數(shù)學(xué)建模實例PPT課件

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1、微分方程是研究變化規(guī)律的有力工具，在科微分方程是研究變化規(guī)律的有力工具，在科技、工程、經(jīng)濟管理、生態(tài)、環(huán)境、人口和技、工程、經(jīng)濟管理、生態(tài)、環(huán)境、人口和交通各個領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用。交通各個領(lǐng)域中有廣泛的應(yīng)用。不少實際問題當(dāng)我們采用微觀眼光觀察時都不少實際問題當(dāng)我們采用微觀眼光觀察時都遵循著下面的模式：遵循著下面的模式：凈變化率輸入率輸出率（守恒原理）凈變化率輸入率輸出率（守恒原理）一、微分方程模型簡介一、微分方程模型簡介第1頁/共66頁引例一引例一在凌晨在凌晨1時警察發(fā)現(xiàn)一具尸體，測得尸體溫度是時警察發(fā)現(xiàn)一具尸體，測得尸體溫度是29oC，當(dāng)時環(huán)境的溫度是，當(dāng)時環(huán)境的溫度是21oC。1h后尸體溫

2、度下后尸體溫度下降到降到27oC，若人體的正常溫度是，若人體的正常溫度是37oC，估計死者，估計死者的死亡時間。的死亡時間。解：設(shè)解：設(shè)T(t)為死者在被殺害后為死者在被殺害后t時刻尸體的溫度；時刻尸體的溫度；k為比例系數(shù)。由牛頓冷卻定律，得為比例系數(shù)。由牛頓冷卻定律，得)(0TTkdtdT則通解為則通解為21ktCeT第2頁/共66頁由已知，由已知，由由4094. 2t因此死者大約是在前一天的夜晚因此死者大約是在前一天的夜晚10:35被害的。被害的。27) 1(,29)(,37)0(tTtTT可得微分方程的特解：可得微分方程的特解：213416)(ttT29)(tT，代入解得，代入解得圖圖

3、1尸體的溫度尸體的溫度下降曲線下降曲線第3頁/共66頁建立微分方程的常用方法建立微分方程的常用方法1、按變化規(guī)律直接列方程，如：、按變化規(guī)律直接列方程，如： 利用人們熟悉的力學(xué)、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中的規(guī)律，利用人們熟悉的力學(xué)、數(shù)學(xué)、物理、化學(xué)等學(xué)科中的規(guī)律，如牛頓第二定律，放射性物質(zhì)的放射規(guī)律等。對某些實際問題如牛頓第二定律，放射性物質(zhì)的放射規(guī)律等。對某些實際問題直接列出微分方程直接列出微分方程2、利用微元分析方法建模、利用微元分析方法建模 根據(jù)已知的規(guī)律或定理，通過尋求微元之間的關(guān)系式得出根據(jù)已知的規(guī)律或定理，通過尋求微元之間的關(guān)系式得出微分方程。微分方程。3、模擬近似法，如：、模擬近似

4、法，如： 在生物、經(jīng)濟等學(xué)科中，許多現(xiàn)象所滿足的規(guī)律并不很清在生物、經(jīng)濟等學(xué)科中，許多現(xiàn)象所滿足的規(guī)律并不很清楚，而且現(xiàn)象也相當(dāng)復(fù)雜，因而需根據(jù)實際資料或大量的實驗楚，而且現(xiàn)象也相當(dāng)復(fù)雜，因而需根據(jù)實際資料或大量的實驗數(shù)據(jù)，提出各種假設(shè)，在一定的假設(shè)下，給出實際現(xiàn)象所滿足數(shù)據(jù)，提出各種假設(shè)，在一定的假設(shè)下，給出實際現(xiàn)象所滿足的規(guī)律，然后利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法得出微分方程。的規(guī)律，然后利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)方法得出微分方程。第4頁/共66頁微分方程的建模步驟微分方程的建模步驟1、翻譯或轉(zhuǎn)化：、翻譯或轉(zhuǎn)化： 在實際問題中許多表示導(dǎo)數(shù)的常用詞，如在實際問題中許多表示導(dǎo)數(shù)的常用詞，如“速率速率”、增長增長”(在生

5、物學(xué)以及人口問題研究中在生物學(xué)以及人口問題研究中)，“衰變衰變”(在放射性問題中在放射性問題中)，以及，以及“邊際的邊際的”(在經(jīng)在經(jīng)濟學(xué)中濟學(xué)中)等等 2、建立瞬時表達式：、建立瞬時表達式： 根據(jù)自變量有微小改變根據(jù)自變量有微小改變t時，因變量的增時，因變量的增量量W，建立起在時段，建立起在時段t上的增量表達式，令上的增量表達式，令t 0，即得到，即得到 的表達式的表達式dtdW二、微分方程模型二、微分方程模型第5頁/共66頁3、配備物理單位：、配備物理單位： 在建模中應(yīng)注意每一項采用同樣的物理單位在建模中應(yīng)注意每一項采用同樣的物理單位 4、確定條件：、確定條件： 這些條件是關(guān)于系統(tǒng)在某一特

6、定時刻或邊界這些條件是關(guān)于系統(tǒng)在某一特定時刻或邊界上的信息，它們獨立于微分方程而成立，用以確上的信息，它們獨立于微分方程而成立，用以確定有關(guān)的常數(shù)。為了完整充分地給出問題的數(shù)學(xué)定有關(guān)的常數(shù)。為了完整充分地給出問題的數(shù)學(xué)陳述，應(yīng)將這些給定的條件和微分方程一起列出。陳述，應(yīng)將這些給定的條件和微分方程一起列出。第6頁/共66頁案例案例1：一位女士每天攝入：一位女士每天攝入2500cal食物，食物，1200cal用于基本新陳代謝用于基本新陳代謝(即自動消耗即自動消耗)，并以每千克體，并以每千克體重消耗重消耗16cal用于日常鍛煉，其他的熱量轉(zhuǎn)變?yōu)樯碛糜谌粘ｅ憻挘渌臒崃哭D(zhuǎn)變?yōu)樯眢w的脂肪（設(shè)體的脂肪（

7、設(shè)10000cal可轉(zhuǎn)換成可轉(zhuǎn)換成1kg脂肪）。星期脂肪）。星期天晚上，該女士的體重是天晚上，該女士的體重是57.1526kg，星期四那天，星期四那天她飽餐了一頓，共攝入了她飽餐了一頓，共攝入了3500cal的食物，要求建的食物，要求建立一個通過時間預(yù)測體重的數(shù)學(xué)模型，并用它估立一個通過時間預(yù)測體重的數(shù)學(xué)模型，并用它估計：計：（1）星期六該女士的體重？）星期六該女士的體重？（2）為了不增重，每天她最多的攝入量是多少？）為了不增重，每天她最多的攝入量是多少？（3）若不進食，）若不進食，N周后她的體重是多少？周后她的體重是多少？二、微分方程案例分析二、微分方程案例分析第7頁/共66頁解解1、翻譯或

8、轉(zhuǎn)化：、翻譯或轉(zhuǎn)化：2、配備物理單位：、配備物理單位：3、建立表達式：、建立表達式：4、確定條件：、確定條件：第8頁/共66頁1、“每天每天”：體重的變化輸入一輸出：體重的變化輸入一輸出 其中輸入指扣除了基本新陳代謝之后的凈重量其中輸入指扣除了基本新陳代謝之后的凈重量 吸收；輸出是進行健身訓(xùn)練時的消耗吸收；輸出是進行健身訓(xùn)練時的消耗2、上述陳述更好的表示結(jié)構(gòu)式：、上述陳述更好的表示結(jié)構(gòu)式： 取天為計時單位，記取天為計時單位，記W(t)為為t天時體重天時體重(kg)，則：，則： 每天的凈吸收量每天的凈吸收量2500 1200 1300（cal) 每天的凈輸出量每天的凈輸出量16(cal)W16W

9、(cal) 轉(zhuǎn)換成脂肪量轉(zhuǎn)換成脂肪量1300 16W（cal）3、體重的變化天、體重的變化天 (千克天千克天)tWdtdWt0第9頁/共66頁1、翻譯或轉(zhuǎn)化：、翻譯或轉(zhuǎn)化：2、配備物理單位：、配備物理單位：3、建立表達式：、建立表達式：4、確定條件：、確定條件：第10頁/共66頁 有些量是用能量有些量是用能量(cal)的形式給出的，而另外的形式給出的，而另外一些量是用重量的形式一些量是用重量的形式(cal)給出，考慮單位給出，考慮單位的匹配，利用的匹配，利用單位匹配單位匹配100001calkg 第11頁/共66頁1、翻譯或轉(zhuǎn)化：、翻譯或轉(zhuǎn)化：2、配備物理單位：、配備物理單位：3、建立表達式：

10、、建立表達式：4、確定條件：、確定條件：第12頁/共66頁建立表達式建立表達式1000016)12002500(WdtdW積分后可求得其通解為：積分后可求得其通解為：（1）當(dāng)）當(dāng) 時，每天體重的變化：時，每天體重的變化：03t 0.00161( )81.25tW tC e初始條件為：初始條件為：，代入解出，代入解出124.0974C 則則0.0016( )81.2524.0974tW te(3)57.26799Wkg1526.570W第13頁/共66頁(3500 1200) 1610000dWWdt(3)57.26799W積分后可求得其通解為：積分后可求得其通解為：（2）當(dāng)）當(dāng) 時，每天體重的

11、變化：時，每天體重的變化：34t 0.00162( )143.75tW tC e初始條件為：初始條件為：，代入解出，代入解出286.89812C 則則0.0016( )81.2586.89812tW te(4)57.40625Wkg第14頁/共66頁(2500 1200) 1610000dWWdt(4)57.40625W積分后可求得其通解為：積分后可求得其通解為：（2）當(dāng)）當(dāng) 時，食物的攝入量恢復(fù)正常時，食物的攝入量恢復(fù)正常4t 0.00163( )81.25tW tC e初始條件為：初始條件為：，代入解出，代入解出323.9968C 則則0.0016( )81.2523.9968tW te第

12、15頁/共66頁0.00160.00160.001681.2524.0974,03( )143.7586.8981,3481.2523.9968,4tttetW tetet 最后得到不同階段的微分方程是：最后得到不同階段的微分方程是：第16頁/共66頁6t (16)/100000dWbWdt（1） 代入對應(yīng)方程，求得代入對應(yīng)方程，求得現(xiàn)回答上述問題現(xiàn)回答上述問題(6)57.48247Wkg（2）要滿足體重不增，即）要滿足體重不增，即所以所以1616 57.1256914bW因此每天總卡路里攝取量是因此每天總卡路里攝取量是1200+9142114cal0.0016dWWdt 0.00160.00

13、16( )(0)57.1526ttW tWee(cal)（3）由于每天不攝取能量，所以）由于每天不攝取能量，所以解得解得因此，因此，n周后的體重為周后的體重為0.0016 7(7 )57.1526nWne第17頁/共66頁案例案例2 在一個巴基斯坦洞穴里，發(fā)現(xiàn)了具有古代在一個巴基斯坦洞穴里，發(fā)現(xiàn)了具有古代尼安德特人特征的人骨碎片，科學(xué)家們把它們帶尼安德特人特征的人骨碎片，科學(xué)家們把它們帶到實驗室，作碳到實驗室，作碳14年代測定。分析表明年代測定。分析表明C14與與C12的的比例僅僅是活組織內(nèi)的比例僅僅是活組織內(nèi)的6.24，此人生活在多少年，此人生活在多少年前？前？（碳（碳14年代測定：活體中的

14、碳有一小部分是放射性同位素年代測定：活體中的碳有一小部分是放射性同位素C14。這種放射性碳是由于宇宙射線在高層大氣中的撞擊引。這種放射性碳是由于宇宙射線在高層大氣中的撞擊引起的，經(jīng)過一系列交換過程進入活組織中，直到在生物體起的，經(jīng)過一系列交換過程進入活組織中，直到在生物體中達到平衡濃度。這意味著在活體中，中達到平衡濃度。這意味著在活體中，C14的數(shù)量與穩(wěn)定的的數(shù)量與穩(wěn)定的C12的數(shù)量成定比。生物體死亡后，交換過程就停止了，放的數(shù)量成定比。生物體死亡后，交換過程就停止了，放射性碳便以每年八千分之一的速度減少）射性碳便以每年八千分之一的速度減少）第18頁/共66頁（1 1）問題分析與模型的建立）問

15、題分析與模型的建立1、放射性衰變的這種性質(zhì)還可描述為、放射性衰變的這種性質(zhì)還可描述為“放射性物放射性物質(zhì)在任意時刻的衰變速度都與該物質(zhì)現(xiàn)存的數(shù)量質(zhì)在任意時刻的衰變速度都與該物質(zhì)現(xiàn)存的數(shù)量成比例成比例”。而。而C14的比例數(shù)為每年八千分之一。的比例數(shù)為每年八千分之一。2、碳、碳14年代測定可計算出生物體的死亡時間；所年代測定可計算出生物體的死亡時間；所以，我們問題實際上就是：以，我們問題實際上就是：“這人死去多久了？這人死去多久了？”若設(shè)若設(shè)t為死后年數(shù)，為死后年數(shù)，y(t)為比例數(shù)，則為比例數(shù)，則y(t)=C14/C12(mgC14/mgC12)，則上文中最后一句話就給出了我，則上文中最后一句

16、話就給出了我們的微分方程，單位為們的微分方程，單位為mgC14/mgC12/yr(與關(guān)鍵詞與關(guān)鍵詞“速率速率”相當(dāng)相當(dāng))8000dyydt 第19頁/共66頁（2 2）解）解微分方程的通解為：微分方程的通解為：8000tyke由初始條件由初始條件0ky，故有，故有80000tyy e由問題，當(dāng)由問題，當(dāng)00.0624yy8000000.0624tyy e，代入原方程，代入原方程8000ln0.062422400t （年）第20頁/共66頁案例案例3、追線問題、追線問題 我緝私艦雷達發(fā)現(xiàn)，在其正西方距我緝私艦雷達發(fā)現(xiàn)，在其正西方距c海里處海里處有一艘走私船正以勻速度有一艘走私船正以勻速度a沿直線

17、向北行駛，緝沿直線向北行駛，緝私艦立即以最大的速度私艦立即以最大的速度b追趕，若用雷達進行跟追趕，若用雷達進行跟蹤，保持船的瞬時速度方向始終指向走私船，試蹤，保持船的瞬時速度方向始終指向走私船，試求緝私艦追逐路線和追上的時間。求緝私艦追逐路線和追上的時間。第21頁/共66頁圖圖2 走私船與緝私艦的位置關(guān)系走私船與緝私艦的位置關(guān)系(c,0)xD(x,y)走私船走私船R(0,at)緝私艇緝私艇O第22頁/共66頁幾何關(guān)系幾何關(guān)系atydxdyxxatytgdxdy即第23頁/共66頁如何消去時間t?1、求導(dǎo)：2、速度與路程的關(guān)系：3、分解 得： （這里有負號是因為s隨x的減小而增大）4、將第2、3

18、步代入第1步，可得模型dtdsb dxdt第24頁/共66頁追線模型：追線模型：模型的解：模型的解：0)(,0)(1222cycydxdykdxydx1( )0,/2kkdyxcpy ckb adxcx第25頁/共66頁解的進一步討論解的進一步討論112112 111kkcxxckykckck（1）若）若ab，從而，從而kb，即，即k1，顯然緝私艦也不可能追上走私船。，顯然緝私艦也不可能追上走私船。 第26頁/共66頁 如圖所示一個容量為如圖所示一個容量為2000m3的小湖的示的小湖的示意圖，通過小河意圖，通過小河A水以水以0.1m3/s的速度流入，的速度流入，以相同的流量湖水通過以相同的流量

19、湖水通過B流出。在上午流出。在上午11:05時，因交通事故一個盛有毒性化學(xué)物質(zhì)的容時，因交通事故一個盛有毒性化學(xué)物質(zhì)的容器傾翻，圖中器傾翻，圖中X點處注入湖中。在采取緊急點處注入湖中。在采取緊急措施后，于措施后，于11:35事故得到控制，但數(shù)量不詳事故得到控制，但數(shù)量不詳案例案例4 湖泊污染問題湖泊污染問題的化學(xué)物質(zhì)的化學(xué)物質(zhì)Z已瀉入湖中，初步估計已瀉入湖中，初步估計Z的量在的量在520m3之間。之間。建立一個模型，通過它來估計湖水污染程度隨時間的變化建立一個模型，通過它來估計湖水污染程度隨時間的變化并估計：并估計：（1）湖水何時到達污染高峰；）湖水何時到達污染高峰；（2）何時污染程度可降至安

20、全水平）何時污染程度可降至安全水平(0.05%)圖圖3 小湖示意圖小湖示意圖第27頁/共66頁湖泊污染問題分析湖泊污染問題分析 設(shè)湖水在設(shè)湖水在t時的污染程度為時的污染程度為C(t)，即每立方米受污染的水中含有即每立方米受污染的水中含有Cm3的化學(xué)物質(zhì)和的化學(xué)物質(zhì)和(1-C)m3的清潔水。用的清潔水。用分鐘作為時間分鐘作為時間t的單位。在的單位。在0tk（藥物未吸收完前，輸入速率通?？偞笥诜纸馀c（藥物未吸收完前，輸入速率通?？偞笥诜纸馀c排泄速率），但也有例外的可能（與藥物性質(zhì)及機體對該藥物的吸收、分解排泄速率），但也有例外的可能（與藥物性質(zhì)及機體對該藥物的吸收、分解能力有關(guān)）。當(dāng)能力有關(guān)）。當(dāng)

21、k1k時，體內(nèi)藥物量均很小，這種情況在醫(yī)學(xué)上被稱為觸發(fā)時，體內(nèi)藥物量均很小，這種情況在醫(yī)學(xué)上被稱為觸發(fā)翻轉(zhuǎn)（翻轉(zhuǎn)（flip-flop）。當(dāng)）。當(dāng)k1=k時時，對固定的，對固定的t，令，令kk1取極限（應(yīng)用羅比達法取極限（應(yīng)用羅比達法則），可得出在這種情況下的血藥濃度為：則），可得出在這種情況下的血藥濃度為： 11( )k tk DC tteV第35頁/共66頁 如下圖給出了上述三種情況下體內(nèi)血藥濃度的變化曲線。如下圖給出了上述三種情況下體內(nèi)血藥濃度的變化曲線。容易看出，快速靜脈注射能使血藥濃度立即達到峰值，常用于容易看出，快速靜脈注射能使血藥濃度立即達到峰值，常用于急救等緊急情況；口服、肌注與

22、點滴也有一定的差異，主要表急救等緊急情況；口服、肌注與點滴也有一定的差異，主要表現(xiàn)在血藥濃度的峰值出現(xiàn)在不同的時刻，血藥的有效濃度保持現(xiàn)在血藥濃度的峰值出現(xiàn)在不同的時刻，血藥的有效濃度保持時間也不盡相同，（注：為達到治療目的，血藥濃度應(yīng)達到某時間也不盡相同，（注：為達到治療目的，血藥濃度應(yīng)達到某一有效濃度，并使之維持一特定的時間長度）。一有效濃度，并使之維持一特定的時間長度）。房室系統(tǒng)房室系統(tǒng) 我們已求得三種常見給藥方式下的血藥濃度我們已求得三種常見給藥方式下的血藥濃度C(t)，當(dāng)然也容，當(dāng)然也容易求得血藥濃度的峰值及出現(xiàn)峰值的時間，因而，也不難根據(jù)易求得血藥濃度的峰值及出現(xiàn)峰值的時間，因而，

23、也不難根據(jù)不同疾病的治療要求找出最佳治療方案。不同疾病的治療要求找出最佳治療方案。 第36頁/共66頁 國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫局國家質(zhì)量監(jiān)督檢驗檢疫局2004年年5月月31日發(fā)布了新的日發(fā)布了新的車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣車輛駕駛?cè)藛T血液、呼氣酒精含量閾值與檢驗酒精含量閾值與檢驗國家標(biāo)準(zhǔn)，新標(biāo)準(zhǔn)國家標(biāo)準(zhǔn)，新標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大規(guī)定，車輛駕駛?cè)藛T血液中的酒精含量大于或等于于或等于20毫克百毫升，小于毫克百毫升，小于80毫克毫克百毫升為飲酒駕車（原標(biāo)準(zhǔn)是小于百毫升為飲酒駕車（原標(biāo)準(zhǔn)是小于100毫克毫克百毫升），血液中的酒精含量大于或等百毫升），血液中的酒精含量大于或等于于80毫克百毫

24、升為醉酒駕車（原標(biāo)準(zhǔn)是毫克百毫升為醉酒駕車（原標(biāo)準(zhǔn)是大于或等于大于或等于100毫克百毫升）。毫克百毫升）。 五、微分方程綜合案例分析五、微分方程綜合案例分析第37頁/共66頁 大李在中午大李在中午12點喝了一瓶啤酒，下午點喝了一瓶啤酒，下午6點檢點檢查時符合新的駕車標(biāo)準(zhǔn)，緊接著他在吃晚飯查時符合新的駕車標(biāo)準(zhǔn)，緊接著他在吃晚飯時又喝了一瓶啤酒，為了保險起見他呆到凌時又喝了一瓶啤酒，為了保險起見他呆到凌晨晨2點才駕車回家，又一次遭遇檢查時卻被點才駕車回家，又一次遭遇檢查時卻被定為飲酒駕車，這讓他既懊惱又困惑，為什定為飲酒駕車，這讓他既懊惱又困惑，為什么喝同樣多的酒，兩次檢查結(jié)果會不一樣呢？么喝同樣

25、多的酒，兩次檢查結(jié)果會不一樣呢？ 請你參考下面給出的數(shù)據(jù)（或自己收集資請你參考下面給出的數(shù)據(jù)（或自己收集資料）建立飲酒后血液中酒精含量的數(shù)學(xué)模型，料）建立飲酒后血液中酒精含量的數(shù)學(xué)模型，對大李碰到的情況做出解釋對大李碰到的情況做出解釋.第38頁/共66頁參考數(shù)據(jù)參考數(shù)據(jù)1. 人的體液占人的體重的人的體液占人的體重的65%至至70%，其中血液只占，其中血液只占體重的體重的7%左右；而藥物（包括酒精）在血液中的左右；而藥物（包括酒精）在血液中的含量與在體液中的含量大體是一樣的。含量與在體液中的含量大體是一樣的。2. 體重約體重約70kg的某人在短時間內(nèi)喝下的某人在短時間內(nèi)喝下2瓶啤酒后，隔瓶啤酒后

26、，隔一定時間測量他的血液中酒精含量（毫克百毫一定時間測量他的血液中酒精含量（毫克百毫升），得到數(shù)據(jù)如下：升），得到數(shù)據(jù)如下： 時間時間(小時小時) 0.250.50.7511.522.533.544.55酒精含量酒精含量306875828277686858515041時間時間(小時小時)678910111213141516酒精含量酒精含量3835282518151210774第39頁/共66頁問題分析問題分析一個人的血中酒精含量取決于他喝了多少酒、他體內(nèi)原有的酒一個人的血中酒精含量取決于他喝了多少酒、他體內(nèi)原有的酒精含量以及喝酒方式等。由科普知識知道，酒精是經(jīng)胃腸精含量以及喝酒方式等。由科普知

27、識知道，酒精是經(jīng)胃腸（主要是肝臟）的吸收與分解進體液的。因此本文把酒精（主要是肝臟）的吸收與分解進體液的。因此本文把酒精的從胃腸（含肝臟）向體液轉(zhuǎn)移情況用如下簡圖直觀地表的從胃腸（含肝臟）向體液轉(zhuǎn)移情況用如下簡圖直觀地表示：示： k11為酒精從胃腸滲透到（除體液外）其它地方的速率系數(shù)；為酒精從胃腸滲透到（除體液外）其它地方的速率系數(shù)； k12為酒精從胃腸進入體液的速率系數(shù)；為酒精從胃腸進入體液的速率系數(shù)； k21為酒精在體液中消耗（向外排除或分解或吸收）的速率系數(shù)；為酒精在體液中消耗（向外排除或分解或吸收）的速率系數(shù)； f(t)為酒精進入胃腸的速率。為酒精進入胃腸的速率。 第40頁/共66頁由

28、題意，參照房室模型，可建立如下微分方程組：由題意，參照房室模型，可建立如下微分方程組：111 112112 121 1xk xk xyk xk y（1）大李在中午）大李在中午12點喝一瓶啤酒時，即在點喝一瓶啤酒時，即在t=0時，胃腸中的酒精量時，胃腸中的酒精量x1(0)為一瓶酒中的酒為一瓶酒中的酒精精a與飲酒瓶數(shù)與飲酒瓶數(shù)N的乘積的乘積Na，而此時體液中，而此時體液中的酒精量的酒精量y1(0)為為0。因此初始條件為。因此初始條件為 11(0)(0)0 xNay體液（或血液）中的酒精的濃度為體液（或血液）中的酒精的濃度為1( )( )y tC tV第41頁/共66頁（2）大李第二次喝酒時胃腸和體

29、液中已經(jīng)有）大李第二次喝酒時胃腸和體液中已經(jīng)有酒精，所以在第二次喝酒即酒精，所以在第二次喝酒即t=0時胃腸中的時胃腸中的酒精量酒精量 x2(0)為為N瓶酒中的酒精質(zhì)量瓶酒中的酒精質(zhì)量Na與第與第一次喝酒后殘留在胃腸中的酒精質(zhì)量一次喝酒后殘留在胃腸中的酒精質(zhì)量x1(T1)之和，而此時體液中的酒精量之和，而此時體液中的酒精量y1(0)為第一為第一次喝酒后殘留在胃腸中的酒精質(zhì)量次喝酒后殘留在胃腸中的酒精質(zhì)量y1(T1)，因此大李第二次喝酒的模型如下：因此大李第二次喝酒的模型如下： 211212221222122112112(0)( )(0)( )( )( )xk xk xyk xk yxx TaNy

30、y Ty tC tV 第42頁/共66頁解以上微分方程組，得解以上微分方程組，得 1112()1kktxNae111221()121111221()kktk tNakyeekkk 1112kk21k12ak令令，解可轉(zhuǎn)化為解可轉(zhuǎn)化為1txNae1()ttNyee第43頁/共66頁N2，運用最小二乘擬合法，求解得，運用最小二乘擬合法，求解得2.1800.175554468作圖如下：作圖如下：第44頁/共66頁將以上數(shù)據(jù)代入問題一的模型中，可求得大李將以上數(shù)據(jù)代入問題一的模型中，可求得大李在中午在中午12點飲一瓶啤酒，即點飲一瓶啤酒，即N=1時，到下午時，到下午6點第一次檢查時體液中的酒精含量（即

31、血點第一次檢查時體液中的酒精含量（即血液中的酒精含量）液中的酒精含量） 1(6)(6)19.961620yCV所以大李通過了第一次檢查。所以大李通過了第一次檢查。第45頁/共66頁大李第二次喝酒模型的方程解為：大李第二次喝酒模型的方程解為： 12(1)TtxaNee考慮到大李在下午考慮到大李在下午6點接受檢查，之后由于停點接受檢查，之后由于停車等待等原因耽誤了大約半個小時，假設(shè)大李車等待等原因耽誤了大約半個小時，假設(shè)大李從第一次檢驗到第二次喝酒之間間隔從第一次檢驗到第二次喝酒之間間隔0.5小時，小時，代入數(shù)據(jù)計算可得第二次檢驗時，大李血液中代入數(shù)據(jù)計算可得第二次檢驗時，大李血液中酒精含量為：酒

32、精含量為：20.2448 (毫克毫克/百毫升百毫升)。這就解。這就解釋了大李在第一次喝酒通過檢查，第二次喝同釋了大李在第一次喝酒通過檢查，第二次喝同樣的酒且經(jīng)過更長的時間檢查卻被定為飲酒駕樣的酒且經(jīng)過更長的時間檢查卻被定為飲酒駕車的情況，因為第二次喝酒時有第一次喝酒的車的情況，因為第二次喝酒時有第一次喝酒的殘留量。殘留量。 112(1)(1)TTttNyeeee第46頁/共66頁第47頁/共66頁問題及其背景問題及其背景 傘好呢？ 降落傘何時張開好 第48頁/共66頁分分 析析 我們主要關(guān)心什么呢？是跳傘者的落 地速度和在空中的停留時間。因此我們首先要考慮跳傘者的降落速度，它是時間的函數(shù)。跳傘

33、者（包括降落傘，下同）在降落過程中主要受到重力和空氣阻力的作用以及氣流運動的影響，一般所受到的空氣阻力與降落速度成正比。因為我們主要關(guān)心一般情況下降落速度的垂直分量變化情況，可以忽略水平分量，不考慮氣流運動的影響，只考慮其作垂直降落運動。 第49頁/共66頁 根據(jù)牛頓運動學(xué)第二定律以及加 速度是速度關(guān)于時間的導(dǎo)數(shù)，我們 就能列出降落速度滿足的微分方程。雖然張傘前后跳傘者所受到的空氣阻力的情況差別較大，但可認為僅是所受空氣阻力與降落速度的比例系數(shù)不同而已，這樣，如果忽略張傘時間，可以分張傘前和張傘后來建立類似的模型。下面主要建立張傘后的模型。 第50頁/共66頁 跳傘者（包括降落傘）在降落過程中

34、只受到重力和空氣阻力的作用，只作垂直降落運動。所受到的空氣阻力的大小與降落速率成正比，比例系數(shù)是與時間無關(guān)的常數(shù)，設(shè)為k。張傘時刻為t=0，此時降落速率為v0。第51頁/共66頁模型的建立模型的建立 設(shè)跳傘者（包括降落傘）的質(zhì)量為 m重力加速度為g，降落速度為v由Newton力學(xué)第二定律，可得：00dd|tvmmgkvtvv，即 00dd|tvkvgtmvv這就是跳傘者的降落速度滿足的數(shù)學(xué)模型，這是一個常微分方程的初值問題。第52頁/共66頁模型的求解 如何求解這個模型呢？注意到ddd()()()dddkkkkttttmmmmvkmge vevegettmtk即d()0dkkttmmmge v

35、etk，我們有kkttmmmge veCk其中C為任意常數(shù)。將定解條件00|tvv代入，即得0mgCvk因此，模型的解為：0( )()ktmmgmgv tvekk第53頁/共66頁模型解的分析和應(yīng)用模型解的分析和應(yīng)用 因為lim ( )tmgv tk，隨著時間的增大，降落速度( )v t將很快趨于常值mgk落地有足夠的時間，那么落地時的降落dmgvk。 。如果從張傘到速度約等于第54頁/共66頁k的大小與傘張開時傘面的形狀和有效面積有關(guān)，考慮安全等原因，張傘經(jīng)過10秒后約下降速度約6.0000076米/秒，通常設(shè)計降落傘使得6dv ，若6,dv 9.8g 0100v 米/秒，117.55米，此

36、時降落已非常接近6米/秒的速度。所以，一個經(jīng)過一定訓(xùn)練的跳傘者，若從離地面8000米的高空跳傘，即使離地面只有幾百米時才張開傘，也能安全著地，而這和剛跳落時就張傘相比，空中滯留時間將大大減少。 第55頁/共66頁進一步的考慮進一步的考慮 上述模型可根據(jù)需要作進一步的改進。比如，因為空氣的稀薄程度與海拔高度有關(guān)，因此k的大小也與海拔h有一定關(guān)系，可認為( )kk h此時可轉(zhuǎn)而考慮降落速度v與h的關(guān)系。 高度，設(shè)0hh時開始張傘，此時速度為0v因為ddddddddvvhvvthth ，第56頁/共66頁所以原模型可以改寫為：00d( )d|h hvk hvvghmvv 同學(xué)們可以根據(jù)具體情況分析求

37、解此模型。第57頁/共66頁 求微分方程（組）解析解的命令求微分方程（組）解析解的命令:dsolve(方程方程1,方程方程2,方程方程n,初始條件初始條件,自變量自變量)To MATLAB（ff1） 結(jié)結(jié) 果：果：u = tan(t-c)五、微分方程的五、微分方程的MATLAB求解求解ezplot第58頁/共66頁 解解 輸入命令輸入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x)結(jié)結(jié) 果果 為為 : y =3e-2xsin（5x）To MATLAB（ff2）第59頁/共66頁解解 輸入命令輸入命令 ： x,y,z=dsolve(Dx=2*x-3*

38、y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t)； x=simple(x) % 將將x化簡化簡 y=simple(y) z=simple(z)結(jié)結(jié) 果果 為：為：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t To MATLAB（ff3）返返 回回第60頁/共66頁微分方程的數(shù)值解微分方程的數(shù)值解（一）常微分方程數(shù)值解的定義（一）常微分方程數(shù)值解的定義 在生產(chǎn)和科研中所處理的微分方程往往很復(fù)

39、雜在生產(chǎn)和科研中所處理的微分方程往往很復(fù)雜,且大且大多得不出一般解而實際中的對初值問題，一般是要求多得不出一般解而實際中的對初值問題，一般是要求得到解在若干個點上滿足規(guī)定精確度的近似值，或者得得到解在若干個點上滿足規(guī)定精確度的近似值，或者得到一個滿足精確度要求的便于計算的表達式到一個滿足精確度要求的便于計算的表達式因此，研究常微分方程的數(shù)值解法是十分必要的因此，研究常微分方程的數(shù)值解法是十分必要的返返 回回第61頁/共66頁（二）用（二）用MATLAB軟件求常微分方程的數(shù)值解軟件求常微分方程的數(shù)值解t，x=solver(f,ts,x0,options)ode45 ode23 ode113ode

40、15sode23s由待解由待解方程寫方程寫成的成的M文件名文件名ts=t0,tf，t0、tf為自變?yōu)樽宰兞康某踔盗康某踔岛徒K值和終值函數(shù)函數(shù)的初的初值值ode23：組合的：組合的2/3階龍格階龍格庫塔庫塔費爾貝格算法費爾貝格算法ode45：運用組合的：運用組合的4/5階龍格階龍格庫塔庫塔費爾貝格算法費爾貝格算法自變自變量值量值函數(shù)函數(shù)值值用于設(shè)定誤差限用于設(shè)定誤差限(缺省時設(shè)定相對誤差缺省時設(shè)定相對誤差10-3, 絕對誤差絕對誤差10-6),命令為：命令為：options=odeset（reltol,rt,abstol,at）, rt，at：分別為設(shè)定的相對誤差和絕對誤差：分別為設(shè)定的相對誤差

41、和絕對誤差第62頁/共66頁 1在解含在解含n個未知數(shù)的方程組時，個未知數(shù)的方程組時，x0和和x均為均為n維向量，維向量，M文件中的待解方程組應(yīng)以文件中的待解方程組應(yīng)以x的分量形式寫出的分量形式寫出 2使用使用MATLAB軟件求數(shù)值解時，高階微分方程必軟件求數(shù)值解時，高階微分方程必須等價地變換成一階微分方程組須等價地變換成一階微分方程組注意注意:第63頁/共66頁解解: 令令 y1=x，y2=y11建立建立M文件文件vdp1000m如下：如下： function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(

42、2)-y(1); 2取取t0=0，tf=3000，輸入命令：，輸入命令： T,Y=ode15s(vdp1000,0 3000,2 0); plot(T,Y(:,1),-)3結(jié)果如圖結(jié)果如圖050010001500200025003000-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52To MATLAB（ff4）第64頁/共66頁解解 1建立建立M文件文件rigidm如下：如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-051*y(1)*y(2);2取取t0=0，tf=12，輸入命令：，輸入命令： T,Y=ode45(rigid,0 12,0 1 1); plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+)3結(jié)果如圖結(jié)果如圖To MATLAB（ff5）024681012-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81圖中，圖中，y1的圖形為實線，的圖形為實線，y2的圖形為的圖形為“*”線，線，y3的圖形為的圖形為“+”線線返返 回回第65頁/共66頁感謝您的觀看。第66頁/共66頁