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1、
大題加練(二)
姓名：________ 班級(jí)：________ 用時(shí)：______分鐘
1．如圖，已知直線y＝－x＋3交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B，拋物線y＝ax2＋bx＋c經(jīng)過(guò)A，B，C(1，0)三點(diǎn)．
(1)求拋物線的表達(dá)式；
(2)若點(diǎn)D的坐標(biāo)為(－1，0)，在直線y＝－x＋3上有一點(diǎn)P，使△ABO與△ADP相似，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；
(3)在(2)的條件下，在x軸下方的拋物線上，是否存在點(diǎn)E，使△ADE的面積等于四邊形APCE的面積？若存在，請(qǐng)求出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
2．如圖，直線y＝x＋2與拋物線y＝ax2＋b
2、x＋6相交于A(，)和B(4，m)兩點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AB上異于A，B的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作PC⊥x軸，交拋物線于點(diǎn)C.
(1)求拋物線的解析式；
(2)是否存在這樣的點(diǎn)P，使線段PC的長(zhǎng)有最大值？若存在，求出這個(gè)最大值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；
(3)當(dāng)△PAC為直角三角形時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．
3．如圖，已知拋物線y＝ax2＋bx－2(a≠0)與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于C點(diǎn)，直線BD交拋物線于點(diǎn)D，并且D(2，3)，tan∠DBA＝.
(1)求拋物線的解析式；
(2)已知點(diǎn)M為拋物線上一動(dòng)
3、點(diǎn)，且在第三象限，順次連接點(diǎn)B，M，C，A，求四邊形BMCA面積的最大值；
(3)在(2)中四邊形BMCA面積最大的條件下，過(guò)點(diǎn)M作直線平行于y軸，在這條直線上是否存在一個(gè)以Q點(diǎn)為圓心，OQ為半徑且與直線AC相切的圓？若存在，求出圓心Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
參考答案
1．解：(1)由題意得A(3，0)，B(0，3)．
∵拋物線經(jīng)過(guò)A，B，C三點(diǎn)，
∴把A(3，0)，B(0，3)，C(1，0)三點(diǎn)分別代入y＝ax2＋bx＋c得解得
∴拋物線的解析式為y＝x2－4x＋3.
(2)由題意可得△ABO為等腰直角三角形，如圖所示．
4、
若△ABO∽△AP1D，則＝.
∴DP1＝AD＝4，
∴P1(－1，4)．
若△ABO∽△ADP2，過(guò)點(diǎn)P2作P2M⊥x軸于點(diǎn)M，
AD＝4.
∵△ABO為等腰直角三角形，
∴△ADP2是等腰直角三角形，由三線合一可得DM＝AM＝P2M＝2，
即點(diǎn)M與點(diǎn)C重合，∴P2(1，2)．
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為P1(－1，4)，P2(1，2)
(3)如圖，設(shè)點(diǎn)E(x，y)，
則S△ADE＝·AD·|y|＝2|y|.
①當(dāng)P1(－1，4)時(shí)，
S四邊形AP1CE＝S△ACP1＋S△ACE
＝×2×4＋×2×|y|
＝4＋|y|.
∴2|y|＝4＋|y|，∴|y|＝
5、4.
∵點(diǎn)E在x軸下方，
∴y＝－4.
代入拋物線解析式得x2－4x＋3＝－4，
即x2－4x＋7＝0.
∵Δ＝(－4)2－4×7＝－12<0，
∴此方程無(wú)解．
②當(dāng)P2(1，2)時(shí)，
S四邊形AP2CE＝S△ACP2＋S△ACE＝×2×2＋×2×|y|＝2＋|y|.
∴2|y|＝2＋|y|，
∴|y|＝2.
∵點(diǎn)E在x軸下方，
∴y＝－2.
代入拋物線解析式得x2－4x＋3＝－2，
即x2－4x＋5＝0.
∵Δ＝(－4)2－4×5＝－4<0，
∴此方程無(wú)解．
綜上所述，在x軸下方的拋物線上不存在這樣的點(diǎn)E，使△ADE的面積等于四邊形APCE的面積．
2．解
6、：(1)∵B(4，m)在直線y＝x＋2上，
∴m＝4＋2＝6，
∴B(4，6)．
∵A(，)，B(4，6)在拋物線y＝ax2＋bx＋6上，
∴解得
∴拋物線的解析式為y＝2x2－8x＋6.
(2)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(n，n＋2)，則C點(diǎn)的坐標(biāo)為(n，2n2－8n＋6)，
∴PC＝(n＋2)－(2n2－8n＋6)＝－2n2＋9n－4＝
－2(n－)2＋.
∵PC＞0，
∴當(dāng)n＝時(shí)，線段PC的長(zhǎng)最大為.
(3)∵△PAC為直角三角形，
①若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，則∠APC＝90°.
由題意易知，PC∥y軸，∠APC＝45°，因此這種情形不存在．
②如圖1，若點(diǎn)A為直角頂點(diǎn)，
7、則∠P1AC＝90°.
過(guò)點(diǎn)A作AN⊥x軸于點(diǎn)N，
則ON＝，AN＝.
過(guò)點(diǎn)A作AM⊥直線AB，交x軸于點(diǎn)M，則
由題意易知，△AMN為等腰直角三角形，
∴MN＝AN＝，
∴OM＝ON＋MN＝＋＝3，
∴M(3，0)．
設(shè)直線AM的解析式為y＝kx＋b，
則解得
∴直線AM的解析式為y＝－x＋3.?、?
又∵拋物線的解析式為y＝2x2－8x＋6，?、?
聯(lián)立①②式，解得x＝3或x＝(與點(diǎn)A重合，舍去)．
∴C(3，0)，即點(diǎn)C，M點(diǎn)重合．
當(dāng)x＝3時(shí)，y＝x＋2＝5，∴P1(3，5)．
③如圖2，若點(diǎn)C為直角頂點(diǎn)，則∠ACP2＝90°.
∵y＝2x2－8x＋6＝2(
8、x－2)2－2，
∴拋物線的對(duì)稱軸為直線x＝2.
作點(diǎn)A關(guān)于對(duì)稱軸x＝2的對(duì)稱點(diǎn)C，
則點(diǎn)C在拋物線上，且C(，)．
當(dāng)x＝時(shí)，y＝x＋2＝，
∴P2(，)．
∵點(diǎn)P1(3，5)，P2(，)均在線段AB上，
∴綜上所述，當(dāng)△PAC為直角三角形時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，5)或(，)．
3．解：(1)如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥x軸于點(diǎn)E，則DE＝3，OE＝2.
∵tan∠DBA＝＝，
∴BE＝6，
∴OB＝BE－OE＝4，
∴B(－4，0)．
∵點(diǎn)B(－4，0)，D(2，3)在拋物線y＝ax2＋bx－2(a≠0)上，
∴
解得
∴拋物線的解析式為y＝x2＋x－2.
9、(2)拋物線的解析式為y＝x2＋x－2，
令x＝0，得y＝－2，
∴C(0，－2)，
令y＝0，得x＝－4或1，
∴A(1，0)．
設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為(m，n)(m＜0，n＜0)．
如圖，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥x軸于點(diǎn)F，則MF＝－n，
OF＝－m，BF＝4＋m.
S四邊形BMCA＝S△BMF＋S梯形MFOC＋S△AOC
＝BF·MF＋(MF＋OC)·OF＋OA·OC
＝(4＋m)×(－n)＋(－n＋2)×(－m)＋×1×2
＝－2n－m＋1.
∵點(diǎn)M(m，n)在拋物線y＝x2＋x－2上，
∴n＝m2＋m－2，代入上式得
S四邊形BMCA＝－m2－4m＋5＝－(m＋2)2＋9，
10、
∴當(dāng)m＝－2時(shí)，四邊形BMCA面積有最大值，最大值為9.
(3)假設(shè)存在這樣的⊙Q.
如圖，設(shè)直線x＝－2與x軸交于點(diǎn)G，與直線AC交于點(diǎn)F.
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx＋b，將A(1，0)，C(0，－2)代入得
解得
∴直線AC解析式為y＝2x－2.
令x＝－2，得y＝－6，
∴F(－2，－6)，GF＝6.
在Rt△AGF中，由勾股定理得
AF＝＝＝3.
設(shè)Q(－2，n)，則在Rt△QGO中，由勾股定理得OQ＝＝.
設(shè)⊙Q與直線AC相切于點(diǎn)E，則QE＝OQ＝.
在Rt△AGF與Rt△QEF中，
∵∠AGF＝∠QEF＝90°，∠AFG＝∠QFE，
∴Rt△AGF∽R(shí)t△QEF，
∴＝，即＝，
化簡(jiǎn)得n2－3n－4＝0，解得n＝4或n＝－1.
∴存在一個(gè)以Q點(diǎn)為圓心，OQ為半徑且與直線AC相切的圓，點(diǎn)Q的坐標(biāo)為
(－2，4)或(－2，－1)．
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（淄博專版）2019屆中考數(shù)學(xué) 大題加練（二）
