工程光學(xué)郁道銀版習(xí)題解答(一題不落)第十二章-光的衍射

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1、第十二章 光的衍射 1． 波長(zhǎng)為的平行光垂直照射在寬度為的單縫上，以焦距為的會(huì)聚透鏡將衍射光聚焦于焦面上進(jìn)行觀察，求（1）衍射圖樣中央亮紋的半寬度；（2）第一亮紋和第二亮紋到中央亮紋的距離；（3）第一亮紋和第二亮紋的強(qiáng)度。 解：（1）零強(qiáng)度點(diǎn)有 ∴中央亮紋的角半寬度為 ∴亮紋半寬度 （2）第一亮紋，有 同理 （3）衍射光強(qiáng)，其中 當(dāng)時(shí)為暗紋，為亮紋 ∴對(duì)應(yīng) 級(jí)數(shù) 0

2、 0 1 1 4.493 0.04718 2 7.725 0.01694 . . . . . . . . . 2． 平行光斜入射到單縫上，證明：（1）單縫夫瑯和費(fèi)衍射強(qiáng)度公式為 式中，是中央亮紋

3、中心強(qiáng)度；是縫寬；是衍射角，是入射角（見圖12-50） （2）中央亮紋的角半寬度為 i θ 圖12-50 習(xí)題3圖 證明：(1)與垂直入射相比,只需將方向余弦變?yōu)榧纯? (2)令 ∴對(duì)于中央亮斑 3． 在不透明細(xì)絲的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣中，測(cè)得暗條紋的間距為，所用透鏡的焦距為，光波波長(zhǎng)為。問細(xì)絲直徑是多少？ 解：設(shè)直徑為，則有 4.利用第三節(jié)的結(jié)果導(dǎo)出外徑和內(nèi)徑分別為和的圓環(huán)（見圖12-51）的夫瑯和費(fèi)衍射強(qiáng)度公式，并求出當(dāng)時(shí)，（1）圓環(huán)衍射與半徑

4、為的圓孔衍射圖樣的中心強(qiáng)度之比；（2）圓環(huán)衍射圖樣第一個(gè)暗環(huán)的角半徑。 b a 圖12-51 習(xí)題6圖 解：已知半徑為的圓孔的衍射場(chǎng)振幅為 同樣，圓屏使P點(diǎn)振幅減小 因此圓環(huán)在P點(diǎn)產(chǎn)生的振幅為 ∴P點(diǎn)強(qiáng)度為 對(duì)于衍射場(chǎng)中心，有 當(dāng)時(shí)， （1） ∴ （2）第一暗紋有 查表可有 4． （1）一束直徑為的氦氖激光（）自地面射向月球，已知地面和月球相距，問在月球上得到的光斑有多大？（2）如果用望遠(yuǎn)鏡

5、用作為擴(kuò)束器將該擴(kuò)展成直徑為的光束，該用多大倍數(shù)的望遠(yuǎn)鏡？將擴(kuò)束后的光束再射向月球，在月球上的光斑為多大？ 解：（1）圓孔衍射角半寬度為 ∴傳到月球上時(shí)光斑直徑為 （2）若用望遠(yuǎn)鏡擴(kuò)束，則放大倍數(shù)為2000倍。直徑 5． 若望遠(yuǎn)鏡能分辨角距離為的兩顆星，它的物鏡的最小直徑是多少？同時(shí)為了充分利用望遠(yuǎn)鏡的分辨率，望遠(yuǎn)鏡應(yīng)有多大的放大率？ 解： 人眼分辨率為 ∴放大率 6． 若要使照相機(jī)感光膠片能分辨的線距，（1）感光膠片的分辨率至少是每毫米當(dāng)時(shí)線；（2）照相機(jī)鏡頭的相對(duì)孔徑D/f至少有多大？（光波波長(zhǎng)為） 解： （1）膠片分辨率為線/毫

6、米 （2） 7． 一臺(tái)顯微鏡的數(shù)值孔徑為，問（1）它用于波長(zhǎng)時(shí)的最小分辨距離是多少？（2）若利用油浸物鏡使數(shù)值孔徑增大到1.45，分辨率提高了多少倍？（3）顯微鏡的放大率應(yīng)設(shè)計(jì)成多大？（設(shè)人眼的最小分辨率為）。 解：（1） （2）提高 （3）人眼在明視距離處能夠分辨的長(zhǎng)度為 ∴放大率至少為 8． 在雙縫夫瑯和費(fèi)衍射實(shí)驗(yàn)中，所用光波波長(zhǎng)，透鏡焦距，觀察到兩相鄰亮條紋之間的距離，并且第四級(jí)亮紋缺級(jí)。試求（1）雙縫的縫距和縫寬；（2）第1，2，3級(jí)亮紋的相對(duì)強(qiáng)度。 解：（1）雙縫衍射亮紋條件為 取微分有 令，且，則

7、 又 （2）衍射極小位置為 取 （3）對(duì)于第一級(jí)亮紋有 即 又 ∴第一級(jí)亮紋的相對(duì)強(qiáng)度 同理 9． 在雙縫的一個(gè)縫前貼一塊厚，折射率為1.5的玻璃片。設(shè)雙縫間距為，縫寬為，用波長(zhǎng)的平行光垂直入射。試分析該雙縫的夫瑯和費(fèi)衍射圖樣。 解：衍射圖樣不變，干涉位置變?yōu)? 10． 一塊光柵的寬度為，每毫米內(nèi)有500條縫，光柵后面放置的透鏡焦距為。問（1）它產(chǎn)生的波長(zhǎng)的單色光的1級(jí)和2級(jí)譜線的半寬度是多少？（2）若入射光是波長(zhǎng)為和波長(zhǎng)之相差的兩種單色光，它們的1級(jí)和2級(jí)譜線之間的距離是

8、多少？ 解：（1） 對(duì)于一級(jí)主極大有 同理 （2） ∴線色散 ∴1，2級(jí)衍射線色散為 而 ∴譜線間距 11． 設(shè)計(jì)一塊光柵，要求（1）使波長(zhǎng)的第2級(jí)譜線的衍射角，（2）色散盡可能大，（3）第3級(jí)譜線缺級(jí)，（4）在波長(zhǎng)的2級(jí)譜線處能分辨的波長(zhǎng)差。在選定光柵的參數(shù)后，問在透鏡的焦面上只可能看到波長(zhǎng)的幾條譜線？ 解：為使的二級(jí)譜線的衍射角，則光柵常數(shù)應(yīng)滿足 ∵色散 ∴越小色散越大 ∴

9、 若第三級(jí)缺級(jí)，應(yīng)有 由條件（4） ∴光柵總長(zhǎng)度 可看到最高級(jí)條紋為 ∴可看到級(jí)，級(jí)缺級(jí)，共5條條紋。 12． 為在一塊每毫米1200條刻線的光柵的1級(jí)光譜中分辨波長(zhǎng)為的一束氦氖激光的模結(jié)構(gòu)（兩個(gè)模之間的頻率差為），光柵需要有多寬？ 解：對(duì)應(yīng)的頻率為 ∴光柵總條紋數(shù)為 ∴長(zhǎng)度為 13． 證明光束斜入射時(shí)，（1）光柵衍射強(qiáng)度分布公式為式中， 為衍射角；為入射角，見圖12-53，N為光柵縫數(shù)。（2）若光柵常數(shù)，光柵形成主級(jí)大的條件可以寫為 i θ

10、 圖12-53 習(xí)題18圖 證明：（1）與垂直入射相比，有 同理 （2）光柵形成主極大有 ∴有 14． 有一多縫衍射屏如圖12-54所示，縫數(shù)為，縫寬為，縫間不透明部分的寬度依次為和。試求正入射情況下，這一衍射屏的夫瑯和費(fèi)衍射強(qiáng)度分布公式。 3a a a 圖12-54 習(xí)題19圖 解：相鄰兩個(gè)縫產(chǎn)生的相位差為，隔一縫相位差 或 單縫產(chǎn)生的復(fù)振幅

11、為， 其中 ∴多光束產(chǎn)生干涉有 設(shè)復(fù)數(shù) 則 ∴透射光強(qiáng) 令 15． 一塊閃耀光柵寬，每毫米有個(gè)刻槽，閃耀角為。（1）求光束垂直于槽面入射時(shí)，對(duì)于波長(zhǎng)的光的分辨本領(lǐng)；（2）光柵的自由光譜范圍有多大？（3）試問空氣間隔為，精細(xì)度為25的法布里-珀羅標(biāo)準(zhǔn)具的分辨本領(lǐng)和自由光譜范圍作一比較。 解：（1）光柵刻痕數(shù)為 閃耀級(jí)數(shù)為 ∴分

12、辨本領(lǐng)為 （2）自由光譜范圍為 （3）F-P標(biāo)準(zhǔn)具的分辨為 自由光譜范圍為 比光柵小得多 16． 一透射式階梯光柵由20塊折射率相同、厚度相等的玻璃平板平行呈階梯狀疊成，厚板，玻璃折射率，階梯高度。以波長(zhǎng)的單色光垂直照射，試計(jì)算（1）入射光方向上干涉主極大的級(jí)次；（2）光柵的角色散和分辨本領(lǐng)（假定玻璃折射率不隨波長(zhǎng)變化）。 解：（1）由于階梯高度與相比極大，所以衍射角極小，此時(shí)相鄰兩階梯的光程差為 對(duì)應(yīng)處， （2） 設(shè)與相比變化很小，即 分辨本領(lǐng) 1

13、7． 設(shè)光柵的振幅透射系數(shù)為，這塊光柵的夫瑯和費(fèi)衍射場(chǎng)中將出現(xiàn)幾個(gè)衍射斑？各斑的中心強(qiáng)度與零級(jí)的比值是多少？ 18． 在寬度為的狹縫上放一折射率為、折射角為的小光楔，由平面單色波垂直照射（見圖12-55），求夫瑯和費(fèi)衍射圖樣的光強(qiáng)分布以及中央零級(jí)極大和極小的方向。 b a n 圖12-55 習(xí)題23圖 19． 圖12-56為一透射型閃耀光柵，周期為，閃耀角為，由平面波垂直入射（1）求夫瑯和費(fèi)衍射圖樣的光強(qiáng)分布。（2）求光柵對(duì)級(jí)光譜閃耀時(shí)應(yīng)滿足的條件。（3）試分析對(duì)級(jí)閃耀時(shí)，光譜強(qiáng)度分布的特點(diǎn)。

14、 n a d 圖12-56 習(xí)題24圖 20． 如圖12-58所示，單色點(diǎn)光源（波長(zhǎng)）安放在離光闌遠(yuǎn)的地方，光闌上有一個(gè)內(nèi)外半徑分別為和的通光圓環(huán)?？疾禳c(diǎn)P離光闌（SP連線通過圓環(huán)中心并垂直于圓環(huán)平面），問在P點(diǎn)的光強(qiáng)和沒有光闌時(shí)的光強(qiáng)之比是多少？ S 圖12-58 習(xí)題28圖 P 解：半徑為的圓孔包含波帶數(shù)為 半徑為的圓屏擋住的 ∴圓環(huán)通過波帶數(shù)為3，由于相鄰波帶相

15、消，所以只有一個(gè)波帶的光在P點(diǎn)產(chǎn)生振幅，無光闌時(shí)P點(diǎn)振幅為第一波帶產(chǎn)生振幅的，所以放置光闌前后光強(qiáng)變化4倍。 21． 波長(zhǎng)的平行光正入射直徑的圓孔，與孔相距處放一屏幕。問（1）屏幕上正對(duì)圓孔中心的P點(diǎn)是亮點(diǎn)還是暗點(diǎn)？（2）要使P點(diǎn)變成與（1）相反的情況，至少要把屏幕向前（同時(shí)求出向后）移動(dòng)多少距離？ 解：在P點(diǎn)包含的波帶數(shù)為 ∴中心為亮點(diǎn) 令 22. 試寫出圖中雙狹縫衍射屏的復(fù)振幅透射系數(shù)的表達(dá)式(設(shè)縫寬為a，縫距為b，且b=4a)。 (2)．用單位振幅單色平面光波正入射

16、照明時(shí)，試求在透鏡L后焦面內(nèi)沿x軸的復(fù)振幅分布。 (3)．求在透鏡L后焦面內(nèi)沿x軸的光強(qiáng)度分布。 (4)．指明光強(qiáng)度分布的特征(單縫衍射中央亮區(qū)的半角寬度；干涉主亮紋間距)。 [解] （1）雙狹縫衍射屏的復(fù)振幅透射系數(shù)為： 或 （2）復(fù)振幅分布為： （3）光強(qiáng)度分布為： 23.簡(jiǎn)要分析如圖2所示夫瑯和費(fèi)衍射裝置如有以下變動(dòng)時(shí)，衍射圖樣會(huì)發(fā)生怎樣的變化？ 1）增大透鏡L2的焦距； 2）減小透鏡L2的口徑； 3）衍射屏作垂直于光軸的移動(dòng)（不超出入射光束照明范圍）。 ? q L1 L2 P 接收屏 衍射屏 光源 圖2 夫瑯和費(fèi)衍射系統(tǒng)俯視圖 ? ? ? ? ? ? 　 答：1）增大透鏡L2的焦距，將使接收屏上衍射圖樣的間隔增大。因有公式，此時(shí)衍射角不變，條紋間隔增大； 2）增大透鏡L2的口徑，不會(huì)改變衍射圖樣的分布，但進(jìn)入系統(tǒng)的光束寬度增加，可使光強(qiáng)增加； 3）衍射屏垂直于系統(tǒng)光軸方向移動(dòng)時(shí)，衍射圖樣不會(huì)改變，因?yàn)檠苌淦烈苿?dòng)前后光的入射角不變，縫寬不變，由衍射公式知其接收屏上的光強(qiáng)分布不變；