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1、提分專練(三) 一次函數(shù)、反比例函數(shù)綜合問題
|類型1| 一次函數(shù)、反比例函數(shù)與線段、三角形
1.[2016·泉州]如圖T3-1,已知點A(-8,0),B(2,0),點C在直線y=-34x+4上,則使△ABC是直角三角形的點C的個數(shù)為 ( )
圖T3-1
A.1 B.2
C.3 D.4
2.[2019·福建名校聯(lián)合模擬]如圖T3-2,線段AB是兩個端點在y=2x(x>0)圖象上的一條動線段,且AB=1.若A,B的橫坐標(biāo)分別為a,b,則[1-(b-a)2](a2b2+4)的值是 ( )
圖T3-2
A.1 B.2
C
2、.3 D.4
3.[2019·廈門質(zhì)檢]在平面直角坐標(biāo)系xOy中,直線y=x與雙曲線y=kx(k>0,x>0)交于點A.過點A作AC⊥x軸于點C,過雙曲線上另一點B作BD⊥x軸于點D,作BE⊥AC于點E,連接AB.若OD=3OC,則tan∠ABE= .?
4.[2019·莆田仙游東屏中學(xué)二模]如圖T3-3是反比例函數(shù)y=9x(x>0)的圖象,點C的坐標(biāo)為(0,2).若點A是函數(shù)y=9x圖象上一點,點B是x軸正半軸上一點,當(dāng)△ABC是等腰直角三角形時,點B的坐標(biāo)為 .?
圖T3-3
5.[2019·南平適應(yīng)性檢測]如圖T3-4,已知反比例函數(shù)y=mx的圖象經(jīng)
3、過第一象限內(nèi)的一點A(n,4),過點A作AB⊥x軸于點B,且△AOB的面積為2.
(1)求m和n的值;
(2)若一次函數(shù)y=kx+2的圖象經(jīng)過點A,并且與x軸相交于點C,求線段AC的長.
圖T3-4
6.[2019·泉州質(zhì)檢]在平面直角坐標(biāo)系中,已知反比例函數(shù)y=kx(x>0,k>0),圖象上的兩點(n,3n),(n+1,2n).
(1)求n的值;
(2)如圖T3-5,直線l為正比例函數(shù)y=x的圖象,點A在反比例函數(shù)y=kx(x>0,k>0)的圖象上,過點A作AB⊥l于點B,過點B作BC⊥x軸于點C,過點A作AD⊥BC于點D.記△BOC的面積為S1,△A
4、BD的面積為S2,求S1-S2的值.
圖T3-5
|類型2| 一次函數(shù)、反比例函數(shù)與四邊形
7.[2018·泉州質(zhì)檢]如圖T3-6,反比例函數(shù)y=kx的圖象經(jīng)過正方形ABCD的頂點A和中心E,若點D的坐標(biāo)為(-1,0),則k的值為 ( )
圖T3-6
A.2 B.-2 C.12 D.-12
8.[2019·眉山]如圖T3-7,反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象經(jīng)過矩形OABC對角線的交點M,分別交AB,BC于點D,E.若四邊形ODBE的面積為12,則k的值為 .?
圖T3-7
9.[2019·廣州]如圖T3-8,在平面直
5、角坐標(biāo)系xOy中,菱形ABCD的對角線AC與BD交于點P(-1,2),AB⊥x軸于點E,正比例函數(shù)y=mx的圖象與反比例函數(shù)y=n-3x的圖象相交于A,P兩點.
圖T3-8
(1)求m,n的值與點A的坐標(biāo);
(2)求證:△CPD∽△AEO;
(3)求sin∠CDB的值.
10.[2016·莆田]如圖T3-9,反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象與直線y=x交于點M,∠AMB=90°,其兩邊分別與兩坐標(biāo)軸的正半軸交于點A,B,四邊形OAMB的面積為6.
(1)求k的值.
(2)點P在反比例函數(shù)y=kx
6、(x>0)的圖象上,若點P的橫坐標(biāo)為3,∠EPF=90°,其兩邊分別與x軸的正半軸,直線y=x交于點E,F,問是否存在點E,使得PE=PF?若存在,求出點E的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
圖T3-9
【參考答案】
1.C [解析]如圖,
①當(dāng)∠A為直角時,過點A作垂直于x軸的直線與直線y=-34x+4的交點為W(-8,10);
②當(dāng)∠B為直角時,過點B作垂直于x軸的直線與直線y=-34x+4的交點為S(2,2.5);
③若∠C為直角,則點C在以線段AB為直徑的圓與直線y=-34x+4的交點處.
設(shè)E為AB的中點,過點E作垂直于x
7、軸的直線與直線y=-34x+4的交點為F-3,254,則EF=254,
∵直線y=-34x+4與x軸的交點M為163,0,
∴EM=253,MF=(253)?2+(254)?2=12512.
∵E到直線y=-34x+4的距離d=253×25412512=5,以AB為直徑的圓的半徑為5,
∴圓與直線y=-34x+4恰好有一個交點.
∴直線y=-34x+4上有一點C滿足∠ACB=90°.
綜上所述,使△ABC是直角三角形的點C的個數(shù)為3.故選C.
2.D [解析]∵Aa,2a,Bb,2b,∴(a-b)2+2a-2b2=1,
整理得:a2b2(a-b)2+4(a-b)2-a2b2=0
8、,∴[1-(b-a)2](a2b2+4)=4.故選D.
3.13 [解析]∵直線y=x過點A,
∴可設(shè)A(a,a),
∵AC⊥x軸于點C,BD⊥x軸于點D,OD=3OC,
∴B點橫坐標(biāo)為3a.
∵雙曲線y=kx(k>0,x>0)過點A,點B,
∴B點縱坐標(biāo)為a·a3a=13a,
∴B3a,13a.
在Rt△ABE中,∵∠AEB=90°,BE=3a-a=2a,AE=a-13a=23a,
∴tan∠ABE=AEBE=23a2a=13.
故答案為:13.
4.(4,0)或52,0或(-1+10,0) [解析](1)當(dāng)∠CAB=90°時,如圖①,作AE⊥x軸于E點,作AD⊥y
9、軸于D點,則∠DAE=90°.
∵∠DAE=∠CAB=90°,∴∠DAC=∠EAB,
在△ADC和△AEB中:
∵∠ADC=∠AEB=90°,∠DAC=∠EAB,AC=AB,
∴△ADC≌△AEB,
∴AD=AE,BE=CD,
則A的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)相等,設(shè)A的坐標(biāo)是(a,a),代入函數(shù)解析式得:a=9a,解得:a=3或-3(舍去).
則A的坐標(biāo)是(3,3).
∴OD=3,CD=OD-OC=3-2=1,
∴BE=CD=1,OB=OE+BE=3+1=4,
則B的坐標(biāo)是(4,0);
(2)當(dāng)∠ACB=90°時,如圖②,作AD⊥y軸于D.
∵∠ACB=90°,
∴∠A
10、CD+∠BCO=90°,
又∵∠ACD+∠CAD=90°,
∴∠CAD=∠BCO.
在△ACD和△CBO中,
∵∠CAD=∠BCO,∠ADC=∠BOC,AC=CB,
∴△ACD≌△CBO,
∴AD=OC=2,
則點A的橫坐標(biāo)是2,把x=2代入y=9x得:y=92,
∴OD=92,CD=OD-OC=92-2=52,
∴OB=CD=52,則B的坐標(biāo)是52,0;
(3)當(dāng)∠ABC=90°時,如圖③,作AD⊥x軸,
同(2)可以證得:△OBC≌△DAB,
∴BD=OC=2,OB=AD,
設(shè)OB=AD=x,
則OD=x+2,
則A的坐標(biāo)是(x+2,x),代入y=9x,得
11、:x=9x+2,解得:x=-1+10或-1-10(舍去),
則B的坐標(biāo)是(-1+10,0).
故B的坐標(biāo)是(4,0)或52,0或(-1+10,0).
5.解:(1)由點A(n,4),AB⊥x軸于點B,且點A在第一象限內(nèi),得AB=4,OB=n,
所以S△AOB=12AB·OB=12×4n=2n,
由S△AOB=2,得n=1,
所以A(1,4),
把A(1,4)的坐標(biāo)代入y=mx中,得m=4;
(2)由直線y=kx+2過點A(1,4),得k=2,
所以一次函數(shù)的解析式為y=2x+2.
令y=0,得x=-1.
所以點C的坐標(biāo)為(-1,0),
由(1)可知OB=1,所以BC=2
12、,
在Rt△ABC中,AC=AB2+BC2=42+22=25.
6.解:(1)∵反比例函數(shù)y=kx(x>0,k>0)圖象上的兩點(n,3n),(n+1,2n),
∴n·3n=(n+1)·2n,解得n=2或n=0(舍去),
∴n的值為2;
(2)易求反比例函數(shù)解析式為y=12x,
設(shè)B(m,m),
∵OC=BC=m,
∴△OBC為等腰直角三角形.
∴∠OBC=45°,
∵AB⊥OB,
∴∠ABO=90°,
∴∠ABC=45°,
∴△ABD為等腰直角三角形,
設(shè)BD=AD=t,則A(m+t,m-t).
∵A(m+t,m-t)在反比例函數(shù)y=12x的圖象上,
∴(m+
13、t)(m-t)=12,
即m2-t2=12,
∴S1-S2=12m2-12t2=12×12=6.
7.B
8.4 [解析]由題意得:E,M,D位于反比例函數(shù)圖象上,則S△OCE=12|k|,S△OAD=12|k|,
過點M作MG⊥y軸于點G,作MN⊥x軸于點N,則S矩形ONMG=|k|,
又∵M(jìn)為矩形OABC對角線的交點,∴S矩形OABC=4S矩形ONMG=4|k|,
∵函數(shù)圖象在第一象限,∴k>0,則k2+k2+12=4k,
∴k=4.
9.解:(1)將點P(-1,2)的坐標(biāo)代入y=mx,
得:2=-m,
解得m=-2,
∴正比例函數(shù)解析式為y=-2x;
將點P(-
14、1,2)的坐標(biāo)代入y=n-3x,
得:2=-(n-3),解得:n=1,
∴反比例函數(shù)解析式為y=-2x.
解方程組y=-2x,y=-2x,
得x1=-1,y1=2,x2=1,y2=-2,
∴點A的坐標(biāo)為(1,-2).
(2)證明:∵四邊形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AB∥CD,
∴∠CPD=90°,∠DCP=∠BAP,
即∠DCP=∠OAE.
∵AB⊥x軸,
∴∠AEO=∠CPD=90°,
∴△CPD∽△AEO.
(3)∵點A的坐標(biāo)為(1,-2),
∴AE=2,OE=1,
AO=AE2+OE2=5.
∵△CPD∽△AEO,
∴∠CDP=∠AOE,
∴si
15、n∠CDB=sin∠AOE=AEAO=25=255.
10.解:(1)如圖①,過點M作MC⊥x軸于點C,MD⊥y軸于點D,
則∠MCA=∠MDB=90°,∠AMC=∠BMD,MC=MD,
∴△AMC≌△BMD,
∴S四邊形OCMD=S四邊形OAMB=6,
∴k=6.
(2)存在點E,使得PE=PF.
由題意,得點P的坐標(biāo)為(3,2).
①如圖②,過點P作PG⊥x軸于點G,過點F作FH⊥PG于點H,交y軸于點K.
∵∠PGE=∠FHP=90°,∠EPG=∠PFH,PE=PF,
∴△PGE≌△FHP,
∴FH=PG=2.則FK=OK=3-2=1,GE=HP=2-1=1,
∴OE=OG+GE=3+1=4,
∴E(4,0);
②如圖③,過點P作PG0⊥x軸于點G0,過點F作FH0⊥PG0于點H0,交y軸于點K0.
∵∠PG0E=∠FH0P=90°,∠EPG0=∠PFH0,PE=PF,
∴△PG0E≌△FH0P,
∴FH0=PG0=2.則FK0=OK0=3+2=5,G0E=H0P=5-2=3,
∴OE=OG0+G0E=3+3=6,
∴E(6,0).
綜上所述,存在點E(4,0)或(6,0),使得PE=PF.
12
（福建專版）2020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 提分專練03 一次函數(shù)、反比例函數(shù)綜合問題
