2020年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn) 專題26 與弧長、扇形面積有關(guān)的問題（含解析）

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1、專題26 與弧長、扇形面積有關(guān)的問題 專題知識回顧 1.扇形弧長面積公式 （1）弧長的計(jì)算公式 （2）扇形面積計(jì)算公式 2.弓形的面積 （1）弓形的定義：由弦及其所對的弧（包括劣弧、優(yōu)弧、半圓）組成的圖形叫做弓形。 （2）弓形的周長＝弦長＋弧長 （3）弓形的面積 當(dāng)弓形所含的弧是劣弧時，如圖1所示，? 當(dāng)弓形所含的弧是優(yōu)弧時，如圖2所示， 當(dāng)弓形所含的弧是半圓時，如圖3所示， 3．圓柱側(cè)面積體積公式 （1）圓柱的側(cè)面積公式S側(cè)=2πrh （2）圓柱的表面積公式：S表=S底×2+S側(cè)=2πr2+2πr h 4.圓錐側(cè)面積體

2、積公式 （1）圓錐側(cè)面積計(jì)算公式 從右圖中可以看出，圓錐的母線即為扇形的半徑，而圓錐底面的周長是扇形的弧長，這樣，圓錐側(cè)面積計(jì)算公式:S圓錐側(cè)=S扇形= = πrl （2）圓錐全面積計(jì)算公式:S圓錐全=S圓錐側(cè)＋S圓錐底面= πr l ＋πr 2=πr（l ＋r） 專題典型題考法及解析 【例題1】（2019?湖北武漢）如圖，AB是⊙O的直徑，M、N是（異于A.B）上兩點(diǎn)，C是上一動點(diǎn)，∠ACB的角平分線交⊙O于點(diǎn)D，∠BAC的平分線交CD于點(diǎn)E．當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)M運(yùn)動到點(diǎn)N時，則C.E兩點(diǎn)的運(yùn)動路徑長的比是（　?。? A． B． C．

3、 D． 【答案】A． 【解析】如圖，連接EB．設(shè)OA＝r．易知點(diǎn)E在以D為圓心DA為半徑的圓上，運(yùn)動軌跡是，點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡是，由題意∠MON＝2∠GDF，設(shè)∠GDF＝α，則∠MON＝2α，利用弧長公式計(jì)算即可解決問題． 如圖，連接EB．設(shè)OA＝r． ∵AB是直徑， ∴∠ACB＝90°， ∵E是△ACB的內(nèi)心， ∴∠AEB＝135°， ∵∠ACD＝∠BCD， ∴＝， ∴AD＝DB＝r， ∴∠ADB＝90°， 易知點(diǎn)E在以D為圓心DA為半徑的圓上，運(yùn)動軌跡是，點(diǎn)C的運(yùn)動軌跡是， ∵∠MON＝2∠GDF，設(shè)∠GDF＝α，則∠MON＝2α ∴＝＝． 【例題2】(2

4、019山西）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中點(diǎn)為圓心，OA的長為半徑作半圓交AC于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】作DE⊥AB于點(diǎn)E，連接OD，在Rt△ABC中： tan∠CAB=， ∴∠CAB=30°，∠BOD=2∠CAB=60°. 在Rt△ODE中：OE=OD=，DE=OE=. S陰影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD= =，故選A 【例題3】（2019·貴州安順）如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個扇形，若圓錐的底面圓的半徑r＝

5、2，扇形的圓心角θ＝120°，則該圓錐母線l的長為　 ?。? 【答案】6 【解析】根據(jù)題意得2π×2＝， 解德l＝6， 即該圓錐母線l的長為6． 專題典型訓(xùn)練題 一.選擇題 1.（2019?四川省廣安市）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝4，以BC為直徑的半圓O交斜邊AB于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為（　　） A．π﹣ B．π﹣ C．π﹣ D．π﹣ 【答案】A． 【解析】本題考查扇形面積公式、直角三角形的性質(zhì)、解題的關(guān)鍵是學(xué)會分割法求面積，中考常考題型． 根據(jù)三角形的內(nèi)角和得到∠B＝60°，根據(jù)圓

6、周角定理得到∠COD＝120°，∠CDB＝90°，根據(jù)扇形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論． ∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°， ∴∠B＝60°， ∴∠COD＝120°， ∵BC＝4，BC為半圓O的直徑， ∴∠CDB＝90°， ∴OC＝OD＝2， ∴CD＝BC＝2， 圖中陰影部分的面積＝S扇形COD﹣S△COD＝﹣2×1＝﹣。 2．（2019?山東青島）如圖，線段AB經(jīng)過⊙O的圓心，AC，BD分別與⊙O相切于點(diǎn)C，D．若AC＝BD＝4，∠A＝45°，則的長度為（　?。? A．π B．2π C．2π D．4π 【答案】B． 【解析】連接OC、OD，根據(jù)切

7、線性質(zhì)和∠A＝45°，易證得△AOC和△BOD是等腰直角三角形，進(jìn)而求得OC＝OD＝4，∠COD＝90°，根據(jù)弧長公式求得即可． 連接OC、OD， ∵AC，BD分別與⊙O相切于點(diǎn)C，D． ∴OC⊥AC，OD⊥BD， ∵∠A＝45°， ∴∠AOC＝45°， ∴AC＝OC＝4， ∵AC＝BD＝4，OC＝OD＝4， ∴OD＝BD， ∴∠BOD＝45°， ∴∠COD＝180°﹣45°﹣45°＝90°， ∴的長度為：＝2π。 3.（2019?四川省涼山州）如圖，在△AOC中，OA＝3cm，OC＝1cm，將△AOC繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△BOD，則AC邊在旋轉(zhuǎn)過程中所掃過

8、的圖形的面積為（　?。ヽm2． A． B．2π C．π D．π 【答案】B 【解析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可以得到陰影部分的面積＝扇形OAB的面積﹣扇形OCD的面積，利用扇形的面積公式即可求解． ∵△AOC≌△BOD， ∴陰影部分的面積＝扇形OAB的面積﹣扇形OCD的面積＝﹣＝2π，故選：B． 4．（2019?浙江紹興）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若BC＝2，則的長為（　　） A．π B．π C．2π D．2π 【答案】A 【解析】本題考查圓周角定理，弧長公式，等腰直角三角形的性質(zhì)的等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．

9、連接OB，OC．首先證明△OBC是等腰直角三角形，求出OB即可解決問題． 連接OB，OC． ∵∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣70°＝45°， ∴∠BOC＝90°， ∵BC＝2， ∴OB＝OC＝2， ∴的長為＝π 5．（2019?山東泰安）如圖所示，將⊙O沿弦AB折疊，恰好經(jīng)過圓心O，若⊙O的半徑為3，則的長為（　?。? A．π B．π C．2π D．3π 【答案】C 【解析】連接OA、OB，作OC⊥AB于C，根據(jù)翻轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到OC＝OA，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理求出∠AOB，根據(jù)弧長公式計(jì)算即可． 連接OA、OB，作OC⊥

10、AB于C， 由題意得，OC＝OA， ∴∠OAC＝30°， ∵OA＝OB， ∴∠OBA＝∠OAC＝30°， ∴∠AOB＝120°， ∴的長＝＝2π 6．（2019?浙江寧波）如圖所示，矩形紙片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓，恰好能作為一個圓錐的側(cè)面和底面，則AB的長為（　　） A．3.5cm B．4cm C．4.5cm D．5cm 【答案】B 【解析】本題考查了圓錐的計(jì)算，矩形的性質(zhì)，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長是扇形的半徑，圓錐的底面圓

11、周長是扇形的弧長． 設(shè)AB＝xcm，則DE＝（6﹣x）cm，根據(jù)扇形的弧長等于圓錐底面圓的周長列出方程，求解即可． 根據(jù)題意，得＝π（6﹣x）， 解得x＝4． 7.(2019?云南)如圖，△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，則陰影部分(即四邊形AEOF)的面積是( ) A．4 B．6.25 C．7.5 D．9 【答案】A 【解析】此題主要考查了已知直角三角形三邊的長，如何求其內(nèi)切圓的半徑．由切線長定理可知Rt△ABC(a、b為直角邊，c為斜

12、邊)的內(nèi)切圓半徑r=，也可根據(jù)面積公式求直角三角形內(nèi)切圓的半徑． ∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC為直角三角形，且∠A=90°， ∵⊙O為△ABC內(nèi)切圓，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，∴四邊形AEOF為正方形，設(shè)⊙O的半徑為r，則OE=OF=AE=AF=r，∴BD=BF=AB－r，CD=CE=AC－r， ∴BC=BD+CD= AB－r+ AC－r，∴r==2， ∴S四邊形AEOF=r2=4，故選A． 8.（2019山東棗莊）如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，以點(diǎn)B為圓心，AB為半徑畫弧，交對角線BD于點(diǎn)E，則圖中陰影部分的面積是

13、（結(jié)果保留π）（　?。? A．8﹣π B．16﹣2π C．8﹣2π D．8﹣π 【答案】C 【解析】本題考查扇形的面積的計(jì)算，正方形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分割法求陰影部分面積．根據(jù)S陰＝S△ABD﹣S扇形BAE計(jì)算即可． S陰＝S△ABD﹣S扇形BAE＝×4×4﹣＝8﹣2π 9.（2019四川巴中）如圖，圓錐的底面半徑r＝6，高h(yuǎn)＝8，則圓錐的側(cè)面積是（　?。? A．15π B．30π C．45π D．60π 【答案】D 【解析】圓錐的側(cè)面積：S側(cè)＝?2πr?l＝πrl，求出圓錐的母線l即可解決問題． 圓錐的母線l＝＝＝10， ∴圓錐的側(cè)面積＝π?10?6

14、＝60π。 二.填空題 10.（2019?湖北省鄂州市）一個圓錐的底面半徑r＝5，高h(yuǎn)＝10，則這個圓錐的側(cè)面積是　?。? 【答案】． 【解析】利用勾股定理易得圓錐的母線長，進(jìn)而利用圓錐的側(cè)面積＝π×底面半徑×母線長，把相應(yīng)數(shù)值代入即可求解． ∵圓錐的底面半徑r＝5，高h(yuǎn)＝10， ∴圓錐的母線長為＝5， ∴圓錐的側(cè)面積為π×5×5＝。 11.（2019?湖北省荊門市）如圖，等邊三角形ABC的邊長為2，以A為圓心，1為半徑作圓分別交AB，AC邊于D，E，再以點(diǎn)C為圓心，CD長為半徑作圓交BC邊于F，連接E，F(xiàn)，那么圖中陰影部分的面積為　 ?。? 【答案】+﹣． 【解答】

15、過A作AM⊥BC于M，EN⊥BC于N， ∵等邊三角形ABC的邊長為2，∠BAC＝∠B＝∠ACB＝60°， ∴AM＝BC＝×2＝， ∵AD＝AE＝1， ∴AD＝BD，AE＝CE， ∴EN＝AM＝， ∴圖中陰影部分的面積＝S△ABC﹣S扇形ADE﹣S△CEF﹣（S△BCD﹣S扇形DCF） ＝×2×﹣﹣×﹣（×﹣） ＝+﹣ 12.（2019?湖北十堰）如圖，AB為半圓的直徑，且AB＝6，將半圓繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)C的位置，則圖中陰影部分的面積為　 ?。? 【答案】6π． 【解析】根據(jù)圖形可知，陰影部分的面積是半圓的面積與扇形ABC的面積之和減去半圓

16、的面積．由圖可得， 圖中陰影部分的面積為：＝6π 13.（2019?湖北天門）75°的圓心角所對的弧長是2.5πcm，則此弧所在圓的半徑是　6　cm． 【答案】6 【解析】由弧長公式：l＝計(jì)算． 由題意得：圓的半徑R＝180×2.5π÷（75π）＝6cm． 14.（2019?湖北省咸寧市）如圖，半圓的直徑AB＝6，點(diǎn)C在半圓上，∠BAC＝30°，則陰影部分的面積為　 ?。ńY(jié)果保留π）． 【答案】3π﹣． 【解析】根據(jù)題意，作出合適的輔助線，即可求得CD和∠COB的度數(shù)，即可得到陰影部分的面積是半圓的面積減去△AOC和扇形BOC的面積． 連接OC.BC，作CD⊥AB于點(diǎn)

17、D， ∵直徑AB＝6，點(diǎn)C在半圓上，∠BAC＝30°， ∴∠ACB＝90°，∠COB＝60°， ∴AC＝3， ∵∠CDA＝90°， ∴CD＝， ∴陰影部分的面積是：＝3π﹣， 15.（2019?廣東廣州）如圖放置的一個圓錐，它的主視圖是直角邊長為2的等腰直角三角形，則該圓錐側(cè)面展開扇形的弧長為　 ?。ńY(jié)果保留π） 【答案】2π． 【解析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開扇形的弧長＝底面圓的周長即可解決問題． ∵某圓錐的主視圖是一個腰長為2的等腰直角三角形， ∴斜邊長為2， 則底面圓的周長為2π， ∴該圓錐側(cè)面展開扇形的弧長為2π。 16.（2019?江蘇泰州）如圖，

18、分別以正三角形的3個頂點(diǎn)為圓心，邊長為半徑畫弧，三段弧圍成的圖形稱為萊洛三角形．若正三角形邊長為6cm，則該萊洛三角形的周長為　 　cm． 【答案】6π． 【解析】本題考查了弧長公式：l＝（弧長為l，圓心角度數(shù)為n，圓的半徑為R）．也考查了等邊三角形的性質(zhì)．直接利用弧長公式計(jì)算即可． 該萊洛三角形的周長＝3×＝6π（cm）． 17.（2019?山東省聊城市）如圖是一個圓錐的主視圖，根據(jù)圖中標(biāo)出的數(shù)據(jù)（單位：cm），計(jì)算這個圓錐側(cè)面展開圖圓心角的度數(shù)為　 ?。? 【答案】120°． 【解析】根據(jù)圓錐的底面半徑得到圓錐的底面周長，也就是圓錐的側(cè)面展開圖的弧長，根據(jù)勾股定理得

19、到圓錐的母線長，利用弧長公式可求得圓錐的側(cè)面展開圖中扇形的圓心角． ∵圓錐的底面半徑為1， ∴圓錐的底面周長為2π， ∵圓錐的高是2， ∴圓錐的母線長為3， 設(shè)扇形的圓心角為n°， ∴＝2π， 解得n＝120． 即圓錐的側(cè)面展開圖中扇形的圓心角為120°． 18. （2019?黑龍江省齊齊哈爾市）將圓心角為216°，半徑為5cm的扇形圍成一個圓錐的側(cè)面，那么圍成的這個圓錐的高為　 　cm． 【答案】4 【解析】設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r， 根據(jù)題意得2πr＝，解得r＝3， 所以圓錐的高＝＝4（cm）． 三、解答題 19.（2019?湖南邵陽）如圖，在等腰△AB

20、C中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的角平分線，且AD＝6，以點(diǎn)A為圓心，AD長為半徑畫弧EF，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F． （1）求由弧EF及線段FC.CB.BE圍成圖形（圖中陰影部分）的面積； （2）將陰影部分剪掉，余下扇形AEF，將扇形AEF圍成一個圓錐的側(cè)面，AE與AF正好重合，圓錐側(cè)面無重疊，求這個圓錐的高h(yuǎn)． 【答案】見解析。 【解析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)得到AD⊥BC，BD＝CD，則可計(jì)算出BD＝6，然后利用扇形的面積公式，利用由弧EF及線段FC.CB.BE圍成圖形（圖中陰影部分）的面積＝S△ABC﹣S扇形EAF進(jìn)行計(jì)算； ∵在等腰△ABC中，∠BAC＝1

21、20°， ∴∠B＝30°， ∵AD是∠BAC的角平分線， ∴AD⊥BC，BD＝CD， ∴BD＝AD＝6， ∴BC＝2BD＝12， ∴由弧EF及線段FC.CB.BE圍成圖形（圖中陰影部分）的面積 S＝S△ABC﹣S扇形EAF＝×6×12﹣＝36﹣12π； （2）設(shè)圓錐的底面圓的半徑為r，利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個扇形的弧長等于圓錐底面的周長，扇形的半徑等于圓錐的母線長和弧長公式得到2πr＝，解得r＝2，然后利用勾股定理計(jì)算這個圓錐的高h(yuǎn)． 根據(jù)題意得2πr＝，解得r＝2， 這個圓錐的高h(yuǎn)＝＝4． 20.（2019?山東省德州市 ）如圖，∠BPD＝120°，點(diǎn)A.C分

22、別在射線PB.PD上，∠PAC＝30°，AC＝2． （1）用尺規(guī)在圖中作一段劣弧，使得它在A.C兩點(diǎn)分別與射線PB和PD相切．要求：寫出作法，并保留作圖痕跡； （2）根據(jù)（1）的作法，結(jié)合已有條件，請寫出已知和求證，并證明； （3）求所得的劣弧與線段PA.PC圍成的封閉圖形的面積． 【答案】見解析。 【解答】（1）過A.C分別作PB.PD的垂線，它們相交于O，然后以O(shè)A為半徑作⊙O即可。 如圖所示。 （2）寫出已知、求證，然后進(jìn)行證明；連接OP，先證明Rt△PAO≌Rt△PCO，然后根據(jù)切線的判定方法判斷PB.PC為⊙O的切線。 已知：如圖，∠BPD＝120°，點(diǎn)A.C分別

23、在射線PB.PD上，∠PAC＝30°，AC＝2，過A.C分別作PB.PD的垂線，它們相交于O，以O(shè)A為半徑作⊙O，OA⊥PB， 求證：PB.PC為⊙O的切線； 證明：∵∠BPD＝120°，PAC＝30°， ∴∠PCA＝30°， ∴PA＝PC， 連接OP， ∵OA⊥PA，PC⊥OC， ∴∠PAO＝∠PCO＝90°， ∵OP＝OP， ∴Rt△PAO≌Rt△PCO（HL） ∴OA＝OC， ∴PB.PC為⊙O的切線； （3）先證明△OAC為等邊三角形得到OA＝AC＝2，∠AOC＝60°，再計(jì)算出AP＝2，然后根據(jù)扇形的面積公式，利用劣弧AC與線段PA.PC圍成的封閉圖形的面積進(jìn)

24、行計(jì)算． ∵∠OAP＝∠OCP＝90°﹣30°＝60°， ∴△OAC為等邊三角形， ∴OA＝AC＝2，∠AOC＝60°， ∵OP平分∠APC， ∴∠APO＝60°， ∴AP＝×2＝2，∴劣弧AC與線段PA.PC圍成的封閉圖形的面積 S＝S四邊形APCO﹣S扇形AOC＝2××2×2﹣＝4﹣2π． 21.（2019?黑龍江省齊齊哈爾市）如圖，以△ABC的邊BC為直徑作⊙O，點(diǎn)A在⊙O上，點(diǎn)D在線段BC的延長線上，AD＝AB，∠D＝30°． （1）求證：直線AD是⊙O的切線； （2）若直徑BC＝4，求圖中陰影部分的面積． 【答案】見解析。 【解析】（1）證明：連接OA，則∠COA＝2∠B， ∵AD＝AB， ∴∠B＝∠D＝30°， ∴∠COA＝60°， ∴∠OAD＝180°﹣60°﹣30°＝90°， ∴OA⊥AD， 即CD是⊙O的切線； （2）解：∵BC＝4， ∴OA＝OC＝2， 在Rt△OAD中，OA＝2，∠D＝30°， ∴OD＝2OA＝4，AD＝2， 所以S△OAD＝OA?AD＝×2×2＝2， 因?yàn)椤螩OA＝60°， 所以S扇形COA＝＝π， 所以S陰影＝S△OAD﹣S扇形COA＝2﹣． 17