2020年中考數(shù)學(xué)考點專項突破卷19 銳角三角函數(shù)和解直角三角形（含解析）

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1、19.1銳角三角函數(shù)和解直角三角形精選考點專項突破卷（一） 考試范圍：銳角三角函數(shù)和解直角三角形；考試時間：90分鐘；總分：120分 一、單選題（每小題3分，共30分) 1．（2015·四川中考真題）如圖，已知△ABC的三個頂點均在格點上，則cosA的值為（ ） A． B． C． D． 2．（2018·湖北中考真題）如圖，在中，，，，則等于（ ） A． B． C． D． 3．（2018·黑龍江中考真題）如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O，BD=8，tan∠ABD=，則線段AB的長為（　　） A． B．2 C．5 D．10 4．（2014·四川

2、中考真題）如圖，河堤橫斷面迎水坡AB的坡比是1：3，堤高BC=10m，則坡面AB的長度是（ ） A．15m B．203m C．20m D．103m 5．（2018·湖南中考真題）如圖，小剛從山腳A出發(fā)，沿坡角為的山坡向上走了300米到達B點，則小剛上升了（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．（2012·山東中考真題）把△ABC三邊的長度都擴大為原來的3倍，則銳角A的正弦函數(shù)值（ ） 　　A．不變　　B．縮小為原來的　　C．?dāng)U大為原來的3倍　　D．不能確定 7．（2014·四川中考真題）在△ABC中，若=0，則∠C的度數(shù)是（ ） A．

3、45° B．60° C．75° D．105° 8．（2018·山東中考真題）如圖，在矩形ABCD中，點E是邊BC的中點，AE⊥BD，垂足為F，則tan∠BDE的值是（　?。? A． B． C． D． 9．（2019·湖南中考真題）如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝12，AB的垂直平分線EF交AC于點D，連接BD，若cos∠BDC＝，則BC的長是（ ） A．10 B．8 C．4 D．2 10．（2018·浙江中考真題）如圖，兩根竹竿AB和AD斜靠在墻CE上，量得∠ABC=，∠ADC=，則竹竿AB與AD的長度之比為　　 A． B． C． D． 二、填空題（每小題4

4、分，共28分) 11．（2013·遼寧中考真題）△ABC中，∠C=90°，AB=8，cosA=，則BC的長 ． 12．（2019·四川中考真題）如圖，在△中，，,.則邊的長為___________. 13．（2019·山東中考真題）如圖，一架長為米的梯子斜靠在一豎直的墻上，這時測得，如果梯子的底端外移到，則梯子頂端下移到，這時又測得，那么的長度約為______米．（，，，） 14．（2019·山東中考真題）如圖，小明為了測量校園里旗桿AB的高度，將測角儀CD豎直放在距旗桿底部B點6m的位置，在D處測得旗桿頂端A的仰角為53°，若測角儀的高度是1.5m，則旗桿AB的高度

5、約為______m．（精確到0.1m．參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33） 15．（2019·廣西中考真題）如圖，在中，，，，則的長為_____． 16．（2013·湖北中考真題）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中點，過D點作AB的垂線交AC于點E，BC=6，sinA=，則DE=　 ?。? 17．（2019·江蘇中考真題）如圖，在矩形ABCD中，，，H是AB的中點，將沿CH折疊，點B落在矩形內(nèi)點P處，連接AP，則__． 三、解答題一（每小題6分，共18分) 18．（2019·四川中考真題）計算：

6、． 19．（2019·四川中考真題）計算：． 20．（2019·四川中考真題）計算： 四、解答題二（每小題8分，共24分) 21．（2014·湖南中考真題） 一艘觀光游船從港口A以北偏東60°的方向出港觀光，航行80海里至C處時發(fā)生了側(cè)翻沉船事故，立即發(fā)出了求救信號，一艘在港口正東方向的海警船接到求救信號，測得事故船在它的北偏東37°方向，馬上以40海里每小時的速度前往救援，求海警船到大事故船C處所需的大約時間．（溫馨提示：sin53°≈0.8，cos53°≈0.6） 22．（2019·山東中考真題）自開展“全民健身運動”以來，喜歡戶外步行健身的人越來越多，為方便群眾步行健身，

7、某地政府決定對一段如圖1所示的坡路進行改造．如圖2所示，改造前的斜坡米，坡度為；將斜坡的高度降低米后，斜坡改造為斜坡，其坡度為．求斜坡的長．（結(jié)果保留根號） 23．（2016·青海中考真題）如圖，某校教學(xué)樓AB的后面有一建筑物CD，當(dāng)光線與地面的夾角是22o時， 教學(xué)樓在建筑物的墻上留下高2m的影子CE；而當(dāng)光線與地面的夾角是45o時，教學(xué)樓頂A在地面上的影子F與墻角C有13m的距離(B、F、C在一條直線上)． (1)求教學(xué)樓AB的高度； (2)學(xué)校要在A、E之間掛一些彩旗，請你求出A、E之間的距離(結(jié)果保留整數(shù))． (參考數(shù)據(jù)：sin22o≈，cos22o≈，tan22o≈

8、) 五、解答題三（每小題10分，共20分) 24．（2017·湖北中考真題）（2017湖北省鄂州市）小明想要測量學(xué)校食堂和食堂正前方一棵樹的高度，他從食堂樓底M處出發(fā)，向前走3米到達A處，測得樹頂端E的仰角為30°，他又繼續(xù)走下臺階到達C處，測得樹的頂端E的仰角是60°，再繼續(xù)向前走到大樹底D處，測得食堂樓頂N的仰角為45°．已知A點離地面的高度AB=2米，∠BCA=30°，且B、C、D三點在同一直線上． （1）求樹DE的高度； （2）求食堂MN的高度． 25．（2018·江蘇中考真題）日照間距系數(shù)反映了房屋日照情況．如圖①，當(dāng)前后房屋都朝向正南時，日照間距系數(shù)=L：（H﹣H1）

9、，其中L為樓間水平距離，H為南側(cè)樓房高度，H1為北側(cè)樓房底層窗臺至地面高度． 如圖②，山坡EF朝北，EF長為15m，坡度為i=1：0.75，山坡頂部平地EM上有一高為22.5m的樓房AB，底部A到E點的距離為4m． （1）求山坡EF的水平寬度FH； （2）欲在AB樓正北側(cè)山腳的平地FN上建一樓房CD，已知該樓底層窗臺P處至地面C處的高度為0.9m，要使該樓的日照間距系數(shù)不低于1.25，底部C距F處至少多遠？ 19.1銳角三角函數(shù)和解直角三角形精選考點專項突破卷（一）參考答案 1．D 【解析】過B點作BD⊥AC，如圖， 由勾股定理得，AB=，AD=， cosA===， 故選

10、D． 2．A 【解析】分析：先根據(jù)勾股定理求得BC=6，再由正弦函數(shù)的定義求解可得． 詳解：在Rt△ABC中，∵AB=10、AC=8， ∴BC=， ∴sinA=. 故選：A． 點睛：本題主要考查銳角三角函數(shù)的定義，解題的關(guān)鍵是掌握勾股定理及正弦函數(shù)的定義． 3．C 【解析】分析：根據(jù)菱形的性質(zhì)得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根據(jù)勾股定理求出AB即可． 詳解：∵四邊形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD， ∴∠AOB=90°， ∵BD=8， ∴OB=4， ∵tan∠ABD=， ∴AO=3， 在Rt△A

11、OB中，由勾股定理得：AB==5， 故選C． 點睛：本題考查了菱形的性質(zhì)、勾股定理和解直角三角形，能熟記菱形的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵． 4．C 【解析】試題分析：∵Rt△ABC中，BC=10m，tanA=1：3， ∴AC=BC÷tanA=103m． ∴AB=AC2+BC2=(103)2+102=20m． 故選C． 考點：1．解直角三角形的應(yīng)用（坡度坡角問題）；2．銳角三角函數(shù)定義；3．特殊角的三角函數(shù)值．；4．勾股定理． 5．A 【解析】利用銳角三角函數(shù)關(guān)系即可求出小剛上升了的高度． 【詳解】 在Rt△AOB中，∠AOB=90°，AB=300米， BO=AB?sinα=3

12、00sinα米． 故選A． 【點睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，根據(jù)題意構(gòu)造直角三角形，正確選擇銳角三角函數(shù)得出AB，BO的關(guān)系是解題關(guān)鍵． 6．A。 【解析】銳角三角函數(shù)的定義。 【分析】因為△ABC三邊的長度都擴大為原來的3倍所得的三角形與原三角形相似，所以銳角A的大小沒改變，所以銳角A的正弦函數(shù)值也不變。故選A。 7．C 【解析】根據(jù)非負數(shù)的性質(zhì)可得出cosA及tanB的值，繼而可得出A和B的度數(shù)，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理可得出∠C的度數(shù)． 【詳解】 由題意，得?cosA=，tanB=1， ∴∠A=60°，∠B=45°， ∴∠C=180°-∠A-∠B=180°-

13、60°-45°=75°． 故選C． 8．A 【解析】證明△BEF∽△DAF，得出EF=AF，EF=AE，由矩形的對稱性得：AE=DE，得出，設(shè)EF=x，則DE=3x，由勾股定理求出再由三角函數(shù)定義即可得出答案． 【詳解】 ∵四邊形ABCD是矩形， ∴AD=BC，AD∥BC， ∵點E是邊BC的中點， ∴BE=BC=AD， ∴△BEF∽△DAF， ∴， ∴EF=AF， ∴EF=AE， ∵點E是邊BC的中點， ∴由矩形的對稱性得：AE=DE， ∴EF=DE，設(shè)EF=x，則DE=3x， ∴DF=x， ∴tan∠BDE= . 故選A． 【點睛】本題考查了相似三角形

14、的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，三角函數(shù)等知識；熟練掌握矩形的性質(zhì)，證明三角形相似是解決問題的關(guān)鍵． 9．D 【解析】設(shè)CD＝5x，BD＝7x，則BC＝2x，由垂直平分線的性質(zhì)可得BD=AD，可得AC=12x，由AC＝12即可求x，進而求出BC； 【詳解】 ∵∠C＝90°，cos∠BDC＝， 設(shè)CD＝5x，BD＝7x， ∴BC＝2x， ∵AB的垂直平分線EF交AC于點D， ∴AD＝BD＝7x， ∴AC＝12x， ∵AC＝12， ∴x＝1， ∴BC＝2； 故選D. 【點睛】本題考查直角三角形的性質(zhì)；熟練掌握直角三角形函數(shù)的三角函數(shù)值，線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵. 1

15、0．B 【解析】在兩個直角三角形中，分別求出AB、AD即可解決問題； 【詳解】 在Rt△ABC中，AB=， 在Rt△ACD中，AD=， ∴AB：AD=：=， 故選B． 【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用、銳角三角函數(shù)等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會利用參數(shù)解決問題． 11．． 【解析】首先利用余弦函數(shù)的定義求得AC的長，然后利用勾股定理即可求得BC的長： ∵△ABC中，∠C=90°，AB=8，， ∴． ∴． 故答案為 12． 【解析】過A作AD⊥BC于D點，根據(jù)，可求得CD，在Rt△ACD中由勾股定理可求得AD，再利用Rt△ADB中，可知AB=2AD，即可解題 【詳解

16、】 過A作AD⊥BC于D點， ∵，AC=2 ∴CD= 在Rt△ACD中由勾股定理得：AD= 又∵∠B=30° ∴AB=2AD=. 【點睛】本題考查了銳角三角函數(shù)，勾股定理求線段長度，30°所對的直角邊是斜邊的一半，靈活聯(lián)合運用即可解題. 13． 【解析】直接利用銳角三角函數(shù)關(guān)系得出，的長，進而得出答案． 【詳解】 由題意可得： ∵，， ， 解得：， ∵，， ， 解得：， 則， 答：的長度約為米． 故答案為：． 【點睛】此題主要考查了解直角三角形的應(yīng)用，正確得出，的長是解題關(guān)鍵． 14．9.5 【解析】分析：根據(jù)三角函數(shù)和直角三角形的性質(zhì)解答即可

17、． 詳解：過D作DE⊥AB， ∵在D處測得旗桿頂端A的仰角為53°， ∴∠ADE＝53°， ∵BC＝DE＝6m， ∴AE＝DE?tan53°≈6×1.33≈7.98m， ∴AB＝AE＋BE＝AE＋CD＝7.98＋1.5＝9.48m≈9.5m， 故答案為：9.5 點睛：此題考查了考查仰角的定義，要求學(xué)生能借助俯角構(gòu)造直角三角形并解直角三角形．注意方程思想與數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 15． 【解析】過A作AD垂直于BC，在直角三角形ABD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出AD的長，在直角三角形ACD中，利用銳角三角函數(shù)定義求出CD的長，再利用勾股定理求出AC的長即可． 【詳解】

18、解：過作， 在中，，， ∴， 在中，， ∴，即， 根據(jù)勾股定理得：， 故答案為 【點睛】此題考查了解直角三角形，涉及的知識有：銳角三角函數(shù)定義，以及勾股定理，熟練掌握各自的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 16． 【解析】分析：∵BC=6，sinA=，∴AB=10。∴。 ∵D是AB的中點，∴AD=AB=5。 ∵△ADE∽△ACB，∴，即，解得：DE=。 17． 【解析】連接PB，交CH于E，依據(jù)軸對稱的性質(zhì)以及三角形內(nèi)角和定理，即可得到CH垂直平分BP，，即可得到，進而得出，依據(jù)中，，即可得出． 【詳解】 如圖，連接PB，交CH于E， 由折疊可得，CH垂直平分BP，，

19、 又∵H為AB的中點， ∴， ∴， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵中，， ∴， 故答案為：． 【點睛】本題考查的是翻折變換的性質(zhì)和矩形的性質(zhì)，掌握折疊是一種對稱變換，它屬于軸對稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對應(yīng)邊和對應(yīng)角相等是解題的關(guān)鍵． 18．8. 【解析】直接利用二次根式的性質(zhì)、零指數(shù)冪的性質(zhì)、負指數(shù)冪的性質(zhì)及特殊角的三角函數(shù)值分別化簡得出答案． 【詳解】 原式 ． 【點睛】此題主要考查了實數(shù)運算，正確化簡各數(shù)把熟記特殊角的三角函數(shù)值是解題關(guān)鍵. 19．- 【解析】分別進行特殊角的三角函數(shù)值的運算，任何非零數(shù)的零次

20、冪等于1，負整數(shù)指數(shù)冪以及絕對值的意義化簡，然后按照實數(shù)的運算法則進行計算求得結(jié)果． 【詳解】 解：原式． 【點睛】考查了實數(shù)的運算法則，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握負整數(shù)指數(shù)冪、特殊角的三角函數(shù)值等知識． 20． 【解析】先根據(jù)整數(shù)指數(shù)冪、負指數(shù)冪、零指數(shù)冪、三角函數(shù)和絕對值進行化簡，再進行加減運算. 【詳解】 解：原式 ． 【點睛】本題考查指數(shù)冪、三角函數(shù)和絕對值，解題的關(guān)鍵是掌握指數(shù)冪、三角函數(shù)和絕對值. 21．【解析】試題分析：過點C作CD⊥AB交AB延長線于D．先解Rt△ACD得出CD=AC=40海里，再解Rt△CBD中，得出BC=≈50，然后根據(jù)時間=路程÷速度

21、即可求出海警船到大事故船C處所需的時間． 試題解析： 解：如圖，過點C作CD⊥AB交AB延長線于D． 在Rt△ACD中，∵∠ADC=90°，∠CAD=30°，AC=80海里， ∴CD=AC=40海里． 在Rt△CBD中，∵∠CDB=90°，∠CBD=90°﹣37°=53°， ∴BC=≈=50（海里）， ∴海警船到大事故船C處所需的時間大約為：50÷40=（小時）． 考點：解直角三角形的應(yīng)用-方向角問題 22．斜坡的長是米． 【解析】根據(jù)題意和銳角三角函數(shù)可以求得的長，進而得到的長，再根據(jù)銳角三角函數(shù)可以得到的長，最后用勾股定理即可求得的長． 【詳解】 ∵，，坡度為，

22、 ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，斜坡的坡度為， ∴， 即， 解得，， ∴米， 答：斜坡的長是米． 【點睛】本題考查解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用銳角三角函數(shù)和數(shù)形結(jié)合的思想解答． 23．（1）12m（2）27m 【解析】（1）首先構(gòu)造直角三角形△AEM，利用，求出即可。 （2）利用Rt△AME中，，求出AE即可。 【詳解】 解：（1）過點E作EM⊥AB，垂足為M。 設(shè)AB為x． 在Rt△ABF中，∠AFB=45°， ∴BF=AB=x， ∴BC=BF＋FC=x＋13。 在Rt△AEM中，∠AEM=22°，AM=

23、AB－BM=AB－CE=x－2， 又∵，∴，解得：x≈12。 ∴教學(xué)樓的高12m。 （2）由（1）可得ME=BC=x+13≈12+13=25。 在Rt△AME中，， ∴AE=MEcos22°≈。 ∴A、E之間的距離約為27m。 24．（1）6；（2）． 【解析】試題分析：（1）設(shè)DE=x，可得EF=DE﹣DF=x﹣2，從而得AF=（x﹣2），再求出CD=x、BC的長，根據(jù)AF=BD可得關(guān)于x的方程，解之可得； （2）延長NM交DB延長線于點P，知AM=BP=3，由（1）得CD=x=、BC=，根據(jù)NP=PD且AB=MP可得答案． 試題解析：（1）如圖，設(shè)DE=x，∵AB=DF

24、=2，∴EF=DE﹣DF=x﹣2，∵∠EAF=30°，∴AF= =，又∵CD===x，BC===，∴BD=BC+CD=+x，由AF=BD可得（x﹣2）=+x，解得：x=6，∴樹DE的高度為6米； （2）延長NM交DB延長線于點P，則AM=BP=3，由（1）知CD=x=×6=，BC=，∴PD=BP+BC+CD=3++=3+，∵∠NDP=45°，且MP=AB=2，∴NP=PD=3+，∴NM=NP﹣MP=3+﹣2=，∴食堂MN的高度為米． 點睛：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確的構(gòu)造直角三角形并選擇正確的邊角關(guān)系解直角三角形． 25．（1）山坡EF的水平寬度FH為9m；（2）

25、要使該樓的日照間距系數(shù)不低于1.25，底部C距F處29m遠． 【解析】分析：（1）在Rt△EFH中，根據(jù)坡度的定義得出tan∠EFH=i=1：0.75==，設(shè)EH=4x，則FH=3x，由勾股定理求出EF==5x，那么5x=15，求出x=3，即可得到山坡EF的水平寬度FH為9m； （2）根據(jù)該樓的日照間距系數(shù)不低于1.25，列出不等式≥1.25，解不等式即可． 詳解：（1）在Rt△EFH中，∵∠H=90°， ∴tan∠EFH=i=1：0.75==， 設(shè)EH=4x，則FH=3x， ∴EF==5x， ∵EF=15， ∴5x=15，x=3， ∴FH=3x=9． 即山坡EF的水平寬度FH為9m； （2）∵L=CF+FH+EA=CF+9+4=CF+13， H=AB+EH=22.5+12=34.5，H1=0.9， ∴日照間距系數(shù)=L：（H﹣H1）=， ∵該樓的日照間距系數(shù)不低于1.25， ∴≥1.25， ∴CF≥29． 答：要使該樓的日照間距系數(shù)不低于1.25，底部C距F處29m遠． 點睛：本題考查了解直角三角形的應(yīng)用﹣坡度坡角問題，勾股定理，將實際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題是解題的關(guān)鍵。 19