2020年中考數(shù)學(xué)必考考點(diǎn) 專題7 二元一次方程組及其應(yīng)用（含解析）

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1、專題07 二元一次方程組及其應(yīng)用 專題知識回顧 1．二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)都是1的方程整式方程叫做二元一次。方程一般形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0)。 2．二元一次方程組：把兩個二元一次方程合在一起，就組成一個二元一次方程組。 3．二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做二元一次方程組的解。 4．二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解叫做二元一次方程組的解。 5．消元：將未知數(shù)的個數(shù)由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。 （1）代入消元：將一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的式

2、子表示出來，再代入另一個方程，實(shí)現(xiàn)消元，進(jìn)而 求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。 （2） 加減消元法：當(dāng)兩個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相減，就 能消去這個未知數(shù)，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法。 專題典型題考法及解析 【例題1】（2019年福建?。┙夥匠探M． 【答案】方程組的解為． 【解析】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．方程組利用加減消元法求出解即可． ， ①+②得：3x＝9，即x＝3， 把x＝3代入①得：y＝﹣2， 則方程

3、組的解為． 【例題2】（2019年浙江省麗水市）解方程組 【答案】∴ 【解析】根據(jù)二元一次方程組的解法，先將式子①化簡，再用加減消元法（或代入消元法）求解； ， 將①化簡得：﹣x+8y＝5 ③， ②+③，得y＝1， 將y＝1代入②，得x＝3， ∴ 【例題3】（2019年湖南省懷化市）解二元一次方組： 【答案】見解析。 【解析】直接利用加減消元法進(jìn)而解方程組即可． ， ①+②得： 2x＝8， 解得：x＝4， 則4﹣3y＝1， 解得：y＝1， 故方程組的解為：． 【例題4】（2019年山東省濰坊市）己知關(guān)于x，y的二元一次方程組的解滿足x＞y，求k的取值范

4、圍． 【答案】k＜5． 【解析】先用加減法求得x﹣y的值（用含k的式子表示），然后再列不等式求解即可． ①﹣②得：x﹣y＝5﹣k， ∵x＞y， ∴x﹣y＞0． ∴5﹣k＞0． 解得：k＜5． 【例題5】（2019年海南?。r下正是海南百香果豐收的季節(jié)，張阿姨到“海南愛心扶貧網(wǎng)”上選購百香果，若購買2千克“紅土”百香果和1千克“黃金”百香果需付80元，若購買1千克“紅土”百香果和3千克“黃金”百香果需付115元．請問這兩種百香果每千克各是多少元？ 【答案】“紅土”百香果每千克25元，“黃金”百香果每千克30元． 【解析】設(shè)“紅土”百香果每千克x元，“黃金”百香果每千克y元

5、， 由題意得： 解得： 【例題6】（2019年湖南省益陽市）為了提高農(nóng)田利用效益，某地由每年種植雙季稻改為先養(yǎng)殖小龍蝦再種植一季水稻的“蝦?稻”輪作模式．某農(nóng)戶有農(nóng)田20畝，去年開始實(shí)施“蝦?稻”輪作，去年出售小龍蝦每千克獲得的利潤為32元（利潤＝售價﹣成本）．由于開發(fā)成本下降和市場供求關(guān)系變化，今年每千克小龍蝦的養(yǎng)殖成本下降25%，售價下降10%，出售小龍蝦每千克獲得利潤為30元．求去年每千克小龍蝦的養(yǎng)殖成本與售價。 【答案】去年每千克小龍蝦的養(yǎng)殖成本與售價分別為8元、40元； 【解析】設(shè)去年每千克小龍蝦的養(yǎng)殖成本與售價分別為x元、y元， 由題意得： 解得：； 所以去年每

6、千克小龍蝦的養(yǎng)殖成本與售價分別為8元、40元。 專題典型訓(xùn)練題 一、選擇題 1.（2019湖北孝感）已知二元一次方程組x+y=12x+4y=9，則x2-2xy+y2x2-y2的值是（　?。? A．﹣5 B．5 C．﹣6 D．6 【答案】C 【解析】x+y=1①2x+4y=9②， ②﹣①×2得，2y＝7，解得x=72， 把x=72代入①得，72+y＝1，解得y=-52， ∴x2-2xy+y2x2-y2=(x-y)2(x+y)(x-y)=x-yx+y=72+521=6． 2.（2019廣西賀州）已知方程組，則的值是　　 A． B．

7、2 C． D．4 【答案】C 【解析】兩式相減，得，，即，故選：C． 3.（2019湖南邵陽）某出租車起步價所包含的路程為，超過的部分按每千米另收費(fèi)．津津乘坐這種出租車走了，付了16元；盼盼乘坐這種出租車走了，付了28元．設(shè)這種出租車的起步價為元，超過后每千米收費(fèi)元，則下列方程正確的是　　 A． B． C． D． 【答案】D 【解析】設(shè)這種出租車的起步價為元，超過后每千米收費(fèi)元， 則所列方程組為 4.（2019四川省雅安市）若a︰b=3︰4，且a+b=14，則2a－b的值是（ ） A．4 B．2 C．20 D．14 【答案】A 【解析】

8、由a︰b=3︰4，設(shè)a=3x，b =4x，∴3x+4x=14，∴x=2，∴a=6，b=8，則2a-b=12-8=4，故選A． 5.（2019山東東營）籃球聯(lián)賽中，每場比賽都要分出勝負(fù)，每隊(duì)勝1場得2分，負(fù)1場得1分，某隊(duì)在10場比賽中得到16分．若設(shè)該隊(duì)勝的場數(shù)為x，負(fù)的場數(shù)為y，則可列方程組為（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】設(shè)該隊(duì)勝的場數(shù)為x，負(fù)的場數(shù)為y，由“10場比賽”可得方程x+y=10，由“勝1場得2分，負(fù)1場得1分”與“得到16分”列方程2x+y=16，故方程組為．故選A． 6.（2019湖北仙桃）把一根9m長的鋼管截成1m長和2m長兩

9、種規(guī)格均有的短鋼管，且沒有余料，設(shè)某種截法中1m長的鋼管有a根，則a的值可能有（　?。? A．3種 B．4種 C．5種 D．9種 【答案】B 【解析】解：設(shè)2m的鋼管b根，根據(jù)題意得：a+2b＝9， ∵a、b均為整數(shù)， ∴a=1b=4，a=3b=3，a=5b=2，a=7b=1． 7. （2019黑龍江省龍東地區(qū)）某學(xué)校計(jì)劃用34件同樣的獎品全部用于獎勵在“經(jīng)典誦讀”活動中表現(xiàn)突出的班級，一等獎獎勵6件，二等獎獎勵4件，則分配一、二等獎個數(shù)的方案有（ ） A．4種 B．3種 C．2種 D．1種 【答案】B 【解析】根據(jù)題意可列二元一次方程，再根據(jù)問題的實(shí)際意義，

10、取正整數(shù)解即可. 設(shè)分配一等獎x個，二等獎y個，依題意得6x+4y=34， 其正整數(shù)解有，，，故選B. 8.（2019吉林長春）《九章算術(shù)》是中國古代重要的數(shù)學(xué)著作，其中“盈不足術(shù)”記載：今有共買雞，人出九，盈十一；人出六，不足十六.問人數(shù)雞價各幾何？譯文：今有人合伙買雞，每人出九錢，會多出11錢；每人出6錢，又差16錢.問人數(shù)、買雞的錢數(shù)各是多少？設(shè)人數(shù)為x，買雞的錢數(shù)為y，可列方程組為 A. B. C. D. 【答案】D. 【解析】設(shè)人數(shù)為x，買雞的錢數(shù)為y， 可列方程組為： 二、填空題 9.（2019貴州黔西南州）已知x=ay=b是方程組2

11、x+y=6x+2y=-3的解，則a+b的值為　 ?。? 【答案】1 【解析】解：把x=ay=b代入方程組2x+y=6x+2y=-3得：2a+b=6①a+2b=-3②， ①+②得：3a+3b＝3，a+b＝1 10.（2019江蘇常州）若是關(guān)于x、y的二元一次方程ax＋y＝3的解，則a＝______． 【答案】1 【解析】本題考查了二元一次方程的解的定義， 將代入方程ax＋y＝3，得a＋2＝3，a＝1， 因此本題答案為1． 11.（2019·湖南張家界）《田畝比類乘除捷法》是我國古代數(shù)學(xué)家楊輝的著作，其中有一個數(shù)學(xué)問題：“直田積八百六十四步，只云長闊共六十步，問長多闊幾何”．意

12、思是：一塊矩形田地的面積為864平方步，只知道它的長與寬共60步，問它的長比寬多多少步？根據(jù)題意得，長比寬多 步． 【答案】12． 【解析】二元方程組的應(yīng)用；整體思想；完全平方公式。 設(shè)矩形的長為x步，寬為y步，根據(jù)題意，得， 從而(x＋y)2－4xy＝602－4×864＝3600－3456＝144， 即(x－y)2＝144，于是，x－y＝12． 12.（2019湖北咸寧）《孫子算經(jīng)》中有一道題：“今有木，不知長短，引繩度之，余繩四尺五寸；屈繩量之，不足一尺，木長幾何？”譯文大致是：“用一根繩子去量一根木條，繩子剩余4.5尺；將繩子對折再量木條，木條剩余1尺，問木條

13、長多少尺？”如果設(shè)木條長x尺，繩子長y尺，可列方程組為　 　． 【答案】x+4.5=yx-1=12y． 【解析】設(shè)木條長x尺，繩子長y尺， 依題意，得：x+4.5=yx-1=12y． 13.（2018云南）某活動小組購買了4個籃球和5個足球，一共花費(fèi)了435元，其中籃球的單價比足球的單價多3元，求籃球的單價和足球的單價．設(shè)籃球的單價為x元，足球的單價為y元，依題意，可列方程組為　 ?。? 【答案】． 【解析】此題主要考查了由實(shí)際問題抽象出二元一次方程組，關(guān)鍵是正確理解題意，找出題目中的等量關(guān)系．根據(jù)題意可得等量關(guān)系：①4個籃球的花費(fèi)+5個足球的花費(fèi)=435元，②籃球的單價﹣

14、足球的單價=3元，根據(jù)等量關(guān)系列出方程組即可． 設(shè)籃球的單價為x元，足球的單價為y元，由題意得： ． 三、應(yīng)用題 14.（2019年山西?。┙夥匠探M： 【答案】見解析。 【解析】①+②得，4x＝﹣8，∴x＝﹣2， 把x＝﹣2代入①得，﹣6﹣2y＝﹣8， ∴y＝1， ∴． 15.（2019年廣東省廣州市）解方程組：． 【答案】見解析。 【解析】運(yùn)用加減消元解答即可． ， ②﹣①得，4y＝2，解得y＝2， 把y＝2代入①得，x﹣2＝1，解得x＝3， 故原方程組的解為． 16.（2018海南）解方程組： ? 【答案】見解析。 【解析】根據(jù)二元一次方程組代

15、入消元解方程即可. ? , 由①得：x=-2y?? ③ 將③代入②得：3（-2y）+4y=6， 解得：y=-3, 將y=-3代入③得：x=6， ∴原方程組的解為： 17.（2019年山東省煙臺市）亞洲文明對話大會召開期間，大批的大學(xué)生志愿者參與服務(wù)工作．某大學(xué)計(jì)劃組織本校全體志愿者統(tǒng)一乘車去會場，若單獨(dú)調(diào)配36座新能源客車若干輛，則有2人沒有座位；若只調(diào)配22座新能源客車，則用車數(shù)量將增加4輛，并空出2個座位． （1）計(jì)劃調(diào)配36座新能源客車多少輛？該大學(xué)共有多少名志愿者？ （2）若同時調(diào)配36座和22座兩種車型，既保證每人有座，又保證每車不空座，則兩種車型各需多少輛？

16、 【答案】見解析。 【解析】（1）設(shè)計(jì)劃調(diào)配36座新能源客車x輛，該大學(xué)共有y名志愿者，則需調(diào)配22座新能源客車（x+4）輛， 依題意，得：， 解得：． 答：計(jì)劃調(diào)配36座新能源客車6輛，該大學(xué)共有218名志愿者． （2）設(shè)需調(diào)配36座客車m輛，22座客車n輛， 依題意，得：36m+22n＝218， ∴n＝． 又∵m，n均為正整數(shù)， ∴． 答：需調(diào)配36座客車3輛，22座客車5輛． 18.（2018四川樂山）某商場有A，B兩種商品，若買2件A商品和1件B商品，共需80元；若買3件A商品和2件B商品，共需135元． （1）設(shè)A，B兩種商品每件售價分別為a元、b元，求a、b

17、的值； （2）B商品每件的成本是20元，根據(jù)市場調(diào)查：若按（1）中求出的單價銷售，該商場每天銷售B商品100件；若銷售單價每上漲1元，B商品每天的銷售量就減少5件． ①求每天B商品的銷售利潤y（元）與銷售單價（x）元之間的函數(shù)關(guān)系？ ②求銷售單價為多少元時，B商品每天的銷售利潤最大，最大利潤是多少？ 【答案】見解析。 【解析】 此題主要考查了二次函數(shù)的應(yīng)用以及用配方法求出最大值，準(zhǔn)確分析題意，列出y與x之間的二次函數(shù)關(guān)系式是解題關(guān)鍵． （1）根據(jù)題意得：， 解得：； （2）①由題意得：y=（x﹣20）[100﹣5（x﹣30）] ∴y=﹣5x2+350x﹣5000， ②∵

18、y=﹣5x2+350x﹣5000=﹣5（x﹣35）2+1125， ∴當(dāng)x=35時，y最大=1125， ∴銷售單價為35元時，B商品每天的銷售利潤最大，最大利潤是1125元． 19.（2019年江蘇省淮安市）某公司用火車和汽車運(yùn)輸兩批物資，具體運(yùn)輸情況如下表所示： 所用火車車皮數(shù)量（節(jié)） 所用汽車數(shù)量（輛） 運(yùn)輸物資總量（噸） 第一批 2 5 130 第二批 4 3 218 試問每節(jié)火車車皮和每輛汽車平均各裝物資多少噸？ 【答案】每節(jié)火車車皮裝物資50噸，每輛汽車裝物資6噸； 【解析】本題考查二元一次方程組的應(yīng)用；能夠根據(jù)題意列出準(zhǔn)確的方程組，并用加減消元法

19、解方程組是關(guān)鍵． 設(shè)每節(jié)火車車皮裝物資x噸，每輛汽車裝物資y噸， 根據(jù)題意，得， ∴， ∴每節(jié)火車車皮裝物資50噸，每輛汽車裝物資6噸。 20.（2019年山東省淄博市）“一帶一路”促進(jìn)了中歐貿(mào)易的發(fā)展，我市某機(jī)電公司生產(chǎn)的A，B兩種產(chǎn)品在歐洲市場熱銷．今年第一季度這兩種產(chǎn)品的銷售總額為2060萬元，總利潤為1020萬元（利潤＝售價﹣成本）．其每件產(chǎn)品的成本和售價信息如下表： A B 成本（單位：萬元/件） 2 4 售價（單位：萬元/件） 5 7 問該公司這兩種產(chǎn)品的銷售件數(shù)分別是多少？ 【答案】A，B兩種產(chǎn)品的銷售件數(shù)分別為160件、180件． 【解析】設(shè)

20、A，B兩種產(chǎn)品的銷售件數(shù)分別為x件、y件； 由題意得：， 解得：； 所以A，B兩種產(chǎn)品的銷售件數(shù)分別為160件、180件． 21.（2019湖北荊州）為拓展學(xué)生視野，促進(jìn)書本知識與生活實(shí)踐的深度融合，荊州市某中學(xué)組織八年級全體學(xué)生前往松滋洈水研學(xué)基地開展研學(xué)活動．在此次活動中，若每位老師帶隊(duì)14名學(xué)生，則還剩10名學(xué)生沒老師帶；若每位老師帶隊(duì)15名學(xué)生，就有一位老師少帶6名學(xué)生，現(xiàn)有甲、乙兩種大型客車，它們的載客量和租金如表所示： 甲型客車 乙型客車 載客量（人/輛） 35 30 租金（元/輛） 400 320 學(xué)校計(jì)劃此次研學(xué)活動的租金總費(fèi)用不超過3000元，為

21、安全起見，每輛客車上至少要有2名老師． （1）參加此次研學(xué)活動的老師和學(xué)生各有多少人？ （2）既要保證所有師生都有車坐，又要保證每輛車上至少要有2名老師，可知租車總輛數(shù)為　 　輛； （3）學(xué)校共有幾種租車方案？最少租車費(fèi)用是多少？ 【答案】見解析。 【解析】（1）設(shè)參加此次研學(xué)活動的老師有x人，學(xué)生有y人，根據(jù)“若每位老師帶隊(duì)14名學(xué)生，則還剩10名學(xué)生沒老師帶；若每位老師帶隊(duì)15名學(xué)生，就有一位老師少帶6名學(xué)生”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論。 依題意，得：14x+10=y15x-6=y， 解得：x=16y=234． 答：參加此次研學(xué)活動的老師有1

22、6人，學(xué)生有234人． （2）利用租車總輛數(shù)＝師生人數(shù)÷35結(jié)合每輛客車上至少要有2名老師，即可得出租車總輛數(shù)為8輛。 ∵（234+16）÷35＝7（輛）……5（人），16÷2＝8（輛）， ∴租車總輛數(shù)為8輛． 故答案為：8． （3）設(shè)租35座客車m輛，則需租30座的客車（8﹣m）輛，根據(jù)8輛車的座位數(shù)不少于師生人數(shù)及租車總費(fèi)用不超過3000元，即可得出關(guān)于m的一元一次不等式組，解之即可得出m的取值范圍，結(jié)合m為正整數(shù)即可得出租車方案數(shù)，設(shè)租車總費(fèi)用為w元，根據(jù)租車總費(fèi)用＝400×租用35座客車的數(shù)量+320×租用30座客車的數(shù)量，即可得出w關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再利用一次函數(shù)的性質(zhì)即可解決最值問題． 依題意，得：35m+30(8-m)≥234+16400m+320(8-m)≤3000， 解得：2≤m≤512． ∵m為正整數(shù)， ∴m＝2，3，4，5， ∴共有4種租車方案． 設(shè)租車總費(fèi)用為w元，則w＝400m+320（8﹣m）＝80m+2560， ∵80＞0， ∴w的值隨m值的增大而增大， ∴當(dāng)m＝2時，w取得最小值，最小值為2720． ∴學(xué)校共有4種租車方案，最少租車費(fèi)用是2720元． 11