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1、
提分專練(三) 反比例函數(shù)綜合問題
|類型1| 反比例函數(shù)與幾何圖形的面積問題
1.[2019·龍東地區(qū)改編]如圖T3-1,在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),平行四邊形OABC的頂點(diǎn)A在反比例函數(shù)y=1x(x>0)的圖象上,頂點(diǎn)B在反比例函數(shù)y=5x(x>0)的圖象上,點(diǎn)C在x軸的正半軸上,則平行四邊形OABC的面積是 .?
圖T3-1
2.[2019·衢州]如圖T3-2,在平面直角坐標(biāo)系中,O為坐標(biāo)原點(diǎn),?ABCD的邊AB在x軸上,頂點(diǎn)D在y軸的正半軸上,點(diǎn)C在第一象限,將△AOD沿y軸翻折,使點(diǎn)A落在x軸上的點(diǎn)E處,點(diǎn)B恰好為OE的中點(diǎn),DE與BC交于點(diǎn)F.若y
2、=kx(k≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)C.且S△BEF=1,則k的值為 .?
圖T3-2
3.[2019·蘭州] 如圖T3-3,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象過等邊三角形BOC的頂點(diǎn)B,OC=2,點(diǎn)A在反比例函數(shù)圖象上,連接AC,AO.
(1)求反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的表達(dá)式;
(2)若四邊形ACBO的面積是33,求點(diǎn)A的坐標(biāo).
圖T3-3
|類型2| 反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合問題
4.[2018·貴港] 如圖T3-4,已知反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象與一次函數(shù)y=-12x+4的圖象交于A和B(6,n)兩點(diǎn).
(1)求k和
3、n的值;
(2)若點(diǎn)C(x,y)也在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象上,求當(dāng)2≤x≤6時(shí),函數(shù)值y的取值范圍.
圖T3-4
5.[2019·岳陽] 如圖T3-5,雙曲線y=mx經(jīng)過點(diǎn)P(2,1),且與直線y=kx-4(k<0)有兩個(gè)不同的交點(diǎn).
(1)求m的值;
(2)求k的取值范圍.
圖T3-5
6.[2018·宜賓] 如圖T3-6,已知反比例函數(shù)y=mx(m≠0)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(1,4),一次函數(shù)y=-x+b的圖象經(jīng)過反比例函數(shù)圖象上的點(diǎn)Q(-4,n).
(1)求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的表達(dá)式;
(2)一次函數(shù)的圖
4、象分別與x軸、y軸交于A,B兩點(diǎn),與反比例函數(shù)圖象的另一個(gè)交點(diǎn)為P點(diǎn),連接OP,OQ,求△OPQ的面積.
圖T3-6
7.[2019·廣東] 如圖T3-7,一次函數(shù)y=k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y=k2x的圖象相交于A,B兩點(diǎn),其中點(diǎn)A的坐標(biāo)為(-1,4),點(diǎn)B的坐標(biāo)為(4,n).
(1)根據(jù)圖象,直接寫出滿足k1x+b>k2x的x的取值范圍;
(2)求這兩個(gè)函數(shù)的表達(dá)式;
(3)點(diǎn)P在線段AB上,且S△AOP∶S△BOP=1∶2,求點(diǎn)P的坐標(biāo).
圖T3-7
8.[2019·廣州] 如圖T3-8,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,
5、菱形ABCD的對角線AC與BD交于點(diǎn)P(-1,2),AB⊥x軸于點(diǎn)E,正比例函數(shù)y=mx的圖象與反比例函數(shù)y=n-3x的圖象相交于A,P兩點(diǎn).
(1)求m,n的值與點(diǎn)A的坐標(biāo);
(2)求證:△CPD∽△AEO;
(3)求sin∠CDB的值.
圖T3-8
9.[2019·自貢] 如圖T3-9,在平面直角坐標(biāo)系中,一次函數(shù)y1=kx+b(k≠0)的圖象與反比例函數(shù)y2=mx(m≠0)的圖象相交于第一、三象限內(nèi)的A(3,5),B(a,-3)兩點(diǎn),與x軸交于點(diǎn)C.
(1)求該反比例函數(shù)和一次函數(shù)的解析式;
(2)在y軸上找一點(diǎn)P使PB-PC最大,求PB
6、-PC的最大值及點(diǎn)P的坐標(biāo);
(3)直接寫出當(dāng)y1>y2時(shí),x的取值范圍.
圖T3-9
【參考答案】
1.4 [解析]設(shè)A(a,b),B(a+m,b),依題意得b=1a,b=5a+m,∴1a=5a+m,化簡得m=4a.∵b=1a,∴ab=1,∴S平行四邊形OABC=mb=4ab=4×1=4.
2.24 [解析]連接OC,過F作FM⊥AB于M,延長MF交CD于N.
設(shè)BE=a,FM=b,由題意知OB=BE=a,OA=2a,DC=3a.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為平行四邊形,所以DC∥AB,所以△BEF∽△CDF,所以BE∶CD=EF∶DF=1∶3,
所以N
7、F=3b,OD=MN=FM+FN=4b.
因?yàn)镾△BEF=1,即12ab=1,∴S△CDO=12CD·OD=12×3a×4b=6ab=12,所以k=xy=2S△CDO=24.
3.解:(1)作BD⊥OC于D,
∵△BOC是等邊三角形,
∴OB=OC=2,OD=12OC=1,
∴BD=OB2-OD2=3,
∴S△OBD=12OD·BD=32,
又∵S△OBD=12|k|,∴|k|=3,
∵反比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象在第一、三象限,∴k=3,∴反比例函數(shù)的表達(dá)式為y=3x.
(2)∵S△OBC=12OC·BD=12×2×3=3,∴S△AOC=33-3=23.
∵
8、S△AOC=12OC·yA=23,∴yA=23.
把y=23代入y=3x,得x=12, ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為12,23.
4.解:(1)把B(6,n)代入一次函數(shù)y=-12x+4中,可得n=-12×6+4=1,
所以B點(diǎn)的坐標(biāo)為(6,1).
又B在反比例函數(shù)y=kx(x>0)的圖象上,
所以k=xy=1×6=6,
所以k的值為6,n的值為1.
(2)由(1)知反比例函數(shù)的解析式為y=6x.
當(dāng)x=2時(shí),y=62=3;當(dāng)x=6時(shí),y=66=1,
由函數(shù)圖象可知,當(dāng)2≤x≤6時(shí)函數(shù)值y的取值范圍是1≤y≤3.
5.解:(1)把P(2,1)的坐標(biāo)代入y=mx,得:
1=m2,
9、m=2.
(2)由(1)可知反比例函數(shù)解析式為y=2x,
∴2x=kx-4,
整理得:kx2-4x-2=0,
∵雙曲線與直線有兩個(gè)不同的交點(diǎn),∴Δ>0,
即(-4)2-4k·(-2)>0,
解得:k>-2.
又∵k<0,
∴k的取值范圍為-2
10、為y=-x-5.
(2)由題意可得:y=4x,y=-x-5,
解得x=-4,y=-1或x=-1,y=-4,
∴P(-1,-4).
在一次函數(shù)y=-x-5中,
令y=0,得-x-5=0,
解得x=-5,故A(-5,0).
∴S△OPQ=S△OPA-S△OAQ=12×5×4-12×5×1=7.5.
7.解:(1)x<-1或0
11、1,解得k1=-1,b=3.∴y=-x+3.
(3)設(shè)直線AB與y軸交于點(diǎn)C,
∵點(diǎn)C在直線y=-x+3上,∴C(0,3).
S△AOB=12OC·(|xA|+|xB|)=12×3×(1+4)=7.5,
又∵S△AOP∶S△BOP=1∶2,
∴S△AOP=13×7.5=2.5,S△BOP=5.
又S△AOC=12×3×1=1.5,1.5<2.5,
∴點(diǎn)P在第一象限.∴S△COP=2.5-1.5=1.
又OC=3,∴12×3×xP=1,解得xP=23.
把xP=23代入y=-x+3,得yP=73.
∴P23,73.
8.解:(1)將點(diǎn)P(-1,2)的坐標(biāo)代入y=mx
12、,
得:2=-m,解得m=-2,
∴正比例函數(shù)解析式為y=-2x;
將點(diǎn)P(-1,2)的坐標(biāo)代入y=n-3x,
得:2=-(n-3),解得:n=1,
∴反比例函數(shù)解析式為y=-2x.
解方程組y=-2x,y=-2x,
得x1=-1,y1=2,x2=1,y2=-2,
∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,-2).
(2)證明:∵四邊形ABCD是菱形,
∴AC⊥BD,AB∥CD,
∴∠CPD=90°,∠DCP=∠BAP,
即∠DCP=∠OAE.
∵AB⊥x軸,
∴∠AEO=∠CPD=90°,
∴△CPD∽△AEO.
(3)∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,-2),
∴AE=2,OE=1,AO=A
13、E2+OE2=5.
∵△CPD∽△AEO,∴∠CDP=∠AOE,
∴sin∠CDB=sin∠AOE=AEAO=25=255.
9.解:(1)將A(3,5)的坐標(biāo)代入y2=mx得,5=m3,
∴m=15.
∴反比例函數(shù)的解析式為y2=15x.
當(dāng)y2=-3時(shí),-3=15x,∴x=-5,
∴點(diǎn)B的坐標(biāo)為(-5,-3).
將A(3,5),B(-5,-3)的坐標(biāo)代入y1=kx+b得,
3k+b=5,-5k+b=-3,解得k=1,b=2.
∴一次函數(shù)的解析式為y1=x+2.
(2)令y1=0,則x+2=0,解得x=-2.
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-2,0).
設(shè)一次函數(shù)圖象與y軸交于點(diǎn)D.
令x=0,則y1=2.
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2).
連接PB,PC,當(dāng)B,C和P不共線時(shí),由三角形三邊關(guān)系知,PB-PCy2時(shí),x的取值范圍為x>3或-5
（全國版）2020年中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí) 提分專練03 反比例函數(shù)綜合問題
