(全國(guó)通用版)2019年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 第四單元 圖形的初步認(rèn)識(shí)與三角形 第16講 直角三角形練習(xí)

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1、 第16講 直角三角形 重難點(diǎn)1  直角三角形性質(zhì)的應(yīng)用  (2018·南充)如圖,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠A=30°,D,E,F(xiàn)分別為AB,AC,AD的中點(diǎn).若BC=2,則EF的長(zhǎng)度為(B) A. B.1 C. D. 直角三角形中“斜邊上的中線等于斜邊的一半”,“30°角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半”都能揭示直角三角形中的直角邊、斜邊上的中線與斜邊的關(guān)系,運(yùn)用這兩個(gè)性質(zhì)時(shí),要注意它們之間的區(qū)別. 【變式訓(xùn)練1】 (2018·常德)如圖,已知BD是△ABC的角平分線,ED是B

2、C的垂直平分線,∠BAC=90°,AD=3,則CE的長(zhǎng)為(D) A.6 B.5 C.4 D.3 重難點(diǎn)2 勾股定理及其逆定理  (1)(2017·益陽(yáng))如圖1,在△ABC中,AC=5,BC=12,AB=13,CD是AB邊上的中線,則CD=6.5; 圖1 【變式提問(wèn)】 (2)如圖2,在△ABC中,AB=5,AC=13,BC上的中線AD=6,求BC的長(zhǎng). 圖2 【思路點(diǎn)撥】 (1)對(duì)于原題來(lái)說(shuō),由勾股定理的逆定理可得△ABC為直角三角形,再由直角三角形斜邊上的中線等于

3、斜邊的一半得CD的長(zhǎng)度;(2)對(duì)于變式,可延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使DE=DA,連接BE,證得△ABE是直角三角形,再利用勾股定理求BD,從而得BC. 【自主解答】 解:延長(zhǎng)AD到點(diǎn)E,使DE=AD,連接BE. 在△ADC和△EDB中, ∴△ADC≌△EDB(SAS).∴AC=BE=13. ∵在△ABE中,AB=5,AE=12,BE=13,∴AB2+AE2=BE2.∴∠BAE=90°. ∵在△ABD中,∠BAD=90°,AB=5,AD=6, ∴BD==.∴BC=2. 1.已知三角形兩邊及第三條邊上中線長(zhǎng),通常把中線延長(zhǎng)并加倍,這樣可利用三角形全等,把分散的條件集中在同一個(gè)三角形中

4、. 2.要求一條線段的長(zhǎng)可以轉(zhuǎn)化成求這條線段的一半或2倍. 在利用勾股定理的逆定理時(shí),注意當(dāng)兩條較小邊的平方和等于最大邊的平方時(shí),此三角形是直角三角形. 【變式訓(xùn)練2】 (2018·瀘州)“趙爽弦圖”巧妙地利用面積關(guān)系證明了勾股定理,是我國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲.如圖所示的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形拼成的一個(gè)大正方形.設(shè)直角三角形較長(zhǎng)直角邊長(zhǎng)為a,較短直角邊長(zhǎng)為b.若ab=8,大正方形的面積為25,則小正方形的邊長(zhǎng)為(D) A.9 B.6 C.4 D.3 【變式訓(xùn)練3】 (2018·襄陽(yáng))已

5、知CD是△ABC的邊AB上的高.若CD=,AD=1,AB=2AC,則BC的長(zhǎng)為2或2. 考點(diǎn)1 直角三角形的定義 1.(2018·柳州)如圖,圖中直角三角形有(C) A.1個(gè) B.2個(gè) C.3個(gè) D.4個(gè) 2.具備下列條件的△ABC中,不是直角三角形的是(D) A.∠A+∠B=∠C B.∠A-∠B=∠C C.∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3 D.∠A=∠B=3∠C 考點(diǎn)2 直角三角形的兩個(gè)銳角互余 3.(2017·株洲)如圖所示,在△ABC中,∠B=25°.      考點(diǎn)3

6、 含30°角的直角三角形的性質(zhì) 4.如圖,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AB=12,則BC=(A) A.6 B.6 C.6 D.12 5.(2018·泰州)如圖,在四邊形ABCD中,AC平分∠BAD,∠ACD=∠ABC=90°,E,F(xiàn)分別為AC,CD的中點(diǎn),∠D=α,則∠BEF的度數(shù)為270°-3α.(用含α的式子表示) 6.(2018·廣安)如圖,∠AOE=∠BOE=15°,EF∥OB,EC⊥OB于點(diǎn)C.若EC=1,則OF=2. 考點(diǎn)4 直角三角形斜邊上的中線的性質(zhì) 7.(2018·福建)如圖,

7、在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,D是AB的中點(diǎn),則CD=3. 8.(2018·徐州)如圖,在Rt△ABC中,∠ABC=90°,D為AC的中點(diǎn).若∠C=55°,則∠ABD=35°. 考點(diǎn)5 勾股定理 9.(2018·濱州)在直角三角形中,若勾為3,股為4,則弦為(A) A.5 B.6 C.7 D.8 10.(2017·紹興)如圖,小巷左右兩側(cè)是豎直的墻,一架梯子斜靠在左墻時(shí),梯子底端到左墻角的距離為0.7米,頂端距離地面2.4米,如果保持梯子底端位置不動(dòng),將梯子斜靠在右墻時(shí),頂端距

8、離地面2米,則小巷的寬度為(C) A.0.7米 B.1.5米 C.2.2米 D.2.4米 11.(2018·德州)如圖,OC為∠AOB的平分線,CM⊥OB,OC=5,OM=4.則點(diǎn)C到射線OA的距離為3. 12.(2018·吉林)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中A(4,0),B(0,3),以點(diǎn)A為圓心,AB長(zhǎng)為半徑畫弧,交x軸的負(fù)半軸于點(diǎn)C,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,0). 考點(diǎn)6 勾股定理的逆定理 13.下列四組線段中,可以構(gòu)成直角三角形的是(B) A.4,5,6 B.1.5,2,2.5

9、 C.2,3,4 D.1,,3 14.(2018·曲靖)如圖,在△ABC中,AB=13,BC=12,點(diǎn)D,E分別為AB,BC的中點(diǎn),連接DE,CD.如果DE=2.5,那么△ACD的周長(zhǎng)是18. 15.(2018·畢節(jié))如圖,在矩形ABCD中,AD=3,M是CD上的一點(diǎn),將△ADM沿直線AM對(duì)折得到△ANM.若AN平分∠MAB,則折痕AM的長(zhǎng)為(B) A.3 B.2 C.3 D.6 16.(2018·婁底)如圖,往豎直放置的在A處由短軟管連接的粗細(xì)均勻細(xì)管組成

10、的“U”形裝置中注入一定量的水,水面高度為6 cm,現(xiàn)將右邊細(xì)管繞A處順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)60°到AB位置,則AB中水柱的長(zhǎng)度約為(C) A.4 cm B.6 cm C.8 cm D.12 cm 17.(2018·棗莊)如圖是由8個(gè)全等的小矩形組成的大正方形,線段AB的端點(diǎn)都在小矩形的頂點(diǎn)上.如果點(diǎn)P是某個(gè)小矩形的頂點(diǎn),連接PA,PB,那么使△ABP為等腰直角三角形的點(diǎn)P的個(gè)數(shù)是(B) A.2個(gè) B.3個(gè) C.4個(gè) D.5個(gè) 18.(2018·荊州)為了比較+1與的大小,可以構(gòu)造如圖

11、所示的圖形進(jìn)行推算,其中∠C=90°,BC=3,D在BC上,且BD=AC=1.通過(guò)計(jì)算可得+1>.(填“<”“>”或“=”) 19.(2018·福建)把兩個(gè)同樣大小的含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置,其中一個(gè)三角尺的銳角頂點(diǎn)與另一個(gè)的直角頂點(diǎn)重合于點(diǎn)A,且另三個(gè)銳角頂點(diǎn)B,C,D在同一直線上.若AB=,則CD=-1. 20.(2018·黃岡)如圖,圓柱形玻璃杯高為14 cm,底面周長(zhǎng)為32 cm,在杯內(nèi)壁離杯底5 cm的點(diǎn)B處有一滴蜂蜜,此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁,離杯上沿3 cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處,則螞蟻從外壁A處到內(nèi)壁B處的最短距離為20cm.(杯壁厚度不計(jì)) 21.

12、(2018·無(wú)錫)已知在△ABC中,AB=10,AC=2,∠B=30°,則△ABC的面積等于10或15. 22.(2018·北京)如圖所示的網(wǎng)格是正方形網(wǎng)格,則∠BAC>∠DAE.(填“>”“=”或“<”) 23.(2018·資陽(yáng))如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,等腰直角三角形OAA1的直角邊OA在x軸上,點(diǎn)A1在第一象限,且OA=1,以點(diǎn)A1為直角頂點(diǎn),OA1為一直角邊作等腰直角三角形OA1A2,再以點(diǎn)A2為直角頂點(diǎn),OA2為直角邊作等腰直角三角形OA2A3,…,依此規(guī)律,則點(diǎn)A2 018的坐標(biāo)是(0,21__009). 24.(2018·湖州)在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中,每個(gè)

13、小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn),以頂點(diǎn)都是格點(diǎn)的正方形ABCD的邊為斜邊,向內(nèi)作四個(gè)全等的直角三角形,使四個(gè)直角頂點(diǎn)E,F(xiàn),G,H都是格點(diǎn),且四邊形EFGH為正方形,我們把這樣的圖形稱為格點(diǎn)弦圖.例如,在圖1所示的格點(diǎn)弦圖中,正方形ABCD的邊長(zhǎng)為,此時(shí)正方形EFGH的面積為5.問(wèn):當(dāng)格點(diǎn)弦圖中的正方形ABCD的邊長(zhǎng)為時(shí),正方形FEGH的面積的所有可能值是9,13和49.(不包括5)   圖1            備用圖 25.(2018·長(zhǎng)沙)我國(guó)南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶的著作《數(shù)書九章》里記載有這樣一道題目:“問(wèn)有沙田一塊,有三斜,其中小斜五里,中斜十二里,大斜十三里,欲知為田幾何?”這道

14、題講的是:有一塊三角形沙田,三條邊長(zhǎng)分別為 5里,12里,13里,問(wèn)這塊沙田面積有多大?題中的“里”是我國(guó)市制長(zhǎng)度單位,1里=500米,則該沙田的面積為(A) A.7.5 平方千米 B.15 平方千米 C.75 平方千米 D.750 平方千米 26.(2018·湘潭)《九章算術(shù)》是我國(guó)古代最重要的數(shù)學(xué)著作之一,在“勾股”章中記載了一道“折竹抵地”問(wèn)題:“今有竹高一丈,末折抵地,去本三尺,問(wèn)折者高幾何?”翻譯成數(shù)學(xué)問(wèn)題是:如圖所示,在△ABC中,∠ACB=90°,AC+AB=10,BC=3,求AC的長(zhǎng),如果設(shè)AC=x,則可列方程為x2+32=(10-x)2. 6

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