4、OB,
∴△DEM∽△BOC,∴=.
∵OB=4,OC=3,∴BC=5,∴DE=DM,
∴DE=-a2+a=-(a-2)2+,
∴當a=2時,DE取最大值,最大值是.
(3)假設(shè)存在這樣的點D,使得△CDE中有一個角與∠CFO相等.
∵F為AB的中點,∴OF=,tan∠CFO==2.
如圖,過點B作BG⊥BC,交CD的延長線于G,過點G作GH⊥x軸,垂足為H.
①若∠DCE=∠CFO,∴tan∠DCE==2,∴BG=10.
∵△GBH∽△BCO,∴==,
∴GH=8,BH=6,∴G(10,8).
設(shè)直線CG的解析式為y=kx+b,
∴解得
∴y=x+3,
∴解得
5、x=或x=0(舍).
②若∠CDE=∠CFO,同理可得BG=,GH=2,
BH=,
∴G(,2).
同理可得直線CG的解析式為y=-x+3,
∴解得x=或x=0(舍).
綜上所述,存在D使得△CDE中有一個角與∠CFO相等,其橫坐標是或.
2.解:(1)把點B的坐標代入拋物線的解析式,
得=a×22-2a-a,解得a=.
∴拋物線的解析式為y=x2-x-.
(2)如圖,連接CD,過點B作BF⊥x軸于點F,
則∠BCF+∠CBF=90°.
∵∠ACB=90°,∴∠ACO+∠BCF=90°,
∴∠ACO=∠CBF.
∵∠AOC=∠CFB=90°,∴△AOC∽△CFB,
6、
∴=.
設(shè)OC=m,則CF=2-m,則有= ,
解得m=1,∴OC=CF=1.
當x=0時,y=-,∴OD=,∴BF=OD.
∵∠DOC=∠BFC=90°,∴△OCD≌△FCB,
∴DC=CB,∠OCD=∠FCB,
∴點B,C,D在同一直線上,
∴點B與點D關(guān)于直線AC對稱,
∴點B關(guān)于直線AC的對稱點在拋物線上.
(3)如圖,過點E作EG⊥y軸于點G,設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b,
則解得
∴直線AB的解析式為y=-x+.
代入拋物線的解析式,得-x+=x2-x-.
解得x=2或x=-2.
當x=-2時,y=-x+=,
∴點E的坐標為(-2,).
∵
7、tan∠EDG===,∴∠EDG=30°.
∵tan∠OAC===,∴∠OAC=30°,
∴∠OAC=∠EDG,∴ED∥AC.
3.解:(1)把(1,0),(-3,0)代入函數(shù)解析式得
解得
∴拋物線的解析式為y=x2+2x-3.
當x=-2時,y=(-2)2+2×(-2)-3,解得y=-3,
即D(-2,-3).
設(shè)AD的解析式為y=kx+b,將A(1,0),D(-2,-3)代入得解得
∴直線AD的解析式為y=x-1.
(2)設(shè)P點坐標為(m,m-1),Q(m,m2+2m-3),
l=(m-1)-(m2+2m-3),
化簡得l=-m2-m+2,
配方得l=-(m+)
8、2+,
∴當m=-時,l最大=.
(3)由(2)可知,0<PQ≤.當PQ為邊時,DR∥PQ且DR=PQ.
∵R是整點,D(-2,-3),
∴PQ是正整數(shù),∴PQ=1或PQ=2.
當PQ=1時,DR=1,
此時點R的橫坐標為-2,縱坐標為-3+1=-2或-3-1=-4,
∴R(-2,-2)或(-2,-4).
當PQ=2時,DR=2,
此時點R的橫坐標為-2,縱坐標為-3+2=-1或-3-2=-5,
即R(-2,-1)或(-2,-5).
當PQ為對角線時,PD∥QR,且PD=QR.
設(shè)點R的坐標為(n,n+m2+m-3),則QR2=2(m-n)2.
又∵P(m,m-1),D(-2,-3),
∴PD2=2(m+2)2,∴(m+2)2=(m-n)2,
解得n=-2(不合題意,舍去)或n=2m+2,
∴點R的坐標為(2m+2,m2+3m-1).
∵R是整點,-2<m<1,
∴當m=-1時,點R的坐標為(0,-3);
當m=0時,點R的坐標為(2,-1).
綜上所述,存在滿足R的點,它的坐標為(-2,-2)或(-2,-4)或(-2,-1)或(-2,-5)或(0,-3)或(2,-1).
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