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1、提分專練(三) 二次函數(shù)簡單綜合問題
|類型1| 運動產生的線段、面積問題
1.如圖T3-1,在平面直角坐標系中,直線y=-x+3與x軸,y軸分別交于點A,點B,拋物線y=ax2+bx+c(a≠0)經(jīng)過A,B與點C(-1,0).
(1)求拋物線的解析式.
(2)點P是直線AB上方的拋物線上一動點(不與點A,B重合),過點P作x軸的垂線,垂足為D,交線段AB于點E.設點P的橫坐標為m.
①求△PAB的面積y關于m的函數(shù)關系式,當m為何值時,y有最大值,最大值是多少?
②若點E是垂線段PD的三等分點,求點P的坐標.
圖T3-1
2、
|類型2| 運動產生的特殊圖形問題
2.[2019·山西省適應訓練]如圖T3-2,在平面直角坐標系中,二次函數(shù)y=x2-2x-3的圖象交x軸于A,B兩點(點A在點B的左側),與y軸交于點C,連接AC.
(1)求點A、點B和點C的坐標;
(2)若點D為第四象限內拋物線上一動點,點D的橫坐標為m,△BCD的面積為S,求S關于m的函數(shù)關系式,并求出S的最大值;
(3)拋物線的對稱軸上是否存在點P,使△BCP為等腰三角形?若存在,請直接寫出所有點P的坐標;若不存在,請說明理由.
圖T3-2
3.[2018·自貢]如圖T3-3,拋物線y=ax2+bx-3過A(1,0
3、),B(-3,0),直線AD交拋物線于點D,點D的橫坐標為-2,點P(m,n)是線段AD上的動點(點P不與點A,D重合).
(1)求直線AD及拋物線的解析式.
(2)過點P的直線垂直于x軸,交拋物線于點Q,求線段PQ的長度l與m的關系式,當m為何值時,PQ最長?
(3)在平面內是否存在整點(橫、縱坐標都為整數(shù))R,使得以P,Q,D,R為頂點的四邊形是平行四邊形?若存在,直接寫出點R的坐標;若不存在,請說明理由.
圖T3-3
|類型3| 運動產生的相似三角形問題
4.[2018·鄂州]如圖T3-4,已知直線y=12x+12與拋物線y=ax2+bx+c相交于A(-1,0
4、),B(4,m)兩點,拋物線y=ax2+bx+c交y軸于點C0,-32,交x軸的正半軸于點D,拋物線的頂點為M.
(1)求拋物線的解析式及點M的坐標;
(2)設點P為直線AB下方的拋物線上一動點,當△PAB的面積最大時,求△PAB的面積及點P的坐標;
(3)點Q為x軸上一動點,點N是拋物線上一點,當△QMN∽△MAD(點Q與點M對應)時,求點Q的坐標.
圖T3-4
【參考答案】
1.解:(1)∵直線y=-x+3與x軸,y軸分別交于點A,點B,
∴A(3,0),B(0,3).
把A(3,0),B(0,3),C(-1,0)分別代入y=ax2+bx+c,
得9a
5、+3b+c=0,a-b+c=0,c=3,解得a=-1,b=2,c=3,
∴拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.
(2)①∵點P的橫坐標為m,
∴P(m,-m2+2m+3).
∵PD⊥x軸,∴E(m,-m+3),
∴PE=-m2+2m+3+m-3=-m2+3m,
∴y=12(-m2+3m)·m+12(-m2+3m)(3-m),
∴y關于m的函數(shù)關系式為y=-32m2+92m.
∵y=-32m2+92m=-32m-322+278,
∴當m=32時,y有最大值,最大值是278.
②當PE=2ED時,-m2+3m=2(-m+3),解得m=2或m=3(不合題意,舍去);
當2PE
6、=ED時,-2m2+6m=-m+3,整理得,2m2-7m+3=0,解得m=12,m=3(不合題意,舍去).
綜上,點P的坐標為(2,3),12,154.
2.解:(1)當y=0時,x2-2x-3=0,解得x1=3,x2=-1.
又∵A在B的左側,
∴A(-1,0),B(3,0),
當x=0時,y=x2-2x-3=-3,
∴C(0,-3).
(2)∵D的橫坐標為m,
∴D(m,m2-2m-3).
∵點D在第四象限,
∴m>0,m2-2m-3<0,∴0
7、-2m-3)=-32m2+3m+92,
S△OBC=12×3×3=92.
S△BCD=S△OCD+S△OBD-S△OCB
=32m+-32m2+3m+92-92
=32m-32m2+3m+92-92
=-32m2+92m.
∵-32<0,
∴當m=-922×-32=32時,
S最大=4×-32×0-92?24×-32=278.
(3)y=x2-2x-3=(x-1)2-4,故拋物線的對稱軸為直線x=1.
∵點P在拋物線的對稱軸上,∴設其坐標為P(1,t).
∴CP2=1+(t+3)2,CB2=18,PB2=t2+4.
①若PC=PB,則1+(t+3)2=t2+4,解得:t
8、=-1,
即P(1,-1).
②若PC=CB,則1+(t+3)2=18,解得:t=-3±17,
即P(1,-3+17)或P(1,-3-17).
③若BC=PB,則t2+4=18,解得:t=±14,
即P(1,14)或P(1,-14).
綜上所述,滿足條件的點P共有5個,分別為P1(1,-1),P2(1,14),P3(1,-14),P4(1,-3+17),P5(1,-3-17).
3.解:(1)∵拋物線y=ax2+bx-3過A(1,0),B(-3,0),
∴a+b-3=0,9a-3b-3=0.
解得a=1,b=2.
∴該拋物線的解析式為y=x2+2x-3.
當x=-2時,y
9、=(-2)2+2×(-2)-3=-3,
∴D(-2,-3).
設直線AD的解析式為y=kx+t.
易得k+t=0,-2k+t=-3.
解得k=1,t=-1.
∴直線AD的解析式為y=x-1.
(2)由題意,得P(m,m-1),Q(m,m2+2m-3),-2
10、1).
[解法提示]以P,Q,D,R為頂點的四邊形是平行四邊形,可分如下情況討論:
分類一:PD是平行四邊形的對角線,此時PQ∥RD,且PQ=RD,點R在點D的上方.
∵D(-2,-3),要使R為整點,
∴線段RD長必須是整數(shù).
又∵PQ=RD,∴線段PQ長必須是整數(shù).
由(2)知,PQ=-m2-m+2=-m+122+94,
-2
11、線.
D(-2,-3),P(m,m-1),Q(m,m2+2m-3).
設R(xR,yR).根據(jù)中點坐標公式,得
-2+xR2=m,-3+yR2=yP+yQ2=12(m2+3m-4).
解得xR=2m+2,yR=m2+3m-1.
∴R(2m+2,m2+3m-1).
∵-2
12、4,52.
將A(-1,0),B4,52,C0,-32的坐標分別代入y=ax2+bx+c,
得a-b+c=0,16a+4b+c=52,c=-32.解得a=12,b=-1,c=-32.
∴拋物線的解析式為y=12x2-x-32,
y=12(x2-2x)-32=12(x-1)2-12-32=12(x-1)2-2,故頂點M的坐標為(1,-2).
(2)如圖①,過點P作PE⊥x軸,交AB于點E,交x軸于點G,過點B作BF⊥x軸于點F.
∵A(-1,0),B4,52,∴AF=4―(―1)=5.
設點P的坐標為n,12n2-n-32,
則點E的坐標為n,12n+12.
∵點P在直線AB下
13、方,
∴PE=12n+12-12n2-n-32=-12n2+32n+2.∴S△PAB=S△APE+S△BPE=12PE·AG+12PE·FG=12PE·(AG+FG)=12PE·AF=12×5-12n2+32n+2=-54n-322+12516.∴當n=32時,△PAB的面積最大,且最大面積為12516.當n=32時,12n2-n-32=12×322-32-32=-158,故此時點P的坐標為32,-158.
(3)∵拋物線的解析式為y=12x2-x-32=12x-12-2,
∴拋物線的對稱軸為直線x=1.
又∵A(-1,0),∴點D的坐標為(3,0).
又∵M的坐標為(1,-2),
∴AD=3―(―1)=4,AD2=42=16,
AM2=[1-(-1)]2+(-2)2=8,
DM2=(1―3)2+(―2―0)2=8,
∴AD2=AM2+DM2,且AM=DM.
∴△MAD是等腰直角三角形,∠AMD=90°.
又∵△QMN∽△MAD,
∴△QMN也是等腰直角三角形且QM=QN,
∠MQN=90°,∠QMN=45°.
又∵∠AMD=90°,∴∠AMQ=∠QMD=45°,
此時點D(或點A)與點N重合(如圖②),此時MQ⊥x軸,故點Q的坐標為(1,0).
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