（江蘇版）2020年中考數(shù)學(xué)熱點(diǎn)專題沖刺2 規(guī)律探究問題

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1、熱點(diǎn)專題2 規(guī)律探究問題 規(guī)律探究型問題是中考數(shù)學(xué)中的?？紗栴}，題目數(shù)量一般是一個(gè)題，各種題型都有可能出現(xiàn)，一般多以選擇題或者填空題中的壓軸題形式出現(xiàn)，主要命題方式有數(shù)式規(guī)律、圖形變化規(guī)律、點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律等?；窘忸}思路：從簡(jiǎn)單的、局部的、特殊的情形出發(fā)，通過分析、比較、提煉，發(fā)現(xiàn)其中規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般結(jié)論，最后驗(yàn)證結(jié)論的正確性。探索規(guī)律題可以說是每年中考的必考題，預(yù)計(jì)2020年中考數(shù)學(xué)中仍會(huì)作為選擇題或填空題的壓軸題來考察。所以掌握其基本的考試題型及解題技巧是非常有必要的。 中考 要求 能夠理解并且運(yùn)用符號(hào)表示數(shù)、數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律． 學(xué)會(huì)通過通過觀察、猜

2、想、歸納、總結(jié)有關(guān)實(shí)數(shù)、代數(shù)式、圖形、坐標(biāo)等相關(guān)的規(guī)律問題。 通過合情推理探索數(shù)學(xué)結(jié)論，運(yùn)用演繹推理加以證明的過程，在多種形式的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，發(fā)展合情推理與演繹推理的能力． 考向1 圖形設(shè)計(jì)規(guī)律探究 1．(2019 江蘇省徐州市)閱讀理解 用的矩形瓷磚，可拼得一些長(zhǎng)度不同但寬度均為的圖案．已知長(zhǎng)度為、、的所有圖案如下： 嘗試操作 如圖，將小方格的邊長(zhǎng)看作，請(qǐng)?jiān)诜礁窦堉挟嫵鲩L(zhǎng)度為的所有圖案． 歸納發(fā)現(xiàn) 觀察以上結(jié)果，探究圖案?jìng)€(gè)數(shù)與圖案長(zhǎng)度之間的關(guān)系，將下表補(bǔ)充完整． 圖案的長(zhǎng)度 所有不同圖案的個(gè)數(shù) 1 2 3 　　 　　 　

3、　 【答案】如圖，5， 【解析】如圖：根據(jù)作圖可知時(shí)，所有圖案?jìng)€(gè)數(shù)5個(gè)； 時(shí)，所有圖案?jìng)€(gè)數(shù)8個(gè)； 時(shí)，所有圖案?jìng)€(gè)數(shù)13個(gè)； 故答案為5，8，13； 考向2 圖形性質(zhì)規(guī)律探究 1. (2019 江蘇省揚(yáng)州市)如圖，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，若進(jìn)行以下操作，在邊BC上從左到右依次取點(diǎn)D1、D2、D3、D4、…；過點(diǎn)D1作AB、AC的平行線分別交AC、AB于點(diǎn)E1、F1；過點(diǎn)D1作AB、AC的平行線分別交AC、AB于點(diǎn)E2、F2；過點(diǎn)D3作AB、AC的平行線分別交AC、AB于點(diǎn)E3、F3…，則4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+

4、D2019F2019）＝　 　． 【答案】40380 【解析】∵D1F1∥AC，D1E1∥AB， ∴，即， ∵AB＝5，BC＝4， ∴4D1E1+5D1F1＝20， 同理4D2E2+5D2F2＝20，…，4D2019E2019+5D2019F2019＝20， ∴4（D1E1+D2E2+…+D2019E2019）+5（D1F1+D2F2+…+D2019F2019）＝20×2019＝40380； 故答案為40380． 2. (2019 江蘇省連云港市)問題情境：如圖1，在正方形ABCD中，E為邊BC上一點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），垂直于AE的一條直線MN分別交AB、AE、CD

5、于點(diǎn)M、P、N．判斷線段DN、MB、EC之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 問題探究：在“問題情境”的基礎(chǔ)上． （1）如圖2，若垂足P恰好為AE的中點(diǎn)，連接BD，交MN于點(diǎn)Q，連接EQ，并延長(zhǎng)交邊AD于點(diǎn)F．求∠AEF的度數(shù)； （2）如圖3，當(dāng)垂足P在正方形ABCD的對(duì)角線BD上時(shí)，連接AN，將△APN沿著AN翻折，點(diǎn)P落在點(diǎn)P'處，若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，AD的中點(diǎn)為S，求P'S的最小值． 問題拓展：如圖4，在邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD中，點(diǎn)M、N分別為邊AB、CD上的點(diǎn)，將正方形ABCD沿著MN翻折，使得BC的對(duì)應(yīng)邊B'C'恰好經(jīng)過點(diǎn)A，C'N交AD于點(diǎn)F．分別過點(diǎn)A、F作AG⊥MN，

6、FH⊥MN，垂足分別為G、H．若AG＝，請(qǐng)直接寫出FH的長(zhǎng)． 【解析】解：線段DN、MB、EC之間的數(shù)量關(guān)系為：DN+MB＝EC；理由如下： ∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠ABE＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝CD，AB∥CD， 過點(diǎn)B作BF∥MN分別交AE、CD于點(diǎn)G、F，如圖1所示： ∴四邊形MBFN為平行四邊形， ∴NF＝MB， ∴BF⊥AE， ∴∠BGE＝90°， ∴∠CBF+∠AEB＝90°， ∵∠BAE+∠AEB＝90°， ∴∠CBF＝∠BAE， 在△ABE和△BCF中，， ∴△ABE≌△BCF（ASA）， ∴BE＝CF， ∵DN+NF+CF＝B

7、E+EC， ∴DN+MB＝EC； 問題探究： 解：（1）連接AQ，過點(diǎn)Q作HI∥AB，分別交AD、BC于點(diǎn)H、I，如圖2所示： ∵四邊形ABCD是正方形， ∴四邊形ABIH為矩形， ∴HI⊥AD，HI⊥BC，HI＝AB＝AD， ∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線， ∴∠BDA＝45°， ∴△DHQ是等腰直角三角形，HD＝HQ，AH＝QI， ∵M(jìn)N是AE的垂直平分線， ∴AQ＝QE， 在Rt△AHQ和Rt△QIE中，， ∴Rt△AHQ≌Rt△QIE（HL）， ∴∠AQH＝∠QEI， ∴∠AQH+∠EQI＝90°， ∴∠AQE＝90°， ∴△AQE是等腰直角三角形，

8、 ∴∠EAQ＝∠AEQ＝45°，即∠AEF＝45°； （2）連接AC交BD于點(diǎn)O，如圖3所示： 則△APN的直角頂點(diǎn)P在OB上運(yùn)動(dòng)， 設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，則點(diǎn)P′與點(diǎn)D重合；設(shè)點(diǎn)P與點(diǎn)O重合時(shí)，則點(diǎn)P′的落點(diǎn)為O′， ∵AO＝OD，∠AOD＝90°， ∴∠ODA＝∠ADO′＝45°， 當(dāng)點(diǎn)P在線段BO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，過點(diǎn)P作PG⊥CD于點(diǎn)G，過點(diǎn)P′作P′H⊥CD交CD延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，連接PC， ∵點(diǎn)P在BD上， ∴AP＝PC， 在△APB和△CPB中，， ∴△APB≌△CPB（SSS）， ∴∠BAP＝∠BCP， ∵∠BCD＝∠MPA＝90°， ∴∠PCN＝∠AMP， ∵A

9、B∥CD， ∴∠AMP＝∠PNC， ∴∠PCN＝∠PNC， ∴PC＝PN， ∴AP＝PN， ∴∠PNA＝45°， ∴∠PNP′＝90°， ∴∠P′NH+PNG＝90°， ∵∠P′NH+∠NP′H＝90°，∠PNG+∠NPG＝90°， ∴∠NPG＝∠P′NH，∠PNG＝∠NP′H， 由翻折性質(zhì)得：PN＝P′N， 在△PGN和△NHP'中，， ∴△PGN≌△NHP'（ASA）， ∴PG＝NH，GN＝P'H， ∵BD是正方形ABCD的對(duì)角線， ∴∠PDG＝45°， 易得PG＝GD， ∴GN＝DH， ∴DH＝P'H， ∴∠P'DH＝45°，故∠P'DA＝45°，

10、 ∴點(diǎn)P'在線段DO'上運(yùn)動(dòng)； 過點(diǎn)S作SK⊥DO'，垂足為K， ∵點(diǎn)S為AD的中點(diǎn)， ∴DS＝2，則P'S的最小值為； 問題拓展： 解：延長(zhǎng)AG交BC于E，交DC的延長(zhǎng)線于Q，延長(zhǎng)FH交CD于P，如圖4： 則EG＝AG＝，PH＝FH， ∴AE＝5， 在Rt△ABE中，BE＝＝3， ∴CE＝BC﹣BE＝1， ∵∠B＝∠ECQ＝90°，∠AEB＝∠QEC， ∴△ABE∽△QCE， ∴＝＝3， ∴QE＝AE＝， ∴AQ＝AE+QE＝， ∵AG⊥MN，∴∠AGM＝90°＝∠B， ∵∠MAG＝∠EAB，∴△AGM∽△ABE， ∴＝，即＝， 解得：AM＝， 由折疊的

11、性質(zhì)得：AB'＝EB＝3，∠B'＝∠B＝90°，∠C'＝∠BCD＝90°， ∴B'M＝＝，AC'＝1， ∵∠BAD＝90°，∴∠B'AM＝∠C'FA， ∴△AFC'∽△MAB'，∴＝＝，解得：AF＝， ∴DF＝4﹣＝， ∵AG⊥MN，F(xiàn)H⊥MN， ∴AG∥FH，∴AQ∥FP， ∴△DFP∽△DAQ， ∴＝，即＝， 解得：FP＝， ∴FH＝FP＝． 考向3 與坐標(biāo)有關(guān)規(guī)律探究 1．(2019 江蘇省連云港市)如圖，將一等邊三角形的三條邊各8等分，按順時(shí)針方向（圖中箭頭方向）標(biāo)注各等分點(diǎn)的序

12、號(hào)0、1、2、3、4、5、6、7、8，將不同邊上的序號(hào)和為8的兩點(diǎn)依次連接起來，這樣就建立了“三角形”坐標(biāo)系．在建立的“三角形”坐標(biāo)系內(nèi)，每一點(diǎn)的坐標(biāo)用過這一點(diǎn)且平行（或重合）于原三角形三條邊的直線與三邊交點(diǎn)的序號(hào)來表示（水平方向開始，按順時(shí)針方向），如點(diǎn)A的坐標(biāo)可表示為（1，2，5），點(diǎn)B的坐標(biāo)可表示為（4，1，3），按此方法，則點(diǎn)C的坐標(biāo)可表示為　 ?。? 【分析】根據(jù)點(diǎn)A的坐標(biāo)可表示為（1，2，5），點(diǎn)B的坐標(biāo)可表示為（4，1，3）得到經(jīng)過點(diǎn)的三條直線對(duì)應(yīng)著等邊三角形三邊上的三個(gè)數(shù)，依次為左、右，下，即為該點(diǎn)的坐標(biāo)，于是得到結(jié)論． 【解答】：根據(jù)題意得，點(diǎn)C的坐標(biāo)可表示為（2，

13、4，2）， 故答案為：（2，4，2）． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，等邊三角形的性質(zhì)，找出題中的規(guī)律是解題的關(guān)鍵． 2．(2019 山東省菏澤市)在平面直角坐標(biāo)系中，一個(gè)智能機(jī)器人接到的指令是：從原點(diǎn)O出發(fā)，按“向上→向右→向下→向右”的方向依次不斷移動(dòng)，每次移動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，其移動(dòng)路線如圖所示，第一次移動(dòng)到點(diǎn)A1，第二次移動(dòng)到點(diǎn)A2……第n次移動(dòng)到點(diǎn)An，則點(diǎn)A2019的坐標(biāo)是（　?。? A．（1010，0） B．（1010，1） C．（1009，0） D．（1009，1） 【答案】C 【解析】分析根據(jù)圖象可得移動(dòng)4次圖象完成一個(gè)循環(huán)，從而可得出點(diǎn)A2019的坐標(biāo)．

14、A1（0，1），A2（1，1），A3（1，0），A4（2，0），A5（2，1），A6（3，1），…， 2019÷4＝504…3， 所以A2019的坐標(biāo)為（504×2＋1，0）， 則A2019的坐標(biāo)是（1009，0）． 故選：C． 2．(2019 湖南省婁底市)如圖，在單位長(zhǎng)度為1米的平面直角坐標(biāo)系中，曲線是由半徑為2米，圓心角為的弧AB多次復(fù)制并首尾連接而成．現(xiàn)有一點(diǎn)從為坐標(biāo)原點(diǎn)）出發(fā)，以每秒米的速度沿曲線向右運(yùn)動(dòng)，則在第2019秒時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為　　 A． B． C．0 D．1 【答案】B 【解析】點(diǎn)運(yùn)動(dòng)一個(gè)弧AB用時(shí)為秒． 如圖，作于，與弧AB交于點(diǎn)． 在中，，，

15、， ， ， 第1秒時(shí)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，縱坐標(biāo)為1； 第2秒時(shí)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，縱坐標(biāo)為0； 第3秒時(shí)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，縱坐標(biāo)為； 第4秒時(shí)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，縱坐標(biāo)為0； 第5秒時(shí)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，縱坐標(biāo)為1； ， 點(diǎn)的縱坐標(biāo)以1，0，，0四個(gè)數(shù)為一個(gè)周期依次循環(huán)， ， 第2019秒時(shí)點(diǎn)的縱坐標(biāo)為是．故選：． 3. (2019 湖南省張家界市)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將邊長(zhǎng)為1的正方形OABC繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1，依此方式，繞點(diǎn)O連續(xù)旋轉(zhuǎn)2019次得到正方形OA2019B2019C2019，那么點(diǎn)A2019的坐標(biāo)是（　?。? A．（，﹣） B．（1，0） C．（﹣

16、，﹣） D．（0，﹣1） 【答案】A 【解析】∵四邊形OABC是正方形，且OA＝1， ∴A（0，1）， ∵將正方形OABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°后得到正方形OA1B1C1， ∴A1（，），A2（1，0），A3（，﹣），…， 發(fā)現(xiàn)是8次一循環(huán)，所以2019÷8＝252…余3， ∴點(diǎn)A2019的坐標(biāo)為（，﹣）故選：A． 4．(2019 山東省濰坊市)如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系xoy中，一組同心圓的圓心為坐標(biāo)原點(diǎn)O，它們的半徑分別為1，2，3，…，按照“加1”依次遞增；一組平行線，l0，l1，l2，l3，…都與x軸垂直，相鄰兩直線的間距為l，其中l(wèi)0與y軸重合若半徑為2的圓與l1

17、在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)P1，半徑為3的圓與l2在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)P2，…，半徑為n＋1的圓與ln在第一象限內(nèi)交于點(diǎn)Pn，則點(diǎn)Pn的坐標(biāo)為　 　．（n為正整數(shù)） 【答案】A 【解析】連接OP1，OP2，OP3，l1、l2、l3與x軸分別交于A1、A2、A3，如圖所示： 在Rt△OA1P1中，OA1＝1，OP1＝2， ∴A1P1＝＝＝， 同理：A2P2＝＝，A3P3＝＝，……， ∴P1的坐標(biāo)為（ 1，），P2的坐標(biāo)為（ 2，），P3的坐標(biāo)為（3，），……， …按照此規(guī)律可得點(diǎn)Pn的坐標(biāo)是（n，），即（n，） 故答案為：（n，）． 考向4 與函數(shù)有關(guān)的規(guī)律 1．(2019

18、 山東省淄博市)如圖，△，△，△，是分別以，，，為直角頂點(diǎn)，一條直角邊在軸正半軸上的等腰直角三角形，其斜邊的中點(diǎn)，，，，，，均在反比例函數(shù)的圖象上．則的值為　　 A． B．6 C． D． 【答案】A 【解析】過、、分別作軸的垂線，垂足分別為、、 其斜邊的中點(diǎn)在反比例函數(shù)，即， ， 設(shè)，則 此時(shí)，代入得：， 解得：，即：， 同理：， ， ， 故選：． 2．(2019 山東省德州市)如圖，點(diǎn)、、在反比例函數(shù)的圖象上，點(diǎn)、、在反比例函數(shù)的圖象上，，且，則為正整數(shù)）的縱坐標(biāo)為　?。ㄓ煤氖阶颖硎荆? 【答案】A 【解析】過A1作A1D1⊥x軸于D1，

19、∵OA1＝2，∠OA1A2＝∠α＝60°， ∴△OA1E是等邊三角形， ∴A1（1，）， ∴k＝， ∴y＝和y＝－， 過A2作A2D2⊥x軸于D2， ∵∠A2EF＝∠A1A2A3＝60°， ∴△A2EF是等邊三角形， 設(shè)A2（x，－），則A2D2＝， Rt△EA2D2中，∠EA2D2＝30°， ∴ED2＝， ∵OD2＝2＋＝x， 解得：x1＝1－（舍），x2＝1＋， ∴EF＝＝＝＝2（－1）＝2－2， A2D2＝＝＝， 即A2的縱坐標(biāo)為－； 過A3作A3D3⊥x軸于D3， 同理得：△A3FG是等邊三角形， 設(shè)A3（x，），則A3D3＝， Rt△FA3D3中

20、，∠FA3D3＝30°， ∴FD3＝， ∵OD3＝2＋2－2＋＝x， 解得：x1＝（舍），x2＝＋； ∴GF＝＝＝2（－）＝2－2， A3D3＝＝＝（－）， 即A3的縱坐標(biāo)為（－）； … ∴An（n為正整數(shù)）的縱坐標(biāo)為：（－1）n＋1（）； 故答案為：（－1）n＋1（）； 3. (2019 山東省東營(yíng)市)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，函數(shù)y＝x和y＝﹣x的圖象分別為直線l1，l2，過l1上的點(diǎn)A1（1，）作x軸的垂線交l2于點(diǎn)A2，過點(diǎn)A2作y軸的垂線交l1于點(diǎn)A3，過點(diǎn)A3作x軸的垂線交l2于點(diǎn)A4，…依次進(jìn)行下去，則點(diǎn)A2019的橫坐標(biāo)為　 ?。? 【答案】﹣3

21、1009 【解析】由題意可得， A1（1，），A2（1，﹣），A3（﹣3，﹣），A4（﹣3，3），A5（9，3），A6（9，﹣9），…， 可得A2n＋1的橫坐標(biāo)為（﹣3）n ∵2019＝2×1009＋1， ∴點(diǎn)A2019的橫坐標(biāo)為：（﹣3）1009＝﹣31009， 故答案為：﹣31009． 4．(2019 山東省泰安市)在平面直角坐標(biāo)系中，直線l：y＝x＋1與y軸交于點(diǎn)A1，如圖所示，依次作正方形OA1B1C1，正方形C1A2B2C2，正方形C2A3B3C3，正方形C3A4B4C4，……，點(diǎn)A1，A2，A3，A4，……在直線l上，點(diǎn)C1，C2，C3，C4，……在x軸正半軸上，則前

22、n個(gè)正方形對(duì)角線長(zhǎng)的和是　 ?。? 【答案】（2n﹣1） 【解析】由題意可得， 點(diǎn)A1的坐標(biāo)為（0，1），點(diǎn)A2的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)A3的坐標(biāo)為（3，4），點(diǎn)A4的坐標(biāo)為（7，8），……， ∴OA1＝1，C1A2＝2，C2A3＝4，C3A4＝8，……， ∴前n個(gè)正方形對(duì)角線長(zhǎng)的和是：（OA1＋C1A2＋C2A3＋C3A4＋…＋Cn﹣1An）＝（1＋2＋4＋8＋…＋2n﹣1）， 設(shè)S＝1＋2＋4＋8＋…＋2n﹣1，則2S＝2＋4＋8＋…＋2n﹣1＋2n， 則2S﹣S＝2n﹣1， ∴S＝2n﹣1， ∴1＋2＋4＋8＋…＋2n﹣1＝2n﹣1， ∴前n個(gè)正方形對(duì)角線長(zhǎng)的和是：×（2n﹣1）， 故答案為：（2n﹣1），