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1、圓綜合問題
06
圓綜合問題
1.如圖ZT6-1,△ABC為☉O的內(nèi)接三角形,點(diǎn)D為劣弧AC上一點(diǎn),連接AD,CD,CO,BO,延長CO,交AB于點(diǎn)F,CD=BC.
(1)求證:∠DAC=∠ACO+∠ABO;
(2)點(diǎn)E在OC上,連接EB,若∠DAB=∠OBA+∠EBA,求證:EF=EB.
圖ZT6-1
2.[2018·陜西] 如圖ZT6-2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜邊AB上的中線CD為直徑作☉O,分別與AC,BC相交于點(diǎn)M,N.
(1)過點(diǎn)N作☉O的切線NE,與AB相交于點(diǎn)E,求證:
2、NE⊥AB;
(2)連接MD,求證:MD=NB.
圖ZT6-2
3.如圖ZT6-3,☉O是△ABC的外接圓,AE平分∠BAC,交☉O于點(diǎn)E,交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)E作直線l∥BC.
(1)判斷直線l與☉O的關(guān)系,并說明理由;
(2)若∠ABC的平分線BF交AD于點(diǎn)F,求證:BE=EF;
(3)在(2)的條件下,若DE=5,DF=3,求AF的長.
圖ZT6-3
4.[2018·攀枝花] 如圖ZT6-4,在△ABC中,AB=AC,以AB為直徑的☉O分別與BC,AC交于點(diǎn)D,E,過點(diǎn)D作DF⊥AC于點(diǎn)F.
(1)若☉O的半徑為
3、3,∠CDF=15°,求陰影部分的面積;
(2)求證:DF是☉O的切線;
(3)求證:∠EDF=∠DAC.
圖ZT6-4
5.[2018·畢節(jié)] 如圖ZT6-5,在△ABC中,以BC為直徑的☉O交AC于點(diǎn)E,過點(diǎn)E作AB的垂線,交AB于點(diǎn)F,交CB的延長線于點(diǎn)G,且∠ABG=2∠C.
(1)求證:EG是☉O的切線;
(2)若tanC=12,AC=8,求☉O的半徑.
圖ZT6-5
6.[2017·黔南州] 如圖ZT6-6所示,以△ABC的邊AB為直徑作☉O,點(diǎn)C在☉O上,BD是☉O的弦,∠A=∠CBD,過點(diǎn)C作CF⊥AB于點(diǎn)F,
4、交BD于點(diǎn)G,過點(diǎn)C作CE∥BD,交AB的延長線于點(diǎn)E.
(1)求證:CE是☉O的切線;
(2)求證:CG=BG;
(3)若∠DBA=30°,CG=4,求BE的長.
圖ZT6-6
參考答案
1.證明:(1)如圖,連接OA.
∵OA=OC,∴∠1=∠ACO.∵OA=OB,∴∠2=∠ABO,∴∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO.
∵DC=BC,∴CD=BC.∴∠BAC=∠DAC.
∴∠DAC=∠ACO+∠ABO.
(2)∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=2∠CAB,∠COB=2∠BAC,∴∠BAD=∠BOC.
5、
∵∠DAB=∠OBA+∠EBA,
∴∠BOC=∠OBA+∠EBA.
∵∠BOC=∠OBF+∠OFB,
∴∠EFB=∠EBF.∴EF=EB.
2.證明:(1)如圖①,連接ON.
∵CD為Rt△ABC斜邊上的中線,
∴CD=12AB=BD.∴∠DCB=∠B.
∵OC=ON,∴∠ONC=∠DCB.
∴∠ONC=∠B.∴ON∥DB.
∵NE是☉O的切線,∴ON⊥NE.
∴NE⊥AB.
(2)如圖②,連接ND.
∵CD為☉O的直徑,
∴∠CND=∠CMD=90°.
∵CD=BD=AD,
∴BN=12BC,CM=AM.
∴DM是△ABC的中位線.
∴DM=1
6、2BC.∴MD=NB.
3.解:(1)直線l與☉O相切.理由:如圖,連接OE.
∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE.
∴BE=CE.∴OE⊥BC.
∵l∥BC,∴OE⊥l.∴直線l與☉O相切.
(2)證明:∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF.
又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE,∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF.
又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF,∴∠EBF=∠EFB.
∴BE=EF.
(3)由(2)得BE=EF=DE+DF=8.∵∠DBE=∠BAE,∠DEB=∠BEA,∴△BED∽△AEB.∴DEBE=BEAE,即58=8AE.解得AE=645.∴AF
7、=AE-EF=645-8=245.
4.解:(1)如圖①,連接OE,過點(diǎn)O作OM⊥AC于M,則∠AMO=90°.
∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°.
∵∠FDC=15°,∴∠C=90°-15°=75°.
∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=75°.∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=30°.
∴OM=12OA=12×3=32,AM=3OM=332.
∵OA=OE,OM⊥AC,∴AE=2AM=33.
∵∠AEO=∠BAC=30°,∴∠AOE=180°-30°-30°=120°.
∴陰影部分的面積S=S扇形AOE-S△AOE=120π×32360-12×33×32=3π-934.
8、(2)證明:如圖②,連接OD.∵AB=AC,OB=OD,∴∠ABC=∠C,∠ABC=∠ODB,∴∠ODB=∠C,∴AC∥OD.
∵DF⊥AC,∴DF⊥OD.
∵OD是☉O的半徑,∴DF是☉O的切線.
(3)證明:如圖③,連接BE.
∵AB為☉O的直徑,∴∠AEB=90°.∴BE⊥AC.
∵DF⊥AC,∴BE∥DF.∴∠FDC=∠EBC.
∵∠EBC=∠DAC,∴∠FDC=∠DAC.
∵A,B,D,E四點(diǎn)共圓,∴∠DEF=∠ABC.
∵∠ABC=∠C,∴∠DEC=∠C.
∵DF⊥AC,∴∠EDF=∠FDC,∴∠EDF=∠DAC.
5.解:(1)證明:連接OE,BE.∵∠A
9、BG=2∠C,∠ABG=∠C+∠A,∴∠C=∠A.∴BC=AB.
∵BC是☉O的直徑,∴∠CEB=90°,即BE⊥AC.∴CE=AE.
又CO=OB,∴OE∥AB.∵GE⊥AB,∴EG⊥OE.
又OE是☉O的半徑,∴EG是☉O的切線.
(2)∵AC=8,∴CE=AE=4,∵tanC=BECE=12,∴BE=2.∴BC=CE2+BE2=25,∴CO=5,即☉O的半徑為5.
6.解:(1)證明:如圖,連接OC.∵∠BAC=∠CBD,
∴BC=DC.∴OC⊥BD.
∵CE∥BD,∴OC⊥CE.∴CE是☉O的切線.
(2)證明:∵AB為☉O的直徑,
∴∠ACB=90°.
∵CF
10、⊥AB,∴∠ACB=∠CFB=90°.
∵∠ABC=∠CBF,∴∠A=∠BCF.
∵∠A=∠CBD,∴∠BCF=∠CBD,
∴CG=BG.
(3)連接AD,∵AB為☉O的直徑,∴∠ADB=90°.
∵∠DBA=30°,∴∠BAD=60°.
∵BC=DC,
∴∠DAC=∠BAC=12∠BAD=30°.
∴BCAC=tan30°=33.
∵CE∥BD,∴∠E=∠DBA=30°.
∴AC=CE.∴BCCE=33.
∵∠CAB=∠BCF=∠CBD=30°,
∴∠BCE=30°,
∴BE=BC.∴△CGB∽△CBE.
∴CGBC=BCCE=33.
∵CG=4,∴BC=43.∴BE=43.
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