】 A、y=2x﹣2，是一次函數(shù)， B、y=（x﹣1）2﹣x2=﹣2x+1，是一次函數(shù)， C、當(dāng)a=0時(shí)，y=a（x﹣1）2不是二次函數(shù)， D、y=2x2﹣1是二次函數(shù)． 故選D． 考查題型一 待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式 1．（2018·廣東中考模擬）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的自變量x與函數(shù)y的對(duì)應(yīng)值如下表： x … －5 －4 －3 －2 －1 0 … y … 4 0 －2 －2 0 4 … 下列說(shuō)法正確的是(　　) A．拋物線的開(kāi)口向下 B．當(dāng)x＞－3時(shí)，y隨x的增大而增大 C．二次

5、函數(shù)的最小值是－2 D．拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝－52 【答案】D 【詳解】 將點(diǎn)(?4,0)、(?1,0)、(0,4)代入到二次函數(shù)y=ax2+bx+c中， 得：0=16a-4b+c0=a-b+c4=c,解得：a=1b=5c=4， ∴二次函數(shù)的解析式為y=x 2+5x+4. A.?a=1>0，拋物線開(kāi)口向上，A不正確； B.??b2a=?52,當(dāng)x??52時(shí)，y隨x的增大而增大，B不正確； C.?y=x2+5x+4=(x+52) 2?94,二次函數(shù)的最小值是?94，C不正確； D.??b2a=?52,拋物線的對(duì)稱軸是x=?52，D正確. 故選D. 2．（2018·上海中

6、考模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象上部分點(diǎn)的橫坐標(biāo)x與縱坐標(biāo)y的對(duì)應(yīng)值如下表： x … －1 0 1 2 … y … 0 3 4 3 … 那么關(guān)于它的圖象，下列判斷正確的是(　　) A．開(kāi)口向上 B．與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是(3，0) C．與y軸交于負(fù)半軸 D．在直線x＝1的左側(cè)部分是下降的 【答案】B 【詳解】 A、由表格知，拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，4）．故設(shè)拋物線解析式為y=a（x﹣1）2+4． 將（﹣1，0）代入，得 a（﹣1﹣1）2+4=0， 解得a=﹣2． ∵a=﹣2＜0， ∴拋物線的開(kāi)口方向向下， 故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； B

7、、拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（﹣1，0），對(duì)稱軸是x=1，則拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)是（3，0），故本選項(xiàng)正確； C、由表格知，拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)是（0，3），即與y軸交于正半軸，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、拋物線開(kāi)口方向向下，對(duì)稱軸為x=1，則在直線x=1的左側(cè)部分是上升的，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； 故選：B． 考查題型二 根據(jù)二次函數(shù)的定義求參數(shù)值 1．（2012·山東中考真題）拋物線y=ax2+bx-3經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，4），則代數(shù)式8a+4b+1的值為（ ） A．3 B．9 C．15 D．-15 【答案】C 【詳解】 ∵拋物線y=ax2+bx-3經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，4），∴4=4

8、a+2b-3，即4a+2b=7。 ∴8a+4b+1=2(4a+2b)+1=2×7+1=15。故選C。 2．（2018·安徽中考模擬）已知函數(shù)y=（m2﹣m）x2+（m﹣1）x+m+1． （1）若這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)，求m的值； （2）若這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)，則m的值應(yīng)怎樣？ 【答案】(1)、m=0；(2)、m≠0且m≠1. 【詳解】 解：（1）根據(jù)一次函數(shù)的定義，得：m2﹣m=0 解得m=0或m=1 又∵m﹣1≠0即m≠1； ∴當(dāng)m=0時(shí)，這個(gè)函數(shù)是一次函數(shù)； （2）根據(jù)二次函數(shù)的定義，得：m2﹣m≠0 解得m1≠0，m2≠1 ∴當(dāng)m1≠0，m2≠1時(shí)，這個(gè)函數(shù)是二次函數(shù)

9、． 知識(shí)點(diǎn)2：二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)（重點(diǎn)） 二次函數(shù)的基本表現(xiàn)形式： ①y=ax2；②y=ax2+k；③y=ax-h2；④y=ax-h2+k；⑤y=ax2+bx+c. a的符號(hào) 開(kāi)口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱軸 性質(zhì) a>0 向上 0?，??0 y軸 x>0時(shí)，y隨x的增大而增大；x<0時(shí)，y隨x的增大而減?。粁=0時(shí)，y有最小值0． a<0 向下 0?，??0 y軸 x>0時(shí)，y隨x的增大而減小；x<0時(shí)，y隨x的增大而增大；x=0時(shí)，y有最大值0． 第一種：二次函數(shù)y=ax2的性質(zhì)（最基礎(chǔ)） 1.（2019·遼寧中考模擬）下列關(guān)于二次函數(shù)的說(shuō)法正確的是(　

10、　) A．它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(-1,-2) B．它的圖象的對(duì)稱軸是直線x=2 C．當(dāng)時(shí)，y隨x的增大而減小 D．當(dāng)x=0時(shí)，y有最大值為0 【答案】C 【詳解】 A. 它的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)-1,2，A錯(cuò)誤； B. 它的圖象的對(duì)稱軸是直線x=0，B錯(cuò)誤； C. 當(dāng)x<0時(shí)，y隨x的增大而減小，正確； D. 當(dāng)x=0時(shí)，y有最小值為0,D錯(cuò)誤. 2．（2019·山東中考模擬）給出下列函數(shù)：①y＝2x﹣3；②y＝1x；③y＝2x2；④y＝﹣3x+1．上述函數(shù)中符合條件“當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x增大而減小”的是（　?。? A．①③ B．③④ C．②④ D．②③ 【答案】C 【詳解

11、】 ①y＝2x﹣2，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x增大而增大，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； ②y＝1x，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x增大而減小，故此選項(xiàng)正確； ③y＝2x2，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x增大而增大，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； ④y＝﹣3x，當(dāng)x＞0時(shí)，函數(shù)值y隨自變量x增大而減小，故此選項(xiàng)正確； 故選C． 第二種：二次函數(shù)y=ax2+c的性質(zhì) a的符號(hào) 開(kāi)口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱軸 性質(zhì) a>0 向上 0?，??c y軸 x>0時(shí)，y隨x的增大而增大；x<0時(shí)，y隨x的增大而減??；x=0時(shí)，y有最小值c． a<0 向下 0?，??c y軸 x>0時(shí)，y隨x的增

12、大而減?。粁<0時(shí)，y隨x的增大而增大；x=0時(shí)，y有最大值c． 1．（2013·江蘇中考模擬）關(guān)于二次函數(shù)y＝2x2＋3，下列說(shuō)法中正確的是 （ ） A．它的開(kāi)口方向是向下 B．當(dāng)x＜－1時(shí)，y隨x的增大而減小 C．它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，3） D．當(dāng)x＝0時(shí)，y有最大值是3 【答案】B 【詳解】 A、∵a=2＞0，故它的開(kāi)口方向是向上，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、在y軸左側(cè)，y隨x的增大而減小，故當(dāng)x＜﹣1時(shí)，y隨x的增大而減小，正確； C、它的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，3），故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、當(dāng)x=0時(shí)，y有最小值是3，故此選項(xiàng)錯(cuò)誤； 故選：B． 2．（2017·黑龍江中考

13、模擬）二次函數(shù)y=2x2-3的圖象是一條拋物線，下列關(guān)于該拋物線的說(shuō)法正確的是（ ） A．拋物線開(kāi)口向下 B．拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn) C．拋物線的對(duì)稱軸是直線x =1 D．拋物線經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2,3） 【答案】B 【詳解】 A、a=2，則拋物線y=2x2-3的開(kāi)口向上，所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、當(dāng)y=0時(shí)，2x2-3=0，此方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，即拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，所以B選項(xiàng)正確； C、拋物線的對(duì)稱軸為直線x=0，所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤； D、當(dāng)x=2時(shí)，y=2×4-3=5，則拋物線不經(jīng)過(guò)點(diǎn)（2，3），所以D選項(xiàng)錯(cuò)誤， 故選B． 3．（2019·山東中考真題）已知拋物線y=-x

14、2+1，下列結(jié)論： ①拋物線開(kāi)口向上； ②拋物線與x軸交于點(diǎn)（-1，0）和點(diǎn)（1，0）； ③拋物線的對(duì)稱軸是y軸； ④拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1）； ⑤拋物線y=-x2+1是由拋物線y=-x2向上平移1個(gè)單位得到的． 其中正確的個(gè)數(shù)有（ ） A．5個(gè) B．4個(gè) C．3個(gè) D．2個(gè) 【答案】B 【詳解】 ①∵a=-1＜0，∴拋物線開(kāi)口向下，故本小題錯(cuò)誤； ②令y=0，則-x2+1=0，解得x1=1，x2=-1，所以，拋物線與x軸交于點(diǎn)（-1，0）和點(diǎn)（1，0），故本小題正確； ③拋物線的對(duì)稱軸x=-b2a=0，是y軸，故本小題正確； ④拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，1），故

15、本小題正確； ⑤拋物線y=-x2+1是由拋物線y=-x2向上平移1個(gè)單位得到，故本小題正確； 綜上所述，正確的有②③④⑤共4個(gè)． 故選B． 4．（2018·河北中考模擬）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y＝﹣x2+2x．點(diǎn)D（n，y1），E（3，y2）在拋物線上，若y1＜y2，則n的取值范圍是（　　） A．n＞3或n＜﹣1 B．n＞3 C．n＜1 D．n＞3或n＜1 【答案】A 【詳解】 解：∵拋物線y＝﹣x2+2x的對(duì)稱軸為x＝1， E（3，y2）關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的點(diǎn)（﹣1，y2）， ∵拋物線開(kāi)口向下， ∴y1＜y2時(shí)，n＞3或n＜﹣1， 故選：A． 第三種：二次函數(shù)

16、y=ax-h2的性質(zhì) a的符號(hào) 開(kāi)口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱軸 性質(zhì) a>0 向上 h?，??0 X=h x>h時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y隨x的增大而減??；x

17、稱軸x=3，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(3，0)，函數(shù)有最大值0， 故選項(xiàng)A、B、C正確， 選項(xiàng)D錯(cuò)誤， 故選D． 2（2019·湖北中考模擬）關(guān)于二次函數(shù)y＝12 (x+1)2的圖象，下列說(shuō)法正確的是( ) A．開(kāi)口向下 B．經(jīng)過(guò)原點(diǎn) C．對(duì)稱軸右側(cè)的部分是下降的 D．頂點(diǎn)坐標(biāo)是(﹣1，0) 【答案】D 【詳解】 二次函數(shù)y＝12 (x+1)2中a=12>0，所以拋物線開(kāi)口向上， 當(dāng)x=0時(shí)，y=12，所以圖象不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)， 因?yàn)閽佄锞€開(kāi)口向上，所以在對(duì)稱軸右側(cè)的部分是上升的， 由解析式可知頂點(diǎn)坐標(biāo)為(-1，0)， 所以選項(xiàng)A、B、C是錯(cuò)誤的，D是正確的， 故選D. 3（2

18、019·山東中考模擬）在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=a(x-h)2（a≠0）的圖象可能是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【詳解】 二次函數(shù)（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，0），它的頂點(diǎn)坐標(biāo)在x軸上， 故選D． 第四種：二次函數(shù)y=ax-h2+k的性質(zhì) a的符號(hào) 開(kāi)口方向 頂點(diǎn)坐標(biāo) 對(duì)稱軸 性質(zhì) a>0 向上 h?，??k X=h x>h時(shí)，y隨x的增大而增大；xh時(shí)，y隨x的增大而減小；x

19、數(shù)y=ax2+bx+c用配方法可化成： y=ax-h2+k的形式，其中h=-b2a，k=4ac-b24a. 1.2019·廣東中考模擬）關(guān)于拋物線y=2(x-1)2+1，下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（ ）． A．開(kāi)口向上 B．與x軸只有一個(gè)交點(diǎn) C．對(duì)稱軸是直線x=1 D．當(dāng)x>1時(shí)，y隨x的增大而增大 【答案】B 【詳解】 解：A、a＝2＞0，拋物線開(kāi)口向上，所以A選項(xiàng)的說(shuō)法正確； B、當(dāng)y＝0時(shí)，即2（x﹣1）2+1＝0，此方程沒(méi)有實(shí)數(shù)解，所以拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，所以B選項(xiàng)的說(shuō)法錯(cuò)誤； C、拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝1，所以C選項(xiàng)的說(shuō)法正確； D、拋物線開(kāi)口向上，拋物線的對(duì)稱

20、軸為直線x＝1，則當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而增大，所以D選項(xiàng)的說(shuō)法正確． 故選：B． 2.2019·廣西中考模擬）將y=x2-6x+1化成y=（x-h）2+k的形式，則h+k的值是( ) A．-5 B．-8 C．-11 D．5 【答案】A 【詳解】 解：∵y=x2-6x+1=（x-3）2-8， ∴（x-3）2-8=a（x-h）2+k， ∴a=1，h=3，k=-8， ∴h+k=3+（-8）=-5． 故選：A． 3（2019·江蘇中考模擬）已知二次函數(shù)y=（x﹣h）2+1（h為常數(shù)），在自變量x的值滿足1≤x≤3的情況下，與其對(duì)應(yīng)的函數(shù)值y的最小值為5，則h的值為（　　

21、） A．1或﹣5 B．﹣1或5 C．1或﹣3 D．1或3 【答案】B 【詳解】 ∴①若h＜1≤x≤3，x=1時(shí)，y取得最小值5， 可得：（1﹣h）2+1=5， 解得：h=﹣1或h=3（舍）； ②若1≤x≤3＜h，當(dāng)x=3時(shí)，y取得最小值5， 可得：（3﹣h）2+1=5， 解得：h=5或h=1（舍）． 綜上，h的值為﹣1或5， 故選：B． 二次函數(shù)圖象的平移 平移步驟： ? 將拋物線解析式轉(zhuǎn)化成頂點(diǎn)式y(tǒng)=ax-h2+k，確定其頂點(diǎn)坐標(biāo)h?，??k； ? 保持拋物線y=ax2的形狀不變，將其頂點(diǎn)平移到h?，??k處，具體平移方法如下： 平移規(guī)律 在原有函數(shù)的基

22、礎(chǔ)上“h值正右移，負(fù)左移；k值正上移，負(fù)下移”． 【概括】左加右減，上加下減 1．（2019·遼寧中考模擬）將拋物線y=3x2向上平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，那么得到的拋物線的解析式為（ ） A．V=-12x+94 B．P=Vx=-12x+94x=-12x2+94x C．-12x-942+4418 D． 【答案】A 【詳解】 將拋物線y=3x2向上平移3個(gè)單位，再向左平移2個(gè)單位，根據(jù)拋物線的平移規(guī)律可得新拋物線的解析式為V=-12x+94，故答案選A． 2．（2017·鄒平鎮(zhèn)第三中學(xué)中考模擬）把拋物線y＝－12x2向下平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，再向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度，得

23、到的拋物線解析式為( ) A．y＝－12 (x＋1)2＋1 B．y＝－12 (x＋1)2－1 C．y＝－12 (x－1)2＋1 D．y＝－12 (x－1)2－1 【答案】B 【詳解】 根據(jù)拋物線的平移規(guī)律“左加右減，上加下減”，可直接求得平移后的拋物線的解析式為：y=－12（x+1）2-1. 3．（2017·廣東中考模擬）把拋物線y＝x2＋4先向左平移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位，所得拋物線的表達(dá)式為( ) A．y＝(x＋1)2＋7 B．y＝(x－1)2＋7 C．y＝(x－1)2＋1 D．y＝(x＋1)2＋1 【答案】D 【詳解】 把拋物線y=x2+4先向左平

24、移1個(gè)單位，再向下平移3個(gè)單位所得新拋物線的解析式為：y=(x+1)2+1. 故選D. 4．（2018·山東中考模擬）將二次函數(shù)y=x2+2x﹣1的圖象沿x軸向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)表達(dá)式是（　?。? A．y=（x+3）2﹣2 B．y=（x+3）2+2 C．y=（x﹣1）2+2 D．y=（x﹣1）2﹣2 【答案】D 【詳解】 ∵y=x2+2x-1=（x+1）2-2， ∴二次函數(shù)y=x2+2x-1的圖象沿x軸向右平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的函數(shù)表達(dá)式是：y=（x+1-2）2-2=（x-1）2-2， 故選D． 5．（2019·浙江中考模擬）將拋物線y＝2（x﹣4）

25、2﹣1先向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，平移后所得拋物線的解析式為（　　） A．y＝2x2+1 B．y＝2x2﹣3 C．y＝2（x﹣8）2+1 D．y＝2（x﹣8）2﹣3 【答案】A 【詳解】拋物線y=2（x-4）2-1先向左平移4個(gè)單位長(zhǎng)度，得到的拋物線解析式為y=2（x-4+4）2-1，即y=2x2-1，再向上平移2個(gè)單位長(zhǎng)度得到的拋物線解析式為y=2x2-1+2，即y=2x2+1； 故選：A 拋物線y=ax2+bx+c的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱軸、頂點(diǎn). 求拋物線的頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法（難點(diǎn)） n 公式法：y=ax2+bx+c=ax+b2a2+4ac-b24a，

26、 ∴頂點(diǎn)是（-b2a，4ac-b24a），對(duì)稱軸是直線x=-b2a. n 配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線的解析式化為y=ax-h2+k的形式，得到頂點(diǎn)為(h,k)，對(duì)稱軸是直線x=h. 【拋物線的性質(zhì)】由于拋物線是以對(duì)稱軸為軸的軸對(duì)稱圖形，所以對(duì)稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對(duì)稱軸，對(duì)稱軸與拋物線的交點(diǎn)是頂點(diǎn). 用配方法求得的頂點(diǎn)，再用公式法或?qū)ΨQ性進(jìn)行驗(yàn)證，才能做到萬(wàn)無(wú)一失. 拋物線y=ax2+bx+c中，a,b,c與函數(shù)圖像的關(guān)系（靈活掌握） n 二次項(xiàng)系數(shù)a 二次函數(shù)y=ax2+bx+c中，a作為二次項(xiàng)系數(shù)，顯然a≠0． ⑴ 當(dāng)a>0時(shí)，拋物線開(kāi)口向上，a越大，開(kāi)口越

27、小，反之a(chǎn)的值越小，開(kāi)口越大； ⑶ 當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開(kāi)口向下，a越小，開(kāi)口越小，反之a(chǎn)的值越大，開(kāi)口越大． 【總結(jié)起來(lái)】a決定了拋物線開(kāi)口的大小和方向，a的正負(fù)決定開(kāi)口方向，a的大小決定開(kāi)口的大小． n 一次項(xiàng)系數(shù)b 在二次項(xiàng)系數(shù)a確定的前提下，b決定了拋物線的對(duì)稱軸． ⑴ 在a>0的前提下， 當(dāng)b>0時(shí)，-b2a<0，即拋物線的對(duì)稱軸在y軸左側(cè)（a、b同號(hào)）； 當(dāng)b=0時(shí)，-b2a=0，即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸； 當(dāng)b<0時(shí)，-b2a>0，即拋物線對(duì)稱軸在y軸的右側(cè)（a、b異號(hào)）． ⑵ 在a<0的前提下，結(jié)論剛好與上述相反，即 當(dāng)b>0時(shí)，-b2a>0，即拋物線的

28、對(duì)稱軸在y軸右側(cè)（a、b異號(hào)）； 當(dāng)b=0時(shí)，-b2a=0，即拋物線的對(duì)稱軸就是y軸； 當(dāng)b<0時(shí)，-b2a<0，即拋物線對(duì)稱軸在y軸的左側(cè)（a、b同號(hào)）． 【總結(jié)起來(lái)】在a確定的前提下，b決定了拋物線對(duì)稱軸的位置． n 常數(shù)項(xiàng)c ⑴ 當(dāng)c>0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸上方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為正； ⑵ 當(dāng)c=0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為0； ⑶ 當(dāng)c<0時(shí)，拋物線與y軸的交點(diǎn)在x軸下方，即拋物線與y軸交點(diǎn)的縱坐標(biāo)為負(fù)． 【總結(jié)起來(lái)】c決定了拋物線與y軸交點(diǎn)的位置． 總之，只要a?，??b?，??c都確定，那么這條拋物線就是唯一

29、確定的． 1（2018·天津中考模擬）如圖，拋物線y=ax2+bx+3（a≠0）的對(duì)稱軸為直線x=1，如果關(guān)于x的方程ax2+bx﹣8=0（a≠0）的一個(gè)根為4，那么該方程的另一個(gè)根為（　　） A．﹣4 B．﹣2 C．1 D．3 【答案】B 【詳解】 ∵關(guān)于x的方程ax2+bx-8=0有一個(gè)根為4， ∴拋物線y=ax2+bx-8與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（4，0）， 拋物線y=ax2+bx+3a≠0的對(duì)稱軸為直線x=1， ∴拋物線y=ax2+bx-8的對(duì)稱軸也是x=1， ∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為-2，0， ∴方程的另一個(gè)根為x=-2． 故選B． 2（2019·

30、許昌實(shí)驗(yàn)中學(xué)中考模擬）如圖是二次函數(shù)的部分圖象，由圖象可知不等式ax2+bx+c<0的解集是（ ） A．-15 C．x<-1且x>5 D．x＜－1或x＞5 【答案】D 【詳解】 利用二次函數(shù)的對(duì)稱性，可得出圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合圖象可得出ax2+bx+c<0的解集： 由圖象得：對(duì)稱軸是x=2，其中一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)為（5，0）， ∴圖象與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)為（－1，0）。 由圖象可知：ax2+bx+c<0的解集即是y＜0的解集， ∴x＜－1或x＞5。故選D。 3（2019·廣東中考模擬）已知函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，則關(guān)于x的方程a

31、x2+bx+c﹣4＝0的根的情況是（ ） A．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)數(shù)根 C．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 D．沒(méi)有實(shí)數(shù)根 【答案】A 【詳解】 ∵函數(shù)的頂點(diǎn)的縱坐標(biāo)為4， ∴直線y＝4與拋物線只有一個(gè)交點(diǎn)， ∴方程ax2+bx+c﹣4＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根， 故選A． 考查題型三 二次函數(shù)函數(shù)值大小的判斷方法 1．（2019·湖北中考真題）已知點(diǎn)A-1,m,B1,m,C2,m-nn>0在同一個(gè)函數(shù)的圖象上，這個(gè)函數(shù)可能是（ ） A．y＝x B．y=-2x C．y＝x2 D．y＝﹣x2 【答案】D 【詳解】 A-1,m,B1,m ∴點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于

32、y軸對(duì)稱； 由于y＝x，y＝-2x的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因此選項(xiàng)A,B錯(cuò)誤； ∵n＞0， ∴m﹣n＜m； 由B1,m,C2,m-n可知，在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小， 對(duì)于二次函數(shù)只有a<0時(shí)，在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而減小， ∴D選項(xiàng)正確 故選D． 2．（2019·江蘇中考模擬）已知二次函數(shù)y=a(x-2)2+c，當(dāng)x=x1時(shí)，函數(shù)值為y1；當(dāng)x=x2時(shí)，函數(shù)值為y2，若|x1-2|>|x2-2|，則下列表達(dá)式正確的是（ ） A．y1+y2>0 B．y1-y2>0 C．a(chǎn)(y1-y2)>0 D．a(chǎn)(y1+y2)>0 【答案】C 【詳解】 解：①a＞0時(shí)

33、，二次函數(shù)圖象開(kāi)口向上， ∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|， ∴y1＞y2， a（y1﹣y2）＞0， ②a＜0時(shí)，二次函數(shù)圖象開(kāi)口向下， ∵|x1﹣2|＞|x2﹣2|， ∴y1＜y2， a（y1﹣y2）＞0， 綜上所述，表達(dá)式正確的是a（y1﹣y2）＞0． 故選：C． 3．（2019·河南中考模擬）點(diǎn)P1-1,y1，P23,y2，P35,y3均在二次函數(shù)y=-x2+2x+c的圖象上，則y1，y2，y3的大小關(guān)系是______． 【答案】y1=y2>y3 【詳解】 解：∵y=-x2+2x+c， ∴對(duì)稱軸為x=1， P23,y2，P35,y3在對(duì)稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而

34、減小， ∵3<5， ∴y2>y3， 根據(jù)二次函數(shù)圖象的對(duì)稱性可知，P1-1,y1與3,y1關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱， 故y1=y2>y3， 故答案為：y1=y2>y3． 考查題型四 求拋物線頂點(diǎn)、對(duì)稱軸的方法 1．（2019·浙江中考模擬）關(guān)于拋物線y=12(x+2)2+3，下列說(shuō)法正確的是（ ） A．對(duì)稱軸是直線x=2，y有最小值是3 B．對(duì)稱軸是直線a=-1，y有最大值是3 C．對(duì)稱軸是直線x=2，y有最大值是3 D．對(duì)稱軸是直線a=-1，y有最小值是3 【答案】D 【詳解】 解：拋物線y=12（x+2）2+3的圖像開(kāi)口向上 ∵函數(shù)圖像對(duì)稱軸為直線x=-2， ∴x=-

35、2時(shí)有最小值3， 故選：D． 2．（2016·浙江中考模擬）對(duì)于二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+2的圖象，下列說(shuō)法正確的是（　?。? A．開(kāi)口向下 B．頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2） C．對(duì)稱軸是x＝﹣1 D．與x軸有兩個(gè)交點(diǎn) 【答案】B 【詳解】 A、y=（x﹣1）2+2，知a=1＞0，因此圖象的開(kāi)口向上，此選項(xiàng)錯(cuò)誤； B、y=（x﹣1）2+2頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2），此選項(xiàng)正確； C、對(duì)稱軸是直線x=1，此選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、（x﹣1）2+2=0，（x﹣1）2=﹣2，此方程無(wú)解，與x軸沒(méi)有交點(diǎn)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤． D、由y=（x﹣1）2+2=x2-2x+3，可得△=b2-4ac=4-1

36、2=-8，沒(méi)有交點(diǎn)，故本選項(xiàng)錯(cuò)誤. 故選：B 3．（2019·江蘇中考模擬）關(guān)于函數(shù)y＝﹣（x+2）2﹣1的圖象敘述正確的是（　?。? A．開(kāi)口向上 B．頂點(diǎn)（2，﹣1） C．與y軸交點(diǎn)為（0，﹣1） D．對(duì)稱軸為直線x＝﹣2 【答案】D 【詳解】 ∵函數(shù)y=-(x+2)2-1， ∴該函數(shù)圖象開(kāi)口向下，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤， 頂點(diǎn)坐標(biāo)為-2,-1，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤， 當(dāng)x=0時(shí)，y=-5，即該函數(shù)與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為0,-5，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤， 對(duì)稱軸是直線x=-2，故選項(xiàng)D正確， 故選：D 4．（2019·山東中考模擬）拋物線y=mx2+2mx+1（m為非零實(shí)數(shù)）的頂點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)____

37、________. 【答案】-1,1-m 【詳解】y=mx2+2mx+1 =m(x2+2x)+1 =m(x2+2x+1-1)+1 =m(x+1)2 +1-m， 所以拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（-1，1-m）， 故答案為（-1，1-m）. 考查題型五 拋物線對(duì)稱性的應(yīng)用 1．（2018·普定縣白巖鎮(zhèn)白巖中學(xué)中考模擬）將拋物線y=x2﹣1向下平移8個(gè)單位長(zhǎng)度后與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為（　?。? A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【詳解】將拋物線y=x2-1向下平移8個(gè)單位長(zhǎng)度， 其解析式變換為：y=x2-9 而拋物線y=x2-9與x軸的交點(diǎn)的縱坐

38、標(biāo)為0， 所以有：x2-9=0 解得：x1=-3，x2=3， 則拋物線y=x2-9與x軸的交點(diǎn)為（-3，0）、（3，0）， 所以，拋物線y=x2-1向下平移8個(gè)單位長(zhǎng)度后與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)之間的距離為6 故選B 2（2018·山東中考模擬）若二次函數(shù)α,β的圖象與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，那么m的值為（　 ） A．0 B．0或2 C．2或﹣2 D．0，2或﹣2 【答案】D 【詳解】 當(dāng)函數(shù)為一次函數(shù)時(shí)，則m=0；當(dāng)函數(shù)為二次函數(shù)時(shí)，則(m+2)2-4m(12m+1)=0，解得：m=±2．綜上所述，m=0或2或－2． 3．（2014·黑龍江中考真題）如圖，拋物線y=ax2+2x+c經(jīng)

39、過(guò)點(diǎn)A（0，3），B（﹣1，0），請(qǐng)解答下列問(wèn)題： （1）求拋物線的解析式； （2）拋物線的頂點(diǎn)為點(diǎn)D，對(duì)稱軸與x軸交于點(diǎn)E，連接BD，求BD的長(zhǎng)． 注：拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，）． 【答案】（1）拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3； （2）BD=． 【詳解】 （1）∵拋物線y=ax2+2x+c經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（0，3），B（﹣1，0）， ∴將A與B坐標(biāo)代入得：， 解得：， 則拋物線解析式為y=﹣x2+2x+3； （2）由D為拋物線頂點(diǎn)，得到D（1，4）， ∵拋物線與x軸交于點(diǎn)E， ∴DE=4，OE=1， ∵B（﹣1，0）， ∴BO=1，

40、 ∴BE=2， 在Rt△BED中，根據(jù)勾股定理得：BD=． 考查題型六 二次函數(shù)圖象特征與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用方法 1．（2019·陜西中考模擬）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,m）、（4、m）、（1，n），若n＜m，則（ ） A．a(chǎn)＞0且4a+b=0 B．a(chǎn)＜0且4a+b=0 C．a(chǎn)＞0且2a+b=0 D．a(chǎn)＜0且2a+b=0 【答案】A 【詳解】 ∵圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0,m）、（4、m） ∴對(duì)稱軸為x=2， 則-b2a=2, ∴4a+b=0 ∵圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)（1，n），且n＜m ∴拋物線的開(kāi)口方向向上， ∴a＞0， 故選A. 2．（2019·廣

41、東中考模擬）如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c圖象的一部分，圖象過(guò)點(diǎn)A(﹣5，0)，對(duì)稱軸為直線x＝﹣2，給出四個(gè)結(jié)論：①abc＞0；②4a+b＝0；③若點(diǎn)B(﹣3，y1)、C(﹣4，y2)為函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，則y2＜y1；④a+b+c＝0．其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【詳解】 由圖象可知：開(kāi)口向下，故a＜0， 拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸上方，故c＞0， ∵對(duì)稱軸x＝﹣b2a＜0， ∴b＜0， ∴abc＞0，故①正確； ∵對(duì)稱軸為x＝﹣2， ∴﹣b2a＝﹣2， ∴b＝4a， ∴4a﹣b＝0，故②不正確； 當(dāng)x＜﹣2時(shí)，

42、 此時(shí)y隨x的增大而增大， ∵﹣3＞﹣4， ∴y1＞y2，故③正確； ∵圖象過(guò)點(diǎn)A(﹣5，0)，對(duì)稱軸為直線x＝﹣2， ∴點(diǎn)A關(guān)于x＝﹣2對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)為：(1，0) 令x＝1代入y＝ax2+bx+c， ∴y＝a+b+c＝0，故④正確 故選：C． 4．（2013·廣西中考真題）已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，給出以下結(jié)論：①b2＞4ac；②abc＞0；③2a﹣b=0；④8a+c＜0；⑤9a+3b+c＜0，其中結(jié)論正確的是　 ?。ㄌ钫_結(jié)論的序號(hào)） 【答案】①②⑤ 【詳解】 ①由圖知：拋物線與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，則△=b2﹣4ac＞0，∴b

43、2＞4ac。故①正確。 ②拋物線開(kāi)口向上，得：a＞0； 拋物線的對(duì)稱軸為x=-b2a=1，b=﹣2a，故b＜0； 拋物線交y軸于負(fù)半軸，得：c＜0； 所以abc＞0。故②正確。 ③∵拋物線的對(duì)稱軸為x=-b2a=1，b=﹣2a，∴2a+b=0，故2a﹣b=0。故③錯(cuò)誤。 ④根據(jù)②可將拋物線的解析式化為：y=ax2﹣2ax+c（a≠0）； 由函數(shù)的圖象知：當(dāng)x=﹣2時(shí)，y＞0；即4a﹣（﹣4a）+c=8a+c＞0，故④錯(cuò)誤。 ⑤根據(jù)拋物線的對(duì)稱軸方程可知：（﹣1，0）關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn)是（3，0）； 當(dāng)x=﹣1時(shí)，y＜0，所以當(dāng)x=3時(shí)，也有y＜0，即9a+3b+c＜0。故⑤正

44、確。 綜上所述，結(jié)論正確的有①②⑤。 知識(shí)點(diǎn)三 拋物線與x軸的交點(diǎn) 二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2，是對(duì)應(yīng)一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根.拋物線與x軸的交點(diǎn)情況可以由對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定： ①有兩個(gè)交點(diǎn)?Δ>0?拋物線與x軸相交； ②有一個(gè)交點(diǎn)（頂點(diǎn)在x軸上）?Δ=0?拋物線與x軸相切； ③沒(méi)有交點(diǎn)?Δ<0?拋物線與x軸相離. 考查題型七 利用二次函數(shù)與x軸的交點(diǎn)判斷字母的值范圍的方法 1．（2018·湖北中考真題）已知二次函數(shù)y=x2﹣x+14m﹣1的圖象與x軸有交點(diǎn)，則m的

45、取值范圍是（　?。? A．m≤5 B．m≥2 C．m＜5 D．m＞2 【答案】A 【詳解】∵二次函數(shù)y=x2﹣x+14m﹣1的圖象與x軸有交點(diǎn)， ∴△=(-1) 2-4×1×(14 m-1)≥0， 解得：m≤5， 故選A． 考查題型八 二次函數(shù)與一元二次方程、不等式綜合應(yīng)用的方法 1．（2012·江蘇中考模擬）若二次函數(shù)y=(x-m)2-1，當(dāng)x≤1時(shí)，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是（ ） A．m=1 B．m>1 C．m≥1 D．m≤1 【答案】C 【詳解】 ∵二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=（x-m）2-1的二次項(xiàng)系數(shù)是1， ∴該二次函數(shù)的開(kāi)口方向是向上； 又∵該

46、二次函數(shù)的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（m，-1）， ∴該二次函數(shù)圖象在x＜m上是減函數(shù)，即y隨x的增大而減小，且對(duì)稱軸為直線x=m， 而已知中當(dāng)x≤1時(shí)，y隨x的增大而減小， ∴x≤1， ∴m≥1． 故選C． 2．（2017·江蘇中考模擬）若二次函數(shù)y=（x﹣m）2﹣1，當(dāng)x≤3時(shí)，y隨x的增大而減小，則m的取值范圍是（　?。? A．m=3 B．m＞3 C．m≥3 D．m≤3 【答案】C 【詳解】 ∵a=1>0， ∴在對(duì)稱軸的左側(cè)，y隨x的增大而減小， ∵y=（x﹣m）2﹣1的對(duì)稱軸是x=m， ∴m≥3. 故選C. 3．（2019·四川中考真題）如圖，拋物線

47、y=ax2+bx+c(a≠0)過(guò)點(diǎn)(-1,0)，(0,2)，且頂點(diǎn)在第一象限，設(shè)M=4 a+2 b+c，則M的取值范圍是___． 【答案】-60，a<0， ∴b>0， ∴a>-2， ∴-2

48、c的圖象大致為（　?。? A． B． C． D． 【答案】D 【詳解】 解：∵一次函數(shù)和二次函數(shù)都經(jīng)過(guò)y軸上的（0，c）， ∴兩個(gè)函數(shù)圖象交于y軸上的同一點(diǎn)，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤； 當(dāng)a＞0時(shí)，二次函數(shù)開(kāi)口向上，一次函數(shù)經(jīng)過(guò)一、三象限，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤； 當(dāng)a＜0時(shí)，二次函數(shù)開(kāi)口向下，一次函數(shù)經(jīng)過(guò)二、四象限，故A錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確； 故選：D． 2．（2018·安徽中考模擬）二次函數(shù)y=a(x+m)2+n的圖象如圖，則一次函數(shù)y=mx+n的圖象經(jīng)過(guò)（ ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】C 【詳解】 ∵拋物線的頂

49、點(diǎn)在第四象限，∴﹣m＞0，n＜0?！鄊＜0， ∴一次函數(shù)y=mx+n的圖象經(jīng)過(guò)二、三、四象限。故選C。 3.（2018·山東中考模擬）已知二次函數(shù)y＝(x+m)2﹣n的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝mx+n與反比例函數(shù)y＝mnx的圖象可能是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【詳解】 由二次函數(shù)的圖象，得﹣m＞0，﹣n＜0， 化簡(jiǎn)，得m＜0，n＞0， y＝mx+n圖象經(jīng)過(guò)一二四象限，y＝mnx圖象位于二四象限， 故選：D． 4．（2019·安徽中考模擬）二次函數(shù)y＝a(x﹣m)2﹣n的圖象如圖，則一次函數(shù)y＝mx+n的圖象經(jīng)過(guò)(　　) A．第一、二、三象

50、限 B．第一、二、四象限 C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限 【答案】A 【詳解】 解：觀察函數(shù)圖象，可知：m＞0，n＞0， ∴一次函數(shù)y＝mx+n的圖象經(jīng)過(guò)第一、二、三象限． 故選：A． 知識(shí)點(diǎn)四 根據(jù)條件確定二次函數(shù)表達(dá)式的幾種基本思路（重點(diǎn)） ? 三點(diǎn)式（帶入） 1，已知拋物線y=ax2+bx+c 經(jīng)過(guò)A（3，0），B（23，0），C（0，-3）三點(diǎn)，求拋物線的解析式。 2，已知拋物線y=a(x-1)２+4 ， 經(jīng)過(guò)點(diǎn)A（2，3），求拋物線的解析式。 ? 頂點(diǎn)式（頂點(diǎn)坐標(biāo)（-b2a，4ac-b24a）） 1，已知拋物線y=x2-2ax+a2+b 頂點(diǎn)為A（

51、2，1），求拋物線的解析式。 2，已知拋物線 y=4(x+a)2-2b 的頂點(diǎn)為（3，1），求拋物線的解析式。 ? 交點(diǎn)式（帶入） 1，已知拋物線與 x 軸兩個(gè)交點(diǎn)分別為（3，0）,(5,0),求拋物線y=(x-a)(x-b)的解析式。 2，已知拋物線線與 x 軸兩個(gè)交點(diǎn)（4，0），（1，0）求拋物線y=12a(x-2a)(x-b)的解析式。 ? 定點(diǎn)式 1， 在直角坐標(biāo)系中，不論a 取何值，拋物線y=-12x2+5-a2x+2a-2經(jīng)過(guò)x 軸上一定點(diǎn)Q，直線y=(a-2)x+2經(jīng)過(guò)點(diǎn)Q,求拋物線的解析式。 2.拋物線y= x2 +(2m-2)x-4m與x軸的交點(diǎn)一定經(jīng)過(guò)直

52、線y=mx+m+4，求拋物線的解析式。 解：拋物線與X軸相交，Y=0 x2+(2m-2)X-4m=0 x2-2X+2mx-4m=0 X(X-2)+2m(X-2)=0 (X-2)(X+2m)=0 所以 x=2 必過(guò)（2,0） 代入直線 得m=-43 Y= x2-113x+83 3，拋物線y=ax2+ax-2過(guò)直線y=mx-2m+2上的定點(diǎn)A，求拋物線的解析式。 直線y=mx-2m+2 y=m(x-2)+2 直線經(jīng)過(guò)定點(diǎn)，則與m的取值無(wú)關(guān)，所以 x-2=0 y=2 即定點(diǎn)坐標(biāo)為A（2,2） 所拋物線y=ax2+ax-2過(guò)(2,2) 2=6a-2 6a=4 a=23

53、 知識(shí)點(diǎn)五 通過(guò)二次函數(shù)解決實(shí)際問(wèn)題 考查題型十 借助拋物線圖像解決實(shí)際問(wèn)題 1．（2019·山東中考真題）從地面豎直向上拋出一小球，小球的高度h (單位：m)與小球運(yùn)動(dòng)時(shí)間t (單位：)之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示．下列結(jié)論：①小球在空中經(jīng)過(guò)的路程是；②小球拋出3秒后，速度越來(lái)越快；③小球拋出3秒時(shí)速度為0；④小球的高度h=30m時(shí)，t=1.5s．其中正確的是( ) A．①④ B．①② C．②③④ D．②③ 【答案】D 【詳解】 ①由圖象知小球在空中達(dá)到的最大高度是；故①錯(cuò)誤； ②小球拋出3秒后，速度越來(lái)越快；故②正確； ③小球拋出3秒時(shí)達(dá)到最高點(diǎn)即速度為0；故③正確；

54、④設(shè)函數(shù)解析式為：h=at-32+40， 把O0,0代入得0=a0-32+40，解得a=-409， ∴函數(shù)解析式為h=-409t-32+40， 把h=30代入解析式得，30=-409t-32+40， 解得：t=4.5或t=1.5， ∴小球的高度h=30m時(shí)，t=1.5s或4.5s，故④錯(cuò)誤； 故選：D． 2．（2018·重慶中考模擬）一位籃球運(yùn)動(dòng)員在距離籃圈中心水平距離4m處起跳投籃，球沿一條拋物線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)球運(yùn)動(dòng)的水平距離為2.5m時(shí)，達(dá)到最大高度3.5m，然后準(zhǔn)確落入籃框內(nèi)．已知籃圈中心距離地面高度為3.05m，在如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，下列說(shuō)法正確的是（　　） A．

55、此拋物線的解析式是y=﹣15x2+3.5 B．籃圈中心的坐標(biāo)是（4，3.05） C．此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（3.5，0） D．籃球出手時(shí)離地面的高度是2m 【答案】A 【詳解】 解：A、∵拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，3.5）， ∴可設(shè)拋物線的函數(shù)關(guān)系式為y=ax2+3.5． ∵籃圈中心（1.5，3.05）在拋物線上，將它的坐標(biāo)代入上式，得 3.05=a×1.52+3.5， ∴a=﹣15， ∴y=﹣15x2+3.5． 故本選項(xiàng)正確； B、由圖示知，籃圈中心的坐標(biāo)是（1.5，3.05）， 故本選項(xiàng)錯(cuò)誤； C、由圖示知，此拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（0，3.5）， 故本選項(xiàng)錯(cuò)誤；

56、 D、設(shè)這次跳投時(shí)，球出手處離地面hm， 因?yàn)椋?）中求得y=﹣0.2x2+3.5， ∴當(dāng)x=﹣2.5時(shí)， h=﹣0.2×（﹣2.5）2+3.5=2.25m． ∴這次跳投時(shí)，球出手處離地面2.25m． 故本選項(xiàng)錯(cuò)誤． 故選：A． 考查題型十一 利用直角坐標(biāo)系解決實(shí)際問(wèn)題 1．（2017·甘肅中考模擬）圖（1）是一個(gè)橫斷面為拋物線形狀的拱橋，當(dāng)水面在圖（1）位置時(shí)，拱頂（拱橋洞的最高點(diǎn)）離水面2 m，水面寬4 m．如圖（2）建立平面直角坐標(biāo)系，則拋物線的關(guān)系式是（ ） A．y=﹣2x2 B．y=2x2 C．y=﹣0.5x2 D．y=0.5x2 【答案】C 【詳解】

57、 由題意可得，設(shè)拋物線解析式為：y=ax2，由圖意知拋物線過(guò)（2，–2），故–2=a×22，解得：a=–0.5，故解析式為 y=﹣0.5x2 ，選C． 2．（2019·山西中考模擬）如圖所示的是拋物線型拱橋，當(dāng)拱頂離水面2m時(shí)，水面寬4m，若水面下降2m，則水面寬度增加（ ） A．42+4m B．42m C．42-4m D．4m 【答案】C 【詳解】 解：以AB所在的直線為x軸，向右為正方向，線段AB的垂直平分線為y軸，向上為正方向，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系， 拋物線以y軸為對(duì)稱軸，且經(jīng)過(guò)A，B兩點(diǎn)，OA和OB可求出為AB的一半2米，拋物線頂點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，2

58、），設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=ax2+2，代入A點(diǎn)坐標(biāo)（-2，0）， 得出：a=-0.5，所以拋物線解析式為y=-0.5x2+2， 把y=-2代入拋物線解析式得出：-2=-0.5x2+2， 解得：x=±22， 所以水面寬度增加到42米，比原先的寬度當(dāng)然是增加了（42-4）米， 故選：C． 考查題型十二 利用二次函數(shù)求最大面積 1．（2017·江西南昌二中中考模擬）中學(xué)課外興趣活動(dòng)小組準(zhǔn)備圍建一個(gè)矩形苗圃園，其中一邊靠墻，另外三邊用長(zhǎng)為30米的籬笆圍成，已知墻長(zhǎng)為18米(如圖所示)，設(shè)這個(gè)苗圃園垂直于墻的一邊的長(zhǎng)為x米. (1)若苗圃園的面積為72平方米，求x； (2)若平行于墻的一邊長(zhǎng)

59、不小于8米，這個(gè)苗圃園的面積有最大值和最小值嗎?如果有，求出最大值和最小值；如果沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由； (3)當(dāng)這個(gè)苗圃園的面積不小于100平方米時(shí)，直接寫(xiě)出x的取值范圍. 【答案】(1) x=12；(2)苗圃園的面積最大為112.5平方米，最小為88平方米；(3) 6≤x≤10. 【詳解】 解：(1)苗圃園與墻平行的一邊長(zhǎng)為(30－2x)米．依題意可列方程 x(30－2x)＝72，即x2－15x＋36＝0． 解得x1＝3，x2＝12． 又∵30－2x≤18，即x≥6， ∴x=12 (2)依題意，得8≤30－2x≤18．解得6≤x≤11． 面積S＝x(30－2x)＝－2(x－1

60、52)2＋2252 (6≤x≤11)． ①當(dāng)x＝152時(shí)，S有最大值，S最大＝2252； ②當(dāng)x＝11時(shí)，S有最小值，S最?。?1×(30－22)＝88． (3)令x(30－2x)＝100，得x2－15x＋50＝0． 解得x1＝5，x2＝1 ∴x的取值范圍是5≤x≤10． 考查題型十三 利用二次函數(shù)求最大利潤(rùn) 1．（2013·遼寧中考真題）某商場(chǎng)購(gòu)進(jìn)一批單價(jià)為4元的日用品．若按每件5元的價(jià)格銷售，每月能賣出3萬(wàn)件；若按每件6元的價(jià)格銷售，每月能賣出2萬(wàn)件，假定每月銷售件數(shù)y（件）與價(jià)格x（元/件）之間滿足一次函數(shù)關(guān)系． （1）試求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式； （2）當(dāng)銷售價(jià)

61、格定為多少時(shí)，才能使每月的利潤(rùn)最大？每月的最大利潤(rùn)是多少？ 【答案】（1）y=-10000x+80000（2）當(dāng)銷售價(jià)格定為6元時(shí)，每月的利潤(rùn)最大，每月的最大利潤(rùn)為40000元 【詳解】解：（1）由題意，可設(shè)y=kx+b， 把（5，30000），（6，20000）代入得：&5k+b=30000&6k+b=20000，解得：&k=-10000&b=80000。 ∴y與x之間的關(guān)系式為：y=-10000x+80000。 （2）設(shè)利潤(rùn)為W，則 W=x-4-10000x+80000=-10000x2-12x+32=-10000x-62+40000， ∴當(dāng)x=6時(shí)，W取得最大值，最大值為4

62、0000元。 答：當(dāng)銷售價(jià)格定為6元時(shí)，每月的利潤(rùn)最大，每月的最大利潤(rùn)為40000元。 考查題型十四 利用二次函數(shù)解決運(yùn)動(dòng)中的幾何問(wèn)題 1．（2019·云南中考模擬）如圖，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝3cm，BC＝6cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A開(kāi)始沿AB向點(diǎn)B以1cm/s的速度移動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿BC向點(diǎn)C以2cm/s的速度移動(dòng)，若P，Q兩點(diǎn)分別從A，B兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，P點(diǎn)到達(dá)B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)停止，則△PBQ的面積S隨出發(fā)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系圖象大致是（　?。? A． B． C． D． 【答案】C 【詳解】 由題意可得：PB＝3﹣t，BQ＝2t， 則△PBQ的面積S＝12PB?BQ＝1

63、2（3﹣t）×2t＝﹣t2+3t， 故△PBQ的面積S隨出發(fā)時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系圖象大致是二次函數(shù)圖象，開(kāi)口向下． 故選：C． 2．（2019·河南中考模擬）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，點(diǎn)P、Q分別是CD、AD的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)E從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B時(shí)停止運(yùn)動(dòng)；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)F從點(diǎn)P出發(fā)，沿P→D→Q運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)E、F的運(yùn)動(dòng)速度相同．設(shè)點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)路程為x，△AEF的面積為y，能大致刻畫(huà)y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象是（ ） A． B． C．D． 【答案】A 【詳解】 當(dāng)F在PD上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△AEF的面積為y=12AE?AD=2x（0≤x≤2）， 當(dāng)F在DQ上運(yùn)動(dòng)時(shí)，△AEF的面積為y=

64、12AE?AF==（2＜x≤4）， 圖象為： 故選A． 3．（2019·河南中考模擬）如圖，在RtΔABC中，∠C=90°，AB=10cm,BC=8cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A沿AC向點(diǎn)C以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C沿CB向點(diǎn)B以2cm/s的速度運(yùn)動(dòng)（點(diǎn)Q運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B停止）。則四邊形PABQ的面積y(cm2)與運(yùn)動(dòng)時(shí)間x(s)之間的函數(shù)圖象為（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【詳解】 解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=8cm， ∴AC=AB2-BC2=6cm, 設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x（0≤x≤4），則PC=（6-x）cm，CQ=2xcm， ∴S四邊形PABQ=S△ABC-S△CPQ =12AC?BC-12PC?CQ =12×6×8-12×（6-x）×2x =x2-6x+24 =（x-3）2+15. 根據(jù)函數(shù)解析式可得函數(shù)圖象應(yīng)為：C. 35